8.1.2 样本相关系数课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.1成对数据的统计相关性 8.1.2 样本相关系数 1. 相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 2. 正相关与负相关 正相关：一个变量随另一个变量的增加呈现增加的趋势. 负相关：一个变量随另一个变量的增加呈现减小的趋势. 3.线性相关非线性相关 非线性相关或曲线相关： 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么 我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 一、知识点回顾 二、探究新知 通过观察散点图中成对样本数据的分布规律，我们可以大致推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关、是线性相关还是非线性相关等.散点图虽然直观，但无法确切地反映成对样本数据的相关程度，也就无法量化两个变量之间相关程度的大小.能否像引入平均值、方差等数字特征对单个变量数据进行分析那样，引入一个适当的“数字特征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析呢? 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)，其中x1、x2、…、xn和y1、y2、 …、yn的均值分别为 和 .将数据以( ， )为零点进行平移,得到平移后的成对数据为 (x1- ，y1- )、(x2- ，y2- )、…、(xn- ，yn- )， 并绘制散点图. 编号 1 2 3 4 5 6 7 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 编号 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.2 利用上述方法处理表8.1-1中的数据，得到图8.1-3．我们发现，这时的散点大多数分布在第一象限、第三象限，大多数散点的横、纵坐标同号．显然，这样的规律是由人体脂肪含量与年龄正相关所决定的． 一般地，如果变量x和y正相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第一象限、第三象限，对应的成对数据同号的居多，如下左图所示；如果变量x和y负相关，那么关于均值平移后的大多数散点将分布在第二象限、第四象限，对应的成对数据异号的居多,如下右图所示. 根据上述分析，你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗? 利用散点 的横、纵坐标是否同号，可以构造一个量 一般情形下，表明成对样本数据正相关； 表明成对样本数据负相关. Lxy的大小是否一定能度量出成对样本数据的相关程度吗? 因为Lxy的大小与数据的度量得有关，所以不宜直接用它度量成对样本数据相关程度的大小. 为了消除度量单位的影响，需要对数据作进一步的“标准化”处理.我们用 分别除和，得，，， 仿照的构造 三、样本相关系数 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1, y1), (x2, y2),‧‧‧, (xn, yn)，其中x1, x2, ‧‧‧, xn和y1, y2,‧‧‧, yn的均值分别为 和 . 我们称 为变量x和变量y的样本相关系数. 四、样本相关系数的性质 我们利用成对样本数据构造了样本相关系数r,样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征: 当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小;当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大. 当r<0时，称成对样本数据负相关．这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大;当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小. ③ 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱； 特别地， 当|r|＝0时，成对数据的没有线性相关关系；但不排除它们有其他相关关系 当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上. 图(1) 中成对样本数据的正线性相关程度很强. 图(2) 中成对样本数据的负线性相关程度比较强. 图(3)中 对样本数据的线性相关程度很弱. 图(4)中成对样本数据的线性相关程度极弱 两个随机变量的相关性可以通过散点图对成对样本数据进行分析，而样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的线性相关程度： r 的符号反映相关关系的正负性，|r|的大小反映两个变量线性相关的程度，即散点集中于一条直线的程度. 例1、两个随机变量的相关性可以通过散点图对成对样本数据进行分析，而样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的线性相关程度： r 的符号反映相关关系的正负性，|r|的大小反映两个变量线性相关的程度，即散点集中于一条直线的程度. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/％ 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 解: 由样本数据可得 由此可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强. 五、例题 例2 有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年内收入的总和)与A商品销售额的10年数据,如下表所示.画出散点图，推断成对样本数据是否线性相关,并通过样本相关系数推断居民年收 人与A商品销售额的相关程度和变化趋势的异同. 第n年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 居民年收入/亿元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 A商品销售额/万元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 例3 在某校高一年级中随机抽取25名男生,测得他们的身高、体重、 臂展等数据,如下表所示. 体重与身高、臂展与身高分别具有 怎样的相关性? 编号 身高/cm 体重/cm 臂展/cm 编号 身高/cm 体重/cm 臂展/cm 1 173 55 169 14 166 66 161 2 179 71 170 15 176 61 166 3 175 52 172 16 176 49 165 4 179 62 177 17 175 60 173 5 182 82 174 18 169 48 162 6 173 63 166 19 184 86 189 7 180 55 174 20 169 58 164 8 170 81 169 21 182 54 170 9 169 54 166 22 171 58 164 10 177 54 176 23 177 61 173 11 177 59 170 24 173 58 165 12 178 67 174 25 173 51 169 13 174 56 170 五、课堂小结 1.样本的相关系数： 2.线性相关程度的判断： 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强; 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 六、巩固提升 课堂练习: 第103页练习第2、3、4题 课堂作业: 第103页习题8.1第2、3题 $$