小升初典型应用题：多次相遇问题（讲义)-2023-2024学年六年级下册数学人教版

多次相遇问题 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 多次相遇的基本公式和方法计算： 距离、速度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离＝速度×时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量． 还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S甲、S乙；速度分别为V甲、V乙；所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲＝V甲×T甲，S乙＝V乙×T乙，有如下关系： （1）当时间相同即T甲＝T乙时，有S甲：S乙＝V甲：V乙； （2）当速度相同即V甲＝V乙时，有S甲：S乙＝T甲：T乙； （3）当路程相同即S甲＝S乙时，有V甲：V乙＝T乙：T甲． 在多次相遇、追及问题中，用比例方法来解往往能收到很好的效果． 第二部分 典型例题 典型例题一：大宝和小宝两人同时分别从甲、乙两地相对出发，各自到达对方地点后立即返回，第一次相遇时大宝比小宝多走了80米，求第二次相遇地点距离中点多少米？ 【答案】120米 【分析】第一次相遇的路程差是相遇地点距中点距离的2倍，所以第一次相遇地距中点距离为80÷2＝40（米），即第一次相遇大宝走了全程的一半多40米，从出发到第二次迎面相遇所走的路程是第一次相遇所走路程的3倍，即大宝走了全程的1.5倍多40×3＝120（米），由此得解。 【详解】解法1： 第一次相遇距中点距离：80÷2＝40（米） 第二次相遇距中点距离：40×3＝120（米） 答：第二次迎面相遇地点距离中点120米。 解法2： 设第一次相遇，小宝走了x米，大宝走了x＋80米， 那么全程为x＋x＋80＝2x＋80米，半程为x＋40米， 从出发到第二次相遇，小宝走了3x米， 则第二次迎面相遇距离中点： x＋40－[3x－（2x＋80）] ＝x＋40－[3x－2x－80] ＝ x＋40－[x－80] ＝ x＋40－x＋80 ＝120（米） 答：第二次迎面相遇地点距离中点120米。 【点睛】本题考查二次相遇问题，关键是画图分析出第一次相遇点距离中点的距离是两人路程差的一半，或者列代数式进行计算分析。 典型例题二：甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，往返跑步．甲每秒跑3米，乙每秒跑7米．如果他们的第四次相遇点与第五次相遇点的距离是150米，求A、B两点间的距离为多少米？ 【答案】250米 【详解】假设A、B两地相距单位“1”， 甲乙两人第四次相遇时共行程2×4-1=7，第五次相遇时共行程2×5-1=9． 第四次相遇时甲走了：， 第五次相遇时甲走了， 可见两次相遇地点相距：， 所以全程AB为（米）． 典型例题三：快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶。快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米。两车第二次相遇时，快车比慢车多行了210千米。求甲、乙两地间的路程。 【答案】250千米 【分析】由题目可知快车每小时比慢车要多行（）千米，而两辆车第二次相遇时快车一共比慢车多行210千米，由此我们可以求出在第二次相遇时它们一共行了多少小时；由题目已知两车相对开出并往返行驶，因此根据它们行驶方式我们可知，它们第二次相遇时两车一共行驶了3个两地间的路程；可以利用第二次相遇时它们行驶的时间求出1个两地间的路程两车一共花费的时间，最后根据两车的速度求出甲、乙两地间的路程。 【详解】两车的速度差： ＝35（千米）； 到第二次相遇行驶的时间：210÷35＝6（小时）； 1个两地间路程所用的时间：6÷3＝2（小时）； 两地间的路程：2×（） ＝2×125 ＝250（千米）； 答：甲、乙两地间的路程是250千米。 【点睛】这是一道典型的行程问题，里面包含路程、时间、速度三个量。而这类问题解题的关键及规律有： 同时同地相背而行：路程＝速度和×时间； 同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间； 同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差； 同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间。 第三部分 高频真题 1．甲，乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？ 2．有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米? 3．甲、乙、丙三人在学校到体育场的路上练习竞走，甲每分比乙多走10米，比丙多走31米．上午9点三人同时从学校出发，上午10点甲到达体育场后立即返回学校，在距体育场310米处遇到乙． 问：（1）从学校到体育场的距离是多少？ （2）甲与丙何时相遇（精确到秒）？ 4．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地68千米处相遇，两车各自到达对方车站后，立即返回原地，途中又在距A地52千米处相遇。求两次相遇地点之间的距离。 5．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇．求A、B两地间的路程． 6．小华、小明、小丽三人步行，小明每分钟走50米，小华每分钟比小明快10米，小丽每分钟比小明慢10米，小华从甲地，小明、小丽从乙地同时出发相向而行，小华和小明相遇后，过了15分钟又和小丽相遇，求甲、乙两地间的距离？ 7．快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？ 8．甲乙两车同时从A地出发，向B地匀速行驶，与此同时，丙车从B地出发向A地匀速行驶，当丙行了30千米时与甲相遇，相遇后甲立即掉头，并且将速度提高到原来的2倍，当甲乙两车相遇时，丙行驶了40千米。当乙丙两车相遇时，甲恰好回到A地，那么AB两地的距离是多少千米？ 9．苏步青是我国著名的数学家，他小时候，有人曾给他出了这样一道数学题：甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是1000米，甲每分钟走120米，乙每分钟走80米，甲带着一只狗，狗每分钟走500米，这只狗与甲一道出发，碰到乙的时候，它又掉头朝甲这边走，碰到甲的时候，又往乙这边走，直到两人相遇，问这只狗走了多少米？你能像苏步青一样，很快说出这道题的答案吗？ 10．小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？ 11．快、慢两车同时从甲、乙两车站迎面开来，快车每小时行驶100km，慢车每小时行驶65km．两车到达车站后立即往回开，第二次相遇时快车比慢车多行驶了210km．求甲、乙两车站间的距离． 12．甲、乙两车分别同时从、两地相对开出，第一次在离地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离地25千米处相遇．求、两地间的距离． 13．如图,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米? 14．甲、乙两名选手在一条河中进行划船比赛，赛道是河中央的长方形ABCD，其中AD=100米，AB=80米，已知水流从左到右，速度为每秒1米，甲乙两名选手从A处同时出发，甲沿顺时针方向划行，乙沿逆时针方向划行，已知甲比乙的静水速度每秒快1米，（AB、CD边上视为静水），两人第一次相遇在CD边上的P点，4CP=CD，那么在比赛开始的5分钟内，两人一共相遇几次？ 15．甲、乙两辆汽车同时分别从、两地相对开出，甲车每小时行千米，乙车每小时行千米．甲、乙两车第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到达、两地后， 立即按原路原速返回．两车从开始到第二次相遇共用小时．求、两地的距离？ 16．在公路上，汽车、、分别以，，的速度匀速行驶，若汽车从甲站开往乙站的同时，汽车、从乙站开往甲站，并且在途中，汽车在与汽车相遇后的两小时又与汽车相遇，求甲、乙两站相距多少？ 17．甲、乙两人在相距90米的直路上来回的跑步，甲的速度是每秒钟3米，乙的速度是每秒钟2米，如果他们分别在直路的两端出发，跑了12分钟，共相遇多少次？ 18．如图，在一个周长为400米的圆形跑道上等距离分布着A、B、C、D四点，甲从点C出发，以5米/秒的速度顺时针跑向点D，到点D后转向跑回点C；乙从点B出发，以3米/秒的速度逆时针跑向点A，到达点A后转向跑回点B。甲与乙同时起跑，各自的速度不变，且不计转身时间。 （1）甲与乙第一次相遇时距离点D多少米？ （2）甲与乙第二次相遇（追上也算相遇）时距离点D多少米？ 19．甲、乙两车分别同时从、两地相对开出，第一次在离地千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离地千米处相遇．求、两地间的距离？ 20．成才和许三多两人在钢七连军训场的同一条环形跑道上进行跑步训练。他们同时同地出发，沿相反方向开始跑步，开始时许三多的速度是成才的。每人跑完一圈后，都立即回头加速跑下一圈，成才的速度比前一圈提高，许三多的速度比前一圈提高。两人每相遇两次，就以其中第二次的相遇点作为新的出发点，跑步规则不变（第一圈仍回到原速，第二圈加速），如此持续跑下去。 记他们最初的出发点为，第一次相遇点为，第二次相遇点为。已知和在环形跑道上的最短距离为190米。 （1）求这条环形跑道的长度。 （2）他们能否同时回到最初的出发点？如果能，这时成才和许三多两人各跑了多少米？如果不能，说明理由。 21．甲、乙两车同时从相距300km的两站相向开出，到达对方站后立即返回．经过5小时甲、乙两车在途中相遇，相遇时甲车比乙车多行驶了120km．求两车的速度． 22．甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出（甲从A地，乙从B地），第一次相遇后两车继续前进，第二次相遇时乙车离A地120千米，已知甲、乙两车速度比为5∶4，求AB两地路程。 23．甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离。 24．甲、乙两车同时从东城出发，开往相距750千米的西城，甲车每小时行68千米，乙车每小时行57千米，甲车到达西城后立刻返回．两车从出发到相遇一共经过多长时间？ 25．甲、乙二人相距2000米，两人同时从两地相向而行．甲分钟走60米，乙每分钟走40米，甲带着一只狗，同甲一起出发，狗每分钟走100米，碰到乙时狗立即调头往甲的方向走，碰到甲时又立即调头向乙的方向走，如此继续往返，当甲和乙相遇时，这只狗一共走了多少米？ 26．甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？ 27．客车、货车、卡车三辆车，客车每小时行60千米，货车每小时行50千米，卡车每小时行55千米．客车、货车从东镇，卡车从西镇，同时相向而行，卡车遇上客车后，10小时后又遇上了货车．东西两镇相距多少千米？ 28．A、B两地相距1000米，甲从地、乙从地同时出发，在、两地间往返锻炼．乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行60米．在30分钟内，甲、乙两人第几次相遇（含追及）时距B地最近？最近距离是多少？ 29．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,在A、B两地之间不断往返行驶.甲、乙两车的速度比为3:7,并且甲、乙两车第1996次相遇的地点和第1997次相遇的地点恰好相距120千米(注:当甲、乙两车同向时,乙车追上甲车不算作相遇).那么,A、B两地之间的距离是多少千米? 30．快、慢两辆汽车同时从A、B两地相向而行，快车每小时行45千米，慢车每小时行30千米．两车不断往返于A、B两地运送货物．当两车第三次相遇后，快车又行了270千米才与慢车相遇．求A、B两地间的距离． 31．如图，AC，CD，DE和EB的长度都是30米。甲、乙二人分别在A，B两处进行折返跑练习。甲从A出发先到C，然后返回到A，再到D，又返回A，再到E，返回到A，最后到B并返回到A。乙练习的方法和甲一样。已知甲、乙二人的速度分别是每秒4米和每秒6米。如果不计两人调头时间，问： （1）如果两人同时开始练习，那么出发多长时间后，甲、乙二人第一次相遇？ （2）如果甲比乙提前9秒开始练习，那么两人在练习的过程中一共相遇了多少次？（追上也认为是相遇。） 32．A，B两地相距540千米．甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快．设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地．那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？ 33．有一辆火车以每小时 15公里的速度离开洛杉矶直奔纽约，另一辆火车以每小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶．如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从洛杉矶出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，请问，这只小鸟飞行了多长距离？ 34．甲、乙、丙三车同时从地出发到地去．甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米．有一辆卡车同时从地迎面开来，分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度． 35．A、B两地相距24千米，甲和乙两人分别由A、B两地同时相向而行，往返一次，甲比乙早返回原地．途中两人第一次相遇于C点，第二次相遇于点D．CD相距6千米，则甲、乙两人的速度比是为多少？ 36．甲、乙两名同学在周长为米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑米，乙每秒钟跑米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 37．△ABC是一个等边三角形跑道，D在A、B之间，且有AD：BD＝2：3，某日甲、乙、丙三人从A、B、C同时出发（如图所示），甲、乙按顺时针方向跑步，丙按逆时针跑步，当甲、丙第一次相遇时，乙正好走到B；当乙、丙第二次相遇是在D时，甲走了2012米，那么，△ABC的周长是多少米. 38．甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲的速度是乙的速度的2倍，二人相遇后继续行进，甲到B地，乙到A地后都立即返回。已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点20千米，求A、B两地的距离。 39．如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长． 40．小华和小明同时从甲、乙两城相向而行，在离甲城85千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，又在离甲城35千米处相遇，两城相距多少千米？ 41．甲、乙两列火车同时分别从A、B两地相对开出，甲车的速度是58千米／小时，乙车的速度是46千米／小时，甲、乙两车相遇后继续前进，甲到达B地，乙到达A地后，立即按原路返回，两车从开始到第二次相遇共用9小时，求A、B两地相距多少千米？ 42．甲、乙二人同时从A、B两地，相向而行，相遇后继续行进，到达目的地后，立即折返，就这样不停的往返于两地之间，并且不断的相遇，第8次和第10次相遇的地点相距54米，已知，甲的速度是乙的速度的，那么，A、B两地的距离是多少米？ 43．有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒．问：队伍有多长？ 44．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米，则A、B相距多少千米？ 45．小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？ 46．如图，喜羊羊和美羊羊两只羊为防备灰太狼的攻击，在森林公园建一正方形训练场练习跑步，并标明A，B，C，D四个顶点。它们沿着正方形的边长练习跑步，美羊羊从A处沿顺时针方向跑，喜羊羊从C处沿逆时针方向跑。若喜羊羊的速度是美羊羊的4倍，则它们第2009次相遇在什么位置？ 47．环形跑道400米，小百小合背向而行，小百6米/秒，小合4米/秒，当小百正面和小合相遇时，立刻转向跑．当小百追上小合时，小合立即转向跑，两人第11次碰头时离起点多少米？（按较短计算） 48．甲、乙二人同时分别从、两地出发，相向匀速而行．甲到达地后立即往回走，乙到达地后也立即往回走．已知他们第一次相遇在离，中点2千米处靠一侧，第二次相遇在离地4千米处．、两地相距多少千米？ 49．甲、乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动。两人在中途的C加油站处第一次迎面相遇，相遇后，两人继续行进并在D加油站处第二次迎面相遇。若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间距离为60千米，则从A地到B地的全程为多少千米？ 50．、两地间有条公路，甲从地出发，步行到地，乙骑摩托车从地出发，不停地往返于、两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达地时，乙追上甲几次？ 51．甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离． 52．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米，则A、B相距多少千米？ 53．电子游戏《保卫家园》中有两个警卫兵每天在乐乐家门前一条长20厘米的路上巡逻，大警卫每秒走0.5厘米，小警卫每秒走0.3厘米，每天早晨俩人同时从路的两段相向走来，走到对方出发地点再向后转接着走．当他们第三次相遇时，大警卫走了多少厘米？ 54．小乌龟和小兔赛跑，比赛场地从起点到插小红旗处为104米。比赛规定：小兔从起点出发跑到小红旗处立即返回，跑到起点处再立即返回……已知小兔每秒跑10.2米，小乌龟每秒爬0.2米。如果从起点同时出发算它们第1次相遇（同时到达同一地点就叫相遇），那么： （1）出发后多长时间它们第2次相遇？ （2）它们第3次相遇时距起点有多远？ 55．汽车从A地出发，到B地去，一人骑自行车同时从B地出发到A地去，当汽车与骑自行车人第一次相遇时，距B地12.8千米，自行车与汽车继续以原速驶到各自的目的地后立即返回，第二次相遇时，距A地0.24千米，求AB两地间的路程是多少千米？ 参考答案： 1．15次 【分析】10分钟两人共跑了：（3＋2）×60×10＝3000（米），（3000÷100＝30）个全程。我们知道两人同时从两地相向而行，他们总是在奇数个全程时相遇（不包括追上）1、3、5、7…29共15次。 【详解】（3＋2）×60×10 ＝5×60×10 ＝3000（米） 3000÷100＝30（个） 30÷2＝15（次） 答：共相遇15次。 【点睛】要明确：在奇数个全程时相遇（不包括追上），是解答此题的关键。 2．37800 【详解】甲、丙6分钟相遇的路程：(米)； 甲、乙相遇的时间为：(分钟)； 东、西两村之间的距离为：(米). 3．（1）9300米   （2）甲与丙在10时6分40秒相遇 【详解】（1）从出发到甲、乙相遇，甲比乙多走了620米，又甲比乙每分多走10米，所以从出发到甲、乙相遇共用62分钟．甲从体育场返回学校只走了62-60=2（分钟）就遇到了乙，所以甲的速度为310÷2＝155（米/分），学校到体育场的距离为155米/分×60分＝9300（米）． （2）丙的速度为155－31＝124（米/分），甲和丙相遇需要走两个学校到体育场的路程为：9300×2＝18600（米）．所以相遇时间为：，所以甲与丙在10时6分40秒相遇． 4．32千米 【分析】第一次相遇时乙走了68千米，两车合走了1个AB两地的路程，第二次相遇时，两车合走了3个AB两地的路程，因为速度不变，相当于重复第一次相遇3次，所以乙走了3个68千米，即68×3千米，且第二次相遇时，乙自己走了1个AB全程多52千米，所以一个全程＝204－52＝152千米，即AB两地相距152千米。所以两次相遇地点的距离＝152－68－52千米。列成综合算式是：68×3－52－（68＋52）。 【详解】68×3－52－（68＋52） ＝203－52－120 ＝32（千米） 答：两次相遇地点之间的距离是32千米。 【点睛】本题主要通过分析每次相遇所行路程与全程的关系求得每次相遇时乙所行的路程进行解答的。 5．150千米 【分析】根据题意可画出线段图： 由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了80千米．两车同时出发同时停止，共行了3个全程．说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米． 【详解】解：（80×3＋60）÷2＝150（千米） 答：A、B两地间的路程是150千米． 6．16500米 【分析】小明的速度为50米/分，小华的速度为60米/分，小丽的速度为40米/分． 【详解】解：设小华和小明相遇的时间为x分钟，根据题意列方程 （50+60）×x=(40+60)×(x+15) x=150分 甲乙两地间的距离为：（50+60）×150 =110×150 =16500（米） 答：甲乙两地间的距离是16500米． 7．10小时48分 【分析】画一张示意图： 设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5（小时）.我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位. 有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了. 【详解】由分析可知，慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时. 此时快车行驶7小时，共行驶3×7=21（单位）. 从B到C再往前一个单位到D点，离A点15-1＝14（单位）. 现在慢车从A，快车从D，同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是14÷（2＋3）＝2.8（小时）. 慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了7.5＋0.5＋2.8＝10.8（小时）. 答：从第一相遇到再相遇共需10小时48分. 8．54千米 【分析】此行程问题比较复杂，既有变速问题，又有多次相遇问题。我们可以分开考虑。 由图可知，甲到达某地又立即2倍速度返回，可以假设甲走了3份时间，因为往返两地总路程不变，速度和时间成反比，返回是去时速度的2倍说明去时用了2份时间，返回用了1份时间；乙的速度没有发生变化，我们可以假设一份时间内乙走的路程是a，可以得出整个行程过程中乙走的路程是3a；再回头考虑丙。根据题意，找出甲乙丙三人的行程与总路程的关系，列方程即可解答。 【详解】解：设甲一共走了3份时间，那么从A地到某地用了2份时间，从某地回到A地一共用1份时间； 根据第一次相遇丙行了30千米，可以计算出丙1份时间的路程：30÷2＝15千米，丙与乙相遇时丙一共行了30＋15＝45千米； 乙一份时间路程是a，那么3份时间内，乙走的路程是3a，故AB两地的距离是（3a＋45）千米； 甲3份时间内走了从A地到某地路程的2倍，所以甲第一次走的路程是：15＋3a； 甲乙两车相遇时，丙又走了40－30＝10千米，说明时间用了：10÷15＝份； 那么第二次相遇时，乙一共走的路程是：2a＋a，甲从某地返回走的路程是×（3a＋15），两项加起来正好是A地到某地的距离，据此等量关系可列方程： 3a＋15＝2a＋a＋×（3a＋15） 化简得 解得， 3a＋45＝3×3＋45＝54（千米） 答：AB两地的距离是54米。 【点睛】考查了复杂行程问题及列方程解决实际问题的能力。解答行程问题时，最好画出线段图，帮助理解。 9．2500米 【分析】根据关系式路程=速度×时间，要求出狗走的路程，必须知道速度和所用的时间．狗的速度是每分钟500米，关键求出狗走的时间．由题意知，狗是与人同时行走，直到甲、乙两人相遇，那么狗走的时间与甲、乙两人的相遇时间相等． 【详解】甲、乙两人相遇时，所用的时间：1000÷（120+80）=1000÷200=5（分钟） 也就是说狗在甲、乙两人之间来回跑所用的时间是5分钟，则狗跑的路程是：500×5=2500（米） 答：狗一共跑了2500米． 【点睛】此题乍看起来很复杂，狗在两人之间跑来跑去似乎存在着多个相遇的问题．但仔细审题会发现在表面上变化的条件中存在着不变的数量和关系，找出它，问题就解决了． 10．3小时15分 【分析】画一张示意图： 图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离，它等于(4.8+10.8)=1.3(千米) 这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）. 这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间. 小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地时间及 从乙地到甲地需要的时间均可求． 【详解】(4.8+10.8)=1.3(千米) 1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟） 130÷2=65（分钟） 130＋65=195（分钟）＝3小时15分 答：小李从乙地到甲地需要3小时15分. 11．330km 【详解】快车慢车总共花的时间是一样的.快车每小时比慢车多走35千米,多行驶了210千米,说明一共行驶了210÷35=6小时.第二次相遇两辆车一共行驶了3个车站的距离． （100+65）×（210÷35÷3）=330（km） 12．260千米 【详解】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线) 可以发现第一次相遇意味着两车行了一个、两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个、两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个、两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个、两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即(千米)，而这285千米比一个、两地间的距离多25千米，可得：(千米)． 13．660 【详解】根据题意可知，甲、乙只可能在右侧的半跑道上相遇． 易知小跑道上左侧的路程为100米,右侧的路程为200米,大跑道上的左、右两侧的路程均是200米． 我们将甲、乙的行程状况分析清楚． 当甲第一次到达点时,乙还没有到达点,所以第一次相遇一定在逆时针的某处． 而当乙第一次到达点时，所需时间为秒,此时甲跑了米,在离点米处． 乙跑出小跑道到达点需要秒,则甲又跑了米,在点左边米处． 所以当甲再次到达处时,乙还未到处,那么甲必定能在点右边某处与乙第二次相遇． 从乙再次到达处开始计算,还需秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了秒． 所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了米． 14．5次 【详解】这道题涉及到两个人在3种水流环境中的共计6种速度，所以整个行程过程非常复杂，但如果各个速度之间的关系已知，那么只要知道其中一个速度就可以求得所有的速度，由此可以列出方程． 解:设乙的速度为x米/秒，根据两人的游程距离和速度，可列出方程： 解得：x=3．所以甲的速度为3+1=4(米/秒)． 甲游一圈需要（秒） 乙游一圈需要（秒） 5分钟内，甲游了3圈还多20秒，乙游了2圈还多秒． 多余的时间不够合游一圈，所以两人合游了5圈． 因为每次两人相遇时，他们的游程之和增加了一圈，所以两人共相遇了5次． 15．174千米 【详解】甲、乙两车从出发到第一次相遇共同行完一个间的路程，第一次相遇后继续前进，各自到、两地后，又共同行完一个间的路程．当甲、乙两车第二次相遇时，又共同行完一个间的路程．因此，甲、乙两车从开始到第二次相遇共行个间的路程．甲、乙速度和：(千米)，个间路程：(千米)，、相距：(千米)． 16．1950千米 【详解】汽车在与汽车相遇时，汽车与汽车的距离为：千米，此时汽车与汽车的距离也是260千米，说明这三辆车已经出发了小时，那么甲、乙两站的距离为：千米． 17．20次 【分析】12分钟=720秒，两人的速度和是3+2=5米，720×5=3600米，也就是两个人一共走了3600米，相当于3600÷90=40个全程．两人相向而行第一次相遇时行了一个全程，之后每两个全程相遇一次，所以，第1个全程相遇1次，后面39个全程相遇19次，总共20次． 【详解】12分钟=720秒 （3+2）×720 =5×720 =3600（米） 3600÷90=40 （40-1）÷2=19……1 19+1=20（次） 答：跑了12分钟共相遇20次． 18．（1）12.5米；（2）50米 【分析】（1）A、B、C、D四点是等距离分布，则每一段的距离是100米。当甲与乙第一次相遇时，甲的路程加乙的路程等于C到B之间的路程也就是3段的路程为300米，时间＝路程÷甲和乙的速度和。得出甲和乙再37.5秒的时候相遇了，这时甲跑了187.5米，甲从C到D之间的距离是两段的距离是200米。距离D点的距离＝200－甲跑的路程。 （2）当第二次相遇时，在第一次相遇的基础上，甲到了D点回头向A跑，乙过了D点继续向A跑，这时乙跑的方向和甲跑的方向一样，这时就是一个追及的过程，甲在后面乙在前面，当甲到了D点时用了40秒，这时乙跑了120米，追及路程＝乙跑的120米－BD之间的距离。追及的时间＝追及的路程÷速度差。这时距离D点的距离就是甲从D点返回时的路程＝追及的时间×甲的速度。 【详解】（1）400÷4＝100（米） 100×3÷（5＋3） ＝300÷8 ＝37.5（秒） 37.5×5＝187.5（米） 2×100－187.5 ＝200－187.5 ＝12.5（米） 答：甲与乙第一次相遇时距离点D12.5米。 （2）100×2÷5 ＝200÷5 ＝40（秒） （40×3－100）÷（5－3） ＝（120－100）÷2 ＝20÷2 ＝10（秒） 10×5＝50（米） 答：甲与乙第二次相遇时距离点D50米。 【点睛】行程的问题分为两种，一种是相遇，则路程＝相遇的时间×速度和；一种是追及，追及的路程（后面的人与前面人之间的距离）＝相遇的时间×速度差 19．220千米 【详解】第一次相遇意味着两车行了一个、两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个、两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个、两地间的距离时，甲车行了千米，当它们共行三个、两地间的距离时，甲车就行了3个80千米，即（千米），而这240千米比一个、两地间的距离多20千米，可得：(千米)． 20．（1）400米； （2）能，成才跑了6000米，许三多跑了3600米 【分析】（1）许三多的速度是成才的，即在第一次相遇在B店的过程中，时间是相等的，则速度比就等式路程比，则许三多的路程是成才的，即成才跑了整个圆（A逆时针到B）的，许三多跑了整个圆（A顺时针到B）。 设许三多的速度是2，成才的速度是3，当成才到了A点时，速度比前一圈提高，以原来的速度为单位“1”，提高了原来的，也就是提高了1，就是4.开始回头，也就是成才跑了一圈了，许三多跑的路程是成才的，许三多还有才能到A点，也就是需要的时间，的时间里面成才用4速度已经跑了全程的，这时许三多的速度提高了，即以原来的速度为单位“1”，就是提高了0.4，加上原来的速度就是2.4.即许三多和成才开始以4和2.5的速度以相遇的形式跑全程的，路程比就是速度比为3∶5.即成才跑了的是，许三多跑了的即（A逆时针B）是。则B到C最短的距离占整个圆分率＝逆时针B的分率－A顺时针C的分率＝。即全程的是190米，已知一个数的几分之几是多少用除法。 （2）从（1）中可知，这个环形跑道的总长度是400米，AC之间的距离占整个环形跑道的，也就是离起始点A点50米。也就是两个人每两次相遇相遇点会在跑道逆时针前进50米。全程是400米，前进8次就是400米，8次里面每次有2次相遇，则是第16次相遇时两人同时在起点A。每两次相遇的时候成才相当于走了2圈少50米，即每两次走了750米，再×8即可，同理许三多每两个相遇走了一圈带50米，即每两次走了450米，再×8即可。 【详解】（1）设许三多的速度是2，成才的速度是3，全程为单位“1”。 ＝4 2.4∶4＝3∶5 ＝ ＝400（米） 答：这条环形跑道的长度400米。 （2）（米） 400÷50＝8（次） 8×2＝16（次） （400×2－50）×8 ＝（800－50）×8 ＝750×8 ＝6000（米） （400＋50）×8 ＝450×8 ＝3600（米） 答：他们在第16次时回到了出发点A，成才跑了6000米，许三多跑了3600米。 【点睛】相同的时间里面（相遇问题），速度比＝路程比。 21．甲车：102千米/小时    乙车：78千米/小时 【详解】经过5小时相遇时,甲乙一共行驶了：300×3=900（千米） 甲车行驶了（900+120）÷2=510（千米） 乙车行驶了900-510=390（千米） 甲车速度：510÷5=102（千米/小时） 乙车速度：390÷5=78（千米/小时） 22．360千米 【分析】由于第二次相遇时，两车共行了3个全程，又甲、乙两车速度比为5∶4，所以第二次相遇时，乙车行了3个全程的，即，即行了一个全程又全程的，第二次相遇时乙车离A地120千米，所以这120千米占全程的，所以全程是千米。 【详解】 ＝360（千米） 答：AB两地路程是360千米。 【点睛】本题考查二次相遇问题，关键是理解第二次相遇两车行驶的路程是第一次相遇的3倍，然后运用比进行求解。 23．2千米 【分析】甲乙第一次相遇地点离A地4千米，即甲行了4千米，第二次相遇时，两人一共行了3个全程，则每行一个全程，甲就行了4千米，此时甲一共行了4×3＝12（千米），距B地3千米处第二次相遇，用甲一共行的全程减去3千米就是A、B两地的距离12－3＝9（千米），用两地的距离4千米再减去3千米，就是两次相遇地点之间的距离，可据此解答。 【详解】A、B两地的距离： 4×3－3 ＝12－3 ＝9（千米） 两次相遇地点之间的距离： 9－4－3 ＝5－3 ＝2（千米） 答：两次相遇地点之间的距离是2千米。 【点睛】弄清楚第二次相遇时甲乙行了几个全程，根据第一次相遇时甲所行的路程求出全程是解此题的关键。 24．12小时 【分析】甲车到达西城后返回与乙车相遇时，两车一共走了2个全程． 【详解】750×2÷（68+57） =1500÷125 =12（小时） 答：两车从出发到相遇一共经过12小时． 25．2000米 【分析】由于甲、乙二人在做相向运动的同时，狗在不停的运动，因此，甲、乙二人的相遇时间就是狗运动的时间，由此，可求出狗所走的路程． 【详解】解：甲、乙二人的相遇时间是：2000÷（40＋60）=20（分） 所以，狗所走的路程是：100×20=2000（米） 26．20 【详解】首先，甲跑一个全程需（秒），乙跑一个全程需（秒）．画折线图如下，实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点。 从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟，正好是四个周期，也就相遇了（次） 27．12075千米 【分析】根据题意画图 当卡车与客车在A点相遇时，而货车行到B点，10小时后，卡车又遇到货车，说明在10小时内卡车与货车合行路程是（卡车与客车相遇时）客车与货车所行的路程差．客车与货车相差AB的路程所用的时间就是卡车与客车的相遇时间． 【详解】解：AB间距离(客车与货车路程差)（55+50）×10=1050（千米） 客车与卡车相遇时间1050÷（60－50）=105（时） 两镇间距离（60+55）×105=12075（千米） 答：两镇相距12075千米． 【点睛】这是一道相遇问题与追及问题相结合的应用题．客车与货车相差1050千米所用的时间就是卡车与客车的相遇时间，这一点是解题的关键． 28．第3次    米 【详解】画出“折线示意图”，判断哪一次相遇距B地最近． 甲乙行程的折线示意图如下，图中实线表示乙，虚线表示甲． 由图可知，第3次相遇时距离B地最近． 此时两人共走了：（米） 用时：（分钟） 相遇地点距离B地：（米）． 29．200千米 【详解】如图,将AB十等分,因甲乙速度之比为3:7,它们第一次相遇时在点,即甲车走了3个单位长,以后甲车每走6个单位就和乙相遇一次. 故两车相遇地点依次是:以10为周 期循环.故第1996次的相遇点为,第1997次相遇点为,是6个单位长,为120千米.故每个单位长120÷6=20(千米),AB相距20×10=200(千米). 30．225千米 【分析】快车和慢车第一次相遇后，从一次相会到另一次相会需要行2个全程，已知快车的速度和两次相会间隔行驶的路程，可求出间隔的时间，又已知两车的速度和，可求出两个全程的长度，则甲、乙两地的距离可求． 【详解】（45+30）×（270÷45）÷2 =75×6÷2 =225（千米） 答：A、B两地间的距离是225千米． 31．（1）66秒；（2）4次 【分析】（1）根据时间＝路程÷速度，可知甲跑30米需要（30÷4）秒，也就是7.5秒，乙跑30米需要（30÷6）秒，也就是5秒； 15秒 30秒 45秒 60秒 甲 A—C—A —C—D —C—A —C—D 乙 B—E—B—E D—E—B E—D—C D—E—B 通过观察可知，前60秒不相遇，第60秒后，甲在D点，往E点跑，乙在B点，往E、D点跑，当乙到达B点时，甲还没到E点，所以根据相遇时间＝路程和÷速度和，用DB的长度除以两人的速度和即可求出从第60秒到相遇所花的时间，在加上60秒即可求出第一次相遇时间。 （2）以乙出发时间为起始时间0秒，列出以下表格：（单位：秒） 甲： 6 13.5 21 28.5 36 43.5 51 58.5 66 73.5 81 88.5 A C D C A C D E D C A C 乙： 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 E B E D E B E D C D E B E D C A C D 据此进行分析，由表中可知第 43.5 秒时，甲在 C点，乙从 D往C并在第 45 秒到达 C点，故甲、乙在 CD 间第一次相遇。第 51 秒时，甲从 C到达 D，而第 50 秒就到达D 点往E 点去了，故乙在 CD 间追上甲，甲、乙第二次相遇，第80 秒时，乙从C到达A，而乙需 81秒才到达 A，故乙在 CA 间追上甲，返回 C点时再次与甲相遇，甲、乙在 CA 间相遇两次。乙回到 B点，结束练习。 【详解】（1）根据分析可知，前60秒，甲、乙不相遇，第60秒后，甲在D，乙在B，两人相向而行， 30×2÷（4＋6） ＝30×2÷10 ＝6（秒） 60＋6＝66（秒） 答：如果两人同时开始练习，那么66秒后，甲、乙二人第一次相遇。 （2）由表中可知第 43.5 秒时，甲在 C点，乙从 D往C并在第 45 秒到达 C点，故甲、乙在 CD 间第一次相遇； 第 51 秒时，甲从 C到达 D，而第 50 秒就到达D 点往E 点去了，故乙在 CD 间追上甲，甲、乙第二次相遇； 第80 秒时，乙从C到达A，而乙需 81秒才到达 A，故乙在 CA 间追上甲，返回 C点时再次与甲相遇，甲、乙在 CA 间相遇两次。乙回到 B点，结束练习。 综上，甲、乙共相遇 4次。 答：如果甲比乙提前9秒开始练习，那么两人在练习的过程中一共相遇了4次。 【点睛】本题考查了多次相遇问题，本题可先求出跑一段需要的时间，再通过时间节点进行列表分析即可。 32．2160 【详解】第一次相遇，甲乙总共走了2个全程，第二次相遇，甲乙总共走了4个全程，乙比甲快，相遇又在P点，所以可以根据总结和画图推出：从第一次相遇到第二次相遇，乙从第一个P点到第二个P点，路程正好是第一次的路程．所以假设一个全程为3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份．第二次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份．这样根据总结：2个全程里乙走了（540÷3）×4=180×4=720千米，乙总共走了720×3=2160千米． 33．6d/7 【详解】设总距离为d，总共用时d/(15+20)，两车相遇，所以鸟飞了30*d/(15+20)=6d/7． 34．39千米/小时 【详解】相遇问题可以看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度．所以： 卡车速度为：（千米/时） 全程：（千米） 丙车速度为：（千米/时） 35．9︰7 【详解】因为甲比乙早返回原地，甲的速度比乙快，第二个相遇点D应该比C更靠近A点．由于相关数量未知，首先假设第一次相遇时甲和乙分别行走了x千米和y千米．可得：x+y=24① 由假设可得：第二次相遇时，甲、乙分别行走了3x千米和3y千米，那么甲返回时走了3x-（x+y）=2x-y，第二个相遇点距B点（2x-y）千米，这段距离比y多6千米，所以有：（2x-y）-y=6② 联立①②两个方程能得到：x=13.5，y=10.5，所以两人的速度比为9︰7． 36．100 【详解】从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为米，因为甲的速度为每秒钟跑米，乙的速度为每秒钟跑4米，所以这段时间内甲共行了米，也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，可知甲还需行米才能回到出发点． 37．7545米 【分析】设AB长度为5k，根据相遇时时间相等列出关系式，解方程，即可求出AB的长度，因为△ABC是一个等边三角形，用AB的长度乘3就可以很容易算出周长. 【详解】甲、丙第一次相遇时，乙正好走到B：＝①； 当乙、丙第二次相遇是在D时，＝②； 甲走了2012米，则＝③； 由②得：④ 把④代入①可得：⑤ 把⑤代入③可得： ，解得k=503， 所以△ABC的周长是：15k＝503×15=7545（米） 答：△ABC的周长是7545米. 【点睛】此题解答的关键在于巧设未知数，求出三角形一条边的长度，进而得解. 38．30千米 【分析】由于甲的速度是乙的速度的2倍，所以同一时间内，甲走的路程是乙走的路程的2倍。设A、B两地的距离为3份，第一次相遇，甲、乙共走了一个全程，甲走了2份，乙走了1份；从第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走了两个全程，这期间乙走了1×2＝2份，正好到达A地，两次相遇地点相距2份为20千米，1份的路程为20÷2＝10（千米），进而可求出A、B两地的距离。 【详解】如图，设A、B两地的距离为3份，根据题意，第一次相遇在C处，第二次相遇在A地。 A、B两地的距离： 20÷2×3＝30（千米） 答：A、B两地的距离是30千米。 【点睛】本题考查二次相遇问题，关键是熟知时间相同，路程比等于速度比，根据题意设出份数，画图分析，找出20千米所对应的份数。 39．480 【详解】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+＝圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为圈，所以此圆形场地的周长为480米． 40．145千米 【分析】 从图上可以看出，小华和小明两人第一次相遇时，行了一个全程，小华行了85千米．当小华和小明第二次相遇时，共行了3个全程，这时小华共行了3个85千米，如果再加上35千米，相当于小华行了2个全程，甲乙两地全长也就可以求出来了． 【详解】甲乙出发到第二次相遇时，小华共行: 85×3=255（千米） 甲乙两城相距:（ 255+35）÷2=290÷2=145（千米） 答：两城相距145千米． 41．312千米 【分析】甲、乙两车从开始出发到第一次相遇共同行完一个A、B间的路程，当甲到达B地，乙到达A地时，共同行完两个A、B间的路程．甲、乙分别从B地、A地返回到第二次相遇时，又共同行完一个A、B间的路程，则从开始到两车第二次相遇，9个小时，两车共同行驶了A、B间路程的3倍． 【详解】甲、乙两车的速度和：58+46=104（千米／小时） 3个A、B间的路程：104×9=936（千米） A、B间的距离：936÷3=312（千米） 答：A、B两地相距312千米． 42．189米 【分析】这道题目初看时，似乎缺少解决问题的条件，但是通过甲的速度是乙的速度的，不难看出，当甲走3份路程的时候，乙就走了4份的路程，因此不妨将全程看成7份，第一次相遇时，甲走了3份，乙走了4份．在这之后，甲和乙要想再次相遇，必须共同走完两个全程，需用与第一次相遇时间相同的2倍的相遇时间．在这期间，甲走了3份路程的2倍，即6份的路程．我们不妨将路上的点（包括A、B两点）从左至右设定为A、C、D、E、F、G、H、B点，而第一次相遇在E点，第二次相遇在G点，以次类推，就很容易确定出第八次和第十次的相遇点的具体位置，从而使问题得以解决． 【详解】解：因为甲的速度是乙的速度的，不妨将全程看成7份，第一次相遇时，甲走了3份，乙走了4份．将路上的点（包括A、B两点）从左至右设定为A、C、D、E、F、G、H、B点，由分析可推出第一次相遇点在E；第二次相遇点在G；第三次相遇点在C；第四次相遇点在B；第五次相遇点在C；第六次相遇点在G；第七次相遇点在E；第八次相遇点在E；第九次相遇点在G；第10次相遇点在C．由于第八次相遇点在E；第十次相遇点在C，E和C相距的是2份的路程，而全程是7份的路程，所以，A、B两地的距离54÷2×7=189（米） 【点睛】这道题目充分的利用了时间一定，速度与路程的关系，值得注意的是除了第一次相遇二人是共同走完了一个全程，从第二次相遇开始都是共同走完两个全程，这是解题的关键． 43．600米 【分析】这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长．如果设通讯员从末尾到排头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒，于是不难列出方程． 【详解】解：设通讯员从末尾赶到排头用了x秒，依题意得 2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）． 解得x＝500． 推知队伍长为（2.6-1.4）×500=600（米）． 答：队伍长为600米． 【点睛】在设未知数时，有两种办法：一种是设直接未知数，求什么、设什么；另一种设间接未知数，当直接设未知数不易列出方程时，就设与要求相关的间接未知数．对于较难的应用题，恰当选择未知数，往往可以使列方程变得容易些． 44．90千米 【分析】将A、B两地的距离看作单位“1”，由甲、乙的速度，可知第一次相遇时，甲、乙的路程比为45∶36＝5∶4，甲行了全程的，乙行了全程的；第二次相遇于C点（如图），甲、乙共行了3个全程，甲行了全程的，乙行了全程的，于是AC为全程的；第三次相遇于D点，甲、乙共行了5个全程，甲行了全程的，即甲走了一个来回又从A地走到D点，易知AD为全程的；CD＝AD－AC，故CD 全程的，由题意知，CD＝40千米，用40千米除以对应分率，即可求出AB。 【详解】在相同时间内甲、乙两车所行路程的比为 45∶36＝5∶4 第一次相遇甲行了全程的，乙行了全程的； 如图，第二次两车相遇于C点， 此时，乙行了全程的，AC为全程的； 第三次相遇于D点，甲、乙共行了2×3－1＝5个全程， 甲行了全程的，AD为全程的； CD为全程的， 所以全程为40÷＝90（千米） 答：A、B相距90千米。 【点睛】本题考查多次相遇问题，关键是理解并掌握此类问题的特点：设全程为s，则第n次相遇所走的路程和为（2n－1）s，每个人所走的路程是第一次相遇路程的（2n－1）倍。 45．36 【详解】第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：(秒)．此后，两人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，两人共跑了(秒)．求出710秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总次数．列式计算为：(秒)，，共相遇(次)．注：解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长． 46．在BC上距离B点处相遇 【分析】假设正方形边长为5a，开始美羊羊和喜羊羊相距10a，喜羊羊的速度是美羊羊的4倍，所以喜羊羊和美羊羊的速度比是4∶1，根据时间相同，速度比等于路程比，可知喜羊羊和美羊羊从出发到第一次相遇行驶的路程比是4∶1，按比分配，可知美羊羊从出发到第一次相遇跑了10a×，也就是2a，两人从第1次相遇到第2次相遇的路程和为正方形的周长，也就是20a，同理用20a×即可求出美羊羊从第1次相遇到第2次相遇行驶的路程，也就是4a，从第2次相遇开始，每次相遇到下一次相遇美羊羊都走了4a，所以第2009次相遇，美羊羊一共跑了2a＋2008×4a，也就是8034a，用8034a÷20a即可求出美羊羊走了几个正方形的周长多多少，商是401，余数是14a，所以第2009次相遇时，美羊羊距离起始点顺时针方向14a处，14a＝5a＋5a＋4a，所以美羊羊在BC上距离C点4a处，也就是距离B点a处，占BC的。 【详解】假设正方形边长为5a， 开始美羊羊和喜羊羊相距2×5a＝10a 喜羊羊和美羊羊的速度比是4∶1 时间相同，喜羊羊和美羊羊从出发到第一次相遇行驶的路程比是4∶1， 美羊羊从出发到第一次相遇跑了： 10a× ＝10a× ＝2a 美羊羊从第1次相遇到第2次相遇行驶的路程： 4×5a× ＝4×5a× ＝20a× ＝4a 从第2次相遇开始，每次相遇到下一次相遇美羊羊都走了4a， 所以第2009次相遇，美羊羊一共跑了： 2a＋2008×4a ＝2a＋8032a ＝8034a 8034a÷20a＝401……14a 14a＝5a＋5a＋4a 所以美羊羊在BC上距离C点4a处，也就是距离B点a处，占BC的。 答：它们第2009次相遇在BC上距离B点处相遇。 【点睛】本题主要考查了环形多次相遇问题，明确相邻两次的相遇路程和相差了1个全程。 47．160米 【详解】略 48．20千米 【详解】如图所示，两人第一次相遇，合走一个全程，两人第二次相遇，合走三个全程．而两人速度不变，这说明第二次相遇所用的时间是第一次相遇所用时间的3倍．因此，甲在第二次相遇所走的路程是第一次相遇所走路程的3倍．第一次相遇时，甲走了半全程多2千米，那么，第二次相遇时，他应该走了3个半个全程多6千米，而实际他走了2个全程差4千米，即4个半个全程差4千米．因此，半个全程长(千米)，、两地相距(千米)． 49．150千米 【分析】根据题意，两人第一次迎面相遇是在C处，甲速度提升一倍，当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，由此可知甲提速一倍走到D处所用的时间与提速前走到C处所用的时间相同，所以甲提速一倍后走到D处的路程是提速前走到C处的路程的2倍，因此AD＝2AC＝AC＋CD，所以AC＝CD＝60千米，即第一次相遇时，甲走了60千米；从第一次相遇到第二次相遇，甲走的路程是第一次相遇时走的路程的2倍，为60×2＝120千米，即CD＋2BD＝120千米，所以BD＝（120－60）÷2，进而可求出AB。 【详解】如图，根据题意，甲提速一倍后走到D处所用时间与提速前走到C处所用时间相同， 所以路程也增加一倍，因此AC＝CD＝60千米， 第一次相遇，甲走了60千米， 第一次相遇到第二次相遇，甲走了60×2＝120（千米）， 即CD＋2BD＝120， BD＝（120－60）÷2 ＝60÷2 ＝30（千米） 所以AB＝AC＋CD＋BD＝60＋60＋30＝150（千米） 答：从A地到B地的全程为150千米。 【点睛】本题考查涉及变速的二次相遇问题，关键理解题意，分析出甲提速一倍后走到D处与提速前走到C出所用时间相同，因此所走路程也增加一倍。 50．4次 【分析】 由上图容易看出：在第一次相遇与第一次追上之间，乙在100－80＝20（分钟）内所走的路程恰等于线段的长度再加上线段的长度，即等于甲在（80＋100）分钟内所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍（180÷20），则的长为的9倍，所以，甲从到，共需走80×（1＋9）＝800（分钟）乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个全程。从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个全程，因此，追及时间也变为200分钟（100×2），所以，在甲从到的800分钟内，乙共有4次追上甲，即在第100分钟，300分钟，500分钟和700分钟。 【详解】有题意可知：走相同距离的路程，甲和乙所需时间比： （80＋100）∶（100－80）＝180∶20＝9∶1 所以，甲和乙的速度比是 （100－80）∶（80＋100）＝20∶180＝1∶9 即，甲走一个全程，乙走9个全程，甲行完一个全程，乙行9个全程。第一次是相遇，第二次是追上，..., 所以共相遇5次，追上4次。 答：乙追上甲4次。 【点睛】本题是一道比较复杂的行程问题，计算出乙和甲第一次相遇时间，由乙的速度是甲的9倍，来求出甲从A到B的800分钟内追击的时间与次数。 51．16500 【详解】甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：（60＋40）×15＝1500（米），而乙丙之间拉开这么大的距离一共要1500÷（50-40）=150（分），即从出发到甲与乙相遇一共经过了150分钟，所以A、B之间的距离为：（60+50）×150＝16500（米）． 52．105千米 【分析】将A、B两地的距离看作单位“1”，相同时间甲、乙的路程比为20∶50＝2∶5，第一次相遇甲、乙共行一个全程，甲行了全程的；往后每相邻两次迎面相遇，甲、乙都共行2个全程，第n次相遇所走的路程和为（2n－1）个全程，甲所走的路程是第一次相遇路程的（2n－1）倍，据此可分别求出第10次相遇和第18次相遇甲所走的路程是几个全程又几分之几，若所走全程个数为奇数，则相遇地点距离B地几分之几；若所走全程个数为偶数，则相遇地点距离A地几分之几，据此分析计算，即可得解。 【详解】相同时间甲、乙的路程比为20∶50＝2∶5， 第一次相遇，甲行了全程的； 第10次迎面相遇，甲、乙共行了2×10－1＝19个全程， 甲行了全程的，此时甲距离B地占全程的； 第18次迎面相遇，甲、乙共行了2×18－1＝35个全程， 甲行了全程的，此时甲在A地； 第10次与第18次迎面相遇的距离占全程的， A、B两地的距离为（千米）。 答：A、B相距105千米。 【点睛】本题考查多次迎面相遇问题，关键是理解并掌握此类问题的特点。 53．62.5厘米 【分析】第一次相遇，两人共同走了一个全长；从第二次相遇到第三次相遇，两人又走了两个全长，从开始到第三次相遇，两人共走了5个全长，5个全长除以速度和求出相遇时间是20×5÷（0.5＋0.3）=125秒，再乘大警卫的速度就是所求． 【详解】解：20×5÷（0.5＋0.3）×0.5 =100÷0.8×0.5 =125×0.5 =62.5（厘米） 答：当他们第三次相遇时，大警卫走了62.5厘米． 54．（1）20秒； （2）4.16米 【分析】（1）比赛场地从起点到插小红旗处为104米，则整个路程是104米。第一次相遇时起点，即第2次相遇时，小兔的速度快，小乌龟的速度慢，小兔跑到起点返回后和小乌龟相遇，则小兔跑的全程＋小乌龟跑的全程＝2个路程。根据时间＝路程÷速度和，则第2次相遇的时间是20秒。 （2）第2次相遇时，以这个起点是时间为开始，小兔从这个相遇点跑的方向是往起点跑，这时的相遇点距离起跑点的位置是小乌龟20秒的路程。则当他们第三次相遇时，小兔和乌龟的路程差就是2个小乌龟20秒的路程，则以20秒为起点，则时间＝路程差÷速度差，也就是0.8秒第三次相遇，加上第二次相遇的20秒，一共就是20.8秒就是第三次相遇。小乌龟一直是一个方向，则距离起点＝小乌龟20.8的路程＝相遇的时间×小乌龟的速度。 三次相遇的路线图如下： 【详解】（1）104×2÷（10.2＋0.2） ＝208÷10.4 ＝20（秒） 答：出发后20秒它们第2次相遇。 （2）20×0.2×2÷（10.2－0.2） ＝8÷10 ＝0.8（秒） （20＋0.8）×0.2 ＝20.8×0.2 ＝4.16（米） 答：它们第3次相遇时距起点有4.16米。 【点睛】x多次相遇问题用线段图解决更容易理解。 55．38.16千米 【分析】第一次相遇在距B地12.8千米处，此时两车共行了1个全程，自行车行了12.8千米，即每共行1个全程自行车就行12.8千米，第二次相遇时，两车共行3个全程，则自行车共行12.8×3＝38.4千米，此时自行车距离A地0.24千米，已知自行车行驶了1个全程多0.24千米，所以让自行车行驶的总路程减去0.24千米，即是AB之间的距离。 【详解】3×12.8－0.24 ＝38.4－0.24 ＝38.16（千米） 答：AB两地间的路程是38.16千米 【点睛】此题属于两次相遇问题，解题关键是找出第一次相遇和第二次相遇两人共同行驶的路程和各自行驶的路程分别是多少。 学科网（北京）股份有限公司 $$