福建省泉州市安溪县2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

福建省泉州市安溪县2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（解析版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知复数z满足|z|＝2，复数z1＝（1+i）z（其中i为虚数单位），则|z1|＝（　　） A．4 B．2 C．2 D．2 2．（5分）设向量，，满足++＝，且⊥，||＝1，||＝2，则||2＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 3．（5分）若不共线的四点P，A，B，C，满足＝，，则实数m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（5分）如图，在平行六面体A1C中，AD＝AB＝AA1＝4，∠A1AB＝60°，∠BAD＝90°，∠A1AD＝120°，cos∠A1AC＝（　　） A．﹣ B．﹣ C．0 D． 5．（5分）在△ABC中，A＝45°，a＝4，b＝3满足条件的△ABC（　　） A．不能确定 B．无解 C．有一解 D．有两解 6．（5分）设平面向量，，若，则平面向量可能是（　　） A． B． C． D． 7．（5分）在△ABC中，，AB＝AC，E、F分别为BC的三等分点，则cos∠EAF＝（　　） A． B． C． D． 8．（5分）设a，b，c是三角形ABC的边长，对任意实数x，f（x）＝b2x2+（b2+c2﹣a2）x+c2有（　　） A．f（x）＝0 B．f（x）＞0 C．f（x）≥0 D．f（x）＜0 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 （多选）9．（6分）已知复数z＝1﹣3i在复平面内对应的点为P，则下列结论正确的是（　　） A．点P的坐标为（1，﹣3） B． C．|z|＝2 D．z的虚部为3i （多选）10．（6分）已知|AB|＝4，M为AB上一点，且满足．动点C满足|AC|＝2|CM|，D为线段BC上一点，满足|CD|＝|DM|，则下列说法中正确的是（　　） A．若CM⊥AB，则D为线段BC的中点 B．当AC＝3时，△ABC的面积为 C．点D到A，B距离之和的最大值为5 D．∠MCB的正切值的最大值为 （多选）11．（6分）在△ABC中，∠ABC＝90°，，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°，下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若∠APB＝150°，则 C．△BPC的面积的最大值为 D．△ABP的面积的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）设z＝（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为　 　． 13．（5分）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝6，∠ABC＝60°，P为BC的中点，点Q是边AB上一个动点，则的最小值为 　 　． 14．（5分）在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3海里/小时的速度沿着直线追击． （1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 （2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船． 16．（15分）在平行四边形ABCD中，E，G分别是BC，DC上的点且＝3，＝3，DE与BG交于点O． （1）求||：||； （2）若平行四边形ABCD的面积为21，求△BOC的面积． 17．（15分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一系列对应值如表： x … 0 … y … 0 1 0 ﹣1 0 … （1）求f（x）的解析式； （2）若在△ABC中，AC＝2，BC＝3，f（A）＝﹣，求△ABC的面积． 18．（17分）已知边长为3的等边三角形ABC，求BC边上的中线向量的模||． 19．（17分）已知，，向量与的夹角为150°． （1）计算； （2）若，求实数λ的值． 参考答案与试题解析 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知复数z满足|z|＝2，复数z1＝（1+i）z（其中i为虚数单位），则|z1|＝（　　） A．4 B．2 C．2 D．2 【分析】直接利用复数的运算和复数的模的应用求出结果． 【解答】解：复数z满足|z|＝2，复数z1＝（1+i）z（其中i为虚数单位）， 所以． 故选：D． 【点评】本题考查的知识要点：复数的运算和复数的模的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 2．（5分）设向量，，满足++＝，且⊥，||＝1，||＝2，则||2＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【分析】由++＝，得＝﹣﹣，平方得出，从而得． 【解答】解：∵++＝， ∴＝﹣﹣， 又⊥，||＝1，||＝2， ∴＝＝+2•+＝1+0+4＝5， ∴＝5； 故选：D． 【点评】本题考查了平面向量的数量积的运算，是基础题． 3．（5分）若不共线的四点P，A，B，C，满足＝，，则实数m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】利用向量基本定理结合向量的减法有：，，代入化简即得． 【解答】解：由题意得，向量的减法有：，， ∴（﹣）+（﹣）＝﹣m； ∴（m﹣2）＝， ∵＝， ∴m﹣2＝1， ∴m＝3． 故选：B． 【点评】本小题主要考查平面向量的基本定理及其意义、向量数乘的运算及其几何意义等基础知识．本题的计算中，只需将向量都化成以P为起点就可以比较得出解答了，解答的关键是向量基本定理的理解与应用． 4．（5分）如图，在平行六面体A1C中，AD＝AB＝AA1＝4，∠A1AB＝60°，∠BAD＝90°，∠A1AD＝120°，cos∠A1AC＝（　　） A．﹣ B．﹣ C．0 D． 【分析】运用向量的三角形法则和向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，结合勾股定理的逆定理，计算即可得到所求余弦值． 【解答】解：在平行六面体A1C中，AD＝AB＝AA1＝4，∠A1AB＝60°， ∠BAD＝90°，∠A1AD＝120°， 可得||2＝|+|2＝|++|2＝||2+||2+||2+2•+2•+2• ＝16+16+16+2×4×4×cos60°+2×4×4×cos90°+2×4×4×cos120° ＝48+16+0﹣16＝48， 又||2＝||2+||2+2•＝16+16+0＝32， ||2+||2＝16+32＝48＝||2， 即为⊥， 可得cos∠A1AC＝0． 故选：C． 【点评】本题考查角的余弦值的求法，注意运用向量法，以及向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查勾股定理的逆定理，以及运算能力，属于中档题． 5．（5分）在△ABC中，A＝45°，a＝4，b＝3满足条件的△ABC（　　） A．不能确定 B．无解 C．有一解 D．有两解 【分析】由题意画出图形，再结合条件可此三角形解的情况． 【解答】解：因为A＝45°，b＝3，a＝4，如图： 所以h＝bsinA＝＝， 又＜3＜4，则此三角形有一解， 故选：C． 【点评】本题考查利用图形判断出三角形解的情况，考查数形结合思想，属于基础题． 6．（5分）设平面向量，，若，则平面向量可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，以及向量模公式，即可求解， 【解答】解：，，、 则，，， 设， ＝m﹣n， 同理可得，， cos＝＝， ＝＝， ∵， ∴，化简整理可得，m＝2n． 故选：D． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积公式，以及向量模公式，属于基础题． 7．（5分）在△ABC中，，AB＝AC，E、F分别为BC的三等分点，则cos∠EAF＝（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意判定AB，AC互相垂直，以A为原点建立坐标系，利用三等分点的E，F的坐标，利用向量数量积求得余弦值． 【解答】解：由可得AB⊥AC， 以A为原点建立坐标系如图， 不妨设AB＝AC＝3， ∵E，F为三等分点， ∴E（2，1），F（1，2）， ∴cos∠EAF＝＝＝， 故选：B． 【点评】此题考查了向量加减法，数量积等，难度不大． 8．（5分）设a，b，c是三角形ABC的边长，对任意实数x，f（x）＝b2x2+（b2+c2﹣a2）x+c2有（　　） A．f（x）＝0 B．f（x）＞0 C．f（x）≥0 D．f（x）＜0 【分析】根据余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA的式子，将函数化简为f（x）＝b2x2+（2bccosA）x+c2，再根据二次函数的图象与性质加以计算，可得函数图象对应的抛物线开口向上且与x轴没有公共点，可得本题的答案． 【解答】解：在△ABC中，根据余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA， ∴b2+c2﹣a2＝2bccosA， 因此函数可化为：f（x）＝b2x2+（2bccosA）x+c2， ∵， ∴函数y＝f（x）的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有公共点． 由此可得：对任意实数x，f（x）＞0恒成立． 故选：B． 【点评】本题给出与△ABC的三边a、b、c有关的二次函数，研究函数值的取值范围．着重考查了二次函数的图象与性质、余弦定理及其应用等知识，属于中档题． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 （多选）9．（6分）已知复数z＝1﹣3i在复平面内对应的点为P，则下列结论正确的是（　　） A．点P的坐标为（1，﹣3） B． C．|z|＝2 D．z的虚部为3i 【分析】利用复数的几何意义及共轭复数的定义，结合复数的模公式及复数的概念即可求解． 【解答】解：复数z＝1﹣3i在复平面内对应的点为P（1，﹣3），故A正确； 因为z＝1﹣3i，所以，故B正确；，故C错误；z＝1﹣3i的虚部为﹣3，故D错误． 故选：AB． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题． （多选）10．（6分）已知|AB|＝4，M为AB上一点，且满足．动点C满足|AC|＝2|CM|，D为线段BC上一点，满足|CD|＝|DM|，则下列说法中正确的是（　　） A．若CM⊥AB，则D为线段BC的中点 B．当AC＝3时，△ABC的面积为 C．点D到A，B距离之和的最大值为5 D．∠MCB的正切值的最大值为 【分析】直接利用向量的运算，余弦定理和三角形的面积公式判断A、B、C、D的结论． 【解答】解：①由于，得，又|AC|＝2|CM|，所以点M为线段AC的中点，又|CD|＝|DM|，所以点D为线段CM的中点，所以D为线段BC的中点，故A正确； ②当AC＝3时，AM＝2，AB＝4，在△ABO中，利用余弦定理：，所以，所以：S△ABO＝，故B错误； ③因为点DA+DB＝DA+（BC﹣CD）＝DA﹣DC+2＝DA﹣DM+2≤AM+2＝5，当A、M、D三点共线时，等号成立，故C正确． ④如图所示： 由正弦定理得：，整理得：， 所以， 所以，故D正确． 故选：ACD． 【点评】本题考查的知识点：余弦定理，三角形的面积公式，向量的运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题． （多选）11．（6分）在△ABC中，∠ABC＝90°，，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°，下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若∠APB＝150°，则 C．△BPC的面积的最大值为 D．△ABP的面积的取值范围是 【分析】对于A：由余弦定理，求出PA，即可判断A是否正确； 对于B：由正弦定理，求出，即可判断B是否正确； 对于C：由B得∠BCP＝α时，则S△PBC＝sinαcosα，然后求出△BPC的面积的最大值，即可判断C是否正确； 对于D：由C得，当∠BCP＝α时，∠PBA＝α，α∈（0°，60°），在直角坐标系中，结合xP＝sinαcosα，yP＝sin2α，得到S△PBA＝sin2α，然后求出△ABP的面积的取值范围，即可判断D是否正确． 【解答】解：对于A：当PB＝时，∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°， 在△PBA中，由余弦定理，得PA2＝AB²+PB²﹣2AB•PB•cos30° ＝3+﹣2×××＝，∴PA＝，故A错误； 对于B：∠APB＝150°时，设∠BCP＝α，α∈（0°，60°）， 则∠PAB＝30°﹣α，所以＝tanα， 因为BC＝1，所以PB＝BC•sinα＝sinα， 在△PBA中，根据正弦定理，＝， 可得＝， 化简得cosα＝4sinα，所以tanα＝， 所以＝，故B正确； 对于C：由B得∠BCP＝α时，PC＝cosα，BP＝sinα，α∈（0°，60°）， 所以S△PBC＝sinαcosα＝sin2α， 当2α＝90°，即α＝45°时，sin2α取到最大值1， 则△PBC的最大值为，故C正确； 对于D：由C得，当∠BCP＝α时，∠PBA＝α，α∈（0°，60°）， 所以在直角坐标系中，又xP＝sinαcosα，yP＝sin2α， 所以S△PBA＝BA•yP＝×sin2α＝sin2α， 因为sinα在（0°，60°）上单调递增，故sin2α在（0°，60°）上单调递增， 所以sin20°＝0，sin260＝， 所以sin20°＝0，sin260°＝， 所以S△PBA∈（0，），故D错误， 故选：BC． 【点评】本题考查三角形中正余弦定理的应用，考查了转化思想，属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）设z＝（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为　5　． 【分析】把给出的复数展开化为a+bi（a，b∈R）的形式，然后直接利用模的公式计算． 【解答】解：z＝（2﹣i）2＝4﹣4i+i2＝3﹣4i． 所以，|z|＝＝5． 故答案为5． 【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数模的求法，是基础题． 13．（5分）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝6，∠ABC＝60°，P为BC的中点，点Q是边AB上一个动点，则的最小值为 　　． 【分析】根据题意，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设Q（a，0），a∈[0，6]，利用平面向量数量积的坐标运算法则，推导出，进而算出本题答案． 【解答】解：如图所示，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则， 设Q（a，0），a∈[0，6]， 可得，则， 所以，当且仅当a＝6时，等号成立，可得的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平面向量数量积的坐标表示、一次函数的值域与最值等知识，属于中档题． 14．（5分）在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为　　． 【分析】利用三角形面积公式求得AC，进而利用余弦定理求得BC． 【解答】解：S△ABC＝AB•AC•sinA＝， ∴AC＝1， ∴BC＝＝＝， 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．属于基础题． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3海里/小时的速度沿着直线追击． （1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 （2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船． 【分析】由题意可知，（1）在平面图形中多次解三角形即可求得； （2）在平面图形中多次解三角形即可求得． 【解答】解：（1）由题知，当走私船发现巡逻艇时，走私船在D点，巡逻艇在C点， 在△ABC中，，，∠BAC＝60°， 由余弦定理有：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC＝12，∴， 由正弦定理有：，∴，∵BC＞AC， ∴∠BAC＞∠ABC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACB＝75°， 在△BCD中，BD＝3，，∠CBD＝30°， 由余弦定理有：CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BC•cos∠CBD＝3，∴CD＝， 所以当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里； （2）由（1）知，CD2+BD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，又∵，∴∠BCD＝60°，∴CDE＝360°﹣135°﹣90°＝135°， 设经过t小时后巡逻艇追上走私船，即在E处追上， 在△CDE中，CD＝，DE＝3t，， 由正弦定理有：，∴＝， 由图知，∠DCE＝30°，则180°﹣∠ACB﹣∠BCD﹣∠DCE＝15°， ∴巡逻艇应该沿东偏北15°去追，才能最快追上走私船． 【点评】本题考查解三角形的实际应用问题，关键在于理清题意，属于中档题． 16．（15分）在平行四边形ABCD中，E，G分别是BC，DC上的点且＝3，＝3，DE与BG交于点O． （1）求||：||； （2）若平行四边形ABCD的面积为21，求△BOC的面积． 【分析】（1）由D、O、E共线，故有＝λ＝λ（﹣）．再由 B、O、G共线，求得 ＝+，再利用平面向量基本定理求得λ 的值，即可得到结论． （2）由（1）可得＝，可得＝，再根据S△BOC＝S△BDC，计算求得结果． 【解答】解：（1）由于D、O、E共线，故有＝λ＝λ（﹣）． ∵B、O、G共线，∴＝m+（1﹣m）＝m（﹣）+（1﹣m）（） ＝﹣m+（1﹣m）（﹣）＝+， ∴＝+， ∴λ（﹣）＝+， ∴，求得λ＝， 可得||：||＝． 由（1）可得△BOC 与△BDC的高之比＝，∴△BOC 与△BDC的面积之比为＝， ∴S△BOC＝S△BDC＝•＝． 【点评】本题主要考查平面向量基本定理，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于中档题． 17．（15分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的一系列对应值如表： x … 0 … y … 0 1 0 ﹣1 0 … （1）求f（x）的解析式； （2）若在△ABC中，AC＝2，BC＝3，f（A）＝﹣，求△ABC的面积． 【分析】（1）观察表格可得出函数f（x）的周期为π，根据周期公式及ω大于0，可得出ω的值，然后再将x＝﹣时，y＝0代入函数解析式中，并根据φ的范围，利用正弦函数的图象与性质得出φ的度数，将ω及φ的值代入，即可确定出函数f（x）的解析式； （2）由第一问确定出的函数解析式，以及f（A）＝﹣，根据A为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出sinA及cosA的值，由sinA，AC及C的值，利用正弦定理求出sinB的值，由BC大于AC，根据大边对大角可得出B小于A，得到B的范围，由sinB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，然后利用诱导公式得到sinC＝sin（A+B），将sin（A+B）利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入求出sin（A+B）的值，即为sinC的值，最后由AC，BC及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积． 【解答】解：（1）由题中表格给出的信息可知， 函数f（x）的周期为T＝﹣（﹣）＝π，且ω＞0， ∴ω＝＝2， 由表格得：sin[2×（﹣）+φ]＝0，可得：φ＝+2kπ（k∈Z）， 由0＜φ＜π，所以φ＝， 所以函数的解析式为f（x）＝sin（2x+）＝cos2x；…（6分） （2）∵f（A）＝cos2A＝﹣，且A为锐角， ∴2A＝，即A＝， 在△ABC中，AC＝2，BC＝3， 由正弦定理得＝， ∴sinB＝＝， ∵BC＞AC，∴B＜A＝，∴cosB＝， ∴sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝×+×＝， 又AC＝2，BC＝3， ∴S△ABC＝AC•BC•sinC＝．…（12分） 【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：三角函数的周期公式，正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键． 18．（17分）已知边长为3的等边三角形ABC，求BC边上的中线向量的模||． 【分析】直接利用正三角形的性质，通过三角形的边长，求解即可． 【解答】解：因为三角形是正三角形，所以BC边上的中线向量的模就是三角形的高， 即：＝． BC边上的中线向量的模||为：． 【点评】本题考查三角形的解法，注意正三角形的特征，勾股定理的应用是解题的关键． 19．（17分）已知，，向量与的夹角为150°． （1）计算； （2）若，求实数λ的值． 【分析】（1）结合向量的数量积公式，以及向量模公式，即可求解． （2）根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解． 【解答】解：（1），，向量与的夹角为150°， ∴， ∴； ∴． （2）∵， ∴，即， 即4﹣12λ+9λ2＝0，解得． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于基础题． 学科网（北京）股份有限公司 $$