第31课与圆有关的位置关系课件 2024年中考数学专题突破

第八章　 圆 第31课　与圆有关的位置关系 记忆导图 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 知识点 课标要求 广州市数学近三年命题分析 题型 点、直线与圆的位置关系 了解 未涉及本知识点 无 切线的判定与性质 掌握 2021年中考卷第3题(3分) 2022年中考卷第15题(3分) 选择、填空题 三角形的内心和外心 掌握 2023年中考卷第9题(3分) 选择题 课标解读 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 记忆导图 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 知识梳理 1.点与圆的位置关系有3种：设☉O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有： (1)d＞r⇔点P在☉O　 　；  (2)d＝r⇔点P在☉O　 　；  (3)d＜r⇔点P在☉O　 　.  　内　 　上　 　外　 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 2.直线与圆的位置关系有3种：设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有： 直线与圆 交点个数 r与d的关系 相离 0 d＞r 相切 1 d＝r 相交 2 d＜r 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 点对点练习 　　　　　 　　　　 　　　　 1.(2022·吉林)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在☉A内且点B在☉A外时，r的值可能是( ) C 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 2.如图，在平面直角坐标系中，半径为2的☉P的圆心P的坐标为(－3，0)，将☉P沿x轴正方向平移，使☉P与y轴相切，则平移的距离为　 　.  　1或5　 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 知识梳理 1.切线的定义：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线. 2.切线的性质定理：圆的切线　 　过切点的半径.  　垂直于　 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 3.切线的主要性质： (1)切线和圆只有一个　 　；  (2)切线和圆心的距离等于圆的半径； (3)切线垂直于经过切点的半径； (4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点； (5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 4.切线长定理：从圆外一点引圆的　 　，它们的切线长 　 　，这一点和圆心的连线　 　两条切线的夹角.  　平分　 　相等　 　两条切线　 　交点　 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 A.65° B.60° C.50° D.25° 点对点练习 　　　　　 　　　　 　　　　 3.如图，AD，BC是☉O的直径，点P在BC的延长线上，PA与☉O相切于点A，连接BD，若∠P＝40°，则∠ADB的度数为( ) A 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 4.(2022·长沙)如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，若∠AOB＝128°，则∠P的度数为( B ) A.32° B.52° C.64° D.72° 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 知识梳理 1.定义法：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线是圆的切线. 2.距离法：如果圆心到直线的距离等于这个圆的半径，那么这条直线是圆的切线. 3.定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 4.用定理法证明有两种题型： (1)在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证明方法是“　 　”；  (2)若直线与圆的公共点未知，证明方法是“ 　”.  这两种情况可概括为一句话：“有点连半径，无点作垂线”. 作垂直，证半径　 　连半径，证垂直　 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 点对点练习　　　　　 　　　　 　　　　 5.如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的☉O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G. 求证：FG是☉O的切线. 证明：(1)连接OF.∵AB＝AC. ∴∠B＝∠C. ∵OF＝OC， ∴∠C＝∠OFC. ∴∠OFC＝∠B.∴OF∥AB. ∵FG⊥AB，∴FG⊥OF. 又∵OF是半径，∴FG是☉O的切线. 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 知识梳理 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心是三角形 的交点，这个交点叫做三角形的　 　.  性质：三角形的内心到三角形三边的　 　.  2.经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角形　 　的交点，这个交点叫做三角形的　 　.  性质：三角形的外心到三角形三个顶点的　 　.  　距离相等　 　外心　 　三条边垂直平分线　 　距离相等　 　内心　 三条角平分线 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 A. B. C. D. 点对点练习 　　　　　 　　　　 　　　　 6.如图，☉O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则☉O的半径是( ) C 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 7.如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3 cm的☉O是△ABC的内切圆，连接OB，OC，则图中阴影部分的面积是  cm2.(结果用含π的式子表示)  π 　 夯实基础 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 分析：求出∠A的度数再由切线性质和正切定理求出长度. A. 3 B. 4 C. 3 D. 4 【例1】如图，AB是☉O的切线，B为切点，连接AO交☉O于点C，延长AO交☉O于点D，连接BD.若∠A＝∠D，且AC＝3，则AB的长为( ) C 中考演练 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 【变式1】(2023·天河一模)如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝8，O是BC的中点，☉O分别与AB，AC相切于D，E两点，则☉O的半径长为　 　.  2 中考演练 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 解析：连接OE，OD. ∵☉O分别与AB，AC相切于D，E两点， ∴OE⊥AC，OD⊥AB. ∵O为BC的中点，BC＝8，∴OB＝OC＝4. 在Rt△OCE和Rt△OBD中， ∴Rt△OCE≌Rt△OBD(HL). ∴∠B＝∠C. 又∵∠A＝60°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. ∴在Rt△ODB中，OD＝OB·sin 60°＝2. ∴☉O的半径长为2. 中考演练 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 【例2】如图，AB为☉O的直径，过圆上一点D作☉O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE. (1)直线BE与☉O相切吗？请说明理由； (2)若CA＝2，CD＝4，求DE的长. 中考演练 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 解：(1)直线BE与☉O相切.理由如下： 连接OD，∵CD与☉O相切于点D， ∴∠ODE＝90°.∵AD∥OE， ∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB. ∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO. ∴∠DOE＝∠EOB.∵OD＝OB，OE＝OE， ∴△DOE≌△BOE(SAS). ∴∠OBE＝∠ODE＝90°. ∵OB是☉O的半径，∴直线BE与☉O相切. 中考演练 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 (2)设☉O的半径为r. 在Rt△ODC中，OD2＋DC2＝OC2， ∴r2＋42＝(r＋2)2.解得r＝3. ∴AB＝2r＝6. ∴BC＝AC＋AB＝2＋6＝8. 由(1)，得△DOE≌△BOE. ∴DE＝BE. 在Rt△BCE中，BC2＋BE2＝CE2， ∴82＋BE2＝(4＋DE)2，即64＋DE2＝(4＋DE)2. 解得DE＝6. ∴DE的长为6. 分析：(1)连接OD，利用平行线和等腰三角形性质即可； (2)设半径为r，利用切线的性质结合勾股定理计算即可解答. 中考演练 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 【变式2】如图，已知D为☉O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与☉O相切，交CD的延长线于点E，且BE＝DE. (1)判断CD与☉O的位置关系，并说明理由； (2)若AC＝4，sin C＝， ①求☉O的半径； ②求BD的长. 中考演练 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 解：(1)CD与☉O相切.理由如下： 连接OD. ∵EB＝ED，OB＝OD， ∴∠EBD＝∠EDB，∠OBD＝∠ODB. ∵BE是☉O的切线，OB是半径， ∴OB⊥BE.∴∠OBE＝90°. ∴∠EBD＋∠OBD＝90°. ∴∠EDB＋∠ODB＝90°.∴OD⊥DE. ∵OD是半径，∴CD与☉O相切. 中考演练 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 (2)①设OD＝OA＝r. ∵OD⊥CD， ∴sin C＝ . ∴r＝2. ∴☉O的半径为2. ②在Rt△COD中，CD＝. ∵AB是直径，∴∠ADB＝90°. ∴∠DBA＋∠BAD＝90°. ∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA. ∵∠ADC＋∠ODA＝90°，∴∠ADC＝∠CBD. ∵∠C＝∠C，∴△CDA ∽△CBD. ∴. 设AD＝k，则BD＝2k. ∵AD2＋BD2＝AB2，∴(k)2＋(2k)2＝42. 解得k＝(负根舍去). ∴BD＝2k＝. 中考演练 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A组基础 1.在平面直角坐标系中，☉O的圆心在原点，半径为5，则点P(0，4)与☉O的位置关系是( ) A. 点P在☉O内 B. 点P在☉O上 C. 点P在☉O外 D.无法确定 A 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 A. 5 B. 5 C. 8 D. 9 2.如图，P为☉O外一点，PT与☉O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为( ) A 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 A. 28° B. 50° C. 56° D. 62° 3.如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若 ∠OAB＝28°，则∠APB的度数为 ( ) C 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 A. 2r，90°－α B. 0，90°－α C. 2r，90° D. 0，90° 4.(2023·广州)如图，△ABC的内切圆☉I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若☉I的半径为r，∠A＝α，则(BF＋CE－BC)的值和∠FDE的大小分别为( ) D 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 B组提升 5.(2022·白云二模)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，cos A＝，以点B为圆心，r为半径作☉B，当☉B与AC相切时，r＝( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 C 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标   6.(2023·白云一模)如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，☉O恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，当∠B＝ 　 　° 时，∠AOD＝30°.  　60　 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 7.(2023·四川攀枝花)如图，AB为☉O的直径，如果圆上的点D恰使∠ADC＝∠B. 求证：直线CD与☉O相切. 证明：连接OD.∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA. ∵AB为☉O的直径，∴∠ADB＝90°. ∴∠A＋∠B＝90°. ∵∠ADC＝∠B， ∴∠ODA＋∠ADC＝90°，即∠CDO＝90°. ∴CD⊥OD. ∵OD是☉O的半径，∴直线CD与☉O相切. 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 C组培优 8.(易错题)如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB⊥CD，垂足是H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD. (1)求证：CF是☉O的切线； (2)如果AB＝10，CD＝6， ①求AE的长； ②求△AEF的面积. 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 (1)证明：连接OC.∵AB是☉O的直径，AB⊥CD， ∴.∴∠CAB＝∠DAB. ∵∠COB＝2∠CAB，∴∠COB＝2∠BAD. ∵∠ECD＝2∠BAD，∴∠ECD＝∠COB. ∵AB⊥CD，∴∠COB＋∠OCH＝90°. ∴∠OCH＋∠ECD＝90°.∴∠OCE＝90°. ∴OC⊥CF. ∵OC是☉O的半径，∴CF是☉O的切线. 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 (2)解：①∵AB＝10，∴OA＝OB＝OC＝5. ∵AB是☉O的直径，AB⊥CD， ∴CH＝DH＝∴＝4. ∵OC⊥CF，CH⊥OE，∴∠OHC＝∠OCE＝90°. ∴△OCH ∽△OEC. ∴ ∴∴. ∴AE＝OA＋OE＝5＋. 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 ②过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，如图. ∵∠OCF＝∠FGE＝90°，∠CEO＝∠GEF，∴△OCE ∽△FGE. ∴ ∴＝3k. ∵DH⊥AB，FG⊥AB，∴DH∥FG. ∴∴. 解得k＝∴ ∴. 分层达标 ZHONG KAO JIE DU JIE DU ZHONGKAO 记忆导图 夯实基础 中考演练 课标解读 分层达标 $$