决胜2024年中考数学解答题：反比例函数5大考点汇总与跟踪训练

决胜2024年中考数学解答题：反比例函数5大考点汇总与跟踪训练 5大考点汇总 考点1：反比例函数的图像与性质 考点2：反比例函数系数K的几何意义 考点3：反比例函数与一次函数综合 考点4：反比例函数与实际问题 考点5：反比例函数与几何问题 5大考点跟踪训练 考点1：反比例函数的图像与性质 1．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点． (1)求点A的坐标和反比例函数的表达式． (2)若点在该反比例函数的图象上，且它到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围． 2．已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． (1)求的值； (2)若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点关于原点中心对称时，求点坐标； ②当时，求的取值范围． 3．已知一个矩形的面积为6，长为，宽为． (1)与之间的函数表达式为___________________； (2)在图中画出该函数的图象： 列表： 1 2 3 4 6 6 3 1 上面表格中的值是__________； 描点：在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点； 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象． (3)判断是否在这个函数图象上？ (4)若点与点是该函数图象上的两点，试比较和的大小． 4．对于函数P与函数Q作如下定义；若函数P与函数Q只有一个公共点，则称函数P与函数Q互为“融创函数”，唯一的公共点记为． (1)下列函数与一次函数互为“融创函数”的是_______， ①；②﹔③． (2)若函数与函数互为“融创函数”，定义函数，若函数y上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，函数y上自变量（横坐标）为的点的函数值记为，且当，恒有，求n的取值范围； (3)已知函数与函数互为“融创函数”，若将函数向左平移个单位得到函数M．若函数P与函数M有两个交点记为A、B，求线段长度的最大值． 考点2：反比例函数系数K的几何意义 5．如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)连接，直接写出的面积． 6．已知点，点B的横坐标为均在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，过点B作轴于D，交反比例函数的图象于点C，连接 (1)当时，求直线AC的解析式； (2)是否存在一个m，使得，若存在，求出m的值，不存在，说明理由． 7．如图，直线分别交轴、轴于、两点，交反比例函数的图像于、两点．若，且的面积为． (1)求的值； (2)当点的横坐标为时，求的面积． 8．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴于点，连接． (1)求k，b的值和点B的坐标； (2)将沿轴向右平移，对应得到，当反比例函数图象经过的中点时，求的面积； (3)在第一象限内的双曲线上求一点，使得． 考点3：反比例函数与一次函数综合 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，且．    (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)设M是x轴上一点，当时，求点M的横坐标． 10．如图，一次函数的图象与y轴交于点，与反比例函数的图象交于点、，将直线绕点A逆时针旋转后与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求证：是等腰直角三角形． 11．如图，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点． (1)求反比例函数的解析式； (2)点在点的下方，过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，求点的坐标． 12．如图，一次函数的图象与y轴相交于点，与反比例函数的图象交于点，B． (1)求反比例函数和直线的解析式． (2)C为线段延长线上一点，作，与反比例函数交于点D，连接．当四边形为平行四边形时，求点C的坐标． 考点4：反比例函数与实际问题 13．小凡驾驶汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为千米，设小汽车的行驶时间为小时，行驶速度为千米/小时，且全程速度限定为不超过千米/小时． (1)求关于的函数表达式， (2)小凡上午点驾驶小汽车从地出发，需在当天点之前（含点）到达地，求汽车行驶速度的范围． 14．心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，10分钟后保持平稳一段时间，平稳时间持续14分钟，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，CD为反比例函数图象的一部分． (1)当时，请求出y关于x的函数解析式； (2)数学老师计划在课堂上讲解一道23分钟的推理题，请问他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于32？并说明理由． 15．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究： 试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表中的一组数据． 时间 5 10 15 20 25 … 水量 17 32 47 a 77 … (1)探究：根据上表中的数据，请判断和 （，为常数）哪个解析式能准确的反映水量y与时间t的函数关系？求出该解析式并写出漏记的a值； (2)应用： ①兴趣小组用量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？ ②成年人每天大约需饮水，请估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一位成年人饮用天数． 16．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量（不计托盘与横梁重量）． (1)左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为，长．当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求的取值范围； (2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 考点5：反比例函数与几何问题 17．如图，点在反比例函数 的图像上，过点 A作轴，垂足为点B，已知的面积为4． (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标； (2)点C是x轴负半轴上一点，请用直尺和圆规做出的平分线(要求：不写作法，保留作图痕迹)； (3)在（2）的条件下，①过点 A作轴，交于点D，②过点B作，交于点D，请从①②中任选一个作为已知条件，求出点D的横坐标(注：①②中的垂线均不需要使用尺规作图)． 18．如图，直线与反比例函数的图像交于点和点B，四边形是正方形，其中点C，D分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，过点D作，与反比例函数图象在第二象限内的部分相交于点F． (1)求m和k的值． (2)求点D的坐标． (3)连接，求的面积． 19．如图，过原点的直线分别与反比例函数和的图象交于A，B两点． (1)若，求点B的坐标； (2)过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两平行线交于点C．当直线中k取不同的值时，的面积是否变化？若不变，请求出的面积；若变化，请探究面积的变化规律． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕点O顺时针旋转得到，点B在反比例函数的图象上，连接．    (1)求k的值； (2)作关于直线对称的，点O，A，B的对应点分别为点，，，当反比例函数的图象恰好经过一边的中点时，求m的值； (3)若P为平面内一点，Q为双曲线上一点，是否存在点P和点Q，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)， (2)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． （1）先求出点A的坐标，再将点A坐标代入反比例函数解析式即可解决问题． （2）求出点B的坐标，利用数形结合的思想即可解决问题． 【详解】（1）将点代入得，， 解得， ∴点A的坐标为． 将A点坐标代入得，， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）如图， ∵正比例函数图象和反比例函数图象都关于坐标原点成中心对称， ∴点B的坐标为． ∵，，且点P到y轴距离小于2， ∴点P在直线的上方或在的下方， 故n的取值范围是或． 2．(1)3 (2)①；② 【分析】（1）根据反比例函数图象与性质，利用待定系数法列方程求解即可得到答案； （2）①利用反比例函数图象与性质，结合题意求出，利用待定系数法列方程求解即可得到答案；②利用反比例函数图象与性质，利用待定系数法求出，列不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数，点都在该反比例函数图象上， ，解得， ； （2）解：点都在该反比例函数图象上，且点和点关于原点中心对称， ， ，则，解得， ， 将代入得，解得， ； ②，则， ， ， ， ． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，涉及待定系数法确定、点的对称性质、解不等式等知识，熟练掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 3．(1) (2)，图见解析 (3)点在这个函数图象上 (4) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图象与性质等知识．熟练掌握反比例函数的应用，反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）由题意得，，进而可得与之间的函数表达式； （2）当时，，然后在坐标系中画图象即可； （3）当时，，进而可得点在这个函数图象上； （4）由图象可知，在第一象限内随着的增大而减小，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴与之间的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：当时，， 画图象如下； （3）解：当时，， ∴点在这个函数图象上； （4）解：由图象可知，在第一象限内随着的增大而减小， ， ． 4．(1)①③ (2) (3) 【分析】（1）根据函数的图象与所给函数图象的交点个数判断； （2）联立函数与函数，得到关于x的一元二次方程，根据只有一个交点可得，推出，再根据当，恒有，得出k的取值范围，即可求解； （3）联立函数与函数，得到关于x的一元二次方程，根据只有一个交点可得，解出，再联立函数与，根据函数P与函数M有两个交点，得出，解出．设，根据一元二次方程根与系数的关系可得，再根据两点间距离公式得出，即可求解． 【详解】（1）解：函数的图象为直线，与的图象有1个交点，与的图象有2个交点，与的图象有1个交点， ∴与一次函数互为“融创函数”的是①③， 故答案为：①③； （2）解：∵函数与函数互为“融创函数”， 联立，消去y得：． 则，即， ∵当，恒有， ∴点R在函数Q顶点的右侧， 即，解得， ∴， ∴． （3）解：∵函数与函数互为“融创函数”， 则联立，消去y得：． 则， 解得， ∴函数， ∴函数， 联立，消去y得：． ∵函数P与函数M有两个交点A，B； ∴， 整理得：． 设，则， ， ∴， ， ∴ ， ∴当，即，且满足， ∴线段AB长度的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的平移，一元二次方程根与系数的关系，两点间距离公式，利用二次函数求最值等，第三问计算量较大，有一定难度，解题的关键是求出函数M的解析式． 5．(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数解析式，反比例函数k的几何意义．掌握反比例函数图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）延长交y轴、x轴分别为A、B，得到，进而得到，求出即可求解； （3）根据题意得到，由即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， k的值为6； （2）解：如图，延长交y轴、x轴分别为A、B， ∵点 ∴， ∵点M、点N在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 的面积为； （3）解：的面积为．理由： ∵点M、点N在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ， 的面积是． 6．(1) (2)存在， 【分析】（1）先求出，坐标，然后用待定系数法求出结果即可； （2）根据点B的横坐标为，得出，，根据，得出，即，求出即可． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴， 把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， 当时，点C的横坐标为2， ∴把代入得：， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：存在；此时． ∵点B的横坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：，（舍去）． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． 7．(1) (2) 【分析】（1）由题意求得的面积为，作轴于，证得，即可求得的面积为，从而求得，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值； （2）由，求得，得到，把代入反比例函数解析式求得的坐标，根据待定系数法求得直线解析式，然后解析式联立，解方程组求得的坐标，最后根据即可求得． 【详解】（1）解：∵，且的面积为， ∴的面积为， 作轴于， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 根据题中所提供图形可知：反比例函数的图像位于二、四象限， ∴， ∴； （2）∵点的横坐标为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得：或， ∴， ∴ ∴的面积为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数系数的几何意义，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识点．解题的关键是：（1）求出的面积；（2）求得点的坐标． 8．(1)，， (2) (3) 【分析】（1）将A点坐标代入一次函数和反比例函数解析式，求出两个解析式后，再联立起来，即可解出B点坐标； （2）先在上取中点坐标N，得到M、N点的纵坐标是一样的，可算出M点坐标，再利用的面积计算求出的面积； （3）过点作轴的垂线，交轴于点，可知，然后在直线上方找一点，使得，关于对称，即满足，设，就得到，这样点坐标就出来了，然后算出直线的解析式，与反比例函数联立就可算出点P的坐标． 【详解】（1）解：将代入一次函数表达式与反比例函数表达式， 得，． 由， 解得，或， 点坐标为； （2）解：如图1，取中点，则点的坐标为，连接， 设点坐标为，代入，得， ， ； （3）解：如图2，过点作轴的垂线，交轴于点．设与交于点，过点G作轴，垂足为， ， ， ， ， ∴在直线上方找一点，使得，关于对称，即满足， 设点，，， ，点是的中点， ， ， ， 则有解得， ， 设直线的函数表达式为， 则， 解得： ∴直线的函数表达式为， 联立， 解得或（舍去）， 故点的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，三角函数值的应用、解一元二次方程等知识坐标与图形；熟练掌握一次函数与反比例函数的图像与性质，三角函数值的应用是解决本题的关键． 9．(1)； (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式和反比例函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． （1）先求出m的值，再用待定系数法求得到反比例函数的表达式和一次函数表达式； （2）先求出，可得，，即得，从而得出，再分当点M在x轴负半轴上及点M在x轴正半轴上时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）点在反比例函数的图象上 点在反比例函数的图象上 点代入到反比例 ，得， ， 将的坐标代入直线得， ，解得， 则直线； （2）如图1，    一次函数中，令，解得，令，解得， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，当点M在x轴负半轴上时，， ∴， ∴， ∴点M的横坐标为； 当点M在x轴正半轴上时，， ∵轴， ∴， 点M的横坐标为； 即点M的横坐标为， 故答案为． 10．(1)反比例函数为，一次函数为； (2)证明见解析 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理的应用，化为最简二次根式，求得交点坐标是解题的关键． （1）由，在反比例函数的图象上，得出，即可求C的坐标和反比例函数的解析式，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）利用勾股定理分别求解，，再结合勾股定理的逆定理可得答案． 【详解】（1）解：∵，在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴反比例函数为， ∵在的图象上， ∴， ∵一次函数的图象过点B、D， ∵，， ∴，解得， ∴一次函数为； （2）∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵由旋转可得：， ∴为等腰直角三角形． 11．(1) (2)点的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数综合运用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （）用待定系数法即可求解； （）根据题意得到，进而得到，过点作轴于点，过点作轴于点，易得，易证，由相似的性质得到，即可解答． 【详解】（1）解：将点的坐标代入直线的表达式得，， 解得， ∴一次函数的表达式为， 当时，， ∴， ∴， 将代入反比例函数表达式得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：点在下方，的面积是面积的倍， 则， ∴， 过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得， ∴． 12．(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)点C的坐标为 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点C的坐标为，根据平行四边形的对边相等，求出点坐标，代入反比例函数解析式求出的值即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为． 点在反比例函数的图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为． 设一次函数的解析式为． 点的一次函数的图象上， ． 将点代入，得，解得， 一次函数的解析式为． （2）四边形为平行四边形， ． 设点C的坐标为， 点D的坐标为， ， 解得，（舍去）， 点C的坐标为． 13．(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数关系的表示，根据函数表达式求函数值的取值方法，掌握函数表达式的运用是解题的管家． （1）根据行程问题中的数量关系即可求解； （2）把题意，，代入（1）中的解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，． （2）解：由题意得：， 因为， 所以．（其他方法合理亦可） 14．(1) (2)经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，注意力指标数不低于32 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用． （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）分别求出注意力指数为32时的两个时间，再将两时间之差与23比较，大于23则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：由题意可知：， 点的坐标为， 设反比例函数解析式为， 将代入，得：， 解得， 反比例函数解析式为， 将代入，得， 点D的坐标为， 点A的坐标为， 设时，求与的函数关系式为， 由图可得点B的坐标为， 将，代入，得， 解得， 与的函数关系式为； （2）当时，解得， ，解得． 经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，注意力指标数不低于32． 15．(1) (2)①的量筒没有装满；②81天 【分析】本题考查了反比例函数的应用，以及一次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据表格中的数据特点分析即可； （2）把代入求出y的值，与比较即可； ②求出30天的漏水量，进而可判断可供一位成年人饮用天数． 【详解】（1）∵， ∴表中的数据不符合． 观察表格， 可发现时间t每增加5分钟， 水量y增加15mL， 故可得 能正确反映水量y与时间t的函数关系． 把和代入得， 解得 ， ∴水量y与时间t的函数关系．   把代入得 （2）①把代入得 ∵ ∴的量筒没有装满   ②∵由函数解析式可知每分钟的滴水量为， ∴30天滴水量， (天) 答：这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一位成年人饮用81天． 16．(1)，． (2)空矿泉水瓶的重量为． 【分析】本题考查反比例函数的实际应用． （1）根据天平的杠杆原理，可以列出可以列出与之间的关系式：．即可得到反比例函数的解析式，再根据的取值范围求出的取值范围； （2）根据题意列出方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据链接中给的杠杆原理，可以列出与之间的关系式：． 将其化为关于的函数表达式：， 由于． ，即为． 的取值范围为． （2）解：根据素材2，设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为． 第一次称量时，，， 根据杠杆原理列出方程：． 第二次称量时，，， 根据杠杆原理列出方程： ． 可得方程组， 解得， 因此可得，空矿泉水瓶的重量为． 17．(1)，点A的坐标为 (2)图见解析 (3)①点D的横坐标为；②点D的横坐标为 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由的面积为4，结合的几何意义可得反比例函数的解析式，再由A的横坐标可得A的纵坐标； （2）按照尺规作图的要求作的平分线即可； （3）① 由勾股定理求得，由，平分，得到，，由此可得点D的横坐标；②过点D作轴，垂足为点E．设与交于点F，由平分，得到，证明，得到，求得，得到，由此可得点D的横坐标． 【详解】（1）的面积为4， ， ， 又 双曲线在第一象限， ， 反比例函数解析式为， 点A在双曲线上，且点 A 的横坐标为2， ， 点A的坐标为． （2）尺规作法：以任意合适长度为半径，顶点为圆心画圆弧，交角两边、于两点，然后分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半长度为半径，作圆弧交于点，连接即为所求作．如图所示， （3）第一种情况：过点 A作轴，交于点D，如图所示， 在中， ， ， ， 又平分， ， ， ， 点D的横坐标为 第二种情况：过点B作，交于点D，如图所示， 在中， ， 过点D作轴，垂足为点E．设与交于点F． 平分， ，又， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点D的横坐标为． 18．(1) (2) (3)6 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、求函数的解析式、正方形的性质、三角形全等的判定和性质、平行线间的距离相等等知识点，灵活运用相关判定和性质是解题的关 键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）如图：过点A作轴于点G，易证可得， ，即可求得点D的坐标； （3）利用中心对称求得B点的坐标，然后根据同底等高的三角形面积相等可知的面积的面积，据此即可解答． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图像交于点， ∴，解得：． （2）解：如图：过点A作轴于点G， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ， ∴.， 在和中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，连接， ∵直线与反比例函数的图像交于点和点B， ∴点B的坐标为， ∵， ∴. 19．(1)点B的坐标是 (2)的面积不变， 【分析】本题考查了反比例函数的综合运用，关键是根据设点的坐标，表示线段的长度． （1）将代入反比例函数得到点A的坐标，即可求出直线的函数表达式为，可得点B的横纵坐标相等，即可解答； （2）设，将其代入反比例函数求得反比例函数解析式，再求出点B的坐标，即可解答． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为且点A在反比例函数的图象上， ， 将代入，可得， ∴直线的函数表达式为， ∴点B的横纵坐标相等． ∵点B在反比例函数的图象上， ， 解得 (舍去)， ∴点B的坐标是； （2）解：的面积不变，设． ∵点A在直线上， 将点代入，得， 解得 ∴直线的函数表达式为． ∵与相交于点B， ∴，解得 (正值已舍去)， ∴点B的横坐标为． ∵点B在反比例函数的图象上， ∴点B的坐标为， ， ， ． 20．(1)； (2)或 (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）过点B向x轴的垂线，交x轴于点C，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解； （2）根据轴对称的性质求得，，，分经过边的中点和边的中点两种情况讨论，求得中点坐标，代入即可求解； （3）过点Q作轴于点J，过点B作轴于点K，设点Q的横坐标为a，证明，求得，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得到，    ∴，， 过点B向x轴的垂线，交x轴于点C， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴点B在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：由（1）得反比例函数的解析式为， ∵与关于直线对称， ∴，，， 当反比例函数过边的中点时， 边的中点是， ∴，解得； 当反比例函数过边的中点时， 边的中点是， ∴，解得； 由上可得，或； （3）解：存在．理由如下： 如图，过点Q作轴于点J，过点B作轴于点K，   ，， ∴， 设点Q的横坐标为a， ，， ∴， ，即， ∴， ， 点Q在上， ∴， 解得或， 点Q的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$