第六～八章综合测试-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六～八章综合测试 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知复数z 满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知向量，.若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 4. 在中，内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若一个圆台的高为，母线长为，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中,分别为角的对边),则的形状为 A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知外心是点，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥的所有顶点都在球的球面上.棱锥的各棱长为：，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两条直线m，n和平面，那么下列命题中假命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ） A. 若，则的形状是等腰三角形 B. ，，若，则这样的三角形有两个 C. 若，则面积的最大值为 D. 若的面积，，则的最大值为 11. 定义：已知两个非零向量与的夹角为．我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即．则下列命题中正确的有（ ） A. 若平行四边形ABCD的面积为4，则 B. 在正△ABC中，若，则 C. 若，则的最小值为2 D. 若，，且为单位向量，则的值可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则向量与的夹角大小为______. 13. 在中，，，其面积为，则_______． 14. 已知棱长相等的正三棱锥底面的三个顶点均在以为球心的球面上（其中为的中心），球面与棱分别交于点．若球的表面积为，则多面体的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，复数（是虚数单位）. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 16. 已知平面向量，. （1）当实数m为何值时，与垂直； （2）若与所成的角为锐角，求实数k的取值范围. 17. 如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，D，E，F分别是棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）若，求三棱锥的体积. 18. 已知为锐角三角形，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且，. （1）若，求的面积； （2）求的取值范围. 19. 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花． （1）求该烟花的体积； （2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，在弧上，在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）， ①请用表示燃料的体积； ②若烟花燃烧时间和燃料体积满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六～八章综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A D D B A A B ABD ACD ACD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知复数z 满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 解： ， 所以 2. 已知向量，.若，则（ ） A. B. C. D. 解：向量，； 若，则， 即， 解得. 3. 已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 解：根据斜二测画法的规则，所给的直观图对应的原平面图形，如图， 其中 ，， 所以这个平面图形的面积为. 4. 在中，内角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 解：由题可得：，由正弦定理得： ，故， 5. 若一个圆台的高为，母线长为，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线为， 则圆台的侧面积，可得， 又因为圆台的高为，可知，故有， 圆台的体积． 6. 在中,分别为角的对边),则的形状为 A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 解：依题意，利用正弦定理及二倍角公式得，即，又，故，三角形中，故，故三角形为直角三角形. 7. 已知外心是点，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 解：由，即，故为中点， 又是外心，故为直角三角形，故， 又，则，故，， 则. 8. 三棱锥的所有顶点都在球的球面上.棱锥的各棱长为：，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 解：由题意知：，，， ∴两两垂直，即为直三棱锥， ∴若的外接圆半径为，则，又面， ∴外接球心到的距离为，故外接球半径， ∴外接球表面积. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两条直线m，n和平面，那么下列命题中假命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 解：A选项，若，，则与平面的关系可以是相交，平行或在面内，故A错； B选项，若，，则与平面的关系可以是在面内，或平行，故B错； C选项，若，，根据线面垂直的性质，可得，故C正确； D选项，若，，则与的关系可以是相交，异面或平行，故D错. 10. 在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（ ） A. 若，则的形状是等腰三角形 B. ，，若，则这样的三角形有两个 C. 若，则面积的最大值为 D. 若的面积，，则的最大值为 解：选项A：由，可得，化简得，则的形状是等腰三角形.判断正确； 选项B：由，，，则有， 由，可得，则, 则满足条件的三角形仅有一个.判断错误； 选项C：由，可得 则（当且仅当时等号成立），解之得 则面积.判断正确； 选项D：由的面积，可得 化简得，又，则 又，则，则，（当且仅当时等号成立） 即的最大值为.判断正确. 11. 定义：已知两个非零向量与的夹角为．我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即．则下列命题中正确的有（ ） A. 若平行四边形ABCD的面积为4，则 B. 在正△ABC中，若，则 C. 若，则的最小值为2 D. 若，，且为单位向量，则的值可能为 解：对于A，因为平行四边形ABCD的面积为4，所以，所以，故A正确； 对于B，设正的边边上的中点为，则， 因为，所以， 所以，所以B错误； 对于C，因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以C正确； 对于D，若，，且为单位向量，则当时，可以等于， 此时，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则向量与的夹角大小为______. 解：向量，则. 因为向量夹角范围为,所以向量与的夹角大小为. 13. 在中，，，其面积为，则_______． 解：依题意，， 由余弦定理得，， 由正弦定理得. 14. 已知棱长相等的正三棱锥底面的三个顶点均在以为球心的球面上（其中为的中心），球面与棱分别交于点．若球的表面积为，则多面体的体积为______． 解：设球的半径为，由，得， 依题意，三棱锥为正四面体，且， 设正四面体的棱长为．在等边三角形中， 由正弦定理可得，即，解得， 因为平面，平面，所以， 所以， 作，垂足为H，在中，由， 得， 所以在中，， 因为，， 所以为线段的中点，所以，所以， 依题意，多面体为正三棱台， 所以，即， 又， 所以正三棱台的体积为， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，复数（是虚数单位）. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 解：（1）因为是纯虚数，所以解得 故的值为； （2）在复平面内对应的点为， 由题意可得. 解得， 即的取值范围是. 16. 已知平面向量，. （1）当实数m为何值时，与垂直； （2）若与所成的角为锐角，求实数k的取值范围. 解：（1）因为，，所以，，. 因为与垂直， 所以, 即，解得, 故实数m的值为. （2）, , 因为与所成的角为锐角， 所以，且与不共线， 即，解得 当与共线时，，解得， 故， 综上可知，实数k的取值范围为 17. 如图，在三棱柱中，平面，是等边三角形，D，E，F分别是棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）若，求三棱锥的体积. 解：（1）证明：连接， ∵E，F分别是棱AC，BC的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵D，F分别是棱，的中点，∴，， ∴四边形是平行四边形，则， ∵平面，平面，∴平面， ∵，平面，且，∴平面平面， ∵平面，∴平面； （2）连接，∵E为AC中点，∴， 由题意，，∴， 作于G，则面，是边长为的等边三角形，有，即三棱锥的高为， ∴. 18. 已知为锐角三角形，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且，. （1）若，求的面积； （2）求的取值范围. 解：（1）因为， 所以 即 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 由余弦定理得，即， 整理得，解得（舍）或， 所以的面积为. （2）由正弦定理知，， 所以 ， 因为为锐角三角形， 所以，且，解得， 所以， 则，故的取值范围为 19. 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花． （1）求该烟花的体积； （2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，在弧上，在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）， ①请用表示燃料的体积； ②若烟花燃烧时间和燃料体积满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间． 解：（1）该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成， 又，，， 所以该烟花的体积； （2）①由图可知：，， 在梯形中，由，， 易知，故， 则， 所以； （2）由上问可知： 即 ， 令，则， 上式即为， 又令，，则， 当时，， 当时，， 当时， 当且仅当，即，即时，等号成立，满足题意． 该烟花燃烧的最长时间为． 学科网（北京）股份有限公司 $$