6.1.3 菱形性质与判定的综合应用-【一课通】2023-2024学年八年级下册数学随堂小练习(鲁教版)

.................. .... >。 可撕可裁 第3课时 菱形性质与判定的综合应用 【边学边练】 知识点一 萎形性质与判定的综合应用 1.如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点0,且互相平分。添加 _ 下列条件,仍不能判定四边形ABCD为菱形的是 ) A.AC1BD B.AB=AD C.AC=BD D. 乙ABD=CBD 2.如图,在Rt△ABC中,乙ACB=9O*,D为AB的中点,乙ACD= DAC,且 AE/ CD,CE/AB。 (1)求证:四边形ADCE是菱形 (2)若乙B=60{,BC=2,求菱形ADCE的高(计算结果保留根号)。 知识点二 菱形的面积 3.如图,在边长为5的萎形ABCD中,对角线AC的长为6,则菱形的面积为 C 【随堂小测】 1.如图,在平行四边形ABCD中,DE,BF分别是乙ADC和乙ABC的平分线,添加一个条 件,仍无法判定四边形BFDE为菱形的是 # ) A.乙A=60 B.DE-DF C.EF1BD D.BD平分/EDF 1 2.(核心素养·几何直观)如图,在菱形ABCD中,/ABC=150{*,DH1AB于点H.交对 角线AC于点E,过点E作EF1AD于点F。若△DEF的周长为3+3,则菱形ABCD 的面积为 ( ) A.18 B.14+83 C.7+4/3 D.12+63 3. 如图,ABCD是一张平行四边形纸片,要求利用所学知识作出一个菱形,甲、乙两位同 ( 学的作法如下,则关于甲、乙两人的作法,下列判断正确的为 ) 乙:分别作乙A与乙B的平 甲:连接AC.作AC的中垂 分线AE,BF,分别交BC干 线交AD.BC于点E.F.则 点E,交AD于点F,则四边 四边形AFCE是菱形。 形ABEF是菱形。 C.甲、乙均正确 A.仅甲正确 B.仅乙正确 D.甲、乙均错误 4.(教材改编题)如图,在菱形ABCD中,AB=5,AC=6,过点D作DE1BA,交BA的延 长线于点E,则线段DE的长为 第4题图 第5题图 5.如图.在Rt△ABC中,ACB=90*},AC=8.BC=6.D是斜边AB上一点,以CD,BC为 边作平行四边形CDEB,当AD=时,平行四边形CDEB是菱形。 6. 如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD交于点0.点E,F在AC上,AE=CF。 (1)求证:四边形EBFD是平行四边形; (2)若乙BAC三/DAC,求证:四边形EBFD是菱形 6四边形是菱形。故本选项正确。D.:BE平 分∠CBD,,对角线平分对角的平行四边形 是菱形。故本选项正确。故选A 3.D【解析】：△DCE是由△ABC平移得到 ,'AD=AB,四边形ABCD是平行四边形， 的，∴.AB∥CD,AB=CD。∴.四边形ABCD是 ∴.AC⊥BD。∴.EF⊥BD 平行四边形。AD=BC,BD,AC互相平分， 由(1)，得四边形DEBF是平行四边形， 即①②正确。同理四边形ACED是平行四边 .四边形DEBF是菱形。 形。又△ABC是等边三角形，∴.△DCE是 第3课时菱形性质与判定的综合应用 等边三角形。∴.CE=DE。∴平行四边形 【边学边练】 ACED是菱形，即③正确。故选D。 1.C【解析】：四边形ABCD的两条对角线相 4.C【解析】已知四边形是平行四边形。A.对 交于，点O,且互相平分，·四边形ABCD是平 角线互相平分，故不一定是菱形：B.对边相 行四边形。.AD∥BC。当AB=AD或 等，故不一定是菱形；D.对边平行，故不一定 AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形。 是菱形：C.根据三角形的内角和定理可得 当AC=BD时，不可判定四边形ABCD是菱 180°-70°-55°=55°，∴.邻边相等，故C是菱 形。当∠ABD=∠CBD时，由AD∥BC得 形。故选C。 ∠CBD=∠ADB,∴.∠ABD=∠ADB。∴.AB= 5.①③【解析】DE∥AC,DF∥AB,∴.四边形 AD。∴.四边形ABCD是菱形。故选C。 AEDF是平行四边形。故①正确。∠BAC= 2.(1)证明：AE∥CD.CE∥AB, 90°，四边形AEDF是平行四边形，不符合菱形 .四边形ADCE是平行四边形。 判定定理条件。故②错误。AD平分 .'∠ACD=∠DAC, ∠BAC,四边形AEDF是平行四边形，∴，四边 ∴.DC=DAe 形AEDF是菱形。故③正确。AB=AC,四边 ∴.四边形ADCE是菱形。 形AEDF是平行四边形，不能得出AE=AF, (2)解：如图，过点D作DF⊥CE,垂足为点F。 故四边形AEDF不一定是菱形。故④错误。 在Rt△ABC中， 6.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ·∠ACB=90°，∠B=60°， .∴AD∥BC,AD=BC,∠DAE=∠BCF。 ∴.∠ACD=∠DAC=30°。 AD=CB, .∴∠BCD=60°，∠DCE=60° 在△ADE和△CBF中， ∠DAE=∠BCF, .∠BCD=∠B=60°， LAE CF, .'BD DC .△ADE≌△CBF(SAS). ∴.△BCD是等边三角形。 ∴.DE=BF,∠AED=∠CFB。 ∴.CD=BC=2 .∠DEF=∠BFE. .DE∥BF。 在R△DCF中，CF=CD=3x2=l。 ∴.四边形DEBF是平行四边形。 (2)解：当AD=AB时，四边形DEBF是菱形。 DF=√CD-CF=√22-1下=3 理由：如图，连接BD .菱形ADCE的高是3。 99 3.24【解析】在菱形ABCD中， ∴.四边形AECF是平行四边形。EF⊥AC, 由题意，得B0=AB2-AO=4,.BD=8。 .四边形AECF是菱形。∴.甲的作法正确。 故可得菱衫ABCD的面积为分×8×6=24。 【随堂小测】 L,A【解析】四边形ABCD是平行四边形， 图1 ∴.∠ADC=∠ABC。又：DE,BF分别是 如图2，AD∥BC,∴.∠1=∠2，∠6=∠7。 ∠ADC,∠ABC的平分线，∴.∠ABF=∠CDE。 :AE平分∠BAD,BF平分∠ABC,∴.∠5=∠6， CD∥AB,∠CDE=∠AED。∴.∠ABF= ∠2=∠3。.∠1=∠3，∠5=∠7。∴，AB=AF, ∠AED。∴.DE∥BF。∴.四边形BFDE是平行 AB=BE。∴.AF=BE。:AF∥BE,∴.四边形 四边形。若DE=DF,则四边形BFDE是菱 ABEF是平行四边形。：AB=AF,∴.平行四边 形。若EF⊥BD,则四边形BFDE是菱形。若 形ABEF是菱形。，乙的作法正确。故选C BD平分∠EDF,则∠BDF=∠BDE。:DF∥ BE,,∠BDF=∠DBE=∠BDE。.DE=BE。 .四边形BFDE是菱形。∠A=60°不能判定 27△4 B E 四边形BFDE是菱形。故选A。 图2 2.B【解析】四边形ABCD是菱形，∠ABC= 434 150°，∴.∠BAD=30°，∠DAC=∠BAC 【解析】如图，设AC与BD的交点为O。 AD=2DH,AH=√AD2-Dm=3DH。又 四边形ABCD是菱形，·OA=OC=3,OB= ,EH⊥AB,EF⊥AD,.EF=EH。:∠BAD= OD,AC⊥BD。.OB=AB-A0=25-9= 30°，DH⊥AB,∴∠ADH=60°。·.∠DEF= 4。BD=8。yS装n=AB·DE=2AC· 30°。.DE=2DF,EF=√DE-DF=3DF :△DEF的周长为3+√3，DE+EF+DF= D,DB.之X6x8 24 3+3。∴.2DF+3DF+DF=3+3。∴.DF=1。 ∴.EH=EF=3,DE=2。.DH=DE+EH= 2+3。AB=AD=2DH=4+2V3。.菱形 ABCD的面积=AB×DH=(4+23)(2+√3)= 14+83。故选B。 5. 5 【解析】如图，连接CE交AB于点O。 3.C【解析】如图1，四边形ABCD是平行四 在RI△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC= 边形，AD∥BC。∠DAC=∠ACB。EF 是AC的垂直平分线，∴.OA=OC。在△AOE 6,∴.AB=√AC2+BC2=10。若平行四边形 r∠EAO=∠FCO, CDEB是菱形，则CE⊥BD,OD=OB,CD= 和△C0F中，OA=OC. :△AOE≌ BC。34B·00=4C·BC0C-4 ∠AOE=∠COF, △COF(ASA)。∴.AE=CF。又，AE∥CF, .0B-/.AD-AB-208- 100 2.B【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 是斜边AB的中点，CD=4,.AB=2CD=2× 4=8。故选B。 3.A【解析】点B的坐标为(3,4)，∴.OB= √3+4=5。四边形0ABC是矩形，.AC= OB=5。故选A。 6.证明：(1)在口ABCD中，OA=OC,OB=OD 4.B【解析】：四边形ABCD是矩形，∴，OA= AE=CF,.OE=OF。 0B=0C=0D。:∠A0B=60°，.△AOB是 ∴.四边形EBFD是平行四边形。 等边三角形。AB=0B=BD=5。故选B (2),四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥DC。∴.∠BAC=∠DCA。 5.20【解析】小D,F分别是边AB,BC的中点， :∠BAC=∠DAC,∴.∠DCA=∠DAC AB=AC=16,BE是高，∴.DF是△ABC的中 ∴.AD=CD 位线，AF1BC,BE⊥AC。÷DF=AC=8, OA=OC,∴.BD⊥AC,即BD⊥EF。 ∴，平行四边形EBFD是菱形。 EF=BC=4,DE=AB=8。△DEF的 2矩形的性质与判定 周长=DF+EF+DE=8+4+8=20 第1课时矩形的性质 6.5【解析】，四边形ABCD是矩形，∴∠ABC= 【边学边练】 90°，AC=BD,OB=OD。由勾股定理，得AC= 1.10【解析】：四边形ABCD是矩形，∴.OA= VAB+BC2=√12+16=20(cm)。∴.BD= OC=7AC.OB=OD=7BD.AC=BD.0A= 20cm,OD=10cm。'点E,F分别是OA,AD 的中点，∴.EF是△AOD的中位线。∴.EF= 0C=0B=5。∴.AC=20A=10 2.6【解析】小，四边形ABCD是矩形，矩形的对 号0D=5cm 角线相等且互相平分，，OA=OB。.△AOB 7.(1)证明：四边形ABCD是矩形. 是等腰三角形。，∠AOB=120°，∴∠DBA= ∴，AD=BC,AD∥BC。 ∠CAB=30°。在R△DAB中，AD=3,∠DBA= 又BC=BE,∴BE=AD。 30°，BD=2AD=6。,四边形ABCD是矩 AD∥BE, 形，∴.AC=BD=6。 ∴.四边形ADBE是平行四边形。 3.5【解析】，四边形ABCD为矩形，.∠D= (2)解：四边形ABCD是矩形，OB= 2 90°。，O是矩形ABCD的对角线AC的中 ∴.AC=BD=5,∠ABE=90°。 点，M是CD的中点，，OM是△ADC的中位 ,·四边形ADBE是平行四边形， 线。.BC=AD=6,∠ABC=90°，A0=C0。 ∴，AE=BD=5。 ∴AC=VAB+BC=10。∴0B=24C=5. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得 【随堂小测】 BE=√AE-AB2=V52-4=3。 1.B ∴.平行四边形ADBE的周长=2(BE+AE)= 101