2024年湖北省初中学业水平数学模拟考试3（新中考-最后三卷）

2024年湖北省初中学业水平模拟考试3 数学试卷 （本卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试卷第1页装订线内和答题卡上，并在答题卡的规定位置贴好条形码，核准姓名和准考证号． 2．选择题的答案选出后，必须使用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案必须使用0，5mm黑色墨水签字笔填写在答题卡对应的区域内，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．在下列每个小题给出的四个答案中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分） 1. 计算等于（ ） A. B. 2 C. 4 D. 2. 若，则括号内应填的单项式是( ) A. a B. C. D. 3. 我国自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为用科学记数法表示数据为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 5. 五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为　　 A．30 B．26 C．24 D．22 6.菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注步为长度单位）”设走路快的人要走步才能追上，根据题意可列出的方程是　　 A． B． C． D． 8.有甲、乙两车从地出发去地，甲比乙车早出发，如图中、分别表示两车离开地的距离与甲车行驶时间之间的函数关系．现有以下四个结论：①甲车比乙车早出发2小时；②乙车出发4小时后追上甲车；③甲车出发11小时两车相距；④若两地相距，则乙车先到达地，其中正确的是（　　　） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 9.如图，点在以为直径的半圆内，连接、，并延长分别交半圆于点、，连接、并延长交于点，作直线，下列说法一定正确的是（   ） ①垂直平分；②平分；③；④． A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 10．已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（　　） A． B． C．3 D． 2、 填空题（每小题6分，共18分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11．四边形的外角和度数是 　　． ． 12. 已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是_______． 13.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．若将向左平移3个单位长度得到，则点A的对应点的坐标是___________． 14.如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为 　16　． ，，，结果保留整数）． 15．关于二次函数（为常数）的结论： ①该函数的图象与轴总有公共点； ②不论为何值，该函数图象必经过一个定点； ③若该函数的图象与轴交于、两点，且，则； ④若时，随的增大而增大，则．其中说法正确的是 ． 16.如图，在矩形中，．动点从点出发，沿边向点匀速运动，动点从点出发，沿边向点匀速运动，连接．动点，同时出发，点运动的速度为，点运动的速度为，且．当点到达点时，，两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点的对应点恰好与的中点重合，则的值为 　　． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 17.求代数式的值，其中． 18.小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？ 19.如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20.为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：组“”， 组“”， 组“”， 组“”， 组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 　100　，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，组的圆心角是 　　度，本次调查数据的中位数落在 　　组内； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 21.如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB＝DE． （1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝12，sinA＝0.6，求△BDE的BE边上的高． （3）在（2）的条件下，求cos∠BDE的值． 22.某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． （1）求4月份再生纸的产量； （2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值； （3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 23.问题提出 如图（1），在中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值． 问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值； （2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展 如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，点，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）． 24.如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年湖北省初中学业水平模拟考试3 数学试卷 （本卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试卷第1页装订线内和答题卡上，并在答题卡的规定位置贴好条形码，核准姓名和准考证号． 2．选择题的答案选出后，必须使用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案必须使用0，5mm黑色墨水签字笔填写在答题卡对应的区域内，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．在下列每个小题给出的四个答案中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号在答题卡上涂黑，涂错或不涂均为零分） 1. 计算等于（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 2. 若，则括号内应填的单项式是( ) A. a B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知条件中的乘法运算可以转化为单项式除以单项式进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 3. 我国自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为用科学记数法表示数据为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数； 【详解】解：， 故选：D 4. 一元二次方程根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5. 五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为　　 A．30 B．26 C．24 D．22 【分析】设1艘大船可载人，1艘小船可载人，依题意：1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．列出二元一次方程组，求出的值即可． 【解答】解：设1艘大船可载人，1艘小船可载人， 依题意得：， ①②得：， ， 即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26， 故选：． 6.菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转，连接，相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积求解即可．②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积． 【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°， 连接，相交于点O，与交于点E， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形， ∴， ∴A，，C三点共线， ∴， 又∵， ∴，， ∵重叠部分的面积， ∴重叠部分的面积； ②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积， 故选：A． 7.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注步为长度单位）”设走路快的人要走步才能追上，根据题意可列出的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】设走路快的人要走步才能追上，由走路快的人走步所用时间内比走路慢的人多行100步，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：设走路快的人要走步才能追上，则走路慢的人走， 依题意，得：． 故选：． 8.有甲、乙两车从地出发去地，甲比乙车早出发，如图中、分别表示两车离开地的距离与甲车行驶时间之间的函数关系．现有以下四个结论：①甲车比乙车早出发2小时；②乙车出发4小时后追上甲车；③甲车出发11小时两车相距；④若两地相距，则乙车先到达地，其中正确的是（　　　） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 9.如图，点在以为直径的半圆内，连接、，并延长分别交半圆于点、，连接、并延长交于点，作直线，下列说法一定正确的是（   ） ①垂直平分；②平分；③；④． A．①③ B．①④ C．②④ D．③④ 【分析】①AB为直径，所以∠ACB＝90°，就是AC垂直BF，但不能得出AC平分BF，故错， ②只有当FP通过圆心时，才平分，所以FP不通过圆心时，不能证得AC平分∠BAF， ③先证出D、P、C、F四点共圆，再利用△AMP∽△FCP，得出结论． ④直径所对的圆周角是直角． 【详解】证明：①为直径， ， 垂直，但不能得出平分， 故①错误， ②如图1，连接， 为直径， ， ， 假设平分成立，则有， 在中，， ，且平分， 垂直，但不能得出平分，与①中的垂直，但不能得出平分相矛盾， 故②错误， ③如图 为直径， ，， 、、、四点共圆， 和都对应， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故③正确， ④为直径， ， ． 故④正确， 综上所述只有③④正确． 故选：D． 10．已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（　　） A． B． C．3 D． 【分析】如图，不妨假设点P在AB的左侧，证明△PAB的面积是定值，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．因为△PAB的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直线PM，求出OT的值，可得结论． 【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧， ∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC， ∴S1+S0＝S2+S3， ∵S1+S2+S3＝2S0， ∴S1+S1+S0＝2， ∴S1＝S0， ∵△ABC是等边三角形，边长为6， ∴S0＝×62＝9， ∴S1＝， 过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T． ∵△PAB的面积是定值， ∴点P的运动轨迹是直线PM， ∵O是△ABC的中心， ∴CT⊥AB，CT⊥PM， ∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝， ∴RT＝， ∴OT＝OR+TR＝， ∵OP≥OT， ∴OP的最小值为， 当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为， 如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为， ∵＜， 故选：B． 2、 填空题（每小题6分，共18分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上） 11．四边形的外角和度数是 　　． 【分析】根据多边形的外角和都是即可得出答案． 【解答】解：四边形的外角和度数是， 故答案为：． 12. 已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是_______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当时，没有意义，解不等式，即可解答． 【详解】解：当时，没有意义， 解得， 为正整数， 可取1，2， 故答案为：1． 13.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．若将向左平移3个单位长度得到，则点A的对应点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质即可得出答案． 【详解】将向左平移3个单位长度得到， ， ， 故答案为：． 14.如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为 　16　． ，，，结果保留整数）． 【分析】过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案． 【解答】解：过点作于点，如图． 则，，， 在中，， 设，则， ，， 在中， ， 解得， ． 故答案为：16． 15．关于二次函数（为常数）的结论： ①该函数的图象与轴总有公共点； ②不论为何值，该函数图象必经过一个定点； ③若该函数的图象与轴交于、两点，且，则； ④若时，随的增大而增大，则．其中说法正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据根的判别式可判断①；把函数解析化为，可判断②；再，求出该函数的图象与轴的交点，可得到关于m的不等式，可判断③，然后把函数解析式化为顶点式，结合二次函数的性质可判断④ 【详解】解：①∵， ∴， ∴该函数的图象与轴总有公共点，故①正确； ②∵， ∴当时，， 即不论为何值，该函数图象必经过定点，故②正确； ③令，， 解得：， ∴该函数的图象与轴的两个交点为， ∴， ∵， ∴， 解得：或，故③错误； ④∵， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵时，随的增大而增大， ∴，解得：，故④正确； 故答案为：①②④ 16.如图，在矩形中，．动点从点出发，沿边向点匀速运动，动点从点出发，沿边向点匀速运动，连接．动点，同时出发，点运动的速度为，点运动的速度为，且．当点到达点时，，两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点的对应点恰好与的中点重合，则的值为 　　． 【分析】如图，设交于点．设．利用勾股定理求出（用表示），再利用相似三角形的性质求出（用表示），可得结论． 【解答】解：如图，设交于点．设． ， 可以假设，， 四边形是矩形， ，，， 在中，， ， ， ，， 由翻折的性质可知， ，， ， ， △， ， ， ， ，， △， ， 设， 则， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程） 17.求代数式的值，其中． 【分析】根据分式的加法法则把原式化简，把代入计算即可． 【解答】解：原式 ， 当时，原式． 18.小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？ 【分析】设平常的速度是千米小时，根据“到达奶奶家时共用了5小时”列分式方程，求解即可． 【解答】解：设平常的速度是千米小时， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， （千米）， 答：小强家到他奶奶家的距离是240千米． 19.如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）利用全等三角形的性质，三角形内角和定理求解即可． 【解答】（1）证明：将矩形沿对角线折叠，则，， 在和中， ， ； （2）， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． 20.为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：组“”， 组“”， 组“”， 组“”， 组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 　100　，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，组的圆心角是 　　度，本次调查数据的中位数落在 　　组内； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【分析】（1）根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出组的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据，可以计算出组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组； （3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【解答】解：（1）这次调查的样本容量是：， 组的人数为：， 补全的条形统计图如右图所示： 故答案为：100； （2）在扇形统计图中，组的圆心角是：， 本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在组， 中位数落在组， 故答案为：72，； （3）（人， 答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 21.如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB＝DE． （1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝12，sinA＝0.6，求△BDE的BE边上的高． （3）在（2）的条件下，求cos∠BDE的值． 【分析】（1）BD与⊙O相切，由等腰三角形的性质及同角的余角相等证得∠OBD＝90°，从而按照切线的判定定理可得结论； （2）过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，根据垂径定理、锐角三角函数的定义式及勾股定理求得答案即可； （3）过点E作EH⊥DB于点H，先由“面积法“求得EH，再由勾股定理求得DH，然后按照余弦的定义求得答案即可． 【详解】解：（1）BD与⊙O相切，理由如下： ∵OA＝OB，DB＝DE， ∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠DBE． ∵EC⊥OA，∠DEB＝∠AEC， ∴∠A+∠DEB＝90°， ∴∠OBA+∠DEB＝90°， ∴∠OBD＝90°． ∵OB是⊙O的半径， ∴BD与⊙O相切； （2）过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，如图： ∵点E是AB的中点，AB＝12， ∴AE＝EB＝6，OE⊥AB． 又∵DF⊥AB，EC⊥OA， ∴∠EDF＝∠A， ∵sinA＝0.6， ∴sin∠EDF＝0.6， ∵DB＝DE，DF⊥AB， ∴EF＝＝3， ∵sin∠EDF＝， ∴＝0.6， ∴ED＝DB＝5． ∴由勾股定理得：DF＝＝4． ∴△BDE的BE边上的高为4． （3）过点E作EH⊥DB于点H， 则S△EBD＝， ∵EB＝6，DF＝4，DB＝5， ∴EH＝． 由勾股定理得：DH＝， ∴cos∠BDE＝． 22.某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． （1）求4月份再生纸的产量； （2）若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值； （3）若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 【分析】（1）设3月份再生纸的产量为吨，则4月份再生纸的产量为吨，根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值，再将其代入中即可求出4月份再生纸的产量； （2）利用月利润每吨的利润月产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，根据6月份再生纸项目月利润比上月增加了，即可得出关于的一元二次方程，化简后即可得出6月份每吨再生纸的利润． 【解答】解：（1）设3月份再生纸的产量为吨，则4月份再生纸的产量为吨， 依题意得：， 解得：， ． 答：4月份再生纸的产量为500吨． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：的值为20． （3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨， 依题意得：， ． 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元． 23.问题提出 如图（1），在中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值． 问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值； （2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展 如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，点，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）． 【分析】问题探究 （1）取的中点，连接，利用等边三角形的性质可得点为的中点，从而得出答案； （2）取的中点，连接，利用证明，得，则，再根据，得，从而得出答案； 问题拓展 取的中点，连接，由（2）同理可证明，得，得，再根据，得，同理可得答案． 【解答】解：（1）如图，取的中点，连接， 点是的中点， 是的中位线， ， ，， 是等边三角形， 点是的中点， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ； （2）取的中点，连接， 点为的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 问题拓展 取的中点，连接， 由（2）同理可证明， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24.如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解； （3）根据，确定点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解． 【小问1详解】 解：在直线中，当时，，当时，， ∴点，点， 设抛物线的解析式为， 把点，点代入可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，， ∴， 当四边形是平行四边形时，， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为， ∴ ∴， 解得（不合题意，舍去），； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ∵， ∴点E为线段的中点， ∴点E的横坐标为， ∵点E在直线上， ∴， 把代入中，可得， 解得（不合题意，舍去），． 学科网（北京）股份有限公司 $$