决胜2024年中考数学解答题：二次函数6大考点汇总与跟踪训练

决胜2024年中考解答题：二次函数6大考点汇总与跟踪训练 6大考点汇总 考点1：二次函数的图像和性质 考点2：二次函数的最值 考点3：二次函数与一元二次方程 考点4：二次函数与不等式 考点5：二次函数与实际问题 考点6：二次函数综合 6大考点跟踪训练 考点1：二次函数的图像和性质 1．已知抛物线（，a，b均为常数）过点． (1)求a，b之间的数量关系及该抛物线的对称轴． (2)若函数y的最大值为5，求该抛物线与y轴的交点坐标． (3)当自变量x满足时，记函数y的最大值为m，最小值为n，求证：． 2．已知直线经过点． (1)用含有的式子表示； (2)若直线与，轴分别交于，两点，面积为，求的取值范围； (3)过点的抛物线与轴交点为，记抛物线的顶点为，该抛物线是否存在点使四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知二次函数． (1)将写成的形式，并写出它的顶点坐标； (2)当时，直接写出函数值y的取值范围； (3)该二次函数的图象与直线有两个交点，，若，直接写出n的取值范围． 4．已知抛物线，直线． (1)直接写出抛物线的顶点，请问直线是否经过该点？ (2)若，当时，二次函数的最大值为，求的值； (3)点为抛物线的顶点，为抛物线与直线的另一个交点，当时，若线段（不含端点）上至少存在一个横坐标为整数的点，求k的取值范围． 考点2：二次函数的最值 5．在平面直角坐标系中，抛物线()的对称轴为． (1)若，求t的值； (2)已知点，，在该抛物线上．若，且，比较，，的大小，并说明理由． 6．二次函数（a，b是实数，且），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … m k n … (1)① 解关于x的方程：； ② 若，求a的取值范围． (2)若，当时，设二次函数的最大值为A，最小值为 B．若，求t的取值范围． 7．如图，抛物线y=，过点，，与y轴交于点C，P为x轴上方抛物线上的动点，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式． (2)如图（1）若直线把的面积分成1∶2的两部分，求m 的值． (3)如图（2）若直线PA与直线BC相交于点M，且． ①试求d关于m的函数解析式． ②请根据d的不同取值，探究P点的个数． 8．如图， 在平面直角坐标系中， 已知， 点A在以为直径的半圆上，且点A 的横坐标为 ，M为线段 的中点．    (1)求点 A的纵坐标； (2)用直尺和圆规作一个，使它经过点M且与x轴相切（作一个即可，不写作法，但要保留作图痕迹）； (3)求满足 （2）中条件的点 P纵坐标的最小值． 考点3：二次函数与一元二次方程 9．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线与轴的交点坐标； (2)已知点，，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围． 10．已知抛物线的顶点，交轴于点，过点且平行于轴的直线与抛物线交于、两点点在点的左侧，动点在直线下方的抛物线上运动． (1)直接写出、、三点的坐标； (2)设直线、分别与抛物线对称轴相交于点和，若，探索是否随着点的运动而发生变化？若不变，请求出这个定值；若变化，请说明理由； (3)将抛物线沿直线方向平移，顶点的对应点记作，若平移后的抛物线上有且仅有两个点到直线的距离为请直接写出的取值范围． 11．在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线，点，均在直线l上． (1)若抛物线C与直线l有交点，求出a的取值范围； (2)当，二次函数的自变量x满足时，函数y的最大值为，求m的值； (3)若抛物线C与线段有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围． 12．已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积； (3)如果，求抛物线的表达式． 考点4：二次函数与不等式 13．在平面直角坐标系，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)若，，当时，，当时，，求的值； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 14．如图，二次函数的图象与直线交于、两点． (1)请直接写出关于x的不等式的解集：______； (2)求二次函数表达式； (3)点E是线段（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线于点N、若以点P，N，A为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，矩形中，，，抛物线顶点为M． (1)若抛物线对称轴左侧部分图象交y轴于点． ①求此时抛物线的表达式； ②设直线的解析式为，求当时x的取值范围． (2)若矩形的边与抛物线恰好有2个交点，直接写出此时m的取值范围． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴和轴分别交于点和点，点是此抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)若点在轴上方的抛物线上时，请结合图象直接写出的取值范围． (3)过点作轴，点的横坐标为，点与点不重合． ①当线段的长度随的增大而减小，求的取值范围． ②在的下方作等腰直角三角形，且，当时，直接写出等腰直角三角形与抛物线的交点个数及的取值范围． 考点5：二次函数与实际问题 17．“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在端午节来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒定价为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为P盒． (1)当时，P等于______； (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？ 18．学校购买一批钢笔和笔记本奖励给名获奖学生，获得一等奖的学生奖励支钢笔，获得二等奖的学生奖励本笔记本，设获得一等奖的人数为（人）．已知购买支钢笔和本笔记本共元，购买支钢笔和本笔记本共元． (1)钢笔和笔记本的单价分别为多少元？ (2)购买钢笔超过支时，每增加支，单价降低元，若购买奖品的金额为元，求获一等奖的学生人数； (3)当获一等奖人数为多少时，购买奖品的金额最少？并求出最少金额． 19．下表是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至12时气温y(单位：)随着时间t(单位：时)的变化情况． 时间时 0 2 4 6 8 10 12 温度 6 1 4 6 4 气象台对数据进行分析后发现，次日0时至5时，y与t近似满足一次函数关系，5时至12时，y与t近似满足函数关系． 根据以上信息，补充完成以下内容： (1)在平面直角坐标系中，补全次日0时至12时气温y与时间t的函数图象； (2)求出次日5时至12时y与t满足的函数关系式，并直接写出次日0时至12时的最高气温与最低气温； (3)某种植物在气温以下持续时间超过小时，即遭到霜冻灾害，需采取防霜措施，则该植物次日 采取防霜措施(填“需要”或“不需要”)． 20．如图1，一段高架桥的两墙A，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，设边长度为米，试求内接矩形的面积S（用含的式子表示）； (3)若已知矩形广告牌的价格为80元/米，广告牌其余部分的价格为160元/米，试求完成菱形广告牌所需的最低费用． 考点6：二次函数综合 21．如图，已知：抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线（不包括坐标轴）上一个动点，连接和，当时，求出点P的坐标； (3)如图2在（2）的条件下，连接CP与x轴交于点M，求证：． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求线段的长度； (2)点为直线下方抛物线上的一动点，且点在抛物线对称轴左侧，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度，得到一条新抛物线，为射线上的动点，过点作轴交新抛物线的对称轴于点，点为直角坐标系内一点，请直接写出所有使得以点，，，为顶点的四边形是菱形的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 23．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P在直线的上方运动时，连接，交直线于点D，交y轴于点E． ①若的面积是面积的3倍，求点P的坐标； ②当时，求的长． (3)过点P作轴交直线于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，过点作直线轴，与抛物线交于点，作直线，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上的点，求满足的点的坐标； (3)点在轴上，且位于点的上方，点在直线上，点为直线上方抛物线上一点，是否存在点使四边形为菱形，如果存在，请直接写出点的坐标．如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)， (2) (3)见解析 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点代入函数解析式即可得到a，b之间的数量关系，再根据二次函数的对称轴求解即可； （2）把二次函数化为顶点式，根据函数y的最大值为5求出a的值，即可得到与y轴的交点坐标； （3）根据二次函数的性质求出当自变量x满足时，函数y的最大值为当时的函数值，故，函数y的最小值为当时的函数值，故，代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线（，a，b均为常数）过点． ∴ 整理得，， ∴ ∵． 即该抛物线的对称轴为． （2）∵， ∴ ∵函数y的最大值为5，与y轴的交点坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴该抛物线与y轴的交点坐标为． （3）证明：∵， ∴抛物线开口向下， ∴当自变量x满足时，函数y的最大值为当时的函数值，故， 函数y的最小值为当时的函数值，故， ∴ 2．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）将代入得，，整理即可； （2）由经过点，可知经过第一、二、三象限，由（1）可知，，可求，；，；则，根据，即，可求，然后作答即可； （3）将代入得，，解得，，即，，可求，设，当四边形为平行四边形，为边，为对角线，则的中点坐标为，的中点坐标为，由平行四边形的性质可知，可求，即，将代入，可求满足要求的解为，进而可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 整理得，， ∴含有的式子表示为； （2）解：∵经过点， ∴经过第一、二、三象限， 由（1）可知，， 当时，，即，； 当时，， 解得，， ∴，； ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴且； （3）解：将代入得，， 解得，， ∴， ∴， 当时，，即， 设， 当四边形为平行四边形，为边，为对角线， ∴的中点坐标为，的中点坐标为， ∴， 解得，， ∴， 将代入得，， 解得，，满足题意； ∴ ∴存在点使四边形为平行四边形，此时． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，完全平方公式的变形，二次函数与特殊的平行四边形综合，二次函数的图象与性质等知识．熟练掌握一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，完全平方公式的变形，二次函数与特殊的平行四边形综合，二次函数的图象与性质是解题的关键． 3．(1)，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式转化为顶点式，由顶点式写出顶点坐标； （2）利用二次函数的增减性求出的取值范围； （3）设二次函数的图象与直线有两个交点，的横坐标为，，根据根与系数的关系可得，，，进而可得，整理后求解即可． 【详解】（1）解：， 则得顶点坐标为． （2）解：对称轴为直线，开口向上， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 当时，，当时，， 当时，函数的取值范围为． （3）解：设二次函数的图象与直线有两个交点，的横坐标为，， 则，为的两个解，即 ，， ， 即：， ， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，抛物线与直线的交点，根与系数的关系等，关键是灵活运用相关知识解决问题． 4．(1)顶点坐标为，直线l 恒过抛物线 C 的顶点 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、解一元二次方程以及解不等式: （1）先根据二次函数解析式得到顶点坐标为，再证明直线l恒过点即可得到答案； （2）根据题意可得抛物线开口向下，且当时，函数有最大值2，由此讨论当，即时，当时，两种情况讨论求解即可； （3）先联立两函数解析式求出Q点坐标，再根据题意可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线C的解析式为， ∴抛物线C的顶点坐标为， ∵直线l的解析式为， ∴直线l恒过点， ∴直线l 恒过抛物线 C 的顶点； （2）解：由题意得，抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下，且当时，函数有最大值2， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵当时，二次函数的最大值为， 当，即时，， 解得或（舍去）； 当时，， 解得或（舍去）； 综上所述，t的值为或 （3）解：联立，解得或， ∴， ∵线段（不含端点 P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 5．(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性计算是解题的关键． （1）利用抛物线的对称轴公式求得即可； （2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论； 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 即． （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点关于直线的对称点的坐标是， ∴． ∴． ∵，抛物线开口向上， ∴当时，y随x增大而增大， ∴． 6．(1)或；且且 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题： （1）①根据题意可得，则由表格即可得到答案；②先求出，进而分别求出，再根据列式求解即可； （2）先求出，得到抛物线解析式为，则抛物线开口向上，对称轴为直线，进而得到抛物线的最小值为，且离对称轴越远函数值越大，再讨论t的范围进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 由表格可知，当或时，， ∴关于x的方程的解为或； ②把代入中得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴且且； （2）解：由（2）可知， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线的最小值为，且离对称轴越远函数值越大， ∴当时，， ∵， ∴， ∴； 当时，，，此时符合题意； 当时，，此时不满足题意； 综上所述，， 7．(1) (2)或． (3)①，②（ⅰ）当时，对d的每个取值，点P有3个；（ⅱ）当时，符合条件的点P有2个；（ⅲ）当且时，对d的每个取值，点P有1个．（iv）当或时，不存在点P． 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，运用待定系数法求函数关系式，相似三角形的判定与性质．由分段函数画出函数图象，结合图象得出点P个数是解题关键． （1）根据待定系数法即可求二次函数的解析式； （2）根据直线把的面积分成1∶2的两部分，可得或，由此求出点Q坐标，进一步求出直线解析式，再联立解析式求出交点坐标即可， （3）①先根据待定系数法求出直线的解析式为，再分当时，点在点的左侧，当时，点在点的右侧两种情况讨论；②画出函数图象，分析图象即可得出结论． ①过点P作轴，交于点N，过点A作轴，交于点D则，得，求出点D坐标以及直线的解析式，再分当点P在第一象限时和当点P在y轴、当点P在第二象限时，三种情况求出即可；②画出d与m的图象，讨论求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， （2）若直线把的面积分成1∶2的两部分， 当时，则，即：， 过点Q作轴，交轴于点H， ∴， ∴， 当时，， 故点，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴直线解析式为， 联立抛物线和直线解析式得： ，解得：，（在第三象限，不合题意舍去） 点P的横坐标为， 当时，则，即：， 同理可求：，直线解析式为， 联立抛物线和直线解析式得： ，解得：，（在第三象限，不合题意舍去） 此时点P的横坐标为， 综上所述：若直线OP把的面积分成1∶2的两部分，点P的横坐标为 或． （3）①点P作轴，交于点N，过点A作轴，交于点D， ∵点、点， ∴直线的解析式为． 当时，，即点D坐标为，， 当时，，， ∵轴，轴， ∴， ∴， 当点P在第一象限时，即：，， ， 当点P在y轴，，此时点P、M、N也与点C重合，时，， 当点P在第二象限时，即：，， ， 综上所述：d关于m的函数解析式： ②d与m的图象如图所示，由图象可知． 当时，． ∴当时，d的最大值是． 由图象可知： （ⅰ）当时，对d的每个取值，点P有3个； （ⅱ）当时，符合条件的点P有2个； （ⅲ）当且时，对d的每个取值，点P有1个． （iv）当或时，不存在点P． 8．(1)2.4 (2)画图见解析 (3) 【分析】（1）如图，过作于，证明，可得，可得，再建立方程求解即可； （2）在上取点，连接，作的垂直平分线，过作的垂线，交的垂直平分线于，以为圆心，为半径画圆即可． （3）如图，设，由，为的中点，可得，结合，，可得，在利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，过作于，    ∵为直径， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，点A 的横坐标为 ， ∴， ∴点 A的纵坐标为； （2）如图，即为所求；    理由：在上取点，连接，作的垂直平分线， 过作的垂线，交的垂直平分线于， 以为圆心，为半径画圆， 则，， ∴符合要求． （3）如图，设，    ∵，为的中点， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， ∴当时，． ∴点 P纵坐标的最小值为． 【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，切线的判定与性质，锐角三角函数的应用，二次函数的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 9．(1)，； (2)当或时，抛物线与线段恰有一个公共点． 【分析】（）当时，，再解方程即可得到结论； （）根据点，，抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，即可求的取值范围； 本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）当时，， ∴，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，； （2）当时，点在点上方时，抛物线与线段恰有一个公共点， 可知， 解得：， ∴的取值范围为； 当时，点在抛物线过与轴的交点，之间时，抛物线与线段恰有一个公共点, ∴的取值范围为， 此时，抛物线与线段有一个公共点， 综上所述，当或时，抛物线与线段恰有一个公共点． 10．(1)，， (2)不变化， (3) 【分析】（1）根据顶点式，分别令，即可求解； （2）分别求得直线的解析式，令，求得的坐标，进而即可求解； （3）先求得直线的解析式，的长，进而作出与平行且距离为的两条直线，令平移后的抛物线与这两条直线相切，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点， ∴ 当时，，则 当时， 解得： ∴， （2）解：由则对称轴为直线， 如图所示， 设，， 设直线的解析式为，将点，代入得， ∴ ∴ 当时， ∵ ∴ 即 设直线的解析式为，将点，代入得 解得： ∴ 当时， ∵ ∴ 即 ∵ ∴ （3）解： ∵，当时，，则， 设直线的解析式为，， ∴ ∴直线的解析式为 ∴设的解析式为，将代入， 解得： ∴的解析式为 ∵ ∴， ∴平移后的抛物线解析式为 如图所示，设于轴交于点， ∴ ∴ 以为半径的中点为圆心作圆，作交于点， ∴， 设交轴于点， ∴, ∵， ∴，， ∴即 ∵， ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 设， ∵，又 ∴， 解得： ∴， 同理可得, 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 设平行于过点的直线为，代入 ∴ 解得： ∴平行于过点的直线为 同理可得平行于过点的直线为 当平移后的抛物线与和有一个交点时，即为临界值， 联立，消去整理得 ∵ 解得： 联立，消去整理得 ∵ 解得： 综上所述， 11．(1)且 (2)m的值为或3 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出直线l的解析式，联立方程组并整理得，由抛物线C与直线l有交点得出有实数根，然后利用根的判别式求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴为，然后分，，三种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可； （3）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴， 联立方程组， 整理得， ∵抛物线C与直线l有交点， ∴有实数根， ∴， 解得且； （2）解：当时，二次函数， ∴对称轴为， 当，即时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y有最大值为， ∴， 解得，（舍去）； 当时，时，y有最大值为0，不符合题意，舍去； 当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y有最大值为， ∴， 解得，（舍去）； 综上，m的值为或3； （3）解：当时， 由题意，得， 解得； 当时， 由题意，得， 解得； 综上，或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法及二次函数的对称；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键． 12．(1) (2) (3) 【分析】（1）本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求得，令得到，求得直线的解析式为，进而即可求解； （2）根据题意，分两种情况讨论，①与轴只有1个交点；②过原点，根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解； （3）根据题意，过点作轴的垂线，垂足为，进而得出是等腰直角三角形，结合的坐标，建立方程，解方程，得出，进而求得抛物线解析式． 【详解】（1）解：令，则，则， ∵ ∴ 又， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； （2）①当抛物线与轴只有一个交点与轴有一个交点时， 当时， 即 ∵抛物线与坐标轴共有两个不同的交点 ∴ 解得 ∵， ∴ ∴ ②当抛物线过原点时，且与轴有2个交点时， 将代入解析式 ∴ 即 ∴ ∴此情况不存在， 综上所述， （3）解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵， ∴ 解得：（舍去）或 ∴． 13．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数图象与性质综合，涉及待定系数法求解、与不等式的关系等，数形结合是解题的关键． （1）将，代入，再结合对称轴为直线即可求解； （2）利用数形结合，由当时，确定对称轴的值，再根据若，和当时，列式求解； （3）确定点的大致位置，画出草图，利用并结合图象确定点位置范围，列式求解． 【详解】（1）解：∵若，， ∴， ∴， ∴； （2）∵若，， 即抛物线过点， 再根据，即抛物线开口向上， 可得抛物线有三种大致图象，如图： ①当对称轴时， 此时当时，一定存在， 与矛盾， 故不成立； ②当对称轴时， 此时当时，一定存在， 与矛盾， 故不成立； ③当对称轴时， 此时当时，一定存在， 故成立； 综上，， ∴，即， ∵当时，时， ∴结合图象可得时，， ∴①， ∵若，， ∴②， ①-②，得， 代入， 解得：； （3）∵， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线，， ∴点在对称轴右侧， 根据题意画出草图，如图， ∵对于，，都有， 即点在点的水平上方， 由图可知点只能在对应的图象上， ∵， ∴， 解得：， ∴的取值范围为：． 14．(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据图象求解即可； （2）利用待定系数法求解析式即可； （3）由，求出直线解析式为，过作轴的垂线，交二次函数于点，交直线于点；当点E与点B重合时，即点P与点B重合，可证明此时；当点E与点B不重合时，令，则，，由，得，故，因而有，即，求出的值即可． 【详解】（1）∵二次函数的图象与直线交于、两点 ∴当时，抛物线在直线上方， ∴关于x的不等式的解集为； （2）将、两点代入得， ，解得 ∴二次函数表达式为； （3）解：∵， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 如图，过作轴的垂线，交二次函数于点，交直线于点， ∵， ∴， 当点E与点B重合时，此时点P与点B重合，且此时， ∴此时，符合题意， ∴此时点P的坐标为； 当点E不与点B重合时，设，则，， 由题意可知，不可能垂直，即， ∴当时，， ∴， ∴， ∴，即， 解得或， 经检验时方程的解， ∴． 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形和求一次函数解析式，灵活运用知识点是解题的关键． 15．(1)①；②或 (2) 【分析】（1）把代入解方程即可； （2）先求直线表达式，再与二次函数解析式联立，求出交点坐标，再根据函数图像确定的解集； （3）找到两个临界状态，经过点C时，代入点C坐标，求出此时的m值，随着m的增大，当经过点B时，代入点B坐标，求出此时的m值即可． 【详解】（1）解：①把代入得：， 解得：或， 由题意得，对称轴在y轴右侧， ∴，即， ∴， ∴抛物线的表达式为； ②将，代入 得：， 解得：， ∴直线表达式为：， 联立，可得， 解得：， ∴的解集为：或； （2）解：， ∴抛物线开口方向不变，且顶点在直线上运动， 而对称轴为直线，随着m的增大，当抛物线经过点C时， 代入点得：， 解得：或（舍），此时， ∴此时抛物线与边有两个交点， 当抛物线经过点B时，代入点得：， 解得：或（舍）， ∴当时，矩形的边与抛物线恰好有2个交点． 【点睛】本题是一道二次函数综合题，待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，根据函数图像求不等式的解集，矩形的性质，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 16．(1) (2) (3)①；②时，有一个交点；时，有两个交点；时，有三个交点 【分析】用待定系数法可得抛物线的解析式为； 求出时或，由图可得的取值范围是； 求出当，即时，与重合；即可得当，即时，，随的增大而减小，符合题意；而当，即时，，随的增大而增大，不符合题意；从而可得答案； 由知，当时，，重合，分种情况：当时，当时，当时，分别画出图形可得答案． 【详解】（1）解：把和代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：在中，令得：， 解得或， 由图可得，点在轴上方的抛物线上时，的取值范围是； （3）解：轴，点横坐标为，点的横坐标为， 当，即时，与重合； 当，即时，， 此时随的增大而减小，符合题意； 当，即时，， 此时随的增大而增大，不符合题意； 综上所述，当线段的长度随的增大而减小，的取值范围是； 由知，当时，，重合， 当时，在的左侧，如图： 此时等腰直角三角形与抛物线的交点只有个； ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，在的右侧，如图： 由图可知，此时等腰直角三角形与抛物线的交点有个； 当时，如图： 此时等腰直角三角形与抛物线的交点有个； 综上所述，当时，等腰直角三角形与抛物线的交点有个；当时，等腰直角三角形与抛物线的交点有个；当时，等腰直角三角形与抛物线的交点有个． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，二次函数图象与x轴交点，二次函数与二次不等式的关系，等腰直角三角形等知识，解题的关键是数形结合思想和分类讨论思想的应用． 17．(1)400； (2)当时，取最大值，最大值为8750元； (3)小红错误，理由见详解． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，可以得到与之间的函数关系式，把代入解析式计算即可； （2）根据每盒利润销售盒数总利润可得关于的关系式，由二次函数性质可得答案； （3）根据题意，在正确的的范围中求出日销售额的最大值，判断小强是否正确，根据题意列出不等式，结合的范围求出不等式的解集，判断小红是否正确． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即每天的销售量（盒与每盒售价（元之间的函数关系式是， 当时，， 故答案为：400． （2）解：由题意可得， ， 由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒， ， 即，解得． 当时，取得最大值，此时， 答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润（元最大，最大利润是8750元； （3）解：小强：， 设日销售额为元， ， 当时，值最大，此时， 当时，值最大，此时， 小强正确． 小红：当日销售利润不低于8000元时， 即， ，解得：， ， 当日销售利润不低于8000元时，． 故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，． 18．(1)钢笔的单价为元，笔记本的单价为元 (2)人 (3)一等奖人时，购买奖品的金额最少，最少金额为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用以及二次函数的应用， （1）设钢笔的单价为元，笔记本的单价为元，根据“购买支钢笔和本笔记本共元，购买支钢笔和本笔记本共元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设获得一等奖的人数为人，则获得二等奖的人数为人，钢笔的单价为元，根据购买奖品的金额为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （3）设购买奖品的总金额为元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 【详解】（1）解：设钢笔的单价为元，笔记本的单价为元， 依题意，得：， 解得：， 答：钢笔的单价为元，笔记本的单价为元； （2）设获得一等奖人数为人，则获得二等奖人数为个，则钢笔的单价为元， 依题意，得：， 解得：，（舍去）， ∴获得一等奖学生人数为人； （3）设购买奖品的总金额为元，则， 即， ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为， ∵，为整数， ∴当，随的增加而减小， ∴当，有最小值为元， ∴一等奖人时，购买奖品的金额最少，最少金额为元． 19．(1)见解析 (2)最高气温为 ，最低气温为 (3)需要 【分析】本题考查描点法画函数图象，待定系数法，根据图象获取信息，一次函数与二次函数的应用等知识，运用数形结合思想解题是解题的关键． （1）根据题意，描点连线即可； （2）运用待定系数法求函数解析式，根据图象即可得出最值； （3）求出气温以下持续时间即可得解． 【详解】（1）解：依题意描点连线，绘图如下： （2）当时， 依题意可知点是此时抛物线的顶点， 设此时解析式为： ∵5时至12时，y与t近似满足函数关系． ∴， ∴此时解析式为：， 令，得：， 由图可知：最高气温为 ，最低气温为 ， （3）当时，y与t近似满足一次函数关系， 设此时解析式为：， 将点，代入得：， 解得：， 此时解析式为：， 令，解得：， 当时， 令，解得：， ∴当时，，即气温在以下， ∴气温以下持续时间为：， ∵， ∴， ∴该植物次日需要采取防霜措施． 故答案为：需要． 20．(1) (2)内接矩形的面积 (3)完成菱形广告牌所需的最低费用为元 【分析】（1）过点D做轴于点M，作于点N，利用菱形的性质和等边三角形的判定和性质，求出，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出直线的解析式为，直线的解析式为设米，则，得出，，求出，证明为等边三角形，得出，求出，得出，最后得出矩形的面积即可； （3）根据（2）的面积解析式求出广告牌费用为，根据二次函数的性质即可得到费用的最小值. 【详解】（1）解：过点D作轴于点M，作于点N，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形 ∴，， ∴在中，，， ∴， 设抛物线的解析式为，则，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在矩形中，设米，则，代入和得： ，， ∴， 由对称性得， ∵轴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， 解得， ∴， ∴内接矩形的面积：． （3）解：由（2）得内接矩形的面积， ∵，， ∴， ∴菱形的面积为， ∴总费用： ， ∴当时，最小，最小值为， 答：完成菱形广告牌所需的最低费用为元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析，求一次函数解析式，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求二次函数的最值，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，求出二次函数的解析式． 21．(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，根据，进行求解即可； （3）先证明为等腰直角三角形，得到，求出的解析式，进而求出的坐标，过点作，等积法求出的长，进而求出的长，证明，得到，进而得到，再根据对顶角相等，和三角形的外角的性质，得到，即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点和点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，，当时，，解得：； ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，解得：或（舍去）； ∴； 当时，方程无实数根，不符合题意； 综上：； （3）∵， ∴， ∴，， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴， 过点作，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，求一次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角，相似三角形的判定和性质等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 22．(1) (2)的最大值为12，点 (3)点的坐标为：或或；见解析 【分析】（1）在中，得、的坐标分别为、，即可得线段的长度为； （2）先求出直线的表达式为：，设点，则点，求出，根据抛物线的对称轴为：直线，得出，求出，根据二次函数性质可得答案； （3）将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度相当于将抛物线向左平移6个单位向上平移3个单位，设点，则点，设点，分三种情况：当为对角线时，当或为对角线时，分别列方程组即可解得答案． 【详解】（1）解：对于，当时，， 令，则， 解得：或2， 则点、的坐标分别为、， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把、的坐标分别为、代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 抛物线的对称轴为：直线， ∴， 则， 当时，的最大值为12， 此时点； （3）解：将该抛物线沿着射线方向平移个单位长度相当于将抛物线向左平移6个单位向上平移3个单位， 则新抛物线的表达式为：， 设点，则点，设点， 当为对角线时， 由中点坐标公式和得： ， 解得：， 即点； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：（舍去）或或， 即点N的坐标为或； 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，菱形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 23．(1) (2)①；② (3)存在， 【分析】本题考查二次函数的图象及性质， （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①连接，过点P作轴交于点M，过点A作轴交于点N，设，由，则，建立方程求t的值即可； ②设，先求出直线的解析式为，则，再求出，根据，建立方程求出m的值即可求解； （3）设，则，，，再由，建立方程求出n的值从而求Q点坐标即可． 【详解】（1）解：（1）设抛物线的解析式为， 将点C代入可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①连接， ∵的面积是面积的3倍， ∴， 过点P作轴交于点M，过点A作轴交于点N， 设， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴； ②设， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， 当时，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当P点在F点上方时， ， 解得， ∴， ∴； 当P点在F点下方时，， 解得（舍）； 综上所述：Q点坐标为． 24．(1) (2)点的坐标为或 (3)存在，点坐标为 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）分两种情况进行讨论：当点位于直线下方时，当点位于直线上方时，分别画出图形求出结果即可； （3）在第一象限内取点，过点作轴，交于，过点作，交轴于，过点作轴，垂足为，设点，则，，求出直线的解析式为，得出，根据，得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：抛物线的图象经过点，点， 解得， 抛物线解析式为． （2）解：令，则， ∴ 如图1， ①当点位于直线下方时，过点作，垂足为，设满足条件的点在抛物线上， 则， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得（舍去），， ； ②当点位于直线上方时，过点作直线，垂足为，设 则， 根据题意，当时，， 即， 解得（舍去），， 所以，点的坐标为或； （3）解：存在，N点坐标为． 如图2， 在第一象限内取点，过点作轴，交于，过点作，交轴于， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 过点作轴，垂足为， ∵，， ， ， ， 设点， 在中，，， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 轴， ， ∵ ， 解得：（舍）或， ∴点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，菱形的性质，解直角三角形的相关计算，求一次函数解析式，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意进行分类讨论． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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