精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗达拉特旗第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题

达旗一中2023-2024春季学期高一年级期中考试 数 学 总分：150分；考试时间：120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名填写在答题卡上，并在指定位置粘贴条形码. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，应使用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写到答题卡上，且必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合，求解中的元素，即可求出集合. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2. 在复平面内，复数 (i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】分析：首先求得复数z，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：， 则，其对应的点位于第四象限. 本题选择D选项. 点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3. “，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由正切函数性质，应用定义法判断条件间充分、必要关系. 【详解】当，，则， 当时，，. ∴“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知，，，则，，的大小关系是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性即可得出． 【详解】解：在定义域上单调递减, 所以， 又， ， 故选：． 【点睛】本题考查了指数函数的单调性，属于基础题． 5. 在中，已知，则此三角形（ ） A. 有一解 B. 有两解 C. 无解 D. 无法判断有几解 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正弦定理计算判断作答. 【详解】在中，，由正弦定理得， 而，有，即A为锐角，所以此三角形有一解． 故选：A 6. 已知函数(，，)的部分图象如图所示，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 结合图象，依次求得的值. 【详解】由图象可知，，所以， 依题意，则， ，所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 7. 已知平行四边形中，为边的中点，与相交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由平面几何得到，再利用平面向量的线性运算得到，从而得解. 【详解】为边的中点，， ， 又，. 故选：A. . 8. 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设底面半径为r，母线为l，由轴截面是等腰直角三角形得，代入求出r和l，再求出圆锥的高，代入体积公式计算． 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线为l， 圆锥的轴截面是等腰直角三角形， ，即， 由题意得，侧面积， 解得， ，圆锥的高， 圆锥的体积， 故选：A． 【点睛】本题考查圆锥的体积、侧面积，以及轴截面问题，属于基础题． 二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，是两个平面，则下列条件可以得到的是（ ） A. 平面内的任何一条直线，都有 B. 平面内有无数条直线与平面平行 C. 平面内任意一条直线与平面内的任意一条直线都没有公共点 D. 平面内有两条相交直线都在平面外 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面与平面平行的性质判断各选项即可. 【详解】若不成立，则与相交，那么与内的任一条直线都与无公共点矛盾，故A、C正确； 对于B，平面与平面也可能相交，故B错误； 对于D，在平面外，可以是平行，也可以是相交，故D错误. 故选：AC. 10. 已知，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】分和两种情况，分别判断出与的大小关系，对四个选项一一验证即可得到答案. 【详解】∵且， ∴当，即时，不等式可化为，即， ∴，，. ∴当，即时，不等式可化为，即， ∴，，. 故AD正确，BC错误. 故选：AD. 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 为钝角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用正弦定理得到之间的关系；然后根据角对应的余弦定理求解出的值；先求解出的值，然后结合正弦定理可求的值；根据为负值，可判断出三角形的形状. 【详解】因为，所以，所以，故A正确； 因为，且， 所以，所以，故B错误； 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以，故C正确； 由可知，所以为钝角三角形，故D正确； 故选：ACD. 12. 函数，下列四个选项正确的是（ ） A. 是以为周期的函数 B. 的图象关于直线，（）对称 C. 当且仅当，（）时，取得最小值-1 D. 当且仅当，（）时， 【答案】BD 【解析】 【分析】首先将函数的解析式化简得到，由可判断A，对于BD选项，因为函数的周期为，都只需要验证函数的一个周期内成立即可，B选项根据解析式判断是否成立；对于D选项将分成和两段，分别求出函数的值域；对于C选项将，分两种情况和，代入函数的解析式，验证是否能够取得函数的最小值； 【详解】 因为和的周期为， 所以对任意的，恒成立 所以函数的周期为， 且 所以函数的周期不是， 故A选项错误； 在一个周期内， 当， 则， ， 当， 则， ， 综上：对于任意都成立， 则函数图像关于直线对称， 又因为函数的周期为， 所以图象关于直线对称，故B选项正确； 当，取得最小值， 而当，不是最小值，故C选项错误； 当时， 当时， 所以时，， 又因为函数的周期为， 所以当且仅当时，，故D选项正确； 故答案为：BD 三. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的坐标表示，结合向量共线的坐标表示计算即得. 【详解】由，得， 由，得，解得，则， 所以. 故答案为： 14. 已知一个圆台的上、下底面圆半径分别为2、5，高为4，则这个圆台的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆台侧面积公式进行求解即可. 【详解】因为圆台的上下底面圆的半径分别为2与5，高为4， 所以圆台的母线为：， 所以圆台的侧面积为：， 故答案为： 15. 已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性列出不等式求解即得. 【详解】由函数在R上是增函数，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 16. 在正方体中，为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】作辅助线，证明、，将问题转化为求的余弦值；再求出的三条边长，利用余弦定理即可得出答案. 【详解】设正方体边长为1， 取的中点，连接、， 因为点、分别为、的中点， 所以且， 所以且，四边形为平行四边形， 所以， 连接、，交点记为点，连接， 因为点、分别为、的中点， 所以 所以直线与直线所成的角，即直线与直线所成的角， 即为或其补角， 在中，， ， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故答案为：. 四. 解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1）0 （2）2 【解析】 【分析】（1）利用指数运算法则及指数式与对数式互化计算即得. （2）利用对数运算法则求解即得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 18. 如图，在正方体中，，点E，F分别为的中点，点G在上． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 连接交于点，连接，，， 由题意得点是中点，因为点是中点， 所以，又平面平面， 所以平面， 因为点是中点，易得，又平面平面， 所以平面， 因为面， 所以面面，因为面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行及面面平行的判定定理证明面面，进而利用面面平行的性质即得； （2）根据三棱锥体积公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得面，所以是三棱锥的高， 所以. 19. 按要求作答： （1）已知向量，若，求的取值范围. （2）已知向量，满足，，且，求的值 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的运算律求得，再利用基本不等式求出范围即得. （2）利用数量积的运算律求出模及数量积，再利用夹角公式计算即得. 【小问1详解】 由向量，得， 由，得， 即，因此，当且仅当，即取等号， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 由，得，而，， 则，即，于是， ，则，同理， 又， 所以. 20. 如图，在四棱锥中，，，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）试判断与平面是否平行？并说明理由. 【答案】（1）证明：取PC的中点F，连接EF，BF， 则，且， 又因为，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）与平面不平行，理由为： 假设面， 设，连结， 则平面平面， 又平面， 所以. 所以，在中有， 由为的中点可得，即. 因为，所以，这与矛盾， 所以假设错误，与平面不平行. 【解析】 【分析】（1）可结合中位线定理证明，取PC的中点F，连接EF，BF，先证明四边形为平行四边形，可得，即可得证； （2）可采用反证法，假设与平面平行，先证为中点，再通过相似三角形可得，即证出矛盾，故不成立 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查线面平行的证明，反证法在线面平行中的应用，属于中档题 21. 已知复数，其中，是虚数单位. （1）若，求与的值. （2）设复数在复平面上对应向量分别为，若且，求的单调区间. 【答案】（1）或； （2）递增区间为，，递减区间为. 【解析】 【分析】（1）利用复数相等建立方程组，再求解即得. （2）利用向量垂直的坐标表示求出函数，再利用正弦函数性质求出单调区间. 【小问1详解】 由及， 得，则且， 解，，得或， 当时，，当时，， 所以或. 【小问2详解】 依题意，，由， 得，因此 ，由，得， 由或，得或， 由，得， 所以的单调递增区间为，，递减区间为. 22. 在中，已知，N是BC的中点，M是的外心. （1）若，求AN的长. （2）当变化时，猜一个理想角，使得易求的值，并证明对任意的，为定值. 【答案】（1） （2） 当，外心与中点重合， 所以， AI    当为任意角时，如图，过外心作的垂线，垂足为， 则， 同理， 所以 【解析】 【分析】（1）由于已知两边一角，利用余弦定理可求得，再利用邻补角来引出两个余弦定理，联立得一个方程来解，即可； （2）先利用特殊的直角，得到两点重合，两向量积易求，再推广到任意角，则用到外心在中垂线上，可以对向量进行线性运算，最后也可以求出结果. 【小问1详解】 由余弦定理得：， 代入，可得， ，即， 再由余弦定理得：， 由，所以上面两式相加得： . 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达旗一中2023-2024春季学期高一年级期中考试 数 学 总分：150分；考试时间：120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名填写在答题卡上，并在指定位置粘贴条形码. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.回答非选择题时，应使用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写到答题卡上，且必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数 (i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. “，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，则，，的大小关系是　　 A. B. C. D. 5. 在中，已知，则此三角形（ ） A. 有一解 B. 有两解 C. 无解 D. 无法判断有几解 6. 已知函数(，，)的部分图象如图所示，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 已知平行四边形中，为边的中点，与相交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9. 已知，是两个平面，则下列条件可以得到的是（ ） A. 平面内的任何一条直线，都有 B. 平面内有无数条直线与平面平行 C. 平面内任意一条直线与平面内的任意一条直线都没有公共点 D. 平面内有两条相交直线都在平面外 10. 已知，且，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 为钝角三角形 12. 函数，下列四个选项正确的是（ ） A. 是以为周期的函数 B. 的图象关于直线，（）对称 C. 当且仅当，（）时，取得最小值-1 D. 当且仅当，（）时， 三. 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，若，则________. 14. 已知一个圆台的上、下底面圆半径分别为2、5，高为4，则这个圆台的侧面积为______． 15. 已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围为________. 16. 在正方体中，为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为_______. 四. 解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算： （1）； （2）. 18. 如图，在正方体中，，点E，F分别为的中点，点G在上． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 19. 按要求作答： （1）已知向量，若，求的取值范围. （2）已知向量，满足，，且，求的值 20. 如图，在四棱锥中，，，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）试判断与平面是否平行？并说明理由. 21. 已知复数，其中，是虚数单位. （1）若，求与的值. （2）设复数在复平面上对应向量分别为，若且，求的单调区间. 22. 在中，已知，N是BC的中点，M是的外心. （1）若，求AN的长. （2）当变化时，猜一个理想角，使得易求的值，并证明对任意的，为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $