10.4 中心对称（3个知识点+6大题型+15道拓展培优题）（分层练习）-2023-2024学年七年级数学下册同步精品课堂（华东师大版）

第十章 轴对称、平移与旋转 10.4 中心对称（3个知识点+6大题型+15道拓展培优题） 分层练习 知识点1 ：中心对称（两个图形） 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 知识点2：作图步骤： (1) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 知识点3：中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 考查题型一 成中心对称 1．若两个图形关于某点成中心对称，则以下结论：①这两个图形一定全等；②对称点的连线一定经过对称中心；③对称点到对称中心的距离相等；④一定存在某条直线，使沿该直线折叠后的两个图形能互相重合.其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据中心对称的定义和性质判断即可．本题考查了中心对称和轴对称的有关应用，注意：（1）如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称．（2）中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等形，②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等． 【详解】解：若两个图形关于某点成中心对称， 则①这两个图形一定全等，此结论正确； ②对称点的连线一定经过对称中心，此结论正确； ③对称点到对称中心的距离相等，此结论正确； ④可能存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合，此结论错误； 故选：C． 2．如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 【答案】5 【分析】根据题意，，，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 3．如图，在网格中，不用量角器和刻度尺，画出已知图形关于点O的中心对称图形．      【答案】见解析 【分析】根据网格结构找出四个顶点关于点的对称点的位置，然后依次连接即可． 【详解】解：如图所示：    【点睛】本题考查了中心对称图形的作图，熟练网格结构，准确找出对应点是解题的关键． 考查题型二 画已知图形关于某点对称的图形 1．如图，两个半圆分别以P、Q为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，Q，A2在同一条直线上，则对称中心为（    ） A．A2P的中点 B．A1B2的中点 C．A1Q的中点 D．PQ的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图对称中心是PQ的中点， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 2．如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点 ，且 ＝ ， ＝ ， ＝ . 【答案】 O； ； ； ； ； ； 【分析】根据中心对称及中心对称图形的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵和 关于点O成中心对称， ∴线段、、它们都经过点O；且，，； 故答案为O；，；，；，． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 3．如图，在正方形网格中，的三个顶点均在格点上，画出关于点的中心对称图形，点，，的对应点分别为点，，， 【答案】见详解 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 根据网格结构找出点、、关于点对称的点的位置，然后顺次连接即可． 【详解】解：关于点中心对称的对称图形如图所示． 考查题型三 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1．如图，与成中心对称，点是对称中心，则下列结论不正确的是（  ） A．点与点是对应点 B． C． D． 【答案】B 【分析】分析：根据成中心对称的图形的性质：“中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可作出正确判断．此题考查了中心对称的图形的性质，注意弄清对应点、对应角、对应线段． 【详解】解：∵与成中心对称，点是对称中心，观察图形可知： A、点A与点D是对应点，原说法正确，故选项不符合题意； B、，原说法错误，故选项符合题意； C、，原说法正确，故选项不符合题意； D、，则，原说法正确，故选项不符合题意． 故选：B． 2．如图，与关于点C成中心对称，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据中心对称的性质以及全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称， ∴CA=CD，CB=CE， ∵∠ACB=∠DCE， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB=DE， ∵AB=4， ∴DE=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．如图，与成中心对称，点O是它们的对称中心，若，，求的度数和的长度． 【答案】， 【分析】本题主要考查了中心对称的性质．解决问题的关键是熟练掌握中心对称的性质．中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对称线段共线或平行．根据中心对称的性质求解即可． 【详解】∵与成中心对称，点O是它们的对称中心， ∴，． 考查题型四 中心对称图形的识别 1．第33届夏季奥运会将于2024年7月26 日至8月11 日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据以上概念逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、图形既不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意 故选：D． 2．给出下列3种图形：①线段，②等边三角形，③矩形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ．（在横线上填写图形前的标号即可） 【答案】①③/③① 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：①线段是轴对称图形，也是中心对称图形； ②等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； ③矩形是轴对称图形，也是中心对称图形； 则既是轴对称图形又是中心对称图形是：①③． 故答案为：①③． 3．画一画： 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．    (1)请问图中三个图形中是轴对称图形的有 　　 ，是中心对称图形的有 　 　（分别用三个图的代号、、填空）． (2)请你在图、两个圆中，按要求分别画出与、、图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些）．是轴对称图形但不是中心对称图形；既是轴对称图形又是中心对称图形． 【答案】(1)、、；和 (2)见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，逐个分析，判断即可求解； （2）根据题意，设计图形，使得d 是轴对称图形但不是中心对称图形； e 既是轴对称图形又是中心对称图形． 【详解】（1）三个图形中轴对称的为、、．是中心对称的为和； （2）解：如图所示    【点睛】本题考查了中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，作图设计，熟练掌握中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义是解题的关键．轴对称图形是一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合的；中心对称图形是把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合；是解题的关键． 考查题型五 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 1．如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有（    ） 　 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：选择一个正方形涂黑，使得4个涂黑的正方形组成轴对称图形，如图，      共有2个， 故选：B． 2．在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是 ． 【答案】③ 【分析】根据中心对称图形的性质判断即可． 【详解】解：选择标有序号③的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形， 故答案为：③． 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，解题的关键是利用中心对称图形的性质，属于中考常考题型． 3．同学们利用几何画图软件开展了“图案设计”项目式学习，下面是三位同学在的正方形网格中设计的三种不同图案的一部分，请将图1中的图案补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，将图2中的图案补成中心对称图形，在图3中设计一个图案，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形．    【答案】见详解 【分析】本题主要考查轴对称图形的绘制，中心对称图形的绘制，理解轴对称、中心对称的定义是解题的关键． 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形是轴对称图形．中心对称图形：是指如果一个图形绕着一个点旋转180度后，所得的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心，根据定义即可求解． 【详解】解：如图，答案不唯一． 考查题型六 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 1．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示的“正方形”是由七块七巧板拼成的正方形（相同的板规定序号相同）．现从七巧板取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则无法拼成的序号为（　　） A．②③④ B．①③⑤ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】由题意画出图形可求解。 【详解】B选项拼图如下： C选项拼图如下： D选项拼图如下： 故选：A． 【点睛】本题考查几何图形的想象能力，注意同一个序号的图形有两个时，两个都可以使用． 2．如图：为五个等圆的圆心，且在一条直线上，请在图中画一条直线，将这五个圆分成面积相等的两个部分，并说明这条直线经过的两点是 ． 【答案】D与 【分析】平分5个圆，那么每份应是2.5，由过平行四边形中心的任意直线都能平分平行四边形的面积，应先作出平行四边形的中心，再把第5个圆平分即可． 【详解】点D恰好是平行四边形的中心， 则这里过D和O3即可． 故答案为：D和O3． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图以及平行四边形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 3．山西民间建筑的门窗图案中，蕴涵着丰富的数学思想，图①是其中的一个代表，该窗格图案是以图②为基本图案经过变换得到的，图③是放大后的一部分，虚线给出了作图提示，请利用直尺和圆规画图． (1)根据图②将图③补充完整； (2)在图④的正方形中，用圆弧和线段设计一个美观的轴对称图形． 【答案】(1) (2) 1．（2024·山西忻州·三模）花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．下列花窗图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形及中心对称图形，轴对称图形是沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；中心对称图形是绕某点旋转180°与原图形完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意， C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意， D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意， 故选：D． 2．（2024·北京顺义·一模）下列正多边形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；据此解答即可． 本题考查了轴对称图形的识别以及中心对称图形的识别，熟记轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义是解本题的关键． 【详解】解：A、C、D都既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意； 故选：B． 3．（2024九年级·全国·竞赛）下列图形是中心对称图形的有（    ）． ①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤平行四边形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合是解题的关键；根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：正方形的对角线的交点是旋转中心，旋转180度重合，是中心对称图形； 长方形的对角线的交点是旋转中心，旋转180度重合，是中心对称图形； 等边三角形，找不到一点作为旋转中心，令其旋转180度重合，不是中心对称图形； 线段的中点是旋转中心，旋转180度重合，是中心对称图形； 平行四边形的交点是旋转中心，旋转180度重合，是中心对称图形； 综上所述：①②④⑤是中心对称图形，共4个． 故选：D． 4．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的图形的对称中心，掌握两组对应点连线的交点即是对称中心是解题的关键． 根据对称中心的确定方法即可解答． 【详解】解：如图，连接，它们的相交点，即为对称中心．    则线段与线段的对称中心为点I． 故选：C． 5．（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）等边三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点逐一进行分析求解即可． 【详解】解：等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 菱形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 正方形，是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 综上可得有个符合题意的答案． 故选：． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，注意掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，和关于点成中心对称，则下列结论中正确的有 个． ①；②；③；④． 【答案】4 【分析】根据中心对称的性质，逐个进行判断即可． 【详解】解：①∵和关于点成中心对称， ∴，故①正确，符合题意； ②∵和关于点成中心对称， ∴，故②正确，符合题意； ③∵和关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④∵和关于点成中心对称， ∴，故④正确，符合题意； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，解题的关键是掌握成中心对称的两个图形，对应边相等，对应角相等，对应点到对称中心距离相等． 7．（2024·江苏泰州·二模）如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有 个．    【答案】2 【分析】本题考查了中心对称的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答． 【详解】解：如图所示：       则这样的有个 故答案为：2． 8．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在如图所示的正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有 种． 【答案】1 【分析】本题考查了中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合，正确理解定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，可得如下涂法，且只有一种， 故答案为：1． 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在中，点是的中点，与关于点中心对称，若，则的度数为 ．    【答案】40 【分析】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确得出四边形是平行四边形是解题关键．直接利用中心对称图形的性质得出四边形是平行四边形，进而得出答案． 【详解】解：点是的中点，与关于点中心对称， 四边形是平行四边形， ， ． 故答案为：． 10．（2023·河北唐山·一模）如图，已知点， ， ． （1）若线段绕点旋转，使点B与点C重合，设点A的对应点为D，直接写出点D的坐标 ； （2）若将线段绕另一点旋转一定角度，也可使其与（1）中的线段重合，则这个旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． （1）画出图形，观察坐标系即可得点D坐标； （2）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：（1）如图， 观察图象可知，点D的坐标为， 故答案为：； （2）点A与C对应，点B与D对应时，如图： 此时这个旋转中心的坐标为； 故答案为：． 11．（2024·浙江温州·二模）如图，在的方格纸中，已知格点和格点，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中，画出平移后的图形，使为其中一边的中点． (2)在图2中，画出与成中心对称的图形，使为其中的一个顶点． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了作图一平移变换、旋转变换，熟记平移变换、旋转变换的性质是解题的关键； （1）根据平移的性质结合网格特点即可作出图形； （2）根据中心对称的性质结合网格特点即可作出图形． 【详解】（1）如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求； 12．（23-24八年级下·福建三明·期中）已知图1，图2均为的正方形网格，且A，B，C均为格点．备注：只需分别画出一个符合要求的图形． 图1                             图2 (1)在图1中确定格点D，画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使该四边形为轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图2中确定格点D，画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使该四边形为中心对称图形，但不是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查画轴对称图形，画中心对称图形．熟练掌握轴对称图形，中心对称图形是解题的关键． （1）根据轴对称图形，中心对称图形的定义作图即可； （2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义作图即可． 【详解】（1）解：如图1，四边形是轴对称图形，不是中心对称图形，格点D即为所求； （2）解：如图2，四边形是平行四边形，四边形为中心对称图形，但不是轴对称图形，即格点D即为所求； 13．（23-24九年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹，             图①                                                         图②                                                  图③ (1)在图①中，作四边形，使四边形为中心对称图形； (2)在图②中，作四边形，使四边形为轴对称图形； (3)在图③中，作四边形，使四边形为轴对称图形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）取格点点，连接、即可； （2）取格点点，连接、即可； （3）取格点点、，连接，取格点点，连接并延长交于点，连接、即可． 【详解】（1）解：取格点点，连接、， ∵在的正方形网格，每个小正方形的边长均为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵平行四边形是中心对称图形， ∴四边形即为所作； （2）取格点点，连接、， ∵在的正方形网格，每个小正方形的边长均为， ∴，，， ∴， ∴四边形是梯形， ∵，， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∵等腰梯形是轴对称图形， ∴四边形即为所作； （3）取格点点、，连接、、，取格点点，连接并延长交于点，交于点，连接、，连接并延长交于点， ∵在的正方形网格，每个小正方形的边长均为， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即点是的中点， ∴点是的中点， ∴垂直平分， ∴，， ∴四边形关于对称， ∴四边形为轴对称图形， 则四边形即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰梯形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，过三角形一边的中点平行于三角形的另一边必平分第三边，垂直平分线的性质等知识点．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 14．（2023·吉林长春·模拟预测）有一种类似于七巧板的智力玩具，叫做“百变方块”，共含有十四个图形块（如图1所示），可以用它们拼出各式各样的图案，该游戏的规则是：每个图形块可以随意平移、翻转、旋转使用，但必须全部都无缝隙、不重叠地恰好平放于所给6×6的正方形拼图盒中． 例如：图2是用“百变方块”拼成的一幅图案，而图4、图5是两幅未完成游戏的图案，每幅图案都缺少图3所示的五个图形块，请你挑战以下两个关卡，将图3中这五个图形块放入正方形拼图盒中，以完成游戏，要求：模仿图2在相应图中的空白处画出图3中的五个图形块，补全图形． (1)第一关：完成图4中的图案． (2)第二关：完成图5中的图案． 【答案】(1)加解析 (2)见解析 【分析】本题考查了图形的平铺与镶嵌， （1）合理安排各图形的位置，即可完成任务； （2）先安排大图形和特殊形状的图形，使之5个图形即可放入． 【详解】（1）解：如图， （2）如图， 15．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图①所示，在的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出了， (1)直接写出的面积______； (2)请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件： I．图②中所画的三角形与组成的图形是轴对称图形； II．图③中所画的三角形与组成的图形是中心对称图形． 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】此题主要考查了作轴对称图形，作中心对称图形，三角形面积． （1）根据三角形面积公式计算即可． （2）I．根据轴对称的性质作图即可； Ⅱ．根据中心对称图形的性质作图即可． 【详解】（1）解：； （2）解：Ⅰ．如图②所示，即为所求； Ⅱ．如图③所示，即为所求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 轴对称、平移与旋转 10.4 中心对称（3个知识点+6大题型+15道拓展培优题） 分层练习 知识点1 ：中心对称（两个图形） 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 知识点2：作图步骤： (1) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 知识点3：中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 考查题型一 成中心对称 1．若两个图形关于某点成中心对称，则以下结论：①这两个图形一定全等；②对称点的连线一定经过对称中心；③对称点到对称中心的距离相等；④一定存在某条直线，使沿该直线折叠后的两个图形能互相重合.其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 2．如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 3．如图，在网格中，不用量角器和刻度尺，画出已知图形关于点O的中心对称图形．      考查题型二 画已知图形关于某点对称的图形 1．如图，两个半圆分别以P、Q为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，Q，A2在同一条直线上，则对称中心为（    ） A．A2P的中点 B．A1B2的中点 C．A1Q的中点 D．PQ的中点 2．如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点 ，且 ＝ ， ＝ ， ＝ . 3．如图，在正方形网格中，的三个顶点均在格点上，画出关于点的中心对称图形，点，，的对应点分别为点，，， 考查题型三 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 1．如图，与成中心对称，点是对称中心，则下列结论不正确的是（  ） A．点与点是对应点 B． C． D． 2．如图，与关于点C成中心对称，若，则 ． 3．如图，与成中心对称，点O是它们的对称中心，若，，求的度数和的长度． 考查题型四 中心对称图形的识别 1．第33届夏季奥运会将于2024年7月26 日至8月11 日在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．给出下列3种图形：①线段，②等边三角形，③矩形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ．（在横线上填写图形前的标号即可） 3．画一画： 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．    (1)请问图中三个图形中是轴对称图形的有 　　 ，是中心对称图形的有 　 　（分别用三个图的代号、、填空）． (2)请你在图、两个圆中，按要求分别画出与、、图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些）．是轴对称图形但不是中心对称图形；既是轴对称图形又是中心对称图形． 考查题型五 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 1．如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有（    ） 　 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 2．在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是 ． 3．同学们利用几何画图软件开展了“图案设计”项目式学习，下面是三位同学在的正方形网格中设计的三种不同图案的一部分，请将图1中的图案补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，将图2中的图案补成中心对称图形，在图3中设计一个图案，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形．    考查题型六 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 1．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．已知如图所示的“正方形”是由七块七巧板拼成的正方形（相同的板规定序号相同）．现从七巧板取出四块（序号可以相同）拼成一个小正方形（无空隙不重叠），则无法拼成的序号为（　　） A．②③④ B．①③⑤ C．①②③ D．①③④ 2．如图：为五个等圆的圆心，且在一条直线上，请在图中画一条直线，将这五个圆分成面积相等的两个部分，并说明这条直线经过的两点是 ． 3．山西民间建筑的门窗图案中，蕴涵着丰富的数学思想，图①是其中的一个代表，该窗格图案是以图②为基本图案经过变换得到的，图③是放大后的一部分，虚线给出了作图提示，请利用直尺和圆规画图． (1)根据图②将图③补充完整； (2)在图④的正方形中，用圆弧和线段设计一个美观的轴对称图形． 1．（2024·山西忻州·三模）花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．下列花窗图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京顺义·一模）下列正多边形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024九年级·全国·竞赛）下列图形是中心对称图形的有（    ）． ①正方形；②长方形；③等边三角形；④线段；⑤平行四边形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 5．（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）等边三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，和关于点成中心对称，则下列结论中正确的有 个． ①；②；③；④． 7．（2024·江苏泰州·二模）如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有 个．    8．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在如图所示的正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有 种． 9．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，在中，点是的中点，与关于点中心对称，若，则的度数为 ．    10．（2023·河北唐山·一模）如图，已知点， ， ． （1）若线段绕点旋转，使点B与点C重合，设点A的对应点为D，直接写出点D的坐标 ； （2）若将线段绕另一点旋转一定角度，也可使其与（1）中的线段重合，则这个旋转中心的坐标为 ． 11．（2024·浙江温州·二模）如图，在的方格纸中，已知格点和格点，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中，画出平移后的图形，使为其中一边的中点． (2)在图2中，画出与成中心对称的图形，使为其中的一个顶点． 12．（23-24八年级下·福建三明·期中）已知图1，图2均为的正方形网格，且A，B，C均为格点．备注：只需分别画出一个符合要求的图形． 图1                             图2 (1)在图1中确定格点D，画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使该四边形为轴对称图形，但不是中心对称图形； (2)在图2中确定格点D，画出以A，B，C，D为顶点的四边形，使该四边形为中心对称图形，但不是轴对称图形． 13．（23-24九年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹，             图①                                                         图②                                                  图③ (1)在图①中，作四边形，使四边形为中心对称图形； (2)在图②中，作四边形，使四边形为轴对称图形； (3)在图③中，作四边形，使四边形为轴对称图形． 14．（2023·吉林长春·模拟预测）有一种类似于七巧板的智力玩具，叫做“百变方块”，共含有十四个图形块（如图1所示），可以用它们拼出各式各样的图案，该游戏的规则是：每个图形块可以随意平移、翻转、旋转使用，但必须全部都无缝隙、不重叠地恰好平放于所给6×6的正方形拼图盒中． 例如：图2是用“百变方块”拼成的一幅图案，而图4、图5是两幅未完成游戏的图案，每幅图案都缺少图3所示的五个图形块，请你挑战以下两个关卡，将图3中这五个图形块放入正方形拼图盒中，以完成游戏，要求：模仿图2在相应图中的空白处画出图3中的五个图形块，补全图形． (1)第一关：完成图4中的图案． (2)第二关：完成图5中的图案． 15．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图①所示，在的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出了， (1)直接写出的面积______； (2)请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件： I．图②中所画的三角形与组成的图形是轴对称图形； II．图③中所画的三角形与组成的图形是中心对称图形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$