小专题1 对称、全等在菱形和正方形中的应用-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(鲁教版)

8 小专题1对称、全等在菱形和正方形中的应用 1.如图，P是正方形ABCD的对角线上一点，PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接PA, EF。给出下列结论：①PD=2CE;②CW边形PFcF=2AB(C表示周长)；③△APD一定是等 腰三角形：④PA=EF;⑤∠PFE=∠BAP:⑥PA⊥EF。其中正确的结论个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 B B 第1题图 第2题图 2.如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连 接CE,EF,AF。若DE=CD,EF=CE,则∠BAF的度数为 3.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于点O,点E在对角线BD 上，连接AE,作∠AEF=120°且边EF与直线DC相交于点F。求证：AE=EF。 4.如图，四边形ABCD是矩形，E是边AB延长线上一点，当AB=AD时，点F在边AB 上，AF=BE,EG⊥AC于点G。求证：△DGF是等腰直角三角形。 17 5.如图，在菱形ABCD中，∠ADB=60°，点E,F分别在AD,CD上，且∠EBF=60°。 (1)求证：△ABE≌△DBF: (2)判断△EBF的形状，并说明理由。 6.如图，四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°。P是线段AC上的点，连接PD,将PD绕 点P逆时针旋转得到PQ,当点Q在线段BA的延长线上时，点P在移动过程中， ∠DPQ的度数是否发生变化？为什么？ 0 7.如图，已知四边形ABCD是正方形，AB=4√2，E是对角线AC上一动点，连接DE,过 点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG。 (1)求证：矩形DEFG是正方形： (2)求证：CE+CG=8。 18AB⊥AD,∴.四边形ABCD是矩形。又：AC⊥ 45°。∴.∠EBF=2∠CBE=2×45°=90°。 BD,∴，四边形ABCD是正方形。②正确。 ∴，菱形BECF是正方形。 :四边形ABCD是平行四边形，AB上AD,6.32【解析】如图，过点D作DE⊥BC交BC ∴.四边形ABCD是矩形。又AB=AD,∴.四边形 的延长线于点E。:∠ABC=90°，DP⊥AB, ABCD是正方形。③正确。AB=BD,且AB⊥ BC⊥DE,∴.四边形DPBE是矩形。·∠CDE+ BD,无法得出四边形ABCD是正方形，④错误。 ∠CDP=90°，∠ADC=90°，.∠ADP+∠CDP= ,四边形ABCD是平行四边形，OB=OC, 9O°。.∠ADP=∠CDE。DP⊥AB,∴.∠APD= ∴.BD=AC。∴.四边形ABCD是矩形。又OB⊥ 90°。.∠APD=∠E=90°。在△ADP和 OC,∴.四边形ABCD是正方形。⑤正确。综 △CDE中， 上所述，正确的是①②③⑤。 r∠ADP=∠CDE, 3.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∠APD=∠E,∴.△ADP≌△CDE(AAS)。 ∴.AC=20C,BD=20B。 AD =CD, .∠OBC=∠OCB,∴.0OB=OC。 ∴.DE=DP,四边形ABCD的面积=四边形 ∴.AC=BD。 DPBE的面积=18。∴.矩形DPBE是正方形。 ,平行四边形ABCD是矩形。 DP=√18=32 (2)解：AB=AD(或AC⊥BD等，答案不唯一)。 D 【随堂小测】 1.C 2.B【解析】：四边形ABCD是平行四边形， ∴.A.当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱 7.证明：，四边形ABCD是矩形， 形，当∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形， .∠B=∠D=∠C=90°。 故此选项正确，不符合题意；B.当∠ABC= :△AEF是等边三角形 90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD ∴.AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°。 时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是 .·∠CEF=45°，∴.∠CFE=45°=∠CEF。 正方形，故此选项错误，符合题意：C.当AB=BC ∴.∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°。 时，平行四边形ABCD是菱形，当AC=BD时， ∴.△AEB≌△AFD(AAS)。∴.AB=AD 菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合 .矩形ABCD是正方形。 题意：D.当∠ABC=90°时，平行四边形ABCD 是矩形，当AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形， 小专题1对称，全等在菱形和 故此选项正确，不符合题意。故选B。 正方形中的应用 3.A 1.C【解析】如图，延长FP交AB于点G,连接 4.∠ABC=90°（或对角线相等等，答案不唯一） PC,延长AP交EF于点H。·FG∥BC, 5.AC=BC(答案不唯一)【解析】.EF垂直平 ∴.∠DPF=∠DBC。:四边形ABCD是正方形. 分BC,∴.BE=CE,BF=CF。BF=BE,∴.BE= ∴.∠DPF=∠DBC=45°。∴.∠PDF=∠DPF= CE=CF=BF。∴.四边形BECF是菱形。 45°。.PF=CE=DF。在R△DPF中，PD= :AC=BC,∠ACB=90°，∴.∠A=∠CBE= DF+PF=CE+CE=2CE,∴.PD=√2CE。故 106 ①正确。PE⊥BC,PF⊥CD,∠BCD=90°， △AEF是等腰直角三角形。∴.∠AFE=45°。 ∴.四边形PECF是矩形。∴.四边形PECF的周 .EF=CE,∴.∠BFE=∠BCE=22.5°a 长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=2AB。故② ∴.∠AFB=∠AFE+∠BFE=45°+22.5°= 正确。，P是正方形ABCD的对角线上一点， 67.5°。，∠ABF=90°，∴.∠BAF=90°-∠AFB= ∠ADP=45°，∴.当∠PAD=45°或67.5°或90°时， 90°-67.5°=22.5°。 △APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等 腰三角形。故③错误。：四边形PECF是矩形， ,PC=EF。由正方形为轴对称图形，∴PA= PC。∴.PA=EF。故④正确。BD平分∠ABC PG⊥AB,PE⊥BC,,PG=PE。PA=EF, 3.证明：如图，连接CE。 ∠AGP=∠EPF=90°，∴.△AGP≌△FPE(HL)。 .∠BAP=∠PFE。故⑤正确。，∠AGP=90° .∠BAP+∠APG=90°。∠APG=∠HPF, ∴.∠PFH+∠HPF=90°。∴.PA⊥EF。故⑥正 确。故选C。 ,四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴.OE垂直平分AC,∠BCD=120°。 .∴AE=CE,∠ACD=60°。 ∴.∠CAE=∠ACE,∠ACF=120°。 B EH ,∠AEF=120° 2.22.5°【解析】如图，连接AE。BD是正方形 ∴.∠CAE+∠CFE=360°-∠AEF-∠ACF= ABCD的对角线，.∠BDC=45°。：DE=CD= 360°-120°-120°=120°。 AD,∠DEC=∠DE=180,4°=67.5°。 2 :∠ACE+∠ECF=I20°，∴.∠CFE=∠ECF。 .∠BCD=90°，∴.∠BCE=90°-∠DCE=90°- ,CE=EF。.AE=EF。 67.5°=22.5°。EF=CE,∴.∠CEF=180°- 4.证明：AB=AD,∴.矩形ABCD是正方形。 ∠CFE-∠ECF=180°-22.5°-22.5°=135°。 ·EG⊥AC,∴.∠E=∠GAE=45°。 ∠BEC=180°-∠DEC=180°-67.5°=1125°， .'EG=AG .∠BEF=135°-112.5°=22.5°。4AD=DE, 又AF=BE,.AB=EF。.EF=AD。 ∠ADE=45°，∠AED=180°-45 GE =GA, 2 =67.5°。 在△EGF和△AGD中，∠E=∠DAC=45°， ∴∠BEF+∠AED=22.5°+67.5°=90°。 EF =AD, .∠AEF=180°-90°=90°。在△ADE和 ∴.△EGF≌△AGD(SAS). AD DE, ∴.FG=DG,∠AGD=∠EGF。 △EDC中， ∠ADE=∠EDC,∴.△ADE≌ ∴，∠DGF=∠AGD+∠AGF=∠EGF+∠AGF= DE DC, ∠AGE=90°。 △EDC(SAS)。∴.AE=CE。∴AE=EF,即 ∴.△DGF是等腰直角三角形。 107 5.(1)证明：四边形ABCD是菱形， AD=AB。 ,∠ADB=60°， ∴.△ADB是等边三角形，△BDC是等边三 B M F 角形。 ,E是对角线AC上一动点，∠EMC=∠ENC= ∴.AB=BD,∠ABD=∠A=∠BDC=60°。 90°， :∠ABD=∠EBF=60°， ∴.EM=EN。 ∴.∠ABE=∠DBF。 r∠DNE=∠FME, r∠A=∠BDF, 在△DEN和△FEM中，EN=EM 在△ABE和△DBF中， AB BD. L∠DEN=∠FEM, L∠ABE=∠DBF, .△DEN≌△FEM(ASA). ∴.△ABE≌△DBF(ASA)。 ∴.DE=FE。 (2)解：△BEF是等边三角形。理由如下： ·四边形DEFG是矩形， ,△ABE≌△DBF,∴.BE=BF。 ,矩形DEFG是正方形。 ·∠EBF=60°，∴.△EBF是等边三角形 (2):四边形DEFG和四边形ABCD是正方 6.解：点P在移动过程中，∠DPQ的度数不发生 形，∴.DE=DG,AD=CD。 变化，始终等于60°。理由如下： ,'∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=9O°. 如图，连接DQ,过点P分别作PE⊥AD于点 .∠CDG=∠ADE E,PF⊥AB于点F,则∠PED=∠PFQ=90°。 ∴.△ADE≌△CDG(SAS). 四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC。 .AE =CG 又：∠B=60°，∴.△ABC是等边三角形。 ∴.CE+CG=CE+AE=AC=2AB=2×42= ∴，∠CAD=∠CAB=60°。 8。 ∴.∠EAF=120°，PE=PF。 第七章二次根式 又：PD=PQ,∴RI△PDE≌Rt△PQF(HL)e 1二次根式 ∴.∠DPE=∠QPF。 【边学边练】 ∴.∠DPQ=∠EPF=360°-90°-90°-120°= 1.B【解析】A.它属于二次根式，故本选项不 60°。 符合题意：B.-2<0,它不属于二次根式，故 本选项符合题意：C.它属于二次根式，故本选 项不符合题意；D.x2+1>0,它属于二次根 式，故本选项不符合题意。故选B。 7.证明：(1)如图，作EM⊥BC于点M,EN⊥CD x6有港 2.D【解析】由题意，知代数式2 于点N,则∠MEN=90°。 义，.3x-6≠0且3x-6≥0。x≥2且 又：∠DEF=90°， x≠2。.x>2。故选D ∴.∠DEN=∠MEF。 3.≥-1 108