10.1.1 有限样本空间与随机事件 -2023-2024学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第二册)

人教A版2019必修第二册 第 十章 概率 10.1 随机事件与概率 10.1.1 有限样本空间与随机事件 1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义. 2.理解随机事件与样本点的关系,能判断随机事件、不可能事件和必然事件. 3.能写出随机事件的样本空间. 4.通过本节的学习,提升学生数学抽象、数学建模等素养. 教学目标 PART.01 情境引入 情境引入 概率论的产生和发展 概率论产生于十七世纪，本来是由保险事业的发展而产生的， 但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论问题的源泉。 传说早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天， A赢了4局， B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分才理？ 这个问题让帕斯卡苦苦思索了三年，三年后也就是1657年，荷兰著名的数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的一部著作。近几十年来，随着科技的蓬勃发展概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。 问题提出 在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率. 本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质. PART.02 随机试验与有限样本空间 概念讲解 问题一：观察下列事件，你能发现什么特点？ （1）将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况； （2）高一10班随机选择10名学生，观察近视眼人数； （3）在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命； （4）从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分蘖数； （5）记录某地区7月份的降雨量.  （1）在相同条件下可以重复进行； （2）所有可能结果是明确可知的，并且不止一个。 概念讲解 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示。 我们通常研究以下特点的随机试验： （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不确定出现哪个结果。 概念讲解 思考1：体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0，1，2，...，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码。这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？ 根据球的号码，共有10种可能结果。 如果用m表示“摇出的球的号码为m”这一结果，那么所有可能结果可用集合表示即：{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. 概念讲解 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间。 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点。 （在本书中，我们只讨论Ω为有限集的情况。） 如果一个随机试验有n个可能结果ω1, ω2,..., ωn,则称样本空间Ω={ω1, ω2,..., ωn,}为有限样本空间. 概念讲解 解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω =(正面朝上，反面朝上）,如果用h表示“正面朝上”， t表示“反面朝上”，则样本空间Ω ={h,t}. 例1.抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间。 概念讲解 例2 .抛掷一枚骰子,观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间. 解：用i表示朝上面的“点数为i”， 因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果， 所以试验的样本空间可以表示为Ω ={1,2,3,4,5,6}. 概念讲解 解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示， 第二枚硬币可能的基本结果用y表示， 那么试验的样本点可用（x,y)表示.于是，试验的样本空间 Ω ={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面，反面)} 例3.抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间 如果用1表示“正面朝上”，用0表示“反面朝上”， 所以试验的样本空间Ω={（1，1），（1，0），（0，1），（0，0）}. 我们还可以用树状图再次理解一下解答过程。 随机事件、必然事件、不可能事件 PART.03 概念讲解 思考2：在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？ “球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件。 我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出的号码为1,3,5,7,9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1,3,5,7,9}. 因此可以用样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集{1,3,5,7,9}表示随机事件A. 类似地，可以用样本空间的子集{0,3,6,9}表示随机事件“球的号码为3的倍数” 概念讲解 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示。 为了描述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件。 随机事件一般用大写字母A,B,C,...表示。 在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生。 概念讲解 必然事件与不可能事件不具有随机性。 为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形。 每个事件都是样本空间Ω的一个子集。 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件。 而空集Φ不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称Φ为不可能事件。 概念讲解 练习：指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:(1)某人购买福利彩票一注,中奖500万元;(2)三角形的内角和为180°;(3)没有空气和水,人类可以生存下去;(4)同时抛掷两枚质地均匀的硬币一次,都出现正面向上;(5)从分别标有1,2,3,4的四张相同的标签中任取一张,抽到1号标签;(6)科学技术达到一定水平后,不需任何能量的“永动机”将会出现. 随机事件 必然事件 不可能事件 随机事件 随机事件 不可能事件 概念讲解 例4如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常. (1)写出试验的样本空间; (2)用集合表示下列事件： M=“恰好两个元件正常”； N=“电路是通路”； T=“电路是断路”. 概念讲解 解：（1）分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态， 则这个电路的工作状态可用（x1,x2，x3)表示. 同时，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态， 则样本空间Ω={（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）} 如图,还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果. 概念讲解 (2)“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3) ∈Ω,且x1,x2,x3中恰有两个为1, 所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}. “电路是通路”等价于(x1,x2,x3) ∈Ω ,x1=1,且x2,x3中至少有一个是1,所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}。 同理，“电路是断路”等价于(x1,x2,x3) ∈Ω，x1=0,或x1=1,x2=x3=0.所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}. PART.04 课堂小结 课堂小结 $$