3.2.2函数的单调性与最值教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

§3.2.2 单调性与最大（小）值 1、教学目标： （1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义，理解函数的最大（小）值是函数的整体性质，掌握简单的求函数最值的方法（图象法、单调性法）. （2）通过实例，引导学生进行分析、归纳、概括函数最值的概念.使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，培养学生数形结合思想. （3）利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，让学生体会数学与日常生活息息相关. 2、教学重点与难点： 重点：函数的最大（小）值的概念及其几何意义.利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值. 难点：利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值. 3、教学环节设计 环节1：实例引入 师：观察本节的图3.2-2，可以发现，二次函数的图象上有一个最低点（0,0），我们就说函数的最小值为0.这节课我们一起来研究函数的最值问题.（引出课题，板书） 环节2：新知探究 追问1：那么如何用数学语言描述函数的最小值呢？我们所看到的图象是有限的，怎么能保证0是函数的最小值呢？ 师生讨论： 所以在x-0取得最小值，最小值是f(0)=0。 师：我们回顾一下最小值的研究过程可以看出，从形到数，首先从图像上观察得到函数的最小值，再用符号语言从数的角度对最小值进行了定量刻画。 追问2：你能以为例，仿照上例说明函数最大值的含义吗？ 师生活动：教师引导学生观察该函数的图象有一个最高点,并告诉学生在数学上将这个最高点的纵坐标取值称为函数在定义域上的最值. 【设计意图】从熟悉的二次函数入手，将求函数的最大值转化为研究函数图象的最高点，引导学生通过图象直观感知，再用符号语言进行数的定性刻画。 追问3：你能尝试给出函数最大值的定义吗？. 师生活动：学生讨论，教师根据学生对函数最大值定义的归纳情况，给出函数最大值的准确定义. 板书： 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1） 对于，都有； （2） ，使得. 那么，我们称是函数的最大值. 【设计意图】以具体实例为背景，引导学生尝试用数学语言来归纳定义，再过渡到符号化表达，体会从特殊到一般的思想. 注意：函数的最大值是一个函数值，而且是所有函数值中的最大值，一般写成“当，的最大值是.” 通过以下问题辨析概念理解： （1） 可以将函数最大值定义中的“任意”替换成“无数”吗？“能改为吗？ （2） 定义中的第二个条件能去掉吗？ 师生活动：学生通过讨论回答，教师及时纠正. 【设计意图】通过对问题的回答、辨析，使学生认识到对函数最大值概念的两个条件缺一不可 师：同学们能否类比函数最大值的定义，给出函数最小值的定义？ 【设计意图】通过类比，巩固学生对函数最大值定义的理解. 板书： 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1）对于，都有； （2），使得. 那么，我们称是函数的最小值. 说明：函数的最大（小）值是函数的整体性质，而我们之前研究的函数的单调性是函数的局部性质. 对函数最大值、最小值的理解： （1） 是否没一个函数都有最大值、最小值呢？ （2） （2）如果函数有最大值，有几个呢？ （3）函数的值域与函数的最值有什么关系呢？ 练一练：求下列函数的最大值与最小值： 【设计意图】通过求简单函数最值，加深利用函数单调性讨论函数最值的意识，强化最值概念的理解。 环节3：新知应用 例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆炸.如果烟花距地面的高度（单位m）与时间（单位s）之间的关系为，那么烟花冲出后何时是它爆炸的最佳时刻？这时距地高度是多少(精确到1m)？ 师生活动：教师引导学生画出函数图象，得出顶点坐标，进而找到函数的最大值，即就是烟花升到最高点时的距地高度.教师将过程完整板书，规范做题过程. 【设计意图】将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型，培养学生应用数学的意识和能力，体会数学的优化思想. 例2求函数的最大值和最小值. 师生活动：教师引导学生用图象法以及函数图象的平移解决，学生根据图象，发现可以将函数由右平移1个单位，即可看出函数的最高点，求最值.再引导学生从单调性入手，判断函数单调性去求最值.教师板书过程，规范解题步骤.带领学生总结归纳求最值的两种方法：图象法、单调性法. 【设计意图】整个高中阶段，对于简单函数而言，学生可以通过图象法求最值，稍微复杂一点的函数，就需要利用函数的单调性求最值.该题目不仅可以使用图象平移解决，同时又一次让学生体会用函数的单调性定义证明函数的单调性的方法.结合函数图象，再次渗透数形结合的思想. 跟踪练习：求函数的最大值和最小值. 师生活动：学生上台板演，教师在教室巡回检查，及时纠正. 【设计意图】学生通过观察分析从两种方法中选择最有效的一种，利用函数的单调性先猜后证，是求函数的最大（小）值是常用的方法. 环节4：归纳总结 教师让学生充分讨论本节课学到了什么，具体从三方面阐述，师生共同交流、总结. （1） 知识：函数的最大（小）值 （2） 方法：图象法、单调性法 （3） 思想：数形结合思想、类比思想 【设计意图】教师给出引导性关键词，让学生自己的小结，培养学生的归纳总结能力. 或：请同学们思考一下问题： （1） 函数的最大（小）值的定义是什么？ （2） 如何求函数的最值呢？ （利用已知函数（一次、二次、反比例函数的单调性求最值；不熟悉函数先判断单调性再求最值） 环节5：作业布置 1.必做题：习题3.2第4、7题. 2.选做题：已知函数,且的最小值为,求实数的取值范围. 【设计意图】巩固所学知识，查缺补漏，作业分层处理能让不同的学生得到更好的发展. 板书设计 函数的最大（小）值 函数的最大值： （板书定义） 函数的最小值： （学生类比） 例1 例2 跟踪训练 归纳小结 （1）知识：函数的最大（小）值 （2）方法：图象法、单调性法 （3）思想：数形结合思想、类比思想 学科网（北京）股份有限公司 $$