10.1.2 事件的关系和运算-2023-2024学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第二册)

人教A版2019必修第二册 第 10 章 概率 10.1 随机事件与概率 10.1.2 事件的关系和运算 1.了解随机事件的并、交与互斥的含义. 2.能结合实例进行随机事件的并、交运算. 3.通过本节的学习,提升数学抽象、数学建模的素养. 教学目标 PART.01 情境引入 情境引入 抛掷一枚骰子，记事件A“出现奇数点”，事件B“出现偶数点”， 思考：事件A与事件B有什么关系？能否同时发生？ 问题提出 从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机件．这些事件有的简单，有的复杂．我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算． PART.02 事件的关系或运算 概念讲解 探究：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，如： Ci=“点数为i ”，i=1，2，3，4，5，6； D1=“点数不大于3”； D2=“点数大于3”； E1=“点数为1或2”; E2=“点数为2或3”; F=“点数为偶数”； G=“点数为奇数”； ..... 你能用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？ 概念讲解 用集合的形式表示：事件C1={1}和事件G={1，3，5} 显然，如果事件C1发生，那么事件G一定发生。 用集合表示就是 也就是说，事件G包含事件C1. 思考1：用集合的形式表示事件C1=“点数为1 ”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，发现这两个事件之间的联系 概念讲解 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含B，即BA且AB，则称事件A与事件B相等，记作A=B. 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作BA（或 AB），也可以用下图表示： 包含关系 概念讲解 思考2：用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3 ”、事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，发现这些事件之间的联系。 用集合的形式表示：D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3} 显然，事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生。 用集合表示就是{1,2}∪{2,3}={1,2,3}，即E1∪E2=D1 这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件。 概念讲解 一般地，若事件A和事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中， 我们就称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作 A∪B（或A+B） （如下图所示：绿色区域和黄色区域表示这个并事件） B A 并事件 概念讲解 思考3：用集合的形式表示事件E1=“点数为1或2”、事件E2=“点数为2或3”和事件C2=“点数为2”，借助集合与集合的关系和运算，发现这些事件之间的联系。 用集合的形式表示：E1={1,2}，E2={2,3}和C2={2} 显然事件E1和E2同时发生相当于事件C2发生。 用集合表示即{1,2}∩{2,3}={2} 这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件。 概念讲解 一般地，若事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中， 我们就称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B（或AB） （如下图所示的蓝色区域） A B 交事件 概念讲解 思考4：用集合的形式表示事件C3=“点数为3”和事件C4=“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，发现这些事件之间的联系。 用集合的形式表示：事件C3={3}，事件C4={4} 显然，事件C3与事件C4不可能同时发生。 即C3∩C4＝∅ 这时我们称事件C3与事件C4互斥。 概念讲解 互斥事件 一般地，若事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=∅ 我们就称事件A与事件B互斥（或互不相容） （如下图所示） A B 概念讲解 思考5：用集合的形式表示事件F=“点数为偶数”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，发现这些事件之间的联系。 在任何一次试验中，事件F与事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一。 用集合可以表示为{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，即F∪G=Ω，且{2，4，6}∩{1，3，5}=∅，即F∩G=∅且F∪G=Ω 我们称事件F与事件G互为对立事件。事件D1与D2也有这种关系。 概念讲解 对立事件 一般地，若事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=∅, 我们就称事件A与事件B互为对立。 事件A的对立事件记作 （如下图所示） A 归纳小结 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 并事件（和事件） 交事件（积事件） 互斥（互不相容） 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A与B不能同时发生 A与B同时发生 A与B至少一个发生 A∩B=∅ A∪B=Ω，且A∩B=∅ 事件的关系或运算 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件。 例如，对于三个事件A,B,C,A∪B∪C（或A+B+C）发生当且仅当A,B,C中至少一个发生，A∩B∩C（或ABC）发生当且仅当A,B,C同时发生，等等。 典例分析 PART.03 典例分析 1．对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是(　　)A．互斥不对立　　　　　B．对立不互斥C．互斥且对立 D．不互斥、不对立 √ 典例分析 2．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中错误的是(　　)A．A与C互斥 B．B与C互斥C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥 √ 典例分析 例1.如图10.1-9，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效。设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”。 （1）写出表示两个元件工作状态的样本空间； （2）用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件； （3）用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，并说明它们的含义及关系。 典例分析 解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用（x1,x2)表示这个并联电路的状态。以1表示元件正常，0表示元件失效， 则样本空间Ω={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）} （2）根据题意，可得 （3）A∪B={（0,1），（1,0），（1,1）} ∩={（0,0）} A={（0,1），（1,0）}，B={（0,1），（1,1）} ={（0,0），（1,1）}，={（0,0），（1,0）} A∪B表示电路正常工作，∩表示电路工作不正常，A∪B与∩互为对立事件。 典例分析 例2.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球。设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N“两个球颜色不同”。 （1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； （2）事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？ （3）事件R与G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与R2的交事件与事件R有什么关系？ 典例分析 1 2 1 2 1 4 1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 3 1 3 2 3 4 4 1 4 2 4 3 解：（1）所有的试验结果如右图所示。 用数组（x1,x2）表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号， 则试验的样本空间 Ω={（1，2），（1，3），（1，4）， （2，1），（2，3），（2，4）， （3，1），（3，2），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3）} 典例分析 事件R1=“第一次摸到红球”，即x1=1或2 于是R1={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3）} 事件R2=“第二次摸到红球”，即x2=1或2 于是R2={（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（3，2），（4，2）} 同理，有于是R={（1，2），（2，1）},G={（3，4），（4，3）}， M={（1，2)，(2，1），(3，4)，(4，3)} N={（1，3)，(1，4）,(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)} 典例分析 （2）因为RR1，所以R1事件包含R事件 因为R∩G=∅，所以事件R与事件G互斥 因为M∪N=Ω，M∩N=∅，所以事件M与事件N互为对立事件。 （3）因为R∪G=M，所以事件M是事件R与事件G的并事件， 因为R1∩R2=R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件。 PART.04 课堂小结 课堂小结 $$