2024年广东省数学中考题型训练7——尺规作图

尺规作图 角、边 1. 如图，在中，点是边上的一点. （1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的值. 2. 如图，△ABC中，AB＝AC．求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，并证明你作图的正确性．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 3. 尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a． 4. 如图，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC． （1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CD，使∠ACD=∠ABC；（不写作法，必须保留作图痕迹） （2）若（1）中的射线CD交AB于点E，AB=8，AC=6，求AE的长． 角平分线 5. 如图，在□ABCD中，AB=5，BC=8. （1）作∠ABC的角平分线交线段AD于点E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）： （2）在（1）的条件下，求ED的长。 6. 如图，在中，∠C=90°. （1）用尺规作图作∠BAC的角平分线，交BC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法、证明)； （2）若BC=，AB=4，求AD的长度． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°． （1）按以下步骤作图并保留作图痕迹． ①以点A为圆心，以小于AC长为半径画弧，交AC于点E，交AB于点F； ②分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径画弧，两弧在Rt△ABC的内部相交于点M； ③画射线AM交BC于点D． （2）求证：AD是∠BAC的平分线． 8. 如图，A∠MON边OM上一点，AE∥ON． （1）尺规作图，作∠MON的角平分线OB，交AE于点B；（保留作图痕迹，不写作法） （2）过点B画OB的垂线，分别交OM，ON于点C，D，求证：AB＝OC． 9. 如图，平行四边形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），B（7，0），作∠AOB的平分线交AC于点G，并求线段CG的长，（要求尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 10. 如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=6，AC=8 （1）请画出△ABC的内切圆，圆心为O； （2）请计算出⊙O的半径． 高 11. 如图，已知锐角△ABC． （1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，若BC＝5，AD＝4，tan∠BAD，求DC的长． 12. 如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°． （1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母． （2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求的长． 13. 如图所示，已知锐角． (1)过点A作BC边的垂线AD，交CB的延长线于点D（尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在(1)的条件下，若 求BC的长． 中线 14. （6分）（2016•广东）如图，已知△ABC中，D为AB的中点． （1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，若DE＝4，求BC的长． 垂直平分线 15. 如图，在△ABC中，∠A＞∠B． （1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数． 16. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°， （1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数． 17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等． （1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹． （2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°． （1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连结AP，若AC=4，BC=8时，试求BP的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，坐标为（0，3），点B在x轴上． （1）在坐标系中求作一点M，使得点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，在图中保留作图痕迹，不写作法； （2）若sin∠OAB=，求点M的坐标． 20. 如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC． （1）利用直尺与圆规先作∠ACB的平分线，交AD于F点，再作线段AB的垂直平分线，交AB于点E，最后连接EF． （2）若线段BD的长为6，求线段EF的长． 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） 答案 角、边 1. 如图，在中，点是边上的一点. （1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的值. 19.解：（1）如图. （2）∵， ∴. ∴. ∴. 2. 如图，△ABC中，AB＝AC．求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，并证明你作图的正确性．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【分析】分别以B，C为圆心，以AB长画弧，两弧相交一点，即为D点． 【解答】解：如图即为所求作的菱形 理由如下： ∵AB＝AC，BD＝AB，CD＝AC， ∴AB＝BD＝CD＝AC， ∴四边形ABDC是菱形． 3. 尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a． 【详解】如图所示， △ABC为所求作. 【点睛】本题考查了尺规作图——基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角、过直线外一点作已知直线的垂线的方法是解题的关键. 4. 如图，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC． （1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CD，使∠ACD=∠ABC；（不写作法，必须保留作图痕迹） （2）若（1）中的射线CD交AB于点E，AB=8，AC=6，求AE的长． 解：（1）如图，CD为所作； （2）∵∠ACE=∠ABC，∠CAE=∠BAC， ∴△ACE∽△ABC，∴AE：AC=AC：AB， 即AE：6=6：8，∴AE=． 角平分线 5. 如图，在□ABCD中，AB=5，BC=8. （1）作∠ABC的角平分线交线段AD于点E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）： （2）在（1）的条件下，求ED的长。 解：（1）如图所示，BE为所求； （2）在□ABCD中 ∵AB//CD，AD=BC=8；∴∠AED=∠EBC ∵BE平分∠ABC；∴∠ABE=∠EBC ； ∴∠ABE=∠AEB ∴AE=AB=5 ；:∴DE=AD-AE=3 6. 如图，在中，∠C=90°. （1）用尺规作图作∠BAC的角平分线，交BC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法、证明)； （2）若BC=，AB=4，求AD的长度． 解：（1）如图所示； （2）解：在Rt中， 即 ； 由勾股定理得： 在Rt中， ；即 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°． （1）按以下步骤作图并保留作图痕迹． ①以点A为圆心，以小于AC长为半径画弧，交AC于点E，交AB于点F； ②分别以点E，F为圆心，以大于EF长为半径画弧，两弧在Rt△ABC的内部相交于点M； ③画射线AM交BC于点D． （2）求证：AD是∠BAC的平分线． （1）解：如图所示： （2）证明：连接EM、FM，根据作图可的AE=AF，EM=FM， 在△AEM和△AFM中， ，∴△AEM≌△AFM（SSS）， ∴∠CAD=∠BAD，∴AD是∠BAC的平分线． 8. 如图，A∠MON边OM上一点，AE∥ON． （1）尺规作图，作∠MON的角平分线OB，交AE于点B；（保留作图痕迹，不写作法） （2）过点B画OB的垂线，分别交OM，ON于点C，D，求证：AB＝OC． （1）如图 （2）如图准确画出的垂线， 证明：∵是的角平分线 ∴；又∵， ∴≌；∴∴是中点 ；又∵ ； ∴点是的中点；∴是的中位线；∴；又∵；∴ 9. 如图，平行四边形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），B（7，0），作∠AOB的平分线交AC于点G，并求线段CG的长，（要求尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【详解】解：如图，就是所求的的平分线. 的顶点，，，， 在中，. 由题意可知平分，， 又，，，. 的顶点，，. 10. 如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=6，AC=8 （1）请画出△ABC的内切圆，圆心为O； （2）请计算出⊙O的半径． 【解答】（1） 高 11. 如图，已知锐角△ABC． （1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，若BC＝5，AD＝4，tan∠BAD，求DC的长． 【解答】解：（1）如图， （2）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在Rt△ABD中，∵tan∠BAD，∴BD4＝3， ∴CD＝BC﹣BD＝5﹣3＝2． 12. 如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°． （1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母． （2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）π． 【解析】解：（1）如图，⊙C为所求； （2）∵⊙C切AB于D，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°， ∴∠DCE=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=30°， 在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，∴CD=3cos30°=， ∴的长==π． 13. 如图所示，已知锐角． (1)过点A作BC边的垂线AD，交CB的延长线于点D（尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在(1)的条件下，若 求BC的长． 【解答】 中线 14. 如图，已知△ABC中，D为AB的中点． （1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，若DE＝4，求BC的长． 【解答】解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点． （2）∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，DEBC，∵DE＝4，∴BC＝8． 垂直平分线 15. 如图，在△ABC中，∠A＞∠B． （1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数． 【解答】解：（1）如图所示； （2）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B＝50°，∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝100°． 16. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°， （1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数． 【解答】解：（1）如图所示，直线EF即为所求； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C． ∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，∴∠C＝∠A＝30°， ∵EF垂直平分线段AB，∴AF＝FB，∴∠A＝∠FBA＝30°， ∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°． 17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点D到点A的距离与点D到点C的距离相等． （1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹． （2）若△ABC的底边长5，周长为21，求△BCD的周长． 【解答】解：（1）点D如图所示； （2）∵DE垂直平分线线段AC， ∴AD＝DC， ∴△CDB的周长＝BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝BC+AB， ∵AB+AC+BC＝21，BC＝5， ∴AB＝AC＝8， ∴△CDB的周长为13． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°． （1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连结AP，若AC=4，BC=8时，试求BP的长． 解：（1）如图所示，点P为所作的点； (2)、设BP=x，则AP=x，CP=BC﹣PB=8﹣x， 在Rt△ACP中，∵PC2+AC2=AP2， ∴（8﹣x）2+42=x2，解得x=5， 即BP的长为5． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，坐标为（0，3），点B在x轴上． （1）在坐标系中求作一点M，使得点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，在图中保留作图痕迹，不写作法； （2）若sin∠OAB=，求点M的坐标． 【答案】(1)作图见解析；（2）（2，）． 【解析】解：（1）如图所示：点M，即为所求； （2）∵sin∠OAB=，∴设OB=4x，AB=5x， 由勾股定理可得：32+（4x）2=（5x）2，解得：x=1， ∴OB=4，由B（4，0）， 由作图可得：M为AB的中点，则M的坐标为：（2，）． 20. 如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC． （1）利用直尺与圆规先作∠ACB的平分线，交AD于F点，再作线段AB的垂直平分线，交AB于点E，最后连接EF． （2）若线段BD的长为6，求线段EF的长． 【答案】（1）所作图形见解析；（2）EF＝3. 【详解】（1）所作图形如下： （2）∵CF平分∠ACB;∴∠ACF＝∠BCF 又∵DC＝AC;∴CF是△ACD的中线 ∴点F是AD的中点; ∵点E是AB的垂直平分线与AB的交点 ∴点E是AB的中点;∴EF是△ABD中位线 ∴EF＝BD＝3. 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图所示：⊙O即为所求． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$