第01讲 数据的分析（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年八年级数学下册重难点突破+分层训练同步精讲练（人教版）

第01讲 数据的分析 【知识点一、平均数】 （1）加权平均数： 若n个数的权分别是，则有叫这n个数的加权平均数。 （2）当权为1时，就是我们小学学的算术平均数： 若n个数的权，则有叫这n个数的算术平均数。 （3） 平均数和加权平均数： ①都反映一组数据的集中趋势的“特征数” ②平均数描述的是一组数据平均水平，受极端值影响很大，数据中任何一个数据变动都会影响平均数的变动。 【知识点二、中位数】 （1）求法： ①将n个数由小到大（由大到小）排序，相同数排在一起，不可算作一个数据。 当n为奇数时，第个为中位数，当n为偶数时，第个和第个数的平均数为中位数。 （2）中位数描述数据集中趋势，代表数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不可利用所有数据信息。 【知识点三、众数】 反应一组数据中出现次数最多的数据。 说明： 1　 共同点：三者都反映数据的集中趋势的特征数。平均数反映整体数集中，中位数反映中间数，众数反映最多数。 2　 一组数据中，判断好坏，一般看平均分高低，当平均分相同时，看中位数，中位数相同时，看众数。 【知识点四、方差的概念】 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即 【知识点五、方差的计算】 （1）基本公式： （2）简化计算公式（Ⅰ）： 也可写成 此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 （3）简化计算公式（Ⅱ）： 当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据，，…，，那么， 此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。 （4）新数据法： 原数据的方差与新数据，，…，的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得的方差就等于原数据的方差。 【知识点六、标准差】 方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 题型一 求平均数 1．已知一组数据：，，，，．则这组数据的平均数是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-1】、在1，6，4，，2中，平均数是3，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练1-2】、一组数据，，，，的平均数是x，另一组数据，，，，的平均数是（　　） A．x B． C． D． 题型二 加权平均数 2．某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲分占，小明参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为（    ） A．81分 B．82分 C．83分 D．84分 【变式训练2-1】、厦门胡里山炮台历史上被称为“八闽门户、天南锁钥”，是全国重点文物保护单位，也是4A景区．近期，随着旅游业的复苏，该景区计划招聘一名工作人员，评委从笔试，面试两个方面为甲、乙、丙、丁四位应聘者打分（具体分数如表），按笔试占，面试占计算应聘者综合分，并录用综合分最高者，则最终录用的应聘者是（    ） 应聘者 笔试 面试 甲 90 90 乙 90 95 丙 95 90 丁 85 90 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式训练2-2】、某校诵读社招新时，设置应变能力、知识储备、朗读水平三个考核项目，综合成绩按照如图所示的比例确定．若小华三个项目的得分分别为90分，86分，92分，则小华的综合成绩为（    ） A．90.1分 B．89.4分 C．91分 D．88分 题型三 方差 3．已知数据的平均数是2，方差是，则数据的平均数和方差是（    ） A．2， B．4，4 C．6， D．6，4 【变式训练3-1】、已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（    ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．标准差为40 【变式训练3-2】、如图是根据甲、乙两名同学五次数学测试成绩绘制的折线统计图．比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（    ） A．甲同学成绩的平均分高，方差大 B．甲同学成绩的平均分高，方差小 C．乙同学成绩的平均分高，方差大 D．乙同学成绩的平均分高，方差小 题型四 求极值 4．成都市某一周内每天的最高气温为：（单位：），则这组数据的极差为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练4-1】、一组7个数据分别为，，，，，，．若去掉一个数据，平均数不变，则下列说法正确的是（   ） A．中位数与众数都不变 B．众数与方差都不变 C．中位数与极差都不变 D．众数与极差都不变 【变式训练4-2】、如果一组数据，0，3，5，的极差是9，那么x的值（　　） A．9 B．7 C． D．7或 题型五 标准差 5．已知一个样本a，4，2，5，3，它的平均数是3，则这个样本的标准差为（　　） A．0 B．1 C． D．2 【变式训练5-1】、数据21，22，23，24，25，…，40的标准差是S1，数据302，303，304，304，305，…，321的标准差是S2，则(    ). A．S1<S2 B．S1=S2 C．S1>S2 D．不能确定S1、S2的大小 【变式训练5-2】、已知数据1，2，3，3，4，5，则下列关于这组数据的说法错误的是（　　） A．平均数、中位数和众数都是3 B．极差为4 C．方差是 D．标准差是 题型六 求中位数 6．一组数据，，，，，则这组数据的中位数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-1】、适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分～80次/分．某校篮球队15名学生的心率测量数据如下表： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数/名 2 5 5 1 2 则这15名学生心率的中位数是（　　） A．65次/分 B．67.5次/分 C．70次/分 D．72.5次/分 【变式训练6-2】、七名同学某月阅读课外书的数量分别是6，3，3，4，5，4，3（单位：本），小明该月阅读了x本课外书，将x添加到前面这组数据后，这列数的中位数不变，则x可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型七 求众数 7．数据3，3，3，4，4，5，6的众数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练7-1】、小康同学连续15天进行了体温测量，结果统计如下表： 体温（） 36.3 36.4 36.6 36.7 36.9 天数（天） 3 4 5 2 1 这15天中，小康体温的众数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】、一个样本数据为：13，14，14，x，13，17，17，31，若其中众数为13，则x的值为(   ) A．13 B．14 C．17 D．20 题型八 体制健康成绩中的数据分析 8．某校为响应国家号召，将学生睡眠状况纳入学生体质健康检测和教育质量评价检测体系，为了解某校八年级500名学生的睡眠情况，从该年级10个班级中随机抽取50名学生进行调查，下列说法正确的是（    ） A．500名学生是总体 B．10个班级是抽取的一个样本 C．50是样本容量 D．每名学生是个体 【变式训练8-1】、为提高学生的中考体育成绩某校根据实际情况决定开设“A：篮球，B：足球，C：实心球，D：跳绳”四项运动项目.现需要了解每项运动项目参加的大致人数，随机抽取了部分学生进行调查（每名学生只能选择一项），并将调查结果绘制成如图所示的统计图，则全校1200名学生中参加实心球运动项目的学生人数大约是（    ） A．240 B．120 C．480 D．40 【变式训练8-2】、依据国家实行的《国家学生体质健康标准》，对怀柔区初一学生身高进行抽样调查，以便总结怀柔区初一学生现存的身高问题，分析其影响因素，为学生的健康发展及学校体育教育改革提出合理项建议.已知怀柔区初一学生有男生840人，女生800人，他们的身高在 范围内，随机抽取初一学生进行抽样调查．抽取的样本中，男生比女生多2人，利用所得数据绘制如下统计图表； 组别 身高 A B C D E 根据统计图表提供的信息，下列说法中 ①抽取男生的样本中，身高 之间的学生有18人； ②初一学生中女生的身高的中位数在组； ③抽取的样本中抽取女生的样本容量是38； ④初一学生身高在 之间的学生约有800人．其中合理的是（    ） A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 数据的分析 【知识点一、平均数】 （1）加权平均数： 若n个数的权分别是，则有叫这n个数的加权平均数。 （2）当权为1时，就是我们小学学的算术平均数： 若n个数的权，则有叫这n个数的算术平均数。 （3） 平均数和加权平均数： ①都反映一组数据的集中趋势的“特征数” ②平均数描述的是一组数据平均水平，受极端值影响很大，数据中任何一个数据变动都会影响平均数的变动。 【知识点二、中位数】 （1）求法： ①将n个数由小到大（由大到小）排序，相同数排在一起，不可算作一个数据。 当n为奇数时，第个为中位数，当n为偶数时，第个和第个数的平均数为中位数。 （2）中位数描述数据集中趋势，代表数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不可利用所有数据信息。 【知识点三、众数】 反应一组数据中出现次数最多的数据。 说明： 1　 共同点：三者都反映数据的集中趋势的特征数。平均数反映整体数集中，中位数反映中间数，众数反映最多数。 2　 一组数据中，判断好坏，一般看平均分高低，当平均分相同时，看中位数，中位数相同时，看众数。 【知识点四、方差的概念】 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即 【知识点五、方差的计算】 （1）基本公式： （2）简化计算公式（Ⅰ）： 也可写成 此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 （3）简化计算公式（Ⅱ）： 当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据，，…，，那么， 此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。 （4）新数据法： 原数据的方差与新数据，，…，的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得的方差就等于原数据的方差。 【知识点六、标准差】 方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 题型一 求平均数 1．已知一组数据：，，，，．则这组数据的平均数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 故选：． 【变式训练1-1】、在1，6，4，，2中，平均数是3，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解：在1，6，4，，2中，平均数是3， ， 解得：， ， 故选：B． 【变式训练1-2】、一组数据，，，，的平均数是x，另一组数据，，，，的平均数是（　　） A．x B． C． D． 【答案】C 【详解】解：这组数据，，，，的平均数是： 根据，，，，的平均数是x， ∴ , 把代入 ． 故选：C． 题型二 加权平均数 2．某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲分占，小明参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为（    ） A．81分 B．82分 C．83分 D．84分 【答案】C 【详解】解：（分）． 所以小明的最终成绩为83分． 故选：C． 【变式训练2-1】、厦门胡里山炮台历史上被称为“八闽门户、天南锁钥”，是全国重点文物保护单位，也是4A景区．近期，随着旅游业的复苏，该景区计划招聘一名工作人员，评委从笔试，面试两个方面为甲、乙、丙、丁四位应聘者打分（具体分数如表），按笔试占，面试占计算应聘者综合分，并录用综合分最高者，则最终录用的应聘者是（    ） 应聘者 笔试 面试 甲 90 90 乙 90 95 丙 95 90 丁 85 90 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【详解】解：甲的综合分：（分）， 乙的综合分：（分）， 丙的综合分：（分）， 丁的综合分：（分）， 则最终录用的应聘者是是乙， 故选：B． 【变式训练2-2】、某校诵读社招新时，设置应变能力、知识储备、朗读水平三个考核项目，综合成绩按照如图所示的比例确定．若小华三个项目的得分分别为90分，86分，92分，则小华的综合成绩为（    ） A．90.1分 B．89.4分 C．91分 D．88分 【答案】B 【详解】解：根据题意得： （分）， 故选B． 题型三 方差 3．已知数据的平均数是2，方差是，则数据的平均数和方差是（    ） A．2， B．4，4 C．6， D．6，4 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【变式训练3-1】、已知数据的方差计算公式为，则这组数据的（    ） A．方差为40 B．中位数为4 C．平均数为4 D．标准差为40 【答案】C 【详解】解：∵数据的方差计算公式为， ∴这组数据的平均数为4， 故选：C． 【变式训练3-2】、如图是根据甲、乙两名同学五次数学测试成绩绘制的折线统计图．比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（    ） A．甲同学成绩的平均分高，方差大 B．甲同学成绩的平均分高，方差小 C．乙同学成绩的平均分高，方差大 D．乙同学成绩的平均分高，方差小 【答案】C 【详解】解：乙同学的平均分是：， 甲同学的平均分是：， 因此乙的平均数较高； ， 乙的方差大，不稳定，甲的方差小，比较稳定； 故选：C 题型四 求极值 4．成都市某一周内每天的最高气温为：（单位：），则这组数据的极差为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：； 故选C． 【变式训练4-1】、一组7个数据分别为，，，，，，．若去掉一个数据，平均数不变，则下列说法正确的是（   ） A．中位数与众数都不变 B．众数与方差都不变 C．中位数与极差都不变 D．众数与极差都不变 【答案】D 【详解】解：一组7个数据分别为、、、、、、的平均数为3，则去掉的数据为3；新的这组数据为、、、、、； 原数据的中位数为3，众数为2，极差为3，方差为； 新数据的中位数为，众数为2，极差为3，方差为； 综上，两组数据的众数和极差都不变． 故选：D． 【变式训练4-2】、如果一组数据，0，3，5，的极差是9，那么x的值（　　） A．9 B．7 C． D．7或 【答案】D 【详解】解：当为最大值时，， 解得：， 当为最小值时，， 解得：． 故选：D． 题型五 标准差 5．已知一个样本a，4，2，5，3，它的平均数是3，则这个样本的标准差为（　　） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】由题意得：，解得：， ∴这个样本的标准差=. 故选C. 【变式训练5-1】、数据21，22，23，24，25，…，40的标准差是S1，数据302，303，304，304，305，…，321的标准差是S2，则(    ). A．S1<S2 B．S1=S2 C．S1>S2 D．不能确定S1、S2的大小 【答案】B 【详解】试题解析：由题意知，设原来的平均数为，每个数据都加了281，则平均数变为 原来的方差 现在的方差 方差相等，则标准差也相等. 故选B. 【变式训练5-2】、已知数据1，2，3，3，4，5，则下列关于这组数据的说法错误的是（　　） A．平均数、中位数和众数都是3 B．极差为4 C．方差是 D．标准差是 【答案】D 【详解】解：这组数据的平均数为：（1+2+3+3+4+5）÷6＝3，出现次数最多的是3，排序后处在第3、4位的数都是3，因此众数和中位数都是3，因此选项A不符合题意； 极差为5﹣1＝4，B选项不符合题意； S2＝×[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝，C选项不符合题意； S＝，因此D选项符合题意， 故选：D． 题型六 求中位数 6．一组数据，，，，，则这组数据的中位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵按从小到大的顺序排列为，，，，， ∴这组数据的中位数为， 故选：D． 【变式训练6-1】、适量的运动有助于身体健康．经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分～80次/分．某校篮球队15名学生的心率测量数据如下表： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数/名 2 5 5 1 2 则这15名学生心率的中位数是（　　） A．65次/分 B．67.5次/分 C．70次/分 D．72.5次/分 【答案】C 【详解】解：∵共有15名学生，中位数是第8个数， ∴这15名学生心率的中位数是70次/分； 故选：C． 【变式训练6-2】、七名同学某月阅读课外书的数量分别是6，3，3，4，5，4，3（单位：本），小明该月阅读了x本课外书，将x添加到前面这组数据后，这列数的中位数不变，则x可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：3，3，3，4，4，5，6，则中位数为4， 增加一个数后，这列数的中位数仍不变， 则这组数据从小到大排列为：3，3，3，4，，4，5，6，或3，3，3，，4，4，5，6， ， 解得． 故选：D． 题型七 求众数 7．数据3，3，3，4，4，5，6的众数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：在数据3，3，3，4，4，5，6中，3出现的次数最多，故众数是3． 故选：A． 【变式训练7-1】、小康同学连续15天进行了体温测量，结果统计如下表： 体温（） 36.3 36.4 36.6 36.7 36.9 天数（天） 3 4 5 2 1 这15天中，小康体温的众数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：出现的次数最多， ∴这15天中，小康体温的众数为． 故选：C 【变式训练7-2】、一个样本数据为：13，14，14，x，13，17，17，31，若其中众数为13，则x的值为(   ) A．13 B．14 C．17 D．20 【答案】A 【详解】解：该组数据中，已经有2个13，2个14和2个17，若众数为13，则13出现的次数最多，x的值为13， 故选：A． 题型八 体制健康成绩中的数据分析 8．某校为响应国家号召，将学生睡眠状况纳入学生体质健康检测和教育质量评价检测体系，为了解某校八年级500名学生的睡眠情况，从该年级10个班级中随机抽取50名学生进行调查，下列说法正确的是（    ） A．500名学生是总体 B．10个班级是抽取的一个样本 C．50是样本容量 D．每名学生是个体 【答案】C 【详解】解：A、500名学生的睡眠情况是总体，选项错误； B、抽取的50名学生的睡眠情况是样本，选项错误； C、50是样本容量，选项正确； D、每名学生的睡眠情况是个体；选项错误； 故选：C． 【变式训练8-1】、为提高学生的中考体育成绩某校根据实际情况决定开设“A：篮球，B：足球，C：实心球，D：跳绳”四项运动项目.现需要了解每项运动项目参加的大致人数，随机抽取了部分学生进行调查（每名学生只能选择一项），并将调查结果绘制成如图所示的统计图，则全校1200名学生中参加实心球运动项目的学生人数大约是（    ） A．240 B．120 C．480 D．40 【答案】A 【详解】由题意可得：本次调查的人数为， 则全校1200名学生中参加实心球运动项目的学生人数大约是： ， 故选：A． 【变式训练8-2】、依据国家实行的《国家学生体质健康标准》，对怀柔区初一学生身高进行抽样调查，以便总结怀柔区初一学生现存的身高问题，分析其影响因素，为学生的健康发展及学校体育教育改革提出合理项建议.已知怀柔区初一学生有男生840人，女生800人，他们的身高在 范围内，随机抽取初一学生进行抽样调查．抽取的样本中，男生比女生多2人，利用所得数据绘制如下统计图表； 组别 身高 A B C D E 根据统计图表提供的信息，下列说法中 ①抽取男生的样本中，身高 之间的学生有18人； ②初一学生中女生的身高的中位数在组； ③抽取的样本中抽取女生的样本容量是38； ④初一学生身高在 之间的学生约有800人．其中合理的是（    ） A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 【答案】B 【详解】解：由直方图可知，抽取男生的样本中，身高在155≤x＜165之间的学生有8+10=18人，故①正确； 由A与B的百分比之和为10.5%+37.5%=48%＜50%，则女生身高的中位数在C组，故②错误； ∵男生身高的样本容量为4+8+10+12+8=42， ∴女生身高的样本容量为40，故③错误； ∵女生身高在160cm至170cm（不含170cm）的学生有40×（30%+15%）=18人， ∴身高在160cm至170cm（不含170cm）的学生有（840+800）×=800（人），故④正确； 故选B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$