6.3.2 正方形的判定-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(鲁教版)

8 第2课时正方形的判定 【边学边练】 知识点正方形的判定 1.下列命题中，错误的是 () A.有一个角是直角的平行四边形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.有一组邻边相等的矩形是正方形 2.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。要使四边形ABCD是正方 形，还需添加一组条件。下面给出了五组条件：①AB=AD,且AC=BD:②AB⊥AD, 且AC⊥BD:③AB⊥AD,且AB=AD:④AB=BD,且AB⊥BD:⑤OB=OC,且OB⊥OC。 其中正确的是 (填写序号)。 3.如图，已知平行四边形ABCD,对角线AC,BD相交于点O,∠OBC=∠OCB。 (1)求证：平行四边形ABCD是矩形： (2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形。 【随堂小测】 1.已知四边形EFGH是平行四边形，则下列结论中正确的是 A.当EG=FH时，它是菱形 B.当EG⊥FH时，它是矩形 C.当EF=FG时，它是菱形 D.当∠EFG=90°时，它是正方形 2.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC, ②∠ABC=90°，③AC=BD,④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD 为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是 ( A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 15 3.如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE,若沿EF剪下，则折 叠部分是一个正方形，其数学原理是 () B A.邻边相等的矩形是正方形 B.对角线相等的菱形是正方形 C.两个全等的直角三角形构成正方形 D.轴对称图形是正方形 4.若四边形ABCD为菱形，要使四边形ABCD为正方形，则可以添加一个条件 为 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且 BE=BF,请你添加一个条件 ,使四边形BECF是正方形。 D A P 第5题图 第6题图 6.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD,DP⊥AB于点P。若四边形 ABCD的面积为18，则DP的长为 7.如图，等边三角形AEF的顶点E,F分别在矩形ABCD的边BC,CD上，且∠CEF= 45°。求证：矩形ABCD是正方形。 16SRAADE。一.SAAr+Sg造8AE=SIAADE+ ∴.∠B=∠C=∠D=90°。 Sg缝称g0.Sg=SE守彩an=16。故选C。 ,正方形ABCD的边长为4，BE=CE,DF=3CF, 4.49【解析】如图，连接AE。四边形ABCD ∴.BE=CE=2,CF=1,DF=3。 是正方形，∴.AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°。 由勾股定理，得AE2=AB2+BE2=42+22= BE=BE,∴.△ABE≌△CBE(SAS)。∴.AE= 20,EF2=CE2+CF2=22+12=5,AF2=AD2+ CE=5。EF⊥AD,AF=3,.EF=√52-32= DF2=42+32=25。 4。∴.DF=4,AD=4+3=7。∴.正方形ABCD AE2 +EF =AF, 的面积为49。 ∴.△AEF是直角三角形，即∠AEF=90°。 D 5.70【解析】：四边形ABCD是正方形，8.解：AE=BF,且AE⊥BF。理由如下： ∴.△ABE与△ADE关于直线AC对称，∠ACB= 如图，延长AE交BF于点G。 45°。，∴.∠AED=∠AEB。,∠AEB是△CBE的 外角，∴.∠AEB=∠CBE+∠ACB=25°+45°= 70°。∴.∠AED=70°。 6.2【解析】如图，延长BE交CF于点G。 ·AB=5,AE=4,BE=3,.△ABE是直角三 :四边形ABCD是正方形 角形。同理可得，△CDF是直角三角形。易 ∴.OA=OB,AC⊥BD 证△ABE≌△CDF(SSS),∴.∠ABE=∠CDF。 0A =OB, .∠ABE+∠BAE=∠CBG+∠ABE,∴.∠CBG= 在△AOE和△BOF中， ∠AOE=∠BOF. ∠BAE。同理可得，∠BCG=∠ABE。在△CBG OE=OF, r∠GBC=∠BAE, ∴.△AOE≌△BOF(SAS) 和△BAE中， BC=AB, .△CBG≌ .AE=BF,∠OAE=∠OBF。 L∠BCG=∠ABE, ,·∠OAE+∠AE0=90°，∠AE0=∠BEG. △BAE(ASA)。∴AE=BG=4,CG=BE=3。 ∴，∠OBF+∠BEG=90°。∴.∠BGE=90°。 ∴.EG=4-3=1。同理可得，FG=1。.EF2= .AE⊥BF。 EG2+GF=2 第2课时 正方形的判定 【边学边练】 1.A 2.①②③⑤【解析】，·四边形ABCD是平行四 边形，AB=AD,∴四边形ABCD是菱形。 7.证明：如图，连接AF。 又：AC=BD,,四边形ABCD是正方形。 :四边形ABCD是正方形， ①正确。，四边形ABCD是平行四边形， 105 AB⊥AD,∴.四边形ABCD是矩形。又：AC⊥ 45°。∴.∠EBF=2∠CBE=2×45°=90°。 BD,∴，四边形ABCD是正方形。②正确。 ∴，菱形BECF是正方形。 :四边形ABCD是平行四边形，AB上AD,6.32【解析】如图，过点D作DE⊥BC交BC ∴.四边形ABCD是矩形。又AB=AD,∴.四边形 的延长线于点E。:∠ABC=90°，DP⊥AB, ABCD是正方形。③正确。AB=BD,且AB⊥ BC⊥DE,∴.四边形DPBE是矩形。·∠CDE+ BD,无法得出四边形ABCD是正方形，④错误。 ∠CDP=90°，∠ADC=90°，.∠ADP+∠CDP= ,四边形ABCD是平行四边形，OB=OC, 9O°。.∠ADP=∠CDE。DP⊥AB,∴.∠APD= ∴.BD=AC。∴.四边形ABCD是矩形。又OB⊥ 90°。.∠APD=∠E=90°。在△ADP和 OC,∴.四边形ABCD是正方形。⑤正确。综 △CDE中， 上所述，正确的是①②③⑤。 r∠ADP=∠CDE, 3.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∠APD=∠E,∴.△ADP≌△CDE(AAS)。 ∴.AC=20C,BD=20B。 AD =CD, .∠OBC=∠OCB,∴.0OB=OC。 ∴.DE=DP,四边形ABCD的面积=四边形 ∴.AC=BD。 DPBE的面积=18。∴.矩形DPBE是正方形。 ,平行四边形ABCD是矩形。 DP=√18=32 (2)解：AB=AD(或AC⊥BD等，答案不唯一)。 D 【随堂小测】 1.C 2.B【解析】：四边形ABCD是平行四边形， ∴.A.当AB=BC时，平行四边形ABCD是菱 7.证明：，四边形ABCD是矩形， 形，当∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形， .∠B=∠D=∠C=90°。 故此选项正确，不符合题意；B.当∠ABC= :△AEF是等边三角形 90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD ∴.AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°。 时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是 .·∠CEF=45°，∴.∠CFE=45°=∠CEF。 正方形，故此选项错误，符合题意：C.当AB=BC ∴.∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°。 时，平行四边形ABCD是菱形，当AC=BD时， ∴.△AEB≌△AFD(AAS)。∴.AB=AD 菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合 .矩形ABCD是正方形。 题意：D.当∠ABC=90°时，平行四边形ABCD 是矩形，当AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形， 小专题1对称，全等在菱形和 故此选项正确，不符合题意。故选B。 正方形中的应用 3.A 1.C【解析】如图，延长FP交AB于点G,连接 4.∠ABC=90°（或对角线相等等，答案不唯一） PC,延长AP交EF于点H。·FG∥BC, 5.AC=BC(答案不唯一)【解析】.EF垂直平 ∴.∠DPF=∠DBC。:四边形ABCD是正方形. 分BC,∴.BE=CE,BF=CF。BF=BE,∴.BE= ∴.∠DPF=∠DBC=45°。∴.∠PDF=∠DPF= CE=CF=BF。∴.四边形BECF是菱形。 45°。.PF=CE=DF。在R△DPF中，PD= :AC=BC,∠ACB=90°，∴.∠A=∠CBE= DF+PF=CE+CE=2CE,∴.PD=√2CE。故 106