专题6 相似三角形的基本模型 课件2023-2024学年北师大版数学九年级上册

第四章　图形的相似 专题6　相似三角形的基本模型 数学 九年级上册 BS版 数学 九年级上册 BS版 专题解读 典例讲练 目录 CONTENTS 数学 九年级上册 BS版 0 1 专题解读 ◎问题综述 相似三角形是初中几何中的重要内容，常常与其他知识点 结合，以综合题的形式呈现，其变化较多，是中考的常考内容. 在学习中要注重解题方法和基本解题模型，以便使相似三角形 的问题迎刃而解.相似三角形的常见基本模型有平行线型、斜交 型、垂直型、旋转型等. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 数学 九年级上册 BS版 0 2 典例讲练 类型一　平行线型 基本图形：如图， DE ∥ BC . 主要结论： （1）△ ADE ∽△ ABC ； （2） ＝ ＝ ； （3） ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在△ ABC 中，已知点 E ， F 分别在 AB ， AC 上，且 ＝ . （1）求证：△ AEF ∽△ ABC ； （2）若点 D 在 BC 上， AD 与 EF 交于点 G ，求证： ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】（1）直接利用“两边成比例且夹角相等的两个三 角形相似”即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质和平行 线的判定方法可得 EF ∥ BC ，于是可得△ AEG ∽△ ABD ，△ AGF ∽△ ADC ，再根据相似三角形的性质即可推出结论. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 证明：（1）∵ ＝ ， ∴ ＝ . 在△ AEF 和△ ABC 中， ∵∠ EAF ＝∠ BAC ， ＝ ， ∴△ AEF ∽△ ABC . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）∵△ AEF ∽△ ABC ， ∴∠ AEF ＝∠ ABC . ∴ EF ∥ BC . ∴△ AEG ∽△ ABD ，△ AGF ∽△ ADC . ∴ ＝ ， ＝ . ∴ ＝ . 【点拨】熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.熟悉 “A”型和“X”型模型，能快速找到解题突破口. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在▱ ABCD 中，连接对角线 AC ，延长 AB 至点 E ，使 BE ＝ AB ，连接 DE ，分别交 BC ， AC 于点 F ， G . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）求证： BF ＝ CF ； （1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB ＝ CD ， AB ∥ CD . ∴∠ E ＝∠ EDC . ∵ BE ＝ AB ，∴ BE ＝ CD . 在△ EBF 和△ DCF 中， ∴△ EBF ≌△ DCF （AAS）.∴ BF ＝ CF . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）若 BC ＝6， DG ＝4，求 FG 的长. （2）解：∵四边形 ABCD 是平行四边 形， ∴ AD ∥ BC . ∴△ CFG ∽△ ADG . ∴ CF ∶ AD ＝ FG ∶ DG . ∵ BF ＝ CF ＝ BC ＝ AD ， DG ＝4， ∴ ＝ .解得 FG ＝2. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型二　斜交型 基本图形如下： 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，点 D ， E 分别在△ ABC 的边 AB ， AC 上，且 AB ＝ 9， AC ＝6， AD ＝3.要使△ ADE 与△ ABC 相似，则 AE 的长 为 ⁠. 2或 　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】要使△ ADE 与△ ABC 相似，应分△ ADE ∽△ ABC 和△ AED ∽△ ABC 讨论. 【解析】①当∠ ADE ＝∠ B 时， ＝ ，即 ＝ .解得 AE ＝2； ②当∠ AED ＝∠ B 时， ＝ ，即 ＝ .解得 AE ＝ . 故答案为2或 . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】对于两个三角形相似，若无明确给出相似符号 （∽），则一般有三种情形.而此题中，由于有公共角，故只 有两种情形.解题的关键是明确分类，并熟练运用相似三角形 的判定. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 1. 如图，点 D 为△ ABC 的边 AC 上一点，连接 BD ，且△ ABC ∽△ ADB . 若 AB ＝2 AD ＝2，则 CD 的长为 ⁠. （第1题图） 3　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 2. 如图，在△ ABC 中， D ， E 分别是 AB ， AC 上的点， AF 平分 ∠ BAC ，交 DE 于点 G ，交 BC 于点 F . 若∠ AED ＝∠ B ，且 AG ∶ GF ＝2∶1，则 DE ∶ BC ＝ ⁠. （第2题图） 2∶3　 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【解析】∵ AF 平分∠ BAC ， ∴∠ CAF ＝∠ BAF . 又∵∠ AED ＝∠ B ， ∴△ AGE ∽△ AFB . ∴ ＝ . ∵∠ AED ＝∠ B ，∠ DAE ＝∠ CAB ， ∴△ ADE ∽△ ACB . ∴ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∴ ＝ . ∵ AG ∶ GF ＝2∶1， ∴ ＝ ＝ . 故答案为2∶3. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型三　垂直型 基本图如下： 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，折叠矩形 ABCD ，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，折 痕为 AE . （1）求证：△ ABF ∽△ FCE ； （2）若 CF ＝4， EC ＝3，求矩形 ABCD 的面积. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】（1）已知∠ B ＝∠ C ＝90°，要证明△ ABF ∽△ FCE ，只需再找一组对应角相等即可；（2）根据△ ABF ∽△ FCE ，得出 ＝ ，进而可以解决问题. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ B ＝∠ C ＝∠ D ＝90°. ∴∠ BAF ＋∠ AFB ＝90°. 由折叠可知，∠ AFE ＝∠ D ＝90°. ∴∠ AFB ＋∠ CFE ＝90°. ∴∠ BAF ＝∠ CFE . ∴△ ABF ∽△ FCE . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）解：∵ CF ＝4， EC ＝3，∠ C ＝90°， ∴ EF ＝5，∴ DE ＝ FE ＝5. ∴ AB ＝ CD ＝3＋5＝8.∵△ ABF ∽△ FCE ， ∴ ＝ .∴ ＝ . 解得 BF ＝6. ∴ BC ＝ BF ＋ FC ＝6＋4＝10. ∴矩形 ABCD 的面积＝ AB · BC ＝8×10＝80. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【点拨】（1）翻折前后图形对应全等，对应角相等、对应边相 等.（2）本题中，∠ B ＝∠ AFE ＝∠ C ＝90°，称△ ABF ∽△ FCE 这样的相似为“一线三垂直相似”（或“K”型相似）， 注意“横纵对应”，即 AB 与 FC 是对应边， BF 与 CE 是对应边. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， BD ⊥ AC ，点 E 为 BD 的中 点，连接 AE 并延长交 BC 于点 F ，且 AF ＝ CF ，过点 F 作 FH ⊥ AC 于点 H . 求证： （1）△ ADE ∽△ CDB ； 证明：（1）∵ BD ⊥ AC ， FH ⊥ AC ， ∴∠ ADE ＝∠ CDB ＝90°， BD ∥ FH . 又∵ AF ＝ CF ，∴∠ DAE ＝∠ DCB . ∴△ ADE ∽△ CDB . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2） AE ＝2 EF . 证明：（2）∵点 E 为 BD 的中点， ∴ DE ＝ BE ＝ BD . 由（1）知，△ ADE ∽△ CDB ， ∴ ＝ ＝ . 设 AD ＝ a （ a ＞0），则 CD ＝2 a ， AC ＝ AD ＋ CD ＝3 a . ∵ FH ⊥ AC ， AF ＝ CF ， 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∴ AH ＝ CH ＝ AC ＝ a . ∴ DH ＝ AH － AD ＝ a . 又∵ BD ∥ FH ， ∴ ＝ ＝ ＝2. ∴ AE ＝2 EF . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 类型四　旋转型 基本图形如下： 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在△ ABC 与△ ADE 中，∠ ACB ＝∠ AED ＝90°， ∠ ABC ＝∠ ADE ，连接 BD ， CE . 若 AC ∶ BC ＝3∶4， CE ＝6， 求 BD 的长. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 【思路导航】根据相似三角形的判定得出△ ABC 与△ ADE 相 似，得出∠ BAC ＝∠ DAE ，进而证明△ ACE 与△ ABD 相似，利 用相似三角形的性质求解. 解：∵∠ ACB ＝∠ AED ＝90°，∠ ABC ＝∠ ADE ， ∴△ ABC ∽△ ADE . ∴∠ BAC ＝∠ DAE ， ＝ . ∴∠ BAC ＋∠ BAE ＝∠ DAE ＋∠ BAE ， ＝ ， 即∠ CAE ＝∠ BAD ， ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 ∴△ ACE ∽△ ABD . ∴ ＝ . ∵ AC ∶ BC ＝3∶4，∠ ACB ＝90°， ∴ AC ∶ BC ∶ AB ＝3∶4∶5. ∴ CE ∶ BD ＝3∶5. ∵ CE ＝6， ∴ BD ＝10. 【点拨】解答本题的关键是根据相似三角形的判定得出△ ABC 与△ ADE 相似.此类题中，容易被复杂的边角关系扰乱思路，从 而出错，故转化过程中应仔细，并检查. 数学 九年级上册 BS版 返回目录 如图，在正方形 ABCD 中，已知点 F 是 BC 边上一点，连接 AF ， 以 AF 为对角线作正方形 AEFG ，边 FG 与正方形 ABCD 的对角线 AC 相交于点 H ，连接 DG . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （1）证明：△ AFC ∽△ AGD ； （1）证明：∵四边形 ABCD ， AEFG 都是正方形，∴ ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ . ∵∠ CAF ＋∠ GAC ＝∠ DAG ＋∠ GAC ＝45°， ∴∠ CAF ＝∠ DAG . ∴△ AFC ∽△ AGD . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 （2）若 ＝ ，求 的值. （2）解：∵ ＝ ， ∴可设 BF ＝ k ，则 CF ＝2 k ， AB ＝ BC ＝3 k . ∴ AF ＝ ＝ ＝ k ， AC ＝ AB ＝3 k . ∵四边形 ABCD ， AEFG 都是正方形， ∴∠ AFH ＝∠ ACF . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 又∵∠ FAH ＝∠ CAF ， ∴△ AFH ∽△ ACF . ∴ ＝ . ∴ ＝ ＝ ＝ . 数学 九年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 九年级上册 BS版 $$