微专题01 平行四边形折叠问题通关专练-2023-2024学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

微专题01 平行四边形折叠问题通关专练 一、单选题 1．（2023·江苏盐城·校联考二模）如图，将平行四边形折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 2．（2023下·安徽六安·八年级校考期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在点E处．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023下·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则为（    ）      A．3 B．4 C．4.5 D．5 4．（2023下·河南信阳·八年级统考期中）如图，在中，，现将沿折叠，使点与点A重合，点与点落在点处，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 5．（2023下·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期末）如图，将平行四边形折叠，使顶点恰落在边上的点处，折痕为，那么下列说法不正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．（2023·河北保定·校考模拟预测）如图，将平行四边形沿折痕折叠，使点与点重合，若，则的周长为（        ）      A．8 B．10 C．12 D．16 7．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）如图，将平行四边形折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2023下·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 9．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F．若，，则为（   ） A．30° B．32° C．34° D．36° 10．（2022下·广东深圳·八年级统考期末）如图，AC是□ABCD的对角线，将□ABCD折叠，使得点A与点C重合，再将其打开展平，得折痕EF，EF与AC交于点O，G为CF的中点，连接OG、CE．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．（2023·江苏泰州·统考一模）如图，在中，，，、分别是边、上一点，且，将沿折叠，使点与点重合，则的长为 ． 12．（2022下·陕西安康·八年级校考期中）如图，在中，点分别在边上，折叠使得点落在上，若，，，则长度的最大值为 ．    13．（2022下·湖北武汉·九年级武汉市常青第一中学校考自主招生）如图，在中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F．若，，则的大小为 ．    14．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．    15．（2023下·浙江宁波·八年级校联考阶段练习）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的处，C点落在E处，连接，．若恰有，则 ．    16．（2023下·山西临汾·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为 ．    17．（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在上的点处，点在上；再将、分别沿、折叠，此时点、都落在上的点处．若，则当四边形是平行四边形时， ．    18．（2023下·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处．若，则的度数为 ．    19．（2023下·山东济宁·八年级统考期中）如图，将沿对角线折叠，点B落在点E处，交于点F，若，，则的度数为 ． 20．（2023下·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为 ． 三、解答题 21．（2024·山东泰安·一模）如图，把平行四边形纸片沿折叠，点C落在点处， 与相交于点E． 求证： 22．（2023下·江苏南京·八年级校考阶段练习）已知，如图，把平行四边形纸片沿折叠，点落在处，与相交于点．    (1)求证：； (2)连接，判断与的位置关系并且证明． 23．（2022下·江苏盐城·八年级统考期末）如图，将平行四边形ABCD沿着对角线BD折叠，点C的对应点为C′，BC′与AD相交于点E． (1) EB与ED相等吗？证明你的结论； (2)连接AC′，判断AC′与BD的位置关系，并说明理由． 24．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，，，点P是边上一点，连接，将沿翻折得到． (1)若，由折叠性质可得　 　°； (2)若，，且，求C到的距离； (3)连接，若四边形是平行四边形，直接写出a与b之间的关系式． 25．（2022下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期中）如图，在ABCD中，，，，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．当点H与点C重合时． (1)填空：点E到CD的距离是______； (2)求证：； (3)△CEF的面积为______； 26．（2022下·安徽芜湖·八年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB． (1)如图1所示，当∠DPA'＝10°时，∠A'PB＝　 　度； (2)如图2所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度； (3)当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，求△BA'F周长的最小值． 27．（2022上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）在数学活动课上，老师出示了以下两个问题，请你解答老师提出的问题： (1)如图①，在中，，垂足为E，F是CD边上一点，连接EF，BF，若，试判断DF与CF的数量关系，并加以证明． (2)如图②，若F是边CD上一点，连接BF，将沿着边BF所在的直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交AB于点G，若，试判断DF与CF的数量关系，并加以证明． 28．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．求证： （1）； （2）． 29．（2022下·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）如图，在中，点E是边上的动点，已知，，现将沿折叠，点是点B的对应点， (1)如图1，当点恰好落在边上时，求：的值． (2)如图2，若，点落在上时，求（保留根号）． (3)如图2，若，，当的值与的度数无关时，求m的值并求出此时的度数． 30．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图1，在中，，连接，，点E，F分别在边上，分别交于点G，H．将，分别沿直线折叠，使得点B的对应点，点D的对应点都落在对角线上．    (1)【尝试初探】求证：； (2)【深入探究】如图2，若点，恰好分别与点H，G重合，求n的值；    (3)【拓展延伸】若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01 平行四边形折叠问题通关专练 一、单选题 1．（2023·江苏盐城·校联考二模）如图，将平行四边形折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求出的度数，根据折叠的性质求出的度数，利用三角形内角和即可求出． 【详解】解：设折痕为 ∵四边形是平行四边形，    ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． 2．（2023下·安徽六安·八年级校考期末）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在点E处．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，得出，根据，求出，即可得出，根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：根据折叠可知，，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了折叠性质，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，求出． 3．（2023下·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处．若，，则为（    ）      A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】由折叠的性质与题意可得，，由，可知，，，则，，进而可求的值． 【详解】解：由折叠的性质与题意可得，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（2023下·河南信阳·八年级统考期中）如图，在中，，现将沿折叠，使点与点A重合，点与点落在点处，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据折叠找到对应相等的角然后根据三角形内角和可算出，进而得出，再根据平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：由折叠性质可得： ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及折叠变换，关键是找准折叠后些角是对应相等的． 5．（2023下·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期末）如图，将平行四边形折叠，使顶点恰落在边上的点处，折痕为，那么下列说法不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得出正确的结论，进而得到说法不正确的选项． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 由折叠可得， ， ，故A选项正确，不合题意； ， ， 由折叠可得， ， ，故B选项正确，不合题意； 与不一定相等， 不一定成立，故C选项错误，符合题意； ，， 四边形是平行四边形， ，故D选项正确，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 6．（2023·河北保定·校考模拟预测）如图，将平行四边形沿折痕折叠，使点与点重合，若，则的周长为（        ）      A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由折叠性质可得，将周长转化为，则问题可解． 【详解】解：∵， ∴， 根据折叠的性质可知， ，则的周长为： ． 故选C． 【点睛】本题考查翻折变换，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握图形翻折的性质． 7．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）如图，将平行四边形折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质求出的度数，根据折叠的性质求出的度数，利用三角形内角和求出，进而可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键． 8．（2023下·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可求出，由三角形内角和求出，然后由折叠的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠至处， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据翻折前后对应角相等是解题的关键． 9．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F．若，，则为（   ） A．30° B．32° C．34° D．36° 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质得出，则，，由折叠的性质得：，由，即可得出的大小． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ 则 ， 由折叠的性质得： 则 故选：D 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键． 10．（2022下·广东深圳·八年级统考期末）如图，AC是□ABCD的对角线，将□ABCD折叠，使得点A与点C重合，再将其打开展平，得折痕EF，EF与AC交于点O，G为CF的中点，连接OG、CE．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①AC是对角线，A点沿EF对折后与C点重合，则点O为平行四边形ABCD对角线的交点，经过平行四边形对角线交点的直线被平行四边形的一组对边截成两条相等的线段，故0E=OF，用SAS证明△AOE≌△COF即可；②点A和点C关于EF成轴对称，故EF垂直平分AC，AE=CE；③EF⊥AC，可得△COF是直角三角形，G为CF的中点，直角三角形斜边上得中线等于斜边得一半，则；④不能判断BE和AB的关系，故不能够得到三角形和四边形的面积关系． 【详解】①∵A点沿EF对折后与C点重合 ∴EF垂直平分AC(对称轴垂直平分对应点的连线) ∴AO=CO ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠CFO=∠AEO ∵AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，∠CFO=∠AEO ∴△AOE≌△COF， ∴AE=CF ∴AB-AE=CD-CF即DF=BE，故①正确 ②∵EF垂直平分AC ∴AE=CE(垂直平分线上的点到两边距离相等) ∴∠CAE=∠ACE， ∵AB∥CD， ∴∠CAD=∠CAE， ∴ ③∵EF⊥AC ∴△COF是直角三角形 ∵G为CF的中点 ∴，故③正确 ④△CBE和四边形ABCD等高，但得不到它们的底BE和AB的数量关系，故④不正确． ①②③正确，④不正确 故选：B 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和折叠问题，通过折叠能过得到轴对称图形，对称轴垂直平分对应点的连线，平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分．熟练地掌握平行四边形和折叠的性质是解题的关键． 二、填空题 11．（2023·江苏泰州·统考一模）如图，在中，，，、分别是边、上一点，且，将沿折叠，使点与点重合，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 设点的对应点为点，由平行四边形的性质得，，，则，由折叠得，，，所以，而，则，所以是等边三角形，则，所以，即可推导出，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：设点的对应点为点， 四边形是平行四边形，，， ，，，， ， 由折叠得，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：． 12．（2022下·陕西安康·八年级校考期中）如图，在中，点分别在边上，折叠使得点落在上，若，，，则长度的最大值为 ．    【答案】2 【分析】由折叠的性质可知，当时，的长度取最小值，则的长度取最小值，此时的长度取最大值，过点作于点，则，由含30度角直角三角形的性质以及勾股定理可得，从而即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可知，当时，的长度取最小值，则的长度取最小值，此时的长度取最大值， 四边形是平行四边形， ， ， ， 如图，过点作于点，则，    在中，， ， ∴， ∴， 和长度的最小值为6， 故长度的最大值为， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 13．（2022下·湖北武汉·九年级武汉市常青第一中学校考自主招生）如图，在中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F．若，，则的大小为 ．    【答案】/36度 【分析】由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得：，由三角形的外角性质求出，由三角形内角和定理求出，即可得出的大小． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 由折叠的性质得： 故答案为： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键． 14．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当点恰好落在上时，的长为 ．    【答案】/ 【分析】过点作，交的延长线于点，可证得，根据勾股定理可求得的长度，进而可求得答案． 【详解】如图，过点作，交的延长线于点．    ∵四边形为平行四边形，， ∴，，． ∴． ∵， ∴，． ∴，． ∵， ∴，． 根据折叠的性质可得，， ∴，． 在和中， ∴． ∴． 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、平行四边形的性质，根据题意构建辅助线是解题的关键． 15．（2023下·浙江宁波·八年级校联考阶段练习）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的处，C点落在E处，连接，．若恰有，则 ．    【答案】/126度 【分析】由平行四边形的性质得，，由折叠得，，，则，所以，则，于是得，则，，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． 16．（2023下·山西临汾·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为 ．    【答案】/30度 【分析】由平行四边形的性质得，由折叠的性质得：，，由三角形外角性质求出，由三角形内角和求出，即可求得的大小． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 由折叠的性质得：，， ，，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题关键． 17．（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在上的点处，点在上；再将、分别沿、折叠，此时点、都落在上的点处．若，则当四边形是平行四边形时， ．    【答案】 【分析】先由折叠的性质得，，，，，据此可求出，再根据得，进而得，在中可求出，然后中再根据点为斜边的中点可得出的长． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， 即为直角三角形， 在中，，， ， ，，， ， 即点为的中点， 在中，点为斜边的中点， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形的折叠变换和性质，理解在直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 18．（2023下·海南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处．若，则的度数为 ．    【答案】/123度 【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出，由三角形的外角性质求出，再由三角形内角和定理求出，即可得到结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， 由折叠可得， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴中， ∴ ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出的度数是解决问题的关键． 19．（2023下·山东济宁·八年级统考期中）如图，将沿对角线折叠，点B落在点E处，交于点F，若，，则的度数为 ． 【答案】40 【分析】由折叠得到，，根据平行四边形的性质推出，可得，设，在中，利用内角和定理列出方程，解之即可． 【详解】解：由折叠可知，， ，四边形为平行四边形． ， ， ， 设，则， ， 在中，，即， 解得：． ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是根据所学知识得到各角之间的关系． 20．（2023下·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，为边上的一个点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为 ． 【答案】/40度 【分析】由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得：，，由三角形的外角性质求出，与三角形内角和定理求出，即可得出∠的大小． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键． 三、解答题 21．（2024·山东泰安·一模）如图，把平行四边形纸片沿折叠，点C落在点处， 与相交于点E． 求证： 【答案】见详解 【分析】本题主要考查利用平行四边形的性质和折叠得性质证明，即可证明结论成立． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵沿折叠，点C落在点处， ∴，， 在和中 ∴， ∴． 22．（2023下·江苏南京·八年级校考阶段练习）已知，如图，把平行四边形纸片沿折叠，点落在处，与相交于点．    (1)求证：； (2)连接，判断与的位置关系并且证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据折叠的性质可得，再根据平行的性质可得，即有，问题随之得证； （2）结合平行四边形的性质以及（1）的结论可得，即有，再根据，，结合三角形内角和定理可得，问题得证． 【详解】（1）由折叠可知：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ； （2）．证明如下：    ，， ， ， ，， ， ，得证． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行四边形的性质以及等边对等角，三角形内角和定理等知识，掌握折叠的性质，是解答本题的关键． 23．（2022下·江苏盐城·八年级统考期末）如图，将平行四边形ABCD沿着对角线BD折叠，点C的对应点为C′，BC′与AD相交于点E． (1) EB与ED相等吗？证明你的结论； (2)连接AC′，判断AC′与BD的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)EB与ED相等，证明过程见解析 (2)AC′∥BD．理由见解析 【分析】（1）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB=∠CBD，进而得出BE=DE； （2）由BE=DE，进而得出AE=CE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC'=∠EC'A=∠EBD=∠EDB，进而得出AC'∥BD． 【详解】（1）解：EB与ED相等． 由折叠可得，∠CBD=∠C'BD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∴∠EDB=∠EBD， ∴BE=DE； （2）解：AC′∥BD．理由如下： ∵四边形ABCD平行四边形， ∴AD=BC， 由折叠知，BC'=BC， ∴AD=BC'， 由（1）知BE=DE， ∴AE=C'E， ∴∠DAC'=（180°-∠AEC'）=90°-∠AEC'， 同理：∠ADB=90°-∠BED， ∵∠AEC'=∠BED， ∴∠DAC'=∠ADB， ∴AC'∥BD， 故答案为：AC′∥BD． 【点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 24．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，，，点P是边上一点，连接，将沿翻折得到． (1)若，由折叠性质可得　 　°； (2)若，，且，求C到的距离； (3)连接，若四边形是平行四边形，直接写出a与b之间的关系式． 【答案】(1)45 (2) (3) 【分析】（1）根据翻折变换的性质可得，由，可得，即可得出答案； （2）作于．利用等积法即可解决问题； （3）证明，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：将沿翻折得到， ， ， ， ， ， ， 故答案为：45； （2）如图，作于． 则在中，， ， ； （3）如图，连接． 由翻折可知：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， 在中，则有， ， ．， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了直角三角形性质，翻折变换的性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型． 25．（2022下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期中）如图，在ABCD中，，，，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．当点H与点C重合时． (1)填空：点E到CD的距离是______； (2)求证：； (3)△CEF的面积为______； 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）要求点E到的距离，由平行四边形两对边平行可知只需求出之间的距离即可，已知和，从而想到过点C作的垂线，构造直角三角形求解； （2）要证，根据平行四边形的对边相等、对角相等及折叠的性质可得，，，观察图形可知是与的公共角，从而可得，利用即可证明； （3）要求，由(2)中全等三角形知需求，过点E作，想到用勾股定理，需求和，在中，设，已知，表示出，，再结合折叠的性质及表示出，，解，即可求出的长，根据三角形面积公式，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示： ， ∴， ∴， ， ∵点到的距离和点到的距离都是平行线间的距离， ∵点到的距离是， ∴点到的距离是． 故答案为：． （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠D＝∠B，∠A＝∠BCD， 由折叠可知，AD＝CG，，， ∴BC＝GC，，， ∴ ∴， ∴（ASA）． （3）过点作于点，如图所示： ，， ， ， 设，则， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，根据题意作出辅助线，构造直角三角形，解直角三角形，是解题的关键． 26．（2022下·安徽芜湖·八年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB． (1)如图1所示，当∠DPA'＝10°时，∠A'PB＝　 　度； (2)如图2所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度； (3)当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，求△BA'F周长的最小值． 【答案】(1)85 (2)5+5 (3)2+2 【分析】（1）根据平角的定义，翻折的性质求解即可； （2）作BH⊥AD于H．勾股定理解Rt△ABH，由四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，可得∠APA′＝90°，PH＝BH，根据PA＝AH+PH 即可求解； （3）作BH⊥AD于H，连接BP．勾股定理求得PB，当BA′的长度最小时，△BFA′的周长最小，由BA′≥PB﹣PA′，求得，然后即可求得△BFA′的周长的最小值． 【详解】（1）如图1中， ∵∠DPA′＝10°， ∴∠APA′＝180°﹣∠DPA′＝180°﹣10°＝170°， 由翻折的性质可知：∠A′PB＝∠APB＝×170°＝85°． 故答案为85． （2）如图2中，作BH⊥AD于H． 在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，AB＝10，∠A＝60°， ∴AH＝5，BH＝5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵PA′⊥BC， ∴PA′⊥AD， ∴∠APA′＝90°， ∴∠HPB＝∠BPA′＝45°， ∴PH＝BH＝5， ∴PA＝AH+PH＝5+5． （3）如图3中，作BH⊥AD于H，连接BP． ∵PA＝8，AH＝5， ∴PH＝8﹣5＝3， ∵BH＝5， ∴PB＝＝＝2， 由翻折可知：PA＝PA′＝8，FA＝FA′， ∴△BFA′的周长＝FA′+BF+BA′＝AF+BF+BA′＝AB+BA′＝10+BA′， ∴当BA′的长度最小时，△BFA′的周长最小， ∵BA′≥PB﹣PA′， ∴BA′≥2﹣8， ∴BA′的最小值为2﹣8， ∴△BFA′的周长的最小值为10+2﹣8＝2+2． 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，平行四边形的性质，折叠的性质，轴对称求线段和最值问题，综合运用以上知识是解题的关键． 27．（2022上·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）在数学活动课上，老师出示了以下两个问题，请你解答老师提出的问题： (1)如图①，在中，，垂足为E，F是CD边上一点，连接EF，BF，若，试判断DF与CF的数量关系，并加以证明． (2)如图②，若F是边CD上一点，连接BF，将沿着边BF所在的直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交AB于点G，若，试判断DF与CF的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）延长AD，BF相交于点M，根据等边对等角可得，由垂直及等量代换可得，再由等角对等边及等量代换得出，根据平行四边形的性质及全等三角形的判定可得，由全等三角形的性质即可证明； （2）延长DG，CB相交于点N，根据平行四边形的性质及全等三角形的判定定理可得，由全等三角形的性质及等量代换得出，由翻折的性质可得，，，根据等边对等角得出，利用等量代换得出，根据等角对等边及等量代换即可证明． 【详解】（1），证明如下： 如图，延长AD，BF相交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2），证明如下： 如图所示：延长DG，CB相交于点N， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵折叠到， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 28．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】(1)依据平行四边形的性质，即可得到，由折叠可得，，即可得到； (2)依据平行四边形的性质，即可得出，，由折叠可得，，，即可得到，，进而得出． 【详解】(1)四边形是平行四边形， ， 由折叠可得， ， ， ， ； (2)四边形是平行四边形， ，， 由折叠可得，，， ，， 又， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质以及折叠的性质是解题的关键. 29．（2022下·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）如图，在中，点E是边上的动点，已知，，现将沿折叠，点是点B的对应点， (1)如图1，当点恰好落在边上时，求：的值． (2)如图2，若，点落在上时，求（保留根号）． (3)如图2，若，，当的值与的度数无关时，求m的值并求出此时的度数． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）证明AB=BE，得到BE=AE=4，从而得到EC=BC-BE=6-4=2即可． （2）过点A作AM⊥DE，垂足为M，根据折叠的性质，运用勾股定理求得M=2，DM=，继而得到． （3）设∠CDA=x，则∠AED=180°-m(180°-x)-(1-2m)x=180°-180°m+(3m-1)x，根据的值与的度数无关，确定3m-1=0，代入计算即可． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠AEB， 根据折叠的性质，得∠DAC=∠BAE，AB=， ∴∠BAE =∠AEB， ∴AB=BE， ∴BE=AE=4， ∴EC=BC-BE=6-4=2． （2）如图，过点A作AM⊥DE，垂足为M， 根据折叠的性质，得，， ∴， ∴M=2，AM=， ∴DM=， ∴． （3）设∠CDA=x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=180°-∠CDA=180°-x， ∵，， ∴，， ∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA =180°-m(180°-x)-(1-2m)x =180°-180°m+(3m-1)x， ∵的值与的度数无关， ∴3m-1=0， ∴， ∴∠AED=180°-180°×=120°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，代数式的值无关型计算，熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，取值无关的意义是解题的关键． 30．（2023下·四川成都·八年级统考期末）如图1，在中，，连接，，点E，F分别在边上，分别交于点G，H．将，分别沿直线折叠，使得点B的对应点，点D的对应点都落在对角线上．    (1)【尝试初探】求证：； (2)【深入探究】如图2，若点，恰好分别与点H，G重合，求n的值；    (3)【拓展延伸】若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质及平行四边形的性质利用全等三角形的判定证明即可； （2）设，则，再由勾股定理得出，利用折叠的性质及勾股定理得出，根据等腰三角形的性质求解即可； （3）由（2）得，，，设，则，，再由等腰三角形的判定和性质得出，结合图形，利用各线段间的数量关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵，分别沿直线折叠，使得点B的对应点，点D的对应点都落在对角线上， ∴， ∴， ∵， ∴，AB=CD， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∴， ∵，设， ∴， ∴， ∵，分别沿直线折叠，使得点B的对应点，点D的对应点都落在对角线上，点，恰好分别与点H，G重合， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）得，，， ∴设， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 同理为等腰直角三角形，， ∴ ∴，，， ∴， ∴．    【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，折叠的性质及全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，含30度角的直角三角形的性质，理解题意，结合图形，找准线段间的数量关系是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$