微专题16 空间几何体展开与最短路径问题-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题16 空间几何体展开与最短路径问题 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1棱柱展开求最短路径 题型2棱锥展开求最短路径 题型3圆柱展开求最短路径 题型4圆锥展开求最短路径 题型5圆台展开求最短路径 题型6球面距离 题型7组合体展开求最短路 在研究空间几何体问题时，经常要进行一些图形变换．将空间几何体转化为平面图形，是解决立体几何中最短路程问题最基本和最常用的方法．而将空间几何体展开后，弄清原几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系和数量关系是解题的关键． （一）平面几何最短路径 1.两点异侧 题型特征:求在直线异侧的两点之间的最短距离，或在直线异侧的两点到第三点的最短距离之和。 解题方法:两点之间，线段最短，三点共线时距离之和最短 2.两点同侧 题型特征:求在直线同侧的两点到第三点的最短距离之和解题方法:将其中一点镜像对称，使三点共线， （二）立体几何最短路径题型特征 求立体图形中两点的最短距离解题方法:将立体图形展开放在同一平面，连线计算 （三）弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 （四）最短路径问题解题思路 1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面 （1）化曲为直 ①求解旋转体表面上距离最短问题时，通过展开旋转体侧面将空间最短问题转化为平面内两点间线段最短问题处理 ②圆柱、圆锥、圆台的侧面展开分别只有一种情况，当把它们的侧面展开在同一平面上时，扇形的一些计算是必不可少的其次解三角形一些常用方法也是必备的，比如勾股定理，正弦、余弦定理的使用. （2）化折为直 ①求解多面体表面上距离最短问题时，展开侧面将空间最值问题转化为平面最值问题处理 ②当展开图中的两点无法直接连接需要绕道时，我们可以通过作对称点来解决、 2.方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解。 注：当遇到求空间几何体的表面上从一点到另一点的最短距离问题时，一般先作侧面展开图，将立体几何问题转化成平面几何问题进行解答.如多面体的展开图是多边形，往往通过解三角形求最短距离；圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥（圆台）的侧面展开图是扇形（扇环），可借助扇形的相关结论（如弧长公式）进行解答.但也要注意，球体是不存在平面展开图的，因此当求球面上两点间的最短距离时，则是作过球心的截面圆，转化成求圆周上的劣弧长. 题型1棱柱展开求最短路径 1．（2024高三下·贵州·阶段练习）已知棱长为的正方体中，为棱上一动点，则的最小值为 . 2．（2024高一下·湖南·阶段练习）如图，在正方体中，在线段上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·福建·期中）如图，在长方体中，，若面对角线上存在一点，使得取得最小值，则此最小值为（    ）    A． B． C．2 D．1 4．（2024高二上·安徽马鞍山·开学考试）在直三棱柱中，，，，是线段上的动点，则的最小值是 ． 5．（2024高一下·广东广州·期中）如图，在直三棱柱中，，D是BC边的中点，． (1)求直三棱柱的体积； (2)求证：面． (3)一只小虫从点沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离． 6．（2024高一下·四川成都·期中）如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米.    (1)求该漏斗的表面积； (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长； (3)将图中正方形水平放置，在由斜二测画法得到的水平放置的直观图中，求线段的长. 7．（2024·云南·模拟预测）已知棱长为1的正方体，点是面对角线上的任一点，则的值可能是（    ） A． B．2 C． D． 8．（2024高一下·湖南·阶段练习）已知长方体的底面是边长为1的正方形，侧棱，在矩形内有一动点满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 9．（2024高一下·湖南常德·期中）如图，已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．与是共面直线 B．如果正方体的所有顶点在一个球面上，则这个球的体积为 C．过，，三点作一个截面，截得的几何体的体积 D．若在上存在一点使得最小，最小值为 10．（2024高一下·广东广州·期中）如图，在直三棱柱中，，侧面的对角线交点O，点E是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（    ）    A．直三棱柱的侧面积是 B．直三棱柱的外接球表面积是 C．直三棱柱的内置球的最大表面积为 D．的最小值为 11．（2024高一下·湖南岳阳·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，是棱的中点． (1)求该正三棱柱的体积； (2)求三棱锥的体积； (3)设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值． 题型2棱锥展开求最短路径 12．（2024高二上·浙江·阶段练习）正方体的棱长为1，M是面内一动点，且，N是棱上一动点，则周长的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 13．（2024高一下·安徽宿州·期中）现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为 . 14．（2024·天津和平·二模）粽子，古称“角黍”，早在春秋时期就已出现，到晋代成为了端午节的节庆食物．现将两个正四面体进行拼接，得到如图所示的粽子形状的六面体，其中点G在线段CD（含端点）上运动，若此六面体的体积为，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 15．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 16．（2024高一下·河北张家口·期末）在三棱锥中，，，一只蜗牛从点出发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱的中点，则蜗牛爬行的最短距离是（）． A． B． C． D． 17．（2024高一下·北京房山·期末）如图，在各棱长均为1的的四面体中，E是PA的中点，Q为直线EB上的动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 18．（2024高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 题型3圆柱展开求最短路径 19．（2024高二上·上海·专题练习）如图所示，圆柱侧面上有两点、，在处有一只蜘蛛，在处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？ 20．（2024高一下·福建莆田·期中）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则葛藤最少长（      ） A．21尺 B．25尺 C．29尺 D．33尺 21．（2024高二上·上海·阶段练习）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，昆虫爬行的最短路程是 . 22．（2024高一下·浙江绍兴·期中）如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 23．（2024高一下·全国·单元测试）如图，已知圆柱的高为h，底面半径为，轴截面为矩形，在母线上有一点，且，在母线上取一点，使，则圆柱侧面上P、Q两点的最短距离为 ．      24．（2024高二上·辽宁·阶段练习）如图，某圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P，Q分别为线段BC，AC上的两个动点，E为上一点，且，则的最小值为（    ）    A．3 B． C． D． 25．（2024高一下·浙江宁波·期中）如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)证明：平面平面； (3)若是的中点，点在线段上，求的最小值． 题型4圆锥展开求最短路径 26．（2024高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知圆锥的底面圆心为，半圆，表面积为，设母线PB中点为，从点沿圆锥表面到的最近路线长为（    ） A． B． C． D． 27．（2024高一下·海南海口·期中）圆锥SAB的底面半径为，母线长为的中点，一个动点自底面圆周上的点绕圆锥侧面移动到，则这点移动的最短距离是 . 28．（2024高一下·福建泉州·期中）如图，圆锥的底面半径为1，母线，点为的中点，一蚂蚁自点出发，沿圆锥的侧面爬行至点，则最短路径等于 ． 29．（2024高一下·吉林白山·期中）下图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径，母线，    (1)是圆的一条直径的两个端点，母线的中点，用软尺沿着圆锥面测量两点的距离，求这个距离的最小值； (2)现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，求这个正方体体积. 30．（2024高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，底面半径为，高为，B是母线SA上一点，且．现要建设一条从A到B的环山观光公路；当公路长度最短时，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，则公路上坡路段长为 千米． 31．（2024高三·全国·专题练习）如图，为圆锥的顶点，该圆锥的母线长为米，底面圆的半径为米，为底面圆周上一点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线上的一点，则（ ） A．蚂蚁爬行的最短路程为米 B．当蚂蚁爬行的路程最短时，的最大值为 C．蚂蚁爬行的最短路程为米 D．当蚂蚁爬行的路程最短时，的最大值为 32．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，其母线长为，底面圆周上有，两点，下列说法正确的有（    ） A．截面的最大面积为 B．若，则直线与平面夹角的正弦值为 C．若一只小蚂蚁从圆锥底面圆周上一点绕侧面一周回到原点，则最短路程为 D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 题型5圆台展开求最短路径 33．（2024高一下·安徽合肥·期中）圆台上底面半径为，下底面半径为，母线，在上底面上，在下底面上，从中点拉一条绳子，绕圆台侧面一周到点，则绳子最短距离为（    ）cm A．10 B．12 C．16 D．20 34．（2024高一下·浙江·期中）如图，在直角梯形中，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体. (1)求该几何体的表面积； (2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，求蚂蚁爬行的最短距离. 35．（2024高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 36．（2024高三上·山西大同·期末）已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（    ） A．1 B． C．2 D． 37．（2024·新疆喀什·二模）如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（    ） A．线段 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5 38．（2024·安徽马鞍山·一模）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，点为的中点，则（    ） A．圆台的体积为 B．圆台的侧面积为 C．圆台母线与底面所成角为 D．在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长为4 39．（2024高二上·安徽亳州·开学考试）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台 ， 在轴截面中，，  则下列说法正确的是（     ）    A．该圆台的高为. B．该圆台的体积为 . C．圆台的轴截面面积为 D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为. 题型6球面距离 40．（2007·江西）四面体 外接球球心在 上，且，，在外接球面上两点间的球面距离是（    ） A． B． C． D． 41．（2005·山东）设地球的半径为R，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为（    ） A． B． C． D． 42．（2024高二·重庆·期末）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（    ） A． B． C． D． 43．（2007·安徽）把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，折成直二面角后，在A，B，C，D四点所在的球面上，B与D两点之间的球面距离为（    ） A． B． C． D． 44．（2024高三上·云南·阶段练习）球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线．已知A，B，C是球O球面上的三个点，，，三棱锥的体积为，则A，B两点测地线长为（    ） A．2 B．4 C． D． 题型7组合体展开求最短路 45．（2024高三上·湖北武汉·阶段练习）如图，一个几何体由一个长方体与一个半圆柱组成，且，分别为圆柱上下底面的直径，，，设，试求：（以下结果用表示） (1)该几何体的表面积与体积； (2)从点沿几何体表面到点的最短距离； 46．（2024高二上·广东·期中）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示． （1）求此几何体的表面积； （2）如果点在直观图中所示位置，为所在母线中点，为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从点到点的最短路径长． 47．（2024·山西大同·模拟预测）如图，一建筑工地有墙面与水平面垂直并交于，长为米的钢丝连接平面内一点与平面内一点，点距均为3米，分别为的三等分点，若在平面内一点向点连绳子，则的最短长度为 米. 48．（2024高一下·天津静海·期中）如图，AB是圆O的直径，点C是圆上异于A、B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB，BC＝2，点E在线段PB上，则CE+OE的最小值为 ． 49．（2024高一下·江苏无锡·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 50．（2024高一下·浙江·期中）如图，在平行六面体中，所有棱长为，，，分别取上的点使，以为圆心，为半径分别在平面和平面内作弧，并将两弧各六等分，等分点依次为以及，一只蚂蚁欲从点出发，沿平行六面体表面爬行至，则其爬行的最短距离为（    ） A． B． C．2 D． $$2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题16 空间几何体展开与最短路径问题 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1棱柱展开求最短路径 题型2棱锥展开求最短路径 题型3圆柱展开求最短路径 题型4圆锥展开求最短路径 题型5圆台展开求最短路径 题型6球面距离 题型7组合体展开求最短路 在研究空间几何体问题时，经常要进行一些图形变换．将空间几何体转化为平面图形，是解决立体几何中最短路程问题最基本和最常用的方法．而将空间几何体展开后，弄清原几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系和数量关系是解题的关键． （一）平面几何最短路径 1.两点异侧 题型特征:求在直线异侧的两点之间的最短距离，或在直线异侧的两点到第三点的最短距离之和。 解题方法:两点之间，线段最短，三点共线时距离之和最短 2.两点同侧 题型特征:求在直线同侧的两点到第三点的最短距离之和解题方法:将其中一点镜像对称，使三点共线， （二）立体几何最短路径题型特征 求立体图形中两点的最短距离解题方法:将立体图形展开放在同一平面，连线计算 （三）弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 （四）最短路径问题解题思路 1、解题思想：化曲为直，化折为直，立体展开成平面 （1）化曲为直 ①求解旋转体表面上距离最短问题时，通过展开旋转体侧面将空间最短问题转化为平面内两点间线段最短问题处理 ②圆柱、圆锥、圆台的侧面展开分别只有一种情况，当把它们的侧面展开在同一平面上时，扇形的一些计算是必不可少的其次解三角形一些常用方法也是必备的，比如勾股定理，正弦、余弦定理的使用. （2）化折为直 ①求解多面体表面上距离最短问题时，展开侧面将空间最值问题转化为平面最值问题处理 ②当展开图中的两点无法直接连接需要绕道时，我们可以通过作对称点来解决、 2.方法总结：解决空间几何体表面最短路径问题关键是把立体图形平面化，即把立体图形沿着某一条直线展开，转化为平面问题之后，借助“两点之间，线段最短”，构造三角形，借助解三角形的方法求解。 注：当遇到求空间几何体的表面上从一点到另一点的最短距离问题时，一般先作侧面展开图，将立体几何问题转化成平面几何问题进行解答.如多面体的展开图是多边形，往往通过解三角形求最短距离；圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥（圆台）的侧面展开图是扇形（扇环），可借助扇形的相关结论（如弧长公式）进行解答.但也要注意，球体是不存在平面展开图的，因此当求球面上两点间的最短距离时，则是作过球心的截面圆，转化成求圆周上的劣弧长. 题型1棱柱展开求最短路径 1．（2024高三下·贵州·阶段练习）已知棱长为的正方体中，为棱上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将平面绕翻折到与平面共面，连接交于点，此时取得最小值，利用勾股定理计算出即可. 【详解】如图将平面绕翻折到与平面共面（如下平面图形）， 连接交于点，此时取得最小值， 又，，所以， 则， 即的最小值为. 故答案为： 2．（2024高一下·湖南·阶段练习）如图，在正方体中，在线段上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，将平面和平面展开到同一平面，连接求解即可． 【详解】如图，连接，，将平面和平面展开到同一平面， 连接，交于点， 则， 因为，所以， 所以四边形为菱形，， 则， 故选：C． 3．（2024高一下·福建·期中）如图，在长方体中，，若面对角线上存在一点，使得取得最小值，则此最小值为（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】将对角面绕旋转至与平面在同一平面内，可确定当三点共线时，所求距离之和最短，利用解三角形的知识可求得最小值. 【详解】将长方体对角面绕旋转至与平面在同一平面内，如下图所示：    则当三点共线时，取得最小值， 又，，，，， 在中，由余弦定理得：， ，即的最小值为. 故选：A. 4．（2024高二上·安徽马鞍山·开学考试）在直三棱柱中，，，，是线段上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】将沿翻折至所在平面，连接，则的最小值即为的长度，利用余弦定理计算可得. 【详解】 在中，，， 由余弦定理， 即，解得或（舍去）， 又为等腰直角三角形，则， 如图所示， 将沿翻折至所在平面（以下均在平面图形中）． ，，， 则，所以， 故， 由余弦定理 ， 则，即的最小值为． 故答案为： 5．（2024高一下·广东广州·期中）如图，在直三棱柱中，，D是BC边的中点，． (1)求直三棱柱的体积； (2)求证：面． (3)一只小虫从点沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离． 【答案】(1)144； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用柱体体积公式计算得解. （2）连接，借助三角形中位线，利用线面平行的判定推理即得. （3）分情况把点及点所在的几何体表面展开置于同一平面，求出两点间的距离并比较得解. 【详解】（1）在直三棱柱中，由，得， 由，得，， 所以直三棱柱的体积. （2）连接，连接，由矩形，得是的中点，而D是BC边的中点， 则，又平面，平面， 所以平面. （3）当小虫从点沿爬到点D，把矩形与置于同一平面内，如图， 连接，过作于，交于点， 由，得，，， ，则， 因此； 当小虫从点沿正方形爬到点D，把正方形与置于同一平面内， 或把正方形与矩形置于同一平面内，如图， 在左图中，取中点，连，显然共线，则，， 而，因此， 在右图中，，； 当小虫从点沿矩形爬到点D，把矩形与置于同一平面内， 或把矩形与矩形置于同一平面内，如图， 在左图中，取中点，连，显然共线，则，， 而，因此， 在右图中，，， 显然， 所以小虫爬行的最短距离. 6．（2024高一下·四川成都·期中）如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米.    (1)求该漏斗的表面积； (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长； (3)将图中正方形水平放置，在由斜二测画法得到的水平放置的直观图中，求线段的长. 【答案】(1)（）； (2)（米） (3)米或米 【分析】（1）利用正方体和正四棱锥侧面积公式求漏斗的表面积； （2）将漏斗表面展成平面，在平面中利用两点连线距离最短求解； （3）用斜二测画法作出直观图，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）由题意，该漏斗的表面积（）； （2）将漏斗表面展开，如图所示：    由两点间距离最短可得线段为蚂蚁爬行最短路径， 过点作交延长线于点，连接， 则，， 在中，， 所以蚂蚁爬过的最短路径的长为（米）； （3）正方形的斜二测画法有以下两种：    左图情况下，，在中由余弦定理可得： ， 右图情况下，，在中由余弦定理可得： ， 综上所述，米或米. 7．（2024·云南·模拟预测）已知棱长为1的正方体，点是面对角线上的任一点，则的值可能是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据点所在的特殊位置，分别求出，可得答案. 【详解】如图，当点在顶点处时，，故B选项正确； 当点在线段的中点时，，，，故C选项正确； 把三角形沿展开，使点与在同一平面， 当点为与的交点时，， 在中，，， 所以， 所以的最小值为，故D选项正确； 因为，故A选项不正确. 故选：BCD. 8．（2024高一下·湖南·阶段练习）已知长方体的底面是边长为1的正方形，侧棱，在矩形内有一动点满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】由得点在线段上，由对称性得，即可求解． 【详解】由向量共线定理可得三点共线，即点在线段上， 由对称性可知，线段上的点到，两点之间的距离相等， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 此时为线段的中点，即的最小值为， 故选：C． 9．（2024高一下·湖南常德·期中）如图，已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．与是共面直线 B．如果正方体的所有顶点在一个球面上，则这个球的体积为 C．过，，三点作一个截面，截得的几何体的体积 D．若在上存在一点使得最小，最小值为 【答案】BCD 【分析】取的中点，连接，，，即可证明，则平面，即可判断A；根据正方体的体对角线为正方体的外接球的直径，求出外接球的半径，即可判断B；根据锥体的体积公式判断C；将沿翻折到与平面共面且、在的异侧，连接，则即为距离和的最小值，再由余弦定理计算可得. 【详解】对于A：取的中点，连接，，，则，， 所以，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以与异面，故A错误； 对于B：正方体的棱长为，设正方体外接球的半径为， 则，所以，则外接球的体积，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：将沿翻折到与平面共面且、在的异侧，（以下分析均在平面图形中） 连接，则即为的最小值， 又，，，， 所以，则 ， 在中由余弦定理 ， 所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD 10．（2024高一下·广东广州·期中）如图，在直三棱柱中，，侧面的对角线交点O，点E是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（    ）    A．直三棱柱的侧面积是 B．直三棱柱的外接球表面积是 C．直三棱柱的内置球的最大表面积为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用余弦定理求得，即可求得侧面积，可判断A；利用正弦定理求的外接圆半径，由直棱柱性质可得外接球球心到底面的距离为1，进而可得球的半径，可判断B；当内置球与侧面相切时，利用三角形面积公式求的内切圆半径，然后比较与上下底面相切时的内切球半径即可得最大内置球的半径，可判断C；将侧面展开，根据三点共线时路径最短可判断D. 【详解】对于A，由余弦定理得， 所以，所以直三棱柱的侧面积为，A正确； 对于B，由正弦定理可得底面的外接圆半径， 易知直三棱柱的外接球球心到底面的距离为1， 所以，外接球半径，所以外接球表面积为，B正确； 对于C，若内置球与上下底面相切，则半径为1； 若内置球与三个侧面相切，由截面图可知，该球半径等于的内切圆半径， 由三角形面积公式可得，解得， 因为，所以直三棱柱的内置球的最大半径为， 所以直三棱柱的内置球的最大表面积为，C错误；    对于D，将侧面绕着旋转到与侧面共面的位置，如图， 则当共线时，取得最小值，D正确.    故选：ABD 11．（2024高一下·湖南岳阳·期中）如图，在高为2的正三棱柱中，是棱的中点． (1)求该正三棱柱的体积； (2)求三棱锥的体积； (3)设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由正三棱柱的体积公式求解即可； （2）由的体积等于，分别求出的体积代入即可得出答案. （3）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示,当三点共线时，取得最小值，求解即可. 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， ， 所以 （3）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示． 当三点共线时，取得最小值， 且最小值为． 题型2棱锥展开求最短路径 12．（2024高二上·浙江·阶段练习）正方体的棱长为1，M是面内一动点，且，N是棱上一动点，则周长的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用展开方法，以为基准，将和翻折使其与共面，然后利用余弦定理求解. 【详解】点M在线段上运动，即动线段在内运动， 动线段在内运动，动线段在内运动， 以为基准，将和翻折使其与共面，如图所示： 其中翻折至，翻折至， 的周长等于,最小值等于 在四边形，， 由余弦定理可求得， 所以， 故的周长最小值等于， 故选：B. 13．（2024高一下·安徽宿州·期中）现有一块如图所示的三棱锥木料，其中，，木工师傅打算过点将木料切成两部分，则截面周长的最小值为 . 【答案】 【分析】将三棱锥侧面沿着展开，截面周长的最小值即求从A出发沿着侧面回到A的最短距离. 【详解】将三棱锥侧面沿着展开，如图： 则， 由余弦定理可得：,则， 所以截面周长的最小值为. 故答案为：. 14．（2024·天津和平·二模）粽子，古称“角黍”，早在春秋时期就已出现，到晋代成为了端午节的节庆食物．现将两个正四面体进行拼接，得到如图所示的粽子形状的六面体，其中点G在线段CD（含端点）上运动，若此六面体的体积为，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】设，然后求出正四面体的高，然后由体积可求得，然后由侧面展开图可求的最小值. 【详解】设，则正四面体的高为， 因为六面体的体积为，所以，解得，    的最小值为等边三角形高的2倍，即， 故选：D 15．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥由展开，根据勾股定理进行求解即可. 【详解】设过点作截面与、侧棱分别交于、两点， 将三棱锥由展开，则，虫子爬行从点沿侧面到棱上的点处，再到棱上的点处，然后回到点的最短距离， 由勾股定理可得．虫子爬行的最短距离． 故选：A    16．（2024高一下·河北张家口·期末）在三棱锥中，，，一只蜗牛从点出发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱的中点，则蜗牛爬行的最短距离是（）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥的侧面展开，从而可知线段为所求，再利用余弦定理即可得解. 【详解】如图所示，将三棱锥的侧面展开，则线段为所求，    由题意得，， 由余弦定理可得， 则，即蜗牛爬行的最短距离是. 故选：D. 17．（2024高一下·北京房山·期末）如图，在各棱长均为1的的四面体中，E是PA的中点，Q为直线EB上的动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意将和折成一个平面，可知，结合余弦定理运算求解. 【详解】由题意可知：， 在中，由余弦定理可得， 可知为锐角，可得， 将和折成一个平面，连接， 可知，当且仅当三点共线时，等号成立，    此时， 在中，由余弦定理可得， 即，所以的最小值为. 故选：B. 18．（2024高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 【答案】2 【分析】画出正四棱锥的侧面展开图，得到A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最长最短距离. 【详解】画出正四棱锥的侧面展开图，如图所示． 当A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最短为的长． 因为，，所以， 则是边长为2的等边三角形，则，即小虫走过的最短路线的长为2． 故答案为：2. 题型3圆柱展开求最短路径 19．（2024高二上·上海·专题练习）如图所示，圆柱侧面上有两点、，在处有一只蜘蛛，在处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？ 【答案】详见解析. 【分析】画出圆柱侧面展开图后得到矩形，计算展开图中的距离即可得. 【详解】如图，将圆柱的侧面沿母线展开即得矩形， 其中，分别为，的中点， 在矩形中，，， 连接，则； 可知蜘蛛沿着爬行时路程最短，最短路程为. 20．（2024高一下·福建莆田·期中）我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则葛藤最少长（      ） A．21尺 B．25尺 C．29尺 D．33尺 【答案】C 【分析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛藤的最少长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果. 【详解】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示， 矩形的高（即圆木长）为尺，矩形的底边长为（尺）， 因此葛藤最少长（尺）. 故选：C. 21．（2024高二上·上海·阶段练习）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，昆虫爬行的最短路程是 . 【答案】 【分析】作出圆柱侧面展开图，可知所求最短路程为，利用勾股定理可求得结果. 【详解】作出圆柱的侧面展开图如下图所示， 则当昆虫的爬行路线为线段时，爬行的路程最短， 圆柱体的底面周长为，； 最短路程为：. 故答案为：. 22．（2024高一下·浙江绍兴·期中）如图，圆柱形开口容器下表面密封，其轴截面是边长为的正方形.现有一只蚂蚁从外壁处出发，沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到中点处，则它所需经过的最短路程为 . 【答案】 【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出的最小值就是AE的长求解即可. 【详解】侧面展开后得矩形，其中， 问题转化为在上找一点，使最短， 作P关于CD的对称点E，连接AE， 令AE与CD交于点Q，则的最小值就是AE为 故答案为：. 23．（2024高一下·全国·单元测试）如图，已知圆柱的高为h，底面半径为，轴截面为矩形，在母线上有一点，且，在母线上取一点，使，则圆柱侧面上P、Q两点的最短距离为 ．      【答案】 【分析】根据两点之间，线段最短，把圆柱的半个侧面展开，是一个下长为，宽为的矩形，然后展开图形根据勾股定理即可得解. 【详解】如图，把圆柱的半个侧面展开，是一个下长为，宽为的矩形，   ，，过作，为垂足，所以， 即可把放在一个直角边为和的直角三角形中， 根据勾股定理可得：. 故答案为：. 24．（2024高二上·辽宁·阶段练习）如图，某圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，P，Q分别为线段BC，AC上的两个动点，E为上一点，且，则的最小值为（    ）    A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱的结构特征采用将沿直线BC旋转到某个位置的方法，将线段和转化为一条线段的长度问题，结合求解线段长度即得答案. 【详解】如图，连接EC，将沿直线BC旋转到的位置，    且在AB的延长线上．则， 由于圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，故，， 则，当三点共线时取等号， 当时，最小，最小值为， 即的最小值为， 故选：C 25．（2024高一下·浙江宁波·期中）如图，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点． (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)证明：平面平面； (3)若是的中点，点在线段上，求的最小值． 【答案】(1)侧面积，体积 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）确定圆柱的底面半径和高，结合圆柱的侧面积与体积公式计算即可求解； （2）根据线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）如图，确定当三点共线时取得最小值.求出，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】（1）圆柱的底面半径，高， 圆柱的侧面积． 圆柱的体积． （2）由题意知，平面，又平面， 所以，而平面， 所以平面，又平面， 故平面平面； （3）将绕着旋转到使其与平面共面，且在的反向延长线上． 当三点共线时取得最小值，为. ∵，， ，， ∴在三角形中，由余弦定理得， ∴的最小值等于． 题型4圆锥展开求最短路径 26．（2024高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知圆锥的底面圆心为，半圆，表面积为，设母线PB中点为，从点沿圆锥表面到的最近路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用表面积公式求出母线长，然后将侧面展开，利用余弦定理可得. 【详解】设圆锥的母线长为，由题知，解得， 将圆锥侧面展开如图，因为，所以， 所以， 所以. 故选：D 27．（2024高一下·海南海口·期中）圆锥SAB的底面半径为，母线长为的中点，一个动点自底面圆周上的点绕圆锥侧面移动到，则这点移动的最短距离是 . 【答案】 【分析】首先根据题意将圆锥的侧面展开，得到点绕圆锥侧面移动到的最短距离为，再利用余弦定理计算即可. 【详解】如图所示： ，. 由图知：点绕圆锥侧面移动到的最短距离为. . 故答案为： 28．（2024高一下·福建泉州·期中）如图，圆锥的底面半径为1，母线，点为的中点，一蚂蚁自点出发，沿圆锥的侧面爬行至点，则最短路径等于 ． 【答案】 【分析】在圆锥侧面展开图中，求出线段即可. 【详解】依题意，圆锥底面圆周长为，沿母线剪开将圆锥侧面展开，如图， 圆弧长为，而，则， 由余弦定理得， 所以最短路径等于. 故答案为： 29．（2024高一下·吉林白山·期中）下图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径，母线，    (1)是圆的一条直径的两个端点，母线的中点，用软尺沿着圆锥面测量两点的距离，求这个距离的最小值； (2)现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，求这个正方体体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把圆锥的侧面自母线剪开展开在平面内，再利用余弦定理求解作答. （2）确定正方体与圆锥的关系，再沿正方体的对角面作出圆锥的轴截面，并求出正方体的棱长，求出体积. 【详解】（1）将圆锥的侧面自母线剪开展开在平面内，得到扇形，则点为弧的中点，如图，    依题意，弧长为， 而为中点，在中，由余弦定理得 ， 所以两点的距离的最小值为. （2）依题意，得到的正方体新工件体积最大时，正方体的一个面在圆锥的底面圆内，且为圆锥的内接正方体， 设正方体的棱长为，沿正方体的对角面作圆锥的轴截面，如图，    则，显然，有，而， 因此，解得，则正方体工件体积. 30．（2024高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，底面半径为，高为，B是母线SA上一点，且．现要建设一条从A到B的环山观光公路；当公路长度最短时，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，则公路上坡路段长为 千米． 【答案】 【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用两点间的距离，结合图象，求长度. 【详解】由题意，半径为，山高为，则母线, 底面圆周长，所以展开图的圆心角， 如图，是圆锥侧面展开图，结合题意，, 由点S向引垂线，垂足为点，此时为点S和线段上的点连线的最小值， 即点为公路的最高点，段即为下坡路段， 则，即，得 上坡路段长度为. 故答案为： 31．（2024高三·全国·专题练习）如图，为圆锥的顶点，该圆锥的母线长为米，底面圆的半径为米，为底面圆周上一点，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线上的一点，则（ ） A．蚂蚁爬行的最短路程为米 B．当蚂蚁爬行的路程最短时，的最大值为 C．蚂蚁爬行的最短路程为米 D．当蚂蚁爬行的路程最短时，的最大值为 【答案】BC 【分析】 由侧面展开图，可知当为中点时，路程有最小值可判断AC，根据向量的数量积运算律及性质可知为直径时由最大值，可判断BD. 【详解】圆锥的侧面展开图如图所示， 的长为，， 为等边三角形， 取的中点，连接，则， 此时的长即蚂蚁爬行的最短路程，且最短路程为米，A错误，C正确； 当蚂蚁爬行的路程最短时，为的中点， 设中点为，如图， 则， ，， 则当为直径时，取得最大值，且最大值为，B正确，D错误． 故选：BC． 32．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，其母线长为，底面圆周上有，两点，下列说法正确的有（    ） A．截面的最大面积为 B．若，则直线与平面夹角的正弦值为 C．若一只小蚂蚁从圆锥底面圆周上一点绕侧面一周回到原点，则最短路程为 D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】BD 【分析】对于A，利用截面的面积为，即得的最大面积判断A；对于B，求出直线与平面夹角判断B；对于C，圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，最短路程；对于D，设，则，当，体积最大，进而得到其外接球表面积. 【详解】对于A，截面的面积为，所以当时，截面的面积最大，为，A错误． 对于B，设为圆锥底面圆的直径．由，得， 则．如图，取线段的中点，连接，． ，易知为等边三角形，平面． 所以点到平面的距离为， 所以直线与平面夹角的正弦值为，B正确．    对于C，圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为， 又因为，所以最短路程为，C错误． 对于D，，设，则， 所以当时，三棱锥的体积取得最大值， 此时外接球的半径， 则外接球的表面积，D正确． 故选：BD． 【点睛】关键点点睛：本题求解时一定要结合图形，抓住变化中的不变、运动中的静止，体会数形结合思想、转化与化归思想等多种数学思想方法的应用． 题型5圆台展开求最短路径 33．（2024高一下·安徽合肥·期中）圆台上底面半径为，下底面半径为，母线，在上底面上，在下底面上，从中点拉一条绳子，绕圆台侧面一周到点，则绳子最短距离为（    ）cm A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【分析】由题意需先画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则所求的最短距离是平面图形两点连线，根据条件求出扇形的圆心角以及半径长，再求出最短的距离． 【详解】画出圆台的侧面展开图， 并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为, 由图得：所求的最短距离是， 设，圆心角是， 则由题意知，①， ②， 由①②解得，， ∴，则． 则则绳子最短距离为20cm． 故选:D． 34．（2024高一下·浙江·期中）如图，在直角梯形中，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体. (1)求该几何体的表面积； (2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，求蚂蚁爬行的最短距离. 【答案】(1) (2)6. 【分析】（1）得到几何体为上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，求出表面积； （2）将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，作出辅助线，设，根据弧长得到方程，求出，进而得到为等边三角形， 求出最短路径为线段，得到答案. 【详解】（1）如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周， 形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台， 其表面积为. （2）将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环， 因为圆台上下底面半径的关系为， 所以，， 又∵， ∴， ∴， 设，则的弧长， 解得， 连接，为等边三角形， ∴ 所以蚂蚁从点A绕着圆台的侧面爬行一周，回到点A的最短路径即为线段， 所以蚂蚁爬行的最短距离为6. 35．（2024高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求出底面圆的半径，与上底面的半径，将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，设，利用弧长公式及求出与，再在中利用余弦定理求出即可. 【详解】因为圆的周长为，则底面圆的半径， 又，所以上底面半径为， 将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长、交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设，则，， 则，又，即，所以，则，， 在中由余弦定理 ， 所以蚂蚁爬行的最短路程为. 故选：A 36．（2024高三上·山西大同·期末）已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将圆台侧面展开成平面图形，在平面扇环中分析计算即得. 【详解】将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长交于点，连接，如图， 显然弧的长为，弧的长为，设，则，， 则，即，得，于是是的中点，， 因此是等边三角形，有，且与弧相切，则在此侧面展开图内， 所以蚂蚁爬行的最短路线即线段，. 故选：B 37．（2024·新疆喀什·二模）如图圆台，在轴截面中，，下面说法正确的是（    ） A．线段 B．该圆台的表面积为 C．该圆台的体积为 D．沿着该圆台的表面，从点到中点的最短距离为5 【答案】ABD 【分析】在等腰梯形中求出判断A；利用圆台表面积公式、体积公式计算判断BC；利用侧面展开图计算判断D. 【详解】显然四边形是等腰梯形，，其高即为圆台的高 对于A，在等腰梯形中，，A正确； 对于B，圆台的表面积，B正确； 对于C，圆台的体积，C错误； 对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中扇环且为中点， 而圆台对应的圆锥半侧面展开为且，又， 在△中，，斜边上的高为，即与弧相离， 所以C到AD中点的最短距离为5cm，D正确.    故选：ABD 38．（2024·安徽马鞍山·一模）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，点为的中点，则（    ） A．圆台的体积为 B．圆台的侧面积为 C．圆台母线与底面所成角为 D．在圆台的侧面上，从点到点的最短路径长为4 【答案】AC 【分析】求出圆台的高，根据圆台体积公式可判断A；根据圆台侧面积公式可判断B；作出圆台母线与底面所成角，解直角三角形可判断C；将圆台展开，将圆台的侧面上，从点到点的最短路径转化为展开图中的线段长，可判断D. 【详解】对于A：圆台的高为， 则圆台的体积，A正确； 对于B：根据圆台的侧面积公式，可得侧面积为．故B错误； 对于C：过A作交底面于F，而底面，故底面， ∴即为母线与底面所成角．    在等腰梯形中，，∴， ∵为锐角，∴．故C正确； 对于D：设圆台侧面展开图上底面圆周对应的扇形半径为，下底面圆周对应的扇形半径为， 设扇形圆心角为，则，则， 由于，则， 即圆台的侧面展开图为半圆环，如图示，在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为CE，    由题意可得：．由为中点，∴， ∴．故D错误． 故选： 39．（2024高二上·安徽亳州·开学考试）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台 ， 在轴截面中，，  则下列说法正确的是（     ）    A．该圆台的高为. B．该圆台的体积为 . C．圆台的轴截面面积为 D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为. 【答案】BCD 【分析】根据勾股定理、圆台体积公式、等腰梯形的面积公式，结合侧面展开图进行求解即可. 【详解】如图所示圆台的轴截面，    A：过点作，因此有， 所以A选项错误. B：由圆台体积公式求得该圆台的体积为 所以B选项正确. C：由梯形面积公式可得圆台的轴截面面积为， 所以C选项正确； D：把圆台补成圆锥，圆锥的顶点为，圆锥的侧面展开图如下图所示： 因为，所以， ， 于是有，因此， 由余弦定理可知：    因此D选项正确. 故选：BCD 【点睛】关键点题：本题的关键是把圆台补成圆锥. 题型6球面距离 40．（2007·江西）四面体 外接球球心在 上，且，，在外接球面上两点间的球面距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先求出球的半径，然后求出 的余弦值，求出角，再求其外接球面上两点间的球面距离． 【详解】由球心在上且，得球的半径 ， 则,又， 故 ，， 所以两点间的球面距离是 ． 故选：C． 41．（2005·山东）设地球的半径为R，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球面上两点间的位置关系，求出圆心角度数，即可求球面距离. 【详解】解：甲、乙两地在东经线上，所对圆心角为，所以甲、乙两地的球面距离为球面大圆周周长的，为， 故选：D. 42．（2024高二·重庆·期末）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根据任意两点的球面距离都等于大圆周长的，得到，，为等边三角形，再结合小圆的周长为，得到，最后根据等边三角形的性质即可得到球的半径. 【详解】 设球面上的3个点分别为，球心为，小圆圆心为，球的半径为，连接交于， 根据任意两点的球面距离都等于大圆周长的，可得，，所以，，为等边三角形，， 因为小圆的周长为，所以小圆半径为，则，，. 故选：B. 43．（2007·安徽）把边长为的正方形沿对角线折成直二面角，折成直二面角后，在A，B，C，D四点所在的球面上，B与D两点之间的球面距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点，说明即为外接球球心，证明是二面角的平面角，，由球面距离的定义计算． 【详解】取中点，连接，则，即为外接球球心， 又，所以是二面角的平面角，二面角是直二面角，所以， ，则，， 所以B与D两点之间的球面距离为． 故选：C． 44．（2024高三上·云南·阶段练习）球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线．已知A，B，C是球O球面上的三个点，，，三棱锥的体积为，则A，B两点测地线长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】易得截面圆的圆心在的中点处，则求得，，设，球半径为，利用三棱锥体积公式求得，则，即可求出测地线长. 【详解】由题意知，截面圆的圆心在的中点处， 所以平面，，， 设球半径为，， 解得，所以，而易知， 所以两点测地线长为， 故选：C． 题型7组合体展开求最短路 45．（2024高三上·湖北武汉·阶段练习）如图，一个几何体由一个长方体与一个半圆柱组成，且，分别为圆柱上下底面的直径，，，设，试求：（以下结果用表示） (1)该几何体的表面积与体积； (2)从点沿几何体表面到点的最短距离； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）直接计算体积和表面积得到答案. （2）当路径经过正方体表面时，；当路径经过半圆柱表面时，，根据大小关系得到答案. 【详解】（1）几何体的体积为： ； 几何体的表面积为：， （2）当路径经过正方体表面时，； 当路径经过半圆柱表面时，； 取，即， 当时，，， 当时，，， 即 46．（2024高二上·广东·期中）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示． （1）求此几何体的表面积； （2）如果点在直观图中所示位置，为所在母线中点，为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从点到点的最短路径长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据几何体的组成，应用圆锥、圆柱侧面积及底面积的求法，求几何体的表面积. （2）将所在的平面，延两点所在的母线剪开平展，应用平面图形的性质及勾股定理求到的最短路径长． 【详解】（1）由题设，此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和． 圆锥侧面积；圆柱侧面积；圆柱底面积， ∴几何体表面积为． （2）沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，展开如图． 则． ∴、两点间在侧面上的最短路径长为． 47．（2024·山西大同·模拟预测）如图，一建筑工地有墙面与水平面垂直并交于，长为米的钢丝连接平面内一点与平面内一点，点距均为3米，分别为的三等分点，若在平面内一点向点连绳子，则的最短长度为 米. 【答案】 【分析】利用对称找到满足要求的，即满足最小的点，再利用线段比例关系及勾股定理得到各线段长，求出，利用余弦定理求出答案. 【详解】如图1， 找点关于平面的对称点，连接交平面于， 其中截面图如图2所示， 则即为满足最小的点， 因为， 所以， ， 又， 在中，由余弦定理得 ， 即的最小值为. 故答案为： 48．（2024高一下·天津静海·期中）如图，AB是圆O的直径，点C是圆上异于A、B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB，BC＝2，点E在线段PB上，则CE+OE的最小值为 ． 【答案】 【分析】由已知可求得，在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，则当，，共线时，取得最小值，由，，可知为中点，由此可得长度的最小值． 【详解】在△POB中，PO＝OB，∠POB＝90°， 所以PB2， 同理PC＝2，所以PB＝PC＝BC， 在三棱锥P﹣ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示， 当O，E，C′共线时，CE+OE取得最小值， 又因为OP＝OB，C′P＝C′B， 所以OC′垂直平分PB，即E为PB中点． 从而OC′＝OE+EC′． 亦即CE+OE的最小值为：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查多面体上的距离问题，解决办法通常转化为平面上的距离问题来解决，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题． 49．（2024高一下·江苏无锡·期中）半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将几何体展开为平面图形，利用两点之间线段最短求的最小值. 【详解】将该半正多面体展开为平面，且在线段两侧（两线段在两点之间），如下图所示，      由半正多面体中，棱长为2，得，， 且，故， 所以，当且仅当在展开图中共线时等号成立. 故选：D. 【点睛】方法点睛： 空间图形求表面上折线段之和最小值时，关键是弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系，解决的方法就是把各侧面展开铺在平面上，根据“平面内连结两点的线段最短”的方法来解决. 50．（2024高一下·浙江·期中）如图，在平行六面体中，所有棱长为，，，分别取上的点使，以为圆心，为半径分别在平面和平面内作弧，并将两弧各六等分，等分点依次为以及，一只蚂蚁欲从点出发，沿平行六面体表面爬行至，则其爬行的最短距离为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】将四边形和四边形沿展开，使得两四边形在同一平面，连接，则的长度即为所求最短距离. 【详解】如图，将四边形和四边形沿展开，使得两四边形在同一平面， 连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短距离， 因为，分别为弧的六等分点，且，， 所以，， 所以， 又因为，所以， 故选：B $$