江苏省镇江市实验高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷

高一数学月考测试卷（2024.5.29） 第I卷（选择题） 一、单选题 1．的值为（    ） A．0 B． C． D． 2．若向量，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 3．在中，若，则的形状一定是（ ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 4．若复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．已知长方形的边，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．若向量，则在上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．已知表示两条不同直线，表示平面，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，错误的命题是 A．点H是A1BD的垂心 B．AH垂直平面CB1D1 C．AH的延长线经过点C1 D．直线AH和平面A1BD所成角为45° 二、多选题 9．下列说法中正确的是（    ） A．在中，，则的面积为 B．已知向量，则 C．在中，若，则是等腰三角形 D．已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 10．已知复数z，，，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则的最小值为1 11．在棱长为4的正方体中，点E为棱的中点，点F是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ） A．直线与直线AC所成角为60° B．平面截正方体所得截面的面积为18 C．若，则动点F的轨迹长度为π D．若平面，则动点F的轨迹长度为 三、填空题 13．已知，则的值为 . 14．在中，，，，的角平分线交于D，则 14．如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 .    四、解答题 15．已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 16．已知向量，且． (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 17．在中，角的对边分别为，且向量，向量． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 18．如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面； (3)设平面平面，求证：. 19．如图，已知四边形是矩形，平面，且，M､N是线段､上的点，满足. (1)若，求证：直线平面； (2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由； (3)若，求直线与直线所成最大角的余弦值. 试卷第4页，共14页 试卷第5页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学月考测试卷（2024.5.29） 第I卷（选择题） 一、单选题 1．的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】逆用两角和差的余弦公式，再根据特殊角计算即可. 【详解】原式 故选：B. 2．若向量，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面共线向量的坐标表示建立方程，解之即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得或0． 即x的取值集合为. 故选：C 3．在中，若，则的形状一定是（ ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】A 【分析】 利用正弦定理化角为边，即可得解. 【详解】 因为， 由正弦定理得，则，即， 所以的形状一定是等腰三角形. 故选：A. 4．若复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算即可. 【详解】由题意可知，复数满足， 则可转化为， 所以. 故选：A. 5．已知长方形的边，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案. 【详解】. 故选：A 6．若向量，则在上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量求解公式求出答案. 【详解】在上的投影向量为. 故选：B 7．已知表示两条不同直线，表示平面，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用空间中直线、平面的位置关系一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则可能相交、平行或异面，故A错误； 对于B，若，则可能平行，或相交，或垂直，故B错误； 对于C，若，则可能在中，也可能，故C错误； 对于D，由线面垂直的性质定理可知D正确. 故选：D 8．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，错误的命题是 A．点H是A1BD的垂心 B．AH垂直平面CB1D1 C．AH的延长线经过点C1 D．直线AH和平面A1BD所成角为45° 【答案】D 【详解】因为三棱锥A－A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面的中心，A正确；平面A1BD//平面CB1D1，而AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1，B正确；根据对称性知C正确，故选D. 二、多选题 9．下列说法中正确的是（    ） A．在中，，则的面积为 B．已知向量，则 C．在中，若，则是等腰三角形 D．已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是 【答案】AC 【分析】由三角形面积公式直接求解可判断A；根据向量坐标运算求解可判断B；记的中点为D，根据向量加法运算结合已知可得中线垂直于，然后可判断C；考虑与反向时不满足条件即可判断D. 【详解】，故A正确； ，故B错误； 记的中点为D，由于， 因此中线垂直于，所以是等腰三角形，故C正确； 与的夹角为钝角， 且，故D错误. 故选：AC. 10．已知复数z，，，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，则的最小值为1 【答案】ACD 【分析】结合复数的四则运算，共轭复数的定义及复数模长的公式可判断A；结合特殊值法可判断B；结合复数模长的性质可判断C；结合复数的几何意义可判断D. 【详解】对于A，设，则，故A正确； 对于B，令，满足，故B错误； 对于C，设，，则 ，所以，故C正确； 对于D，设，则， 即，表示以为圆心，半径为1的圆， 表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确. 故选：ACD 11．在棱长为4的正方体中，点E为棱的中点，点F是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ） A．直线与直线AC所成角为60° B．平面截正方体所得截面的面积为18 C．若，则动点F的轨迹长度为π D．若平面，则动点F的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】对A，根据的平行线确定直线与直线夹角即可； 对B，根据面面平行的性质，作出平面截正方体所得截面并求其面积即可； 对C，由题意，动点的轨迹为以为圆心的四分之一圆弧，再根据弧长公式求解即可； 对D，先判断过且平行于平面的平面截正方体的面，再分析的轨迹即可. 【详解】对A，连接，可得正，根据正方体的性质，，故直线与直线夹角为直线与直线的夹角为，故A正确；    对B，因为面面，平面面， 根据面面平行的性质可得平面截的交线， 故平面截的交点为的中点， 故，故截面为等腰梯形. 在等腰梯形中，高， 故截面的面积为，故B正确；    对C，若，则， 故动点的轨迹为以为圆心的四分之一圆弧，其长度为，故C错误；    对D，取中点，连接如图，由B知截面为等腰梯形， 由四边形为平行四边形得. 又面面，所以面， 由四边形为平行四边形得，面面， 所以面. 由平面,得平面平面， 又平面，所以平面. 故的轨迹为线段，其长度为，故D正确；    故选:ABD. 三、填空题 13．已知，则的值为 . 【答案】/ 【分析】 利用正余弦的齐次式法求得，再利用正切的倍角公式即可得解. 【详解】 因为，等式左边分子、分母同时除以得， ，解得， 所以. 故答案为：. 14．在中，，，，的角平分线交于D，则 【答案】 【分析】根据余弦定理求得的长，再利用建立的等式，即可求得答案. 【详解】在中,由余弦定理得，      则，即， 解得，（负值舍）， 而平分，即， 又，故， 则. 故答案为： 14．如图，点是棱长为2的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 .    【答案】 【分析】先利用直线与平面所成的角为，求得点的轨迹，进而求得点的轨迹长度. 【详解】若直线与平面所成的角为，则点的轨迹为圆锥的侧面与正方体的表面的交轨， 在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）； 在平面内，点的轨迹为对角线（除掉点，不影响）； 在平面内是以点为圆心2为半径的圆弧，如图， 故点的轨迹长度为． 故答案为：.    四、解答题 15．已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由值求值，即可求出； （2）先由求出的值，再凑角，求出，就可求的值. 【详解】（1）由，可得， . （2）由 ，可得， 又， ， ， 由，可得. 16．已知向量，且． (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若向量与互相垂直，求k的值． 【答案】(1) (2)4 (3)或 【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可； （2）由及已知条件，代入计算即可； （3）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． 【详解】（1）由得，，设向量与的夹角为， ，解得， 所以向量与的夹角． （2）． （3）由向量与互相垂直得，， 所以，即，解得或． 17．在中，角的对边分别为，且向量，向量． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算可得，即可由余弦定理求解， （2）根据余弦定理以及基本不等式即可求解，进而根据三角形三边关系即可求解. 【详解】（1）∵， ∴， 化简得， ∴ ∵， ∴． （2）由余弦定理得． ∵∴， 当且仅当时等号成立． ∴， ∴， 当且仅当时等号成立． ∴, 又∵，∴． ∴周长的取值范围为． 18．如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)若为侧棱的中点，求证：平面； (3)设平面平面，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）设，再证明即可； （2）根据线面平行与面面平行的判定证明平面平面即可； （3）根据线面平行的判定与性质证明即可. 【详解】（1）设，连接，因为是平行四边形，故， 又为侧棱的中点，故. 又平面，平面，故平面. （2）若为侧棱的中点，，则， 又平面，平面，故平面. 又，平面，平面，故平面. 又，平面，故平面平面. 又平面，故平面. （3）因为，平面，平面，故平面. 又平面平面，平面，故    19．如图，已知四边形是矩形，平面，且，M､N是线段､上的点，满足. (1)若，求证：直线平面； (2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由； (3)若，求直线与直线所成最大角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据线面垂直的判定定理和性质，结合线线的位置关系进行判断即可； （3）根据异面直线所成的角的定义，结合余弦定理、换元法、配方法进行求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，所以M是线段上的中点， 因此有， 因为是矩形，N是线段上的中点， 所以， 因此有， 所以四边形是平行四边形，所以有， 而平面，平面，所以直线平面； （2）假设存在实数，使直线同时垂直于直线，直线， 因为四边形是矩形，所以， 即，而平面， 所以平面， 因为是矩形，所以， 因为平面，平面， 所以，而平面， 所以平面，因此，显然不可能，所以假设不成立， 因此不存在实数，使直线同时垂直于直线，直线； （3）当时，由（2）可知：， 所以是直线与直线所成角，设， 由（2）可知，所以， 在中，由余弦定理可知： ， 令，所以， 于是有， 当时，有最小值，最小值为，此时有最大值. 则直线与直线所成最大角的余弦值为. 试卷第4页，共14页 试卷第5页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$