广东省惠州市实验中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

广东省惠州市实验中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题一、单选题（本题8小题，共40分） 1．（5分）下列函数求导正确的是（　　） A．（2e﹣x）′＝2e﹣x B． C． D．（exsinx）′＝ex（cosx﹣sinx） 2．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（　　） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．（5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（　　） A．120 B．85 C．﹣85 D．﹣120 4．（5分）劳动可以树德、可以增智、可以健体、可以育美．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动实践比赛，已知冠军是甲、乙当中的一人，丁和戊都不是最差的，则这5名同学的名次排列（无并列名次）共有（　　） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 5．（5分）已知随机变量X的分布列满足：P（X＝n）＝an（n＝1，2，3，4），其中a为常数，则P（X＝3）＝（　　） A． B． C． D． 6．（5分）已知随机变量X，Y满足Y＝2X+1，且随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P a 则随机变量Y的方差D（Y）＝（　　） A． B． C． D． 7．（5分）已知0＜a＜1且，若函数f（x）＝2logax﹣log2ax在（0，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 8．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），则不等式ex•f（2x）＜e4•f（3x﹣4）的解集是（　　） A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（4，+∞） D．（﹣∞，4） 二、多选题（本题3小题，共18分） （多选）9．（6分）连掷一枚均匀骰子两次，第一、二次所得向上的点数分别为a，b，记m＝a+b，事件A为“m＝7”，事件B为“a＝3”，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．事件A与事件B互为独立事件 （多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x﹣sinx，则（　　） A．f（x）为其定义域上的增函数 B．f（x）为偶函数 C．f（x）的图象与直线y＝1相切 D．f（x）有唯一的零点 11．（6分）已知f（x）＝（2﹣x）8＝a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，则下列描述正确的是（　　） A．a1+a2+⋯+a8＝1 B．f（﹣1）除以5所得的余数是1 C． D．2a2+3a3+⋯+8a8＝﹣8 三、填空题（本题3小题，共15分） 12．（5分）的展开式中x2y6的系数为 　 　（用数字作答）． 13．（5分）位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右的概率都是，质点P移动五次后位于点（2，3）的概率为　 　．（用数字作答） 14．（5分）杨辉是南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角： （1）第10行中从左到右的第4个数是 　 　； （2）在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第3斜列中，第5个数为35．显然，1+3+6+10+15＝35．事实上，一般有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数．试用含有m，k（m，k∈N*）的数学公式表示上述结论 　 　． 四、解答题 15．（13分）已知函数． （1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若方程f（x）＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围． 16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （Ⅰ）求角B； （Ⅱ）若b＝3，，求△ABC的面积． 17．（15分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列的前n项和Tn． 18．（17分）某校为了解高三年级1200名学生对成语的掌握情况，举行了一次“成语测试”比赛．从中随机抽取120名学生，统计结果如下：获奖人数与不获奖人数之比为2：1，其中获奖人数中，女生占，不获奖人数中，女生占． （1）现从这120名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率； （2）对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动．若从这8人中随机选取2人． ①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率； ②记X为入选的2人中的女生人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 19．（17分）已知． （1）当a＝3时，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）+x1+x2＜0． 参考答案与试题解析 一、单选题（本题8小题，共40分） 1．（5分）下列函数求导正确的是（　　） A．（2e﹣x）′＝2e﹣x B． C． D．（exsinx）′＝ex（cosx﹣sinx） 【解答】解：（2e﹣x）′＝﹣2e﹣x，（ex+ln2）′＝ex，，（exsinx）′＝ex（sinx+cosx），则ABD错误，C正确． 故选：C． 2．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（　　） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解答】解：若{an}是等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d， 则Sn＝na1+d， 即＝a1+d＝n+a1﹣， 故{}为等差数列， 即甲是乙的充分条件． 反之，若{}为等差数列，则可设﹣＝D， 则＝S1+（n﹣1）D，即Sn＝nS1+n（n﹣1）D， 当n≥2时，有Sn﹣1＝（n﹣1）S1+（n﹣1）（n﹣2）D， 上两式相减得：an＝Sn﹣Sn﹣1＝S1+2（n﹣1）D， 当n＝1时，上式成立，所以an＝a1+2（n﹣1）D， 则an+1﹣an＝a1+2nD﹣[a1+2（n﹣1）D]＝2D（常数）， 所以数列{an}为等差数列． 即甲是乙的必要条件． 综上所述，甲是乙的充要条件． 故本题选：C． 3．（5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（　　） A．120 B．85 C．﹣85 D．﹣120 【解答】解：等比数列{an}中，S4＝﹣5，S6＝21S2，显然公比q≠1， 设首项为a1，则＝﹣5①，＝②， 化简②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合题意，舍去）， 代入①得＝， 所以S8＝＝（1﹣q4）（1+q4）＝×（﹣15）×（1+16）＝﹣85． 故选：C． 4．（5分）劳动可以树德、可以增智、可以健体、可以育美．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动实践比赛，已知冠军是甲、乙当中的一人，丁和戊都不是最差的，则这5名同学的名次排列（无并列名次）共有（　　） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【解答】解：已知冠军是甲、乙当中的一人，丁和戊都不是最差的， 则这5名同学的名次排列（无并列名次）共有＝24种． 故选：B． 5．（5分）已知随机变量X的分布列满足：P（X＝n）＝an（n＝1，2，3，4），其中a为常数，则P（X＝3）＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由分布列性质可知：，即， 故． 故选：B． 6．（5分）已知随机变量X，Y满足Y＝2X+1，且随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P a 则随机变量Y的方差D（Y）＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由分布列性质可得，所以， 则， ， 所以D（Y）＝D（2X+1）＝4D（X）＝． 故选：B． 7．（5分）已知0＜a＜1且，若函数f（x）＝2logax﹣log2ax在（0，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：f（x）＝2logax﹣log2ax＝＝， ∵f（x）＝2logax﹣log2ax在（0，+∞）上单调递减， ∴＜0，即＜0，得lga＜﹣lg4或﹣lg2＜lga＜0， 即0＜a＜或＜a＜1， ∴实数a的取值范围为． 故选：D． 8．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），则不等式ex•f（2x）＜e4•f（3x﹣4）的解集是（　　） A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（4，+∞） D．（﹣∞，4） 【解答】解：不等式ex•f（2x）＜e4•f（3x﹣4）等价变为， 构造函数，则，又有已知f′（x）＜f（x）， ∴r'（x）＜0，即r（x）在R上是减函数，由于，可得2x＞3x﹣4，解得x＜4， 即不等式ex•f（2x）＜e4•f（3x﹣4）的解集是（﹣∞，4）， 故选：D． 二、多选题（本题3小题，共18分） （多选）9．（6分）连掷一枚均匀骰子两次，第一、二次所得向上的点数分别为a，b，记m＝a+b，事件A为“m＝7”，事件B为“a＝3”，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．事件A与事件B互为独立事件 【解答】解：由题意可知，n（Ω）＝62＝36，A＝{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}，n（A）＝6， B＝{（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）}，n（B）＝6， AB＝{（3，4）}，n（AB）＝1， 所以，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确． 故选：ABD． （多选）10．（6分）已知函数f（x）＝x﹣sinx，则（　　） A．f（x）为其定义域上的增函数 B．f（x）为偶函数 C．f（x）的图象与直线y＝1相切 D．f（x）有唯一的零点 【解答】解：f（x）＝x﹣sinx的定义域为R， f′（x）＝1﹣cosx≥0， ∴f（x）为R上的增函数，故A正确； f（﹣x）＝﹣x+sinx＝﹣f（x）， ∴f（x）为奇函数，故B错误； ∵当f′（x）＝0时，解得：x＝2kπ（k∈Z）， 此时f（x）＝2kπ﹣sin2kπ＝2kπ≠1（k∈Z）， ∴斜率为0的切线为2kπ（k∈Z），不可能为直线y＝1，故C错误； f（x）为R上的增函数，f（0）＝0， ∴f（x）有唯一的零点，故D正确． 故选：AD． 11．（6分）已知f（x）＝（2﹣x）8＝a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，则下列描述正确的是（　　） A．a1+a2+⋯+a8＝1 B．f（﹣1）除以5所得的余数是1 C． D．2a2+3a3+⋯+8a8＝﹣8 【解答】解：对于A：令x＝1得：a0+a1+a2+⋯+a8＝1；令x＝0，得． ，因此A错误； 对于B：，因此B正确； 对于C：因为（2﹣x）8二项展开式的通项公式为，（0≤r≤8，r∈N）， 由通项公式知，（2﹣x）8二项展开式中偶数项的系数为负数， 所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|＝﹣a1+a2﹣a3+⋯+a8， 由，令x＝0，得到， 令x＝﹣1，得到， 所以，因此C错误； 对于D：对原表达式的两边同时对x求导，得到， 令x＝1，得到a1+2a2+3a3+⋯+8a8＝﹣8，令x＝0，得， 所以，，所以选项D错误． 故选：B． 三、填空题（本题3小题，共15分） 12．（5分）的展开式中x2y6的系数为 　﹣28　（用数字作答）． 【解答】解：由已知可得， 所以由二项式定理可得多项式的展开式中含x2y6的项为， 的展开式中x2y6的系数为﹣28． 故答案为：﹣28． 13．（5分）位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右的概率都是，质点P移动五次后位于点（2，3）的概率为　　．（用数字作答） 【解答】解：根据题意，易得位于坐标原点的质点P移动5次后位于点（2，3），在移动过程中向右移动2次向上移动3次． 则其概率为＝ 故答案为． 14．（5分）杨辉是南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角： （1）第10行中从左到右的第4个数是 　120　； （2）在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第3斜列中，第5个数为35．显然，1+3+6+10+15＝35．事实上，一般有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数．试用含有m，k（m，k∈N*）的数学公式表示上述结论 　++…+＝（m、k∈N*且k≤m）　． 【解答】解：（1）根据题意，归纳可得：第n行的从左到右第m+1个数为，（n∈N，m∈N且m≤n）， 则第10行中从左到右的第4个数为＝120； （2）结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数． 用公式表示为：++…+＝（m、k∈N*且k≤m）， 证明：左式＝++…+ ＝++…+＝++…+ ＝…＝+＝＝右式， 即等式++…+＝（m、k∈N*且k≤m）成立． 故答案为：（1）120； （2）++…+＝（m、k∈N*且k≤m）． 四、解答题 15．（13分）已知函数． （1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若方程f（x）＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围． 【解答】解：（1）函数，定义域为R， 则f′（x）＝x2﹣4， 所以f′（1）＝﹣3，又因为f（1）＝， 所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y﹣＝﹣3（x﹣1），即9x+3y﹣10＝0； （2）函数，定义域为R， 则f′（x）＝x2﹣4＝（x﹣2）（x+2）， 令f′（x）＝0得，x＝﹣2或2， 当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 所以当x＝﹣2时，f（x）有极大值，当x＝2时，f（x）有极小值﹣， 画出f（x）的图象，如图所示： 若函数f（x）＝k有3个解，即函数y＝k和y＝f（x）的图象有3个交点， 由图可知，， 即实数k的取值范围为（﹣，）． 16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （Ⅰ）求角B； （Ⅱ）若b＝3，，求△ABC的面积． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由， 得sinBsinA＝sinAcosB， 又sinA＞0，所以tanB＝， 因为B∈（0，π），所以B＝； （Ⅱ）b＝3，由，得c＝a，由（Ⅰ）知B＝， 由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accosB，即9＝a2+3a2﹣2a2×， 解得a＝3，c＝3， 所以S△ABC＝acsinB＝×3×3×＝． 17．（15分）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列的前n项和Tn． 【解答】解：（1）a2＝1，2Sn＝nan，可得n＝1时，2a1＝2S1＝a1，即a1＝0， 当n≥2时，由2Sn＝nan，可得2Sn﹣1＝（n﹣1）an﹣1，两式相减可得2an＝nan﹣（n﹣1）an﹣1， 当n＝2时，上式显然成立， 当n≥3时，＝， 则an＝a2•••...•＝1•••...•＝n﹣1， 上式对n＝1，n＝2都成立， 所以an＝n﹣1，n∈N*； （2）＝n（）n， Tn＝1•+2•（）2+3•（）3+...+n（）n， Tn＝1•（）2+2•（）3+3•（）4+...+n（）n+1， 上面两式相减可得Tn＝+（）2+（）3+...+（）n﹣n（）n+1 ＝﹣n（）n+1， 化为Tn＝2﹣（n+2）（）n． 18．（17分）某校为了解高三年级1200名学生对成语的掌握情况，举行了一次“成语测试”比赛．从中随机抽取120名学生，统计结果如下：获奖人数与不获奖人数之比为2：1，其中获奖人数中，女生占，不获奖人数中，女生占． （1）现从这120名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率； （2）对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动．若从这8人中随机选取2人． ①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率； ②记X为入选的2人中的女生人数，求随机变量X的分布列及数学期望． 【解答】解：（1）记事件A1，A2分别为抽取的1名学生获奖与不获奖， 事件B为抽取的1名学生是女生， 则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω， 由题意可知，， 且， 由全概率公式可知， 即从120名学生中随机抽取1名学生，恰好是女生的概率为； （2）由题意得120名学生的获奖情况如下： 男生获奖60人，不获奖20人， 女生获奖20人，不获奖20人， ①根据分层随机抽样方法得，选取的8人中，男生有（人），女生有（人）， 记事件C为“选出的2人中有女生”，共有（种）不同的选法， 事件D为“选出的2人为1名男生、1名女生”，共有（种）不同的选法， 则； ②根据题意，X的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 则． 19．（17分）已知． （1）当a＝3时，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）+x1+x2＜0． 【解答】解：（1）当a＝3时，f'（x）＝﹣e2x+4ex﹣3＝﹣（ex﹣1）（ex﹣3）， 令f′（x）＞0得0＜x＜ln3；令f'（x）＜0，得x＜0或x＞ln3； 故f（x）的单调递增区间为（0，ln3），单调递减区间为（﹣∞，0）和（ln3，+∞）， （2）证明：f'（x）＝﹣e2x+4ex﹣a，令t＝ex， 则﹣t2+4t﹣a＝0有两个不相等的正实数解为，， 则Δ＝16﹣4a＞0，t1+t2＝4，t1t2＝a＞0，即0＜a＜4， 则，（或x1+x2＝lna）， ＝a﹣2， 设g（a）＝（1﹣a）lna+a﹣2（0＜a＜4），， 设，，故h（a）单调递减， 而h（1）＝1＞0，， 故存在唯一的实数a0∈（1，2）使h（a0）＝0，即， 当0＜a＜a0时，h（a）＞0，此时g（a）单调递增；当a0＜a＜4时，h（a）＜0，此时g（a）单调递减； 所以g（a）的最大值为， 由a0∈（1，2）得，故g（a0）＜0，从而g（a）＜0， 即f（x1）+f（x2）+x1+x2＜0，得证． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$