3.1.1函数的概念教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

§3.1.1 函数的概念 1、教学目标： （1） 通过具体实例，归纳、概括出函数的三要素，建立用集合与对应语言刻画的函数概念，发展学生的数学抽象素养. （2） 对简单具体的函数，能说出定义域、值域与对应关系，会用函数的定义刻画函数. （3） 用具体实例体会对应关系f的真正含义，在具体函数中体会“对应”观点下函数思想的本质. 2、教学重点与难点： 教学重点：用集合与对应的语言建立函数的概念. 教学难点：函数概念的抽象，符号“”的理解 3、教学过程设计： 环节一：创设情境 提出问题 问题1：同学们，在初中我们学习了函数的概念，请大家回忆一下，它是怎样表述的呢？初中已经学习过哪些函数?我们在本章将要学习函数的什么内容？ 师生活动：师生共同对初中所学函数进行归纳总结，同时明确本章研究的内容。 【设计意图】以问题引领思考，为本章学习奠定基础，同时明确本章研究内容。 环节2： 问题2：假设从老干中心到二中的4路公交车要经过15个站点，我们知道无论你坐几站，上车都是1元。我们可以用一个关系式表示： y=1(元) (x=1、2 、3、… 15) 它是不是函数呢？函数y=x与函数表示同一函数吗？ 师生活动：学生思考讨论后，教师引导仅用初中函数概念的知识好像很难回答这个问题。这节课我们将从新的高度来认识函数的概念，这就是我们今天要学习的课题——函数的概念（板书） 【设计意图】以实际为背景，让学生在熟悉的环境中发现新知识。用已有的概念不容易回答的问题，引发学生的认知冲突，有着承上启下的作用。既是对初中已学函数概念的进一步深入，又是为下一步用集合语言刻画函数的本质做好伏笔。 或直接引导语：在初中我们已经学习过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型。例如，正方形的周长l与边长x的对应关系l=4x,l是x的函数，这个函数与y=4x相同吗？，又如，你能用已有的函数知识判断函数y=x与函数表示同一函数吗？需要解决这些问题，就需要进一步学习函数的概念。 环节二：函数概念的抽象与内涵辨析 问题3：请同学们根据如下情境回答问题 某高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时. (1) 这段时间内,列车行进的路程（单位：km）与运行时间（单位：h）的关系如何表示？这是一个函数吗？为什么？ （2）如果有人说：“根据对应关系，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km.”你认为这种说法正确吗？ （3）你认为如何表述S与 t的对应关系才能更精确？ 师生活动：教师引导学生对问题逐个展开思考、讨论，并且在学生回答基础上教师给出表述的示范。 【设计意图】问题3中，通过（1）引导学生回顾“变量说”，培养用定义做判断的思维习惯；通过（2）激发认知冲突，引领关注S与t的范围，让学生体会到说清变量范围的必要性。通过（3）尝试用集合与对应关系表述函数概念。 问题4：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么： （1） 你认为该怎样确定一个工人每周的工资？ （2）一个工人的工资w(单位:元)是他工作天数d的函数吗？ （3）你能仿照问题3中S与 t的对应关系的精确表示，给出此问题中w与d精确表示吗？ 追问：问题3和问题4中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一函数吗，为什么？ 师生活动：学生思考、讨论后回答 【设计意图】问题3和问题4相同的对应关系，让学生在相同中发现不同点，初步体会函数的确定要素不仅仅只有对应关系，还需要考虑到变量的取值范围。 问题5：如图是北京市2016年11月23日的空气质量指数（简称AQI）变化图。 （1）如何根据该图确定这一天内任一时刻t ( h)的空气质量指数AQI的值I ? （2）你认为这里的I是t的函数吗？如果是，你能仿照前面的方法描述I与t对应关系吗？ 师生活动：师生讨论完成。 【设计意图】让学生参与课堂，再次感受“处处有函数”，体验图像是记录两个变量之间的对应关系的另一种形式，再次形成用集合确认变量范围的习惯，尝试仿照前面问题的方式说清变量和的函数关系，进一步提高学生用数学语言表达问题的能力。 问题6：国际上常用恩格尔系数r（r=反映人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，以下是2006年到2015年我国某省城镇居民家庭的恩格尔系数变化情况： 年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57 （1） 你认为按表中给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？为什么？ （2） 如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？ （3） 如果我们引入，将对应关系表述为：“对于任意一个年份y,都有B4中唯一确定的r与之对应”，你认为有道理吗？ 师生活动： 师生讨论完成。 【设计意图】以实际问题为背景，关注国民经济与生活；学生体会函数关系的有一种表示方式“表格”；为进一步抽象函数概念做好准备。 问题7：上述问题3~问题6中，它们的共同特征是什么呢？如何用集合的语言描述函数的概念呢? 师生活动：学生与同组同学讨论，归纳各个情境中的共性，积极发表自己的观点，同时教师板书。学生自行组织语言，表述函数的概念，其他同学补充和完善。 教师引导学生得出： ①都包含两个非空数集，用A、B表示；②都有一个对应关系； ③对于数集中的每一个数，按照对应关系，在数集都有唯一确定的数与之对应。 在上述归纳的基础上，教师先讲解：事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法，为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系，然后给出函数的一般性定义。 师板书： 函数的概念：一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ， 其中叫自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与相对应的叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，显然值域是集合的子集。 强调注意： ①都是非空数集； ②中的任意一个数在集合中都用唯一的数与之对应；（A中任意性） ③中的任意一个数在集合中都用唯一的数与之对应；（B中唯一性） ④中被对应的数y构成的集合才是值域。 【设计意图】让学生通过归纳四个实例中函数的共同特征，体会数学抽象的过程，概括出用集合与对应的语言刻画一般性函数的概念。 环节三：例题练习，巩固理解 例1：用新的定义重新表述一次函数、二次函数、反比例函数，并完成下表： 师生活动：学生独立思考完成，与同组同学比较与修正；尝试用完整的函数概念再对这些函数进行描述。 课堂练习：课本p63-64 1,2,3 【设计意图】用函数定义重新认识已学函数，加深对函数定义的理解，进一步体会定义域、对应关系、值域函数的三要素。 例2：函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律。例如，正比例函数y=kx(k，可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系，一定密度的物体的质量与体积的关系，圆的周长与半径的关系等。 试构建一个问题的情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述。 师生活动：师⽣讨论完成 课堂练习：课本p64 4 【设计意图】进一步体会函数模型应用的广泛性，加深对函数概念的理解 环节四:⼩结提升，形成结构 问题8.你认为正方形的周长l与边长x的对应关系l=4x是正比例函数y=4x吗？你认为函数y=x与函数是相同函数吗？ 问题9：与初中的函数概念相比，你对函数有什么重新认识？ 师生活动：师生交流、讨论完成 【设计意图】通过问题8回应本节课引言中的问题，并对本节课内容进行小结。 环节五:课后作业 教材习题3.1第1,11,14题 【设计意图】巩固本节课所学知识，加强函数的理解与认识，初步了解对下一节相关内容。 课题 一．函数的定义 多媒体展示区 （引例及例题） 例题解答区 学科网（北京）股份有限公司 $$