2024年广东省中山市万阅百校联盟 中考三模数学试题

数学试题参考答案及评分参考 第 1 页 （共 4 页） 机密★启用前 2024年广东省初中学业水平质量监测卷 九年级(二) 数学试题参考答案及评分参考 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分． 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分． 11. 1 12. 4 13. 3 5 14. − 1 2 15. 3.24 三、解答题（一）：本大题共 3小题，每小题 8分，共 24分． 16. 解：（1）原式= 3−1 1+ 3 = 3−1 2 2 = 2 − 3. ……………………4 分 （2）∵a2-b2=(a+b)(a-b)=12，且 a-b=2， ……………………5 分 ∴a+b=6. ……………………6分 ∴(a+b)2=36. ……………………8分 17. 解：（1）依题意，点 A(2，1)在反比例函数 � = � � (m≠0)的图象上， ∴m=2×1=2. ……………………1 分 ∴反比例函数的解析式为� = 2 � . ……………………2 分 又∵B(-1，n)为一次函数 y=kx+b的图象与反比例函数� = � �的图象的交点， ∴n= 2 −1 =− 2. ……………………3 分 ∵A(2，1)，B(-1，-2)两点均在一次函数 y=kx+b的图象上， ∴ 2� + � = 1， −� + � =− 2， 解得 � = 1， � =− 1. ……………………5分 ∴一次函数的解析式为 y=x-1. 综上所述，反比例函数的解析式为� = 2 � ，一次函数的解析式为 y=x-1. …………6 分 （2）x＜-1或 0＜x＜2. ……………………8 分 18. 解：（1）如图 1，在等边三角形 ABC中，过点 A作 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A B C D A C A 数学试题参考答案及评分参考 第 2 页 （共 4 页） AH⊥BC于点 H，则 HB=1 2 �. ………………1 分 由勾股定理可得 AH= 3 2 �. ………………2 分 ∴等边三角形的面积为 S= 1 2 ·a· 3 2 � = 3 4 �2. ……3 分 （2）设第一段绳子的长为 x cm，则第二段绳子的长为(12－x)cm，其中 0＜x＜12. ……4 分 由（1）可知，第一个等边三角形的面积为�1 = 3 4 � 3 2 = 3 36 �2， ………………5 分 第二个等边三角形的面积为�2 = 3 4 12−� 3 2 = 3 36 (12 − �)2， ………………6 分 两个三角形的面积和为 S=S1+S2= 3 36 �2+ 3 36 (12 − �)2= 3 36 (2x2-24x+144)= 3 18 (x2-12x+72)= 3 18 � − 6 2 + 36 ≥ 2 3. 当 x=6时，取等号. ………………7 分 ∴当 x=6，即将绳子从中间剪开时，两个等边三角形的面积和最小，最小面积和为 2 3 cm2. ………………8 分 四、解答题（二）：本大题共 3小题，每小题 9分，共 27分． 19. 解：（1）∠B的平分线如图 2所示. ……………3 分 （2）如图 2，过点 D作 DH⊥AB于点 H， ……………4 分 ∵D为角平分线上的点，DC⊥BC，DH⊥AB， ∴DH=DC. ………………5 分 ∴S△ABC=S△BCD+S△BAD= 1 2 BC·DC+1 2 AB·DH=1 2 DH(BC+AB). ………7 分 ∵S△ABC=6，BC+AB=8，即 1 2 DH×8=6， ………………8 分 ∴DH=3 2 . ………………9 分 20. 解：（1）∵随机抽取的人数为 20÷144 360 =50(人)， ………………1 分 ∴D等级人数为 50－10－20－16=4(人)，补全条形统计图如图 3所示. ………………3 分 （2）该年级获得 A等级的学生人数为 1 000×10 50 =200(人). ………………5 分 （3）∵D等级的人数为 4， ∴D等级中女生有 2人. ………………6 分 设这 4人分别为 a，b，c，d，其中 a，b为男生，c，d为女生，随机抽取两名学生，共有以 数学试题参考答案及评分参考 第 3 页 （共 4 页） 下 6种等可能的情况：ab，ac，ad，bc，bd，cd. ………………7 分 其中抽到一男一女的情况共有 4种，即 ac，ad，bc，bd. ………………8 分 ∴P(抽取的两名学生恰好是一男一女)=4 6 = 2 3 . ………………9 分 21. 解：（1）由切线长定理可知，DC=DA，EC=EB，PA=PB. ………………1 分 则△PDE的周长=PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=2PA=12. …3 分 ∴PA=6. ………………4 分 （2）如图 4，连接 OA，OB，OC， 则∠DOC=∠DOA，∠COE=∠BOE. ……5 分 ∴∠AOB=∠DOC+∠COE+∠DOA+∠BOE =2(∠DOC+∠COE) =2∠DOE =144°. ……………7分 在四边形 PAOB中，∠PAO=∠PBO=90°， ∠PAO+∠PBO+∠APB+∠AOB=360°， 即 90°+90°+∠APB+144°=360°， ………………8 分 ∴∠APB=36°. ………………9 分 五、解答题（三）：本大题共 2小题，每小题 12分，共 24分． 22.（1）解：如图 5，过点 C作 CE⊥AB于点 E， ………………1 分 在 Rt△AEC中，CE=CA·sin A=bsin A， …………2 分 ∴S=1 2 ��·CE=1 2 �·bsin A=1 2 ��sin A. …………3 分 （2）证明：由（1）知，△ABC的面积 � = 1 2 ��sin A， 同理 � = 1 2 ��sin B， � = 1 2 ��sin C， …………4 分 ∴ 1 2 ��sin A= 1 2 ��sin B= 1 2 ��sin C. …………5 分 同时除以 1 2 ���，得 sin � � = sin � � = sin � � . …………6 分 即 � sin � = � sin � = � sin �. …………7 分 （3）∵AC∶BC=3∶2，设 AC=3x，则 BC=2x， 即 b=3x，a=2x. 如图 6，在 Rt△ADC中，sin A=�� �� = �� 3� = 3 3 ， ∴CD= 3�. ………………8 分 由勾股定理可得 AD2=AC2-CD2，即 AD2=(3x)2-( 3�)2，解得 AD= 6�. ………9 分 数学试题参考答案及评分参考 第 4 页 （共 4 页） 在 Rt△BDC中，BC=2x，CD= 3�， 由勾股定理可得 BD2+CD2=BC2 ，即 BD2+( 3�)2=(2x)2，解得 BD=x=2. ………10 分 ∴AB=AD+BD=2 6+2，BC=2x=4. ………………11 分 由（2）易知 �� sin � = �� sin∠���， ∴sin∠ACB=��·sin � �� = 2 6+2 · 33 4 = 3+3 2 6 . ………………12分 23. 解：（1）如图 7，∵当 AP与⊙B在 x轴上方的部分相切时，四边形 APBQ为矩形，且 AP=AQ， ∴矩形 APBQ为正方形. ……………1 分 ∴AP=BP=3 2. ∴AB= 2�� = 6. ……………2 分 ∵B(2，0)，∴A(-4，0). ……………3分 将 A(-4，0)，B(2，0)分别代入 y=ax2+bx+4， 得 16� − 4� + 4 = 0， 4� + 2� + 4 = 0， 解得 � =− 1 2 ， � =− 1. ……………5分 ∴抛物线的解析式为 y=− 1 2 �2 − � + 4. ……………6 分 （2）如图 8，将线段 AB绕点 A顺时针旋转 90°得到 AD，连接 DQ，BP. 在△AQD和△APB中，AD=AB，AQ=AP. ∵∠PAB+∠QAB=∠QAD+∠QAB=90°， ∴∠PAB=∠QAD. ∴△AQD≌△APB. ∴DQ=BP=3 2. ∴点 Q在以点 D为圆心，半径为 3 2的圆上运动. ………………………………………………………8 分 连接 CA，过点 D作 DH⊥CA交 CA的延长线于点 H. ∵A(-4，0)，C(0，4)，∴∠CAO=45°，AC=4 2. ∴∠DAH=45°. ………………9 分 在等腰直角三角形 DHA中，DH= 2 2 ��=3 2. ……………10 分 ∴点 Q到直线 AC的距离最大值为 3 2+3 2=6 2. ……………11 分 ∴△ACQ面积的最大值为 1 2 ·AC·6 2=1 2 ×4 2×6 2=24. ……………12分 机密★启用前 2024年广东省初中学业水平质量监测卷 九年级(二) 数 学 本试卷共4页, 23 小题, 满分120分. 考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、座位号和考号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考号填涂区”相应位置填涂自己的考号.将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.甲地的平均海拔为-30m，乙地的平均海拔比甲地高40m，乙地的平均海拔为 A. -10 m B. 10m C. -70 m D. 70 m 2.第七次全国人口普查公布的我国总人口数约为1 440 000 000，该数用科学记数法表示为 D. 1.44×10⁹ 3.已知有理数a，b，c在数轴上的位置如题3图所示，则 A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 4.如题4图，a，b是两条平行线，三角板的直角顶点在直线b上, 已知∠1=53°, 则∠2的度数是 A. 37° B. 47° C. 53° D.与三角板形状有关 5. 若 则m+n= A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6.掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上一面的点数为奇数的概率是 A. B. C. D. 数学试题 第1页 (共4页) 7.若一元一次不等式组 的解集为x<a-4，则a的取值范围是 A. a<-6 B. a≤-6 C. a>-6 D. a≥-6 8. 如题8图, 四边形ABCD为平行四边形, 四边形BCEF 为菱形, BF与CD交于点G, ∠A=60°, ∠BEC=22°, 则∠BGC= A. 76° B. 82° C. 86° D. 104° 9. 如题9图, 菱形 ABCD的一条对角线AC=4 , ∠DAB=60°, P是对角线AC上的一个动点, E, F分别为边DA, DC 的中点, 则PE+PF的最小值是 A. 2 C. 4 10. 若锐角三角形ABC内的点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°, 则称点 P 为△ABC 的费马点. 如题10图, 在△ABC 中, 则△ABC的费马点P到A, B,C 三点的距离之和为 A. 4 B. 2 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11. 已知a=0.3, b=0.1, 则 12. 若a, b是一元二次方程 的两个根，则. 13. 如题13图, 在矩形ABCD中, AB=5, BC=4, F为BC边上一点, 将△DCF 沿DF翻折,若点 C 刚好落在 AB 边上的点 E 处,则 14. 如题14图, 已知抛物线 过A(-3, 0), B(5, 0)两点, 与y轴的正半轴交于点C, 顶点为D, 当∠DCO+∠DBO=180°时, a= . 15.如题15图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄金分割比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：(1)眉头、眼头、鼻翼在一条竖直直线上；(2)眉头和眉峰的水平距离(图中直线①和直线②的距离)和眼长大致相等(设此长度为a)，眉头和眉尾的水平距离(图中直线①和直线③的距离)设为b，a与b的比例为黄金分割比 (3)眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上.某同学按照以上要求进行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为2cm，则眼梢到鼻翼的距离为 cm. 2.236, 结果保留两位小数) 数学试题 第2页 (共4页) 三、解答题 (一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 16. (1) 计算: (2) 已知 求 的值. 17. 如题17图, 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 的图象交于A(2, 1), B(-1, n)两点. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出 时x的取值范围. 18. (1) 求边长为a(a>0)的等边三角形的面积; (2)小明将一根长为12 cm的绳子剪成2段，分别围成两个等边三角形.问：如何剪才能够使得这两个等边三角形的面积和最小?最小面积和为多少? 四、解答题 (二)：本大题共3 小题，每小题9分，共27分. 19. 如题19图, 在△ABC中, ∠C=90°. (1)实践与操作：用尺规作图法作∠B的平分线；(保留作图痕迹，不要求写作法) (2) 应用与计算: 设(1)中∠B 的平分线交AC于点 D, 若△ABC的面积为6, AB+BC=8, 求点 D到AB 的距离. 20.某校为了解九年级学生对急救知识的掌握情况，从全年级 1 000名学生中随机抽取部分学生进行测试，所得成绩分为以下四种等级：A(优秀)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)，将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图如题20图所示. 已知扇形统计图中 B等级所对应的扇形圆心角的度数为144°，根据以上信息，解答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)如果全年级学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该年级获得 A等级的学生人数； (3)为分析学生对急救知识掌握情况欠缺的原因，该校决定从 D 等级的学生中随机抽取两名进行调查，若D等级中有2名男生，其余均为女生，求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率. 数学试题 第3页 (共4页) 21. 如题21图, P是⊙O外一点, PA, PB是⊙O的两条切线, 切点分别为A, B, C为劣弧AB.上一点, 过点C作⊙O 的切线, 分别交 PA, PB 于点 D, E. (1) 若△PDE 的周长为12, 求 PA 的长; (2) 若∠DOE=72°, 求∠APB的度数. 五、解答题 (三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22. 如题22-1图, 在锐角三角形ABC中, ∠A, ∠B, ∠C的对边分别为a, b, c. (1) 用b, c, sin A 表示△ABC的面积S; (2) 求证: (3) 如题22-2图, 若 且CD⊥AB于点D, BD=2, 求sin∠ACB. 23. 如题23图, 抛物线 与x轴交于A，B(2, 0)两点, 与y轴交于点 C. 以点B 为圆心,3 为半径作圆，P是⊙B上的一个动点，连接AP, 将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转90°得到AQ.当AP与⊙B在x轴上方的部分相切时，四边形APBQ 为矩形. (1)求抛物线的解析式； (2) 求△ACQ 面积的最大值. 数学试题 第4页 (共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $$机密★启用前 2024年广东省初中学业水平质量监测卷九年级（二）》 数学 本试卷共4页，23小题，满分120分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、座位号和考号填 写在答题卡上，用2B铅笔在“考号填涂区”相应位置填涂自己的考号.将条 形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处” 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在 试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案： 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1.甲地的平均海拔为-30m,乙地的平均海拔比甲地高40m,乙地的平均海拔为 A.-10m B.10m C.-70m D.70m 2.第七次全国人口普查公布的我国.总人口数约为1440000000，该数用科学记数法表示为 A.0.144×10 B.0.144×1010 C.1.44×103 D.1.44×10 3.已知有理数a,b,c在数轴上的位置如题3图所示，则a-b1_。。 "la2 6-Tc= A.-1 B.1 b a 0c C.2 D.3 题3图 4.如题4图，4，b是两条平行线，三角板的直角顶点在直线b 上，已知∠1=53°，则∠2的度数是 A.37% B.47° C.53 D.与三角板形状有关 2ar'62+4a6-3- 5若 2a6,则m+n= 题4图 A.2 B.4 C.6 D.8 6.掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6，则朝上一面 的点数为奇数的概率是 C Z n号 数学试题第1页（共4页) 7.若一元一次不等式组<2a+2,的解集为x<a-4,则a的取值范围是 x<a-4 A.a<-6 B.a≤-6 C.a>-6 D.a≥-6 8.如题8图，四边形ABCD为平行四边形，四边形BCEF为菱形，BF与CD交于点G,∠A= 60°，∠BEC=22°，则∠BGC= A.76° B.829 C.860 D.1049 D B 题8图 题9图 题10图 9.如题9图，菱形ABCD的一条对角线AC=43,∠DAB=60°，P是对角线AC上的一个动 点，E,F分别为边DA,DC的中点，则PE+PF的最小值是 A.2 B.23 C.4 D.45 1O.若锐角三角形ABC内的点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则称点P为△ABC的费 马点.如题10图，在△ABC中，AB=AC=√7，BC=√3，则△ABC的费马点P到A,B, C三点的距离之和为 A.4 B.2 C.2+23 D.2+√5 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 1.已知a=0.3,6=0.1,则6a6+9a+6 3a+6 12.若a,b是一元二次方程x2-2x-5=0的两个根，则√a+a+3b+5= 13.如题13图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,F为BC边上一点，将△DCF沿DF翻折， 若点C刚好落在AB边上的点E处，则 C 眉毛和眼睛的黄金比例 眼 鼻翼 E 题13图 题14图 题15图 14.如题14图，已知抛物线y=ax2+bx+c过A(-3,0),B(5,0)两点，与y轴的正半轴交于 点C,顶点为D,当∠DCO+∠DB0=180°时，a= 15.如题15图，美术素描课堂上有很多关于黄金分割比的元素，比如脸部素描就需要考虑黄 金分判比的问题，按照如下要求作出的人脸图像比较美观：(1)眉头、眼头、鼻翼在一条竖 直直线上；(2)眉头和眉峰的水平距离（图中直线①和直线②的距离）和眼长大致相等（设此 长度为a),眉头和眉尾的水平距离（图中直线①和直线③的距离）设为b,a与6的比例为 黄金分划比)：（③）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直线上来同学按照以上要求进行素描， 知他的素描作品中眼梢到眉尾的距离为2cm,则眼梢到鼻翼的距离为 cm.(5 2.236,结果保留两位小数) 数学试题第2页（共4页） 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分 160)计算，即w (2)已知a-b=2,a2-b2=12,求(a+b)2的值 17.如题17图，一次函数y=x+b(k≠0)的图象与反比例函数 y=(m≠0)的图象交于4(2，)，8(-山，m)两点 (1)求反比例函数和一次函数的解析式： (2)直接写出红+b-m<0时x的取值范围 题17图 18.(1)求边长为a(a>0)的等边三角形的面积； (2)小明将一根长为12©m的绳子剪成2段，分别围成两个等边三角形.问：如何剪才 能够使得这两个等边三角形的面积和最小？最小面积和为多少？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分 19.如题19图，在△ABC中，∠C=90 (1)实践与操作：用尺规作图法作∠B的平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：设(1)中∠B的平分线交AC于点D,若△ABC的面积为6，AB+BC= 8,求点D到AB的距离. 题19图 20.某校为了解九年级学生对急救知识的掌握情况，从全年级1000名学生中随机抽取部分学 生进行测试，所得成绩分为以下四种等级：A(优秀)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)， 将数据进行整理后，绘制了两幅不完整的统计图如题20图所示. 急救知识测试情况条形统计图 急激知识测试情况扇形统计图 A入数 20 0 A B C D 等级 题20图 已知扇形统计图中B等级所对应的扇形圆心角的度数为144°，根据以上信息，解答下列 问题： (1)请补全条形统计图： (2)如果全年级学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该年级获得A等级的 学生人数： (3)为分析学生对急救知识掌握情况欠缺的原因，该校决定从D等级的学生中随机抽取 两名进行调查，若D等级中有2名男生，其余均为女生，求抽取的两名学生恰好是 一男一女的概率。 数学试题第3页（共4页） 21.如题21图.P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A,B,C为劣弧 AB上一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA,PB于点D,E. (1)若△PDE的周长为I2,求PA的长： (2)若∠DOE=72°，求∠APB的度数 题21图 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分 22.如题22-1图，在锐角三角形ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c. (1)用b,c,sinA表示△ABC的面积S; (2)求证：”，：6c sin A sin B sin C' (3)如题2-2图，若4C:BC=3:2,咖A=3,且CD1AB于点D,D=2,求咖∠4CB 题22-1图 题22-2图 23.如题23图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A, B(2,0)两点，与y轴交于点C.以点B为圆心， 32为半径作圆，P是⊙B上的一个动点，连接 AP,将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到AQ. 当AP与⊙B在x轴上方的部分相切时，四边形 APBQ为矩形. (1)求抛物线的獬析式； (2)求△ACQ面积的最大值. 题23图 数学试题第4页（共4页）