第1章 勾股定理 中档题拓展训练【5个考点50题专练】2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第1章 勾股定理 中档题拓展训练【5个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 考点梳理 一．勾股定理 二．勾股定理的证明 三．勾股定理的逆定理 四．勾股定理的应用 五．平面展开−最短路径问题 考点精讲精练 一．勾股定理 · 勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 1．（2024•玄武区一模）小丽在半径为的圆形广场内（包含边界）散步，从圆周上的点处出发，沿直线行走到点处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点处时停止行走，则小丽行走的路程的最大值为　　 A． B． C． D． 2．（2024春•綦江区期中）如图，三个正方形围成一个直角三角形，其中两个正方形的面积分别是3和7，则字母所代表的正方形的面积是　　 A．2 B．10 C． D．4 3．（2024春•武威期中）在中，若，，，则点到直线的距离为　　 A．8 B．4.8 C．6 D．10 4．（2024春•江夏区校级月考）如图，在中，斜边的长为5，分别以的三条边为斜边向外作等腰直角，和，则阴影部分的面积为　　 A．25 B． C． D． 5．（2024春•江岸区期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是　　 A．2025 B．2024 C． D． 6．（2024春•源汇区校级月考）如图，在中，，是边上的中线，，，则的长为　　 A． B．8 C． D． 7．（2023秋•义乌市期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形的面积为　　 A．7 B．10 C．13 D．15 8．（2024春•汝南县期中）将一副直角三角板和一把宽度为的直尺按如图方式摆放；先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是　　 A． B． C．3 D． 9．（2024春•西城区校级期中）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为　　 A． B． C． D． 10．（2024春•广州期中）如图，在的方格中，小正方形的边长是1，点、、都在格点上，求边上的高为 　　． 11．（2023秋•新都区期末）如图，在中，，，，为的中点，过作交于点，则的长为 　　． 12．（2024春•凉州区月考）如图，在中，，，，则的长为 　　． 13．（2024春•洪山区期中）如图，在中，，分别以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连接并延长交于，过作交于，若，则正方形的面积等于 　　． 14．（2023秋•如皋市期末）如图，在中，，是高，，，则的长为 　　． 15．（2024•西安二模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，若是的高，则的长为　　． 16．（2024春•靖江市期中）在平面直角坐标系中，点坐标为，点在第一象限，连接，在下方作等腰，使，则的最小值为 　　． 17．（2023秋•黄渤海新区期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．若，，则　　． 18．（2023秋•建湖县期末）如图，长方形的长是宽的2倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面积依次为5、23、10，则正方形的面积为 　　． 19．（2024春•武威期中）一个直角三角形的两条直角边相差，面积是．求斜边的长． 20．（2024春•仓山区期中）如图，在中，，于点，，求的长． 21．（2023秋•北流市期末）在初中数学中，四边形是一个重要的研究对象，其中涵盖了丰富的知识．研究如图1所示的四边形，，相交于点，且，我们将对该图形进行不同补充和改变，请你利用所学的知识来探讨以下问题： （1）如图2，若，，，求的长； （2）如图3，若，求四边形的面积； （3）如图4，若，，，直接写出的长． 22．（2023秋•龙泉驿区期末）如图，中，，作，，，． （1）求证：； （2）求的长． 二．勾股定理的证明 · 勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 23．（2024春•南昌期中）数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么可以用数学语言表达：． （1）如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为的正方形，则四边形是一个 　　（填“长方形”或“正方形” ，其面积为 　　（用含、的代数式表示）； （2）观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明的正确性； （3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，利用上面的结论求的长． 24．（2024春•长清区期中）（1）计算：　　； （2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式： 图　　； 图　　； （3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系： 做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为，，斜边为，再做1个长分别为的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即． （4）如图5，在中，，是边上高，，，求的长度． 三．勾股定理的逆定理 · 勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 25．（2024春•惠州校级期中）下列条件中，不能使为直角三角形的是　　 A．，， B． C． D． 26．（2024春•丰台区期中）以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是　　 A．6，7，8 B．6，8，10 C．3，4，6 D．2，3，4 27．（2024春•兴宁区校级月考）以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是　　 A．3，4，5 B．1，2，3 C．6，9，12 D．5，8，10 28．（2024春•田家庵区校级期中）中，、、分别为、、的对边，下列条件中能判断为直角三角形的是　　 A． B． C． D．，， 四．勾股定理的应用 · 勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 29．（2024春•江夏区期中）已知一轮船以18海里时的速度从港口出发向东北方向航行，同时另有一轮船以12海里时的速度也从港口出发向东南方向航行，都离开港口2小时后，两船相距多少海里？　　 A． B． C． D． 30．（2024春•天河区校级期中）如图，一棵树（树干与地面垂直）高18米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为12米，则这棵树断裂处点离地面的高度的值为　　 A．12米 B．14米 C．3米 D．5米 31．（2024春•昌乐县期中）如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高为．若铅笔的长为，则这只铅笔露在笔筒外面的长度的取值范围是　　 A． B． C． D． 32．（2024春•启东市校级月考）有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：米，米，米，米，且．请同学们计算一下这块草坪的面积　　 A． B． C． D． 33．（2024春•海淀区校级期中）如图，在水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑工地，在间建一条直水管，则水管的长为　　 A． B． C． D． 34．（2024春•确山县期中）数学兴趣小组为测量学校与河对岸的科技馆之间的距离，在的同岸选取点，测得米，，，如图，据此可求得，之间的距离为 　　米． 35．（2024春•嘉祥县月考）如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子底端将向外滑动 　　． 36．（2023秋•成都期末）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 　　米． 37．（2023秋•东河区期末）笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个漂流点，．其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点，，在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线　　千米． 38．（2024春•河西区期中）如图，有一四边形空地，，，，，，则四边形的面积为 　　． 39．（2024春•中阳县期中）某校“综合与实践”小组开展了测量学校旗杆的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：张组长组员：甲同学，乙同学，丙同学 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点．如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的长度． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1.2米 图2中的长度 6.2米 （1）请你根据“综合与实践”小组测量得到的相关数据，计算学校旗杆的高度（结果保留一位小数）． （2）如果想要更加准确计算学校旗杆的高度，请你帮助该小组提出一条可行的建议（写出一条即可）． 40．（2024春•长沙期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心由西向东，从行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求的度数； （2）海港受台风影响吗？并说明理由． 41．（2023秋•叙州区期末）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 42．（2023秋•儋州期末）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识，解决下列问题： （1）四边形的面积； （2）点到的距离． 43．（2024春•寻甸县期中）如图，小明先把升旗的绳子贴紧旗杆，将其拉直到旗杆底端，绳子的末端刚好接触地面处．然后又将绳子拉紧，将末端拉到距旗杆水平距离8米的处，此时绳子末端距离地面2米．求旗杆的高度． 44．（2024春•重庆期中）如图，台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又已知，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为4千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 45．（2024春•四川校级期中）如图，一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 46．（2024春•南岗区校级期中）如图1，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角之间的距离是4米． （1）求梯子的顶端与墙角之间的距离． （2）如图2，将梯子的底端向的方向挪动1米，若在墙的上方点处须悬挂一个广告牌，点与之间的距离是4.2米，试判断：此时的梯子的摆放位置能否够到点处？ 47．（2024春•纳溪区期中）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上两点、的距离分别为，，，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 五．平面展开−最短路径问题 · 平面展开-最短路径问题 （1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． （2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型． 48．（2024春•西山区校级期中）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是4米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是　　米． A．3 B．4 C．5 D．6 49．（2024春•东西湖区期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点爬到点的最短距离为　　． A． B． C． D． 50．（2024春•南岗区校级月考）如图，实心圆柱的底面周长为，高为．蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点的最短路程是 　　厘米． 第1章 勾股定理 中档题拓展训练【5个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．勾股定理 1．（2024•玄武区一模）小丽在半径为的圆形广场内（包含边界）散步，从圆周上的点处出发，沿直线行走到点处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点处时停止行走，则小丽行走的路程的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意可知：从圆周上的点处出发，沿直线行走到点处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点处，则，是直径，如图，根据题意确定运动轨迹为，进而求解即可． 【解答】解：根据题意图形如下： 设，，， ， 此时当最大时，才能取得最大值，为直径时，， ， ， ， ， 即， ， 即：， ， ，为正数， ， 故选：． 2．（2024春•綦江区期中）如图，三个正方形围成一个直角三角形，其中两个正方形的面积分别是3和7，则字母所代表的正方形的面积是　　 A．2 B．10 C． D．4 【答案】 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【解答】解：由勾股定理得：字母所代表的正方形的面积． 故选：． 3．（2024春•武威期中）在中，若，，，则点到直线的距离为　　 A．8 B．4.8 C．6 D．10 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出的长，设点到直线的垂线段的长为，再利用等面积法求，即为点到直线的距离． 【解答】解：在中，，，， ， 设点到直线的垂线段的长为， ， ， ， 故选：． 4．（2024春•江夏区校级月考）如图，在中，斜边的长为5，分别以的三条边为斜边向外作等腰直角，和，则阴影部分的面积为　　 A．25 B． C． D． 【答案】 【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：，进而可将阴影部分的面积求出． 【解答】解：为等腰直角三角形， ，， ， ， 同理可得：， ， ， ， ． 故选：． 5．（2024春•江岸区期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是　　 A．2025 B．2024 C． D． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【解答】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025． 故选：． 6．（2024春•源汇区校级月考）如图，在中，，是边上的中线，，，则的长为　　 A． B．8 C． D． 【答案】 【分析】根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求出，再用勾股定理求出，根据中线的定义求出，最后用勾股定理解直角即可． 【解答】解：，，， ， ， 是边上的中线， ， ， 故选：． 7．（2023秋•义乌市期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为，，，若已知，，，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形的面积为　　 A．7 B．10 C．13 D．15 【答案】 【分析】根据勾股定理得到，根据正方形的面积公式结合图形得出阴影部分面积等于两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形的面积． 【解答】解：设直角三角形的斜边长为，较长直角边为，较短直角边为， 由勾股定理得，， ， ， 故选：． 8．（2024春•汝南县期中）将一副直角三角板和一把宽度为的直尺按如图方式摆放；先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是　　 A． B． C．3 D． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【解答】解：在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ． 故选：． 9．（2024春•西城区校级期中）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先作辅助线，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以得到和的长，再根据，代入数据计算即可． 【解答】解：延长，与的延长线于点， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：． 10．（2024春•广州期中）如图，在的方格中，小正方形的边长是1，点、、都在格点上，求边上的高为 　　． 【答案】． 【分析】求的面积，再根据勾股定理可求出的长，进而根据面积公式即可求得边上的高的长． 【解答】解：由题意可得， 又， 中边上的高长， 故答案为：． 11．（2023秋•新都区期末）如图，在中，，，，为的中点，过作交于点，则的长为 　　． 【分析】根据勾股定理得出，进而得出，连接，进而得出，利用勾股定理得出方程解答即可． 【解答】解：连接， 为的中点，过做交于点， ， ，，， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即， 故答案为：． 12．（2024春•凉州区月考）如图，在中，，，，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】直接根据勾股定理进行计算即可． 【解答】解：在中，，，， ， 故答案为：． 13．（2024春•洪山区期中）如图，在中，，分别以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，连接并延长交于，过作交于，若，则正方形的面积等于 　36　． 【答案】36． 【分析】已知，可得的长，因为四边形是正方形，所以，，因为，可证四边形是平行四边形，所以，，即得的值，因为，所以，，证得，可得，因为四边形是正方形，所以，即，可得、的数量关系，在中，，可解得的长，正方形的面积，可得正方形的面积． 【解答】解： ， ， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， 四边形是正方形， ，即， ， ， 在中，， ， 解得：， 正方形的面积， 故答案为：36． 14．（2023秋•如皋市期末）如图，在中，，是高，，，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】由勾股定理求出的长，再由三角形面积求出的长即可． 【解答】解：，，， ， 是的高， ， ， 即的长为， 故答案为：． 15．（2024•西安二模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，若是的高，则的长为　　． 【答案】． 【分析】根据勾股定理计算的长，利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：由勾股定理得：， ， ， ， ， 故答案为：． 16．（2024春•靖江市期中）在平面直角坐标系中，点坐标为，点在第一象限，连接，在下方作等腰，使，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】作于点，作轴于点，那么，．根据等腰三角形三线合一的性质得到，．利用60的正弦值可用表示出的长度，进而表示出的长度．利用勾股定理得到用表示的长度，根据根号内是一个二次函数，得到根号内的二次函数的最小值，即可得到的最小值，进而得到的最小值． 【解答】解：作于点，作轴于点． ，． ，， ，． ， ． 点坐标为，点， ，． ． ， 时，有最小值，最小值是32． 的最小值是． 的最小值是． 故答案为：． 17．（2023秋•黄渤海新区期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．若，，则　17　． 【答案】17． 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【解答】解：， ， 由勾股定理得，， ， ，， ． 故答案为：17． 18．（2023秋•建湖县期末）如图，长方形的长是宽的2倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面积依次为5、23、10，则正方形的面积为 　3　． 【答案】3． 【分析】设正方形的面积为，首先根据长方形的长是宽的2倍，得出长方形的长的平方是长方形的宽的平方的4倍，长方形的宽的平方为，然后结合图形，利用勾股定理得到关于的一元一次方程． 【解答】解：设正方形的面积为． 长方形的长是宽的2倍． 长方形的长的平方是长方形的宽的平方的4倍． 正方形、、、的面积依次为5、23、10、． 根据图形得：． 解得：． 正方形的面积为3． 故答案为：3． 19．（2024春•武威期中）一个直角三角形的两条直角边相差，面积是．求斜边的长． 【分析】设较短的直角边长是，较长的就是，根据面积是，求出直角边长，根据勾股定理求出斜边长． 【解答】解：设较短的直角边长是，较长的直角边就是，则 ， 整理得：， ， 或（舍去）． ， ． 故斜边的长为． 20．（2024春•仓山区期中）如图，在中，，于点，，求的长． 【答案】． 【分析】由，于点，，得，，得． 【解答】解：，于点，， ，， ． 21．（2023秋•北流市期末）在初中数学中，四边形是一个重要的研究对象，其中涵盖了丰富的知识．研究如图1所示的四边形，，相交于点，且，我们将对该图形进行不同补充和改变，请你利用所学的知识来探讨以下问题： （1）如图2，若，，，求的长； （2）如图3，若，求四边形的面积； （3）如图4，若，，，直接写出的长． 【答案】（1）3； （2）； （3）． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，可以求得的长； （2）根据三角形的面积公式，可以计算出四边形的面积； （3）先证明，然后即可计算出的长． 【解答】解：（1）， 为等腰三角形． ， 为的垂直平分线， ． ， ； （2）， ． （3）， ，，，， ， ， ， ，，， ， 解得． 22．（2023秋•龙泉驿区期末）如图，中，，作，，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）5． 【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余即可解决问题； （2）设，则，根据勾股定理列出方程求解即可． 【解答】（1）证明：， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， 解得：， ． 二．勾股定理的证明 23．（2024春•南昌期中）数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么可以用数学语言表达：． （1）如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为的正方形，则四边形是一个 　正方形　（填“长方形”或“正方形” ，其面积为 　　（用含、的代数式表示）； （2）观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明的正确性； （3）如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，利用上面的结论求的长． 【答案】（1）正方形，； （2）见解答； （3）． 【分析】（1）根据正方形的判定判断四边形是正方形；根据正方形面积公式可得到其面积； （2）根据“正方形面积个直角三角形的面积正方形的面积”即可列式说明； （3）先求出，，设，可用表示出，在中，利用勾股定理列方程解出即可． 【解答】解：（1）由题意知：， ， 四边形是一个正方形，且边长为， 故答案为：正方形，； （2）， ， 整理，得， 故的正确； （3）是长方形，是由折叠得到的， ，，， 在中， ， 由勾股定理，得， ， 设，则， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， 即的长为． 24．（2024春•长清区期中）（1）计算：　　； （2）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式： 图　　； 图　　； （3）利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系： 做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为，，斜边为，再做1个长分别为的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积，就可以得到直角三角形的三边的数量关系：．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即． （4）如图5，在中，，是边上高，，，求的长度． 【答案】（1）；（2）； ；（3）证明见解析部分；（4）． 【分析】（1）利用多项式乘多项式的运算法则进行计算即可； （2）根据图形的两种面积计算方法即可得出的答案； （3）在图4中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和得出，然后化简即可求证； （4）先求出，再根据等面积法即可求得． 【解答】解：（1）原式． 故答案为：． （2）， ， 故答案为：； ． （3）在图4中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即， 化简，得． （4）在中， ， 由勾股定理得 ， ， ， ． 三．勾股定理的逆定理 25．（2024春•惠州校级期中）下列条件中，不能使为直角三角形的是　　 A．，， B． C． D． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、，能够成直角三角形，不符合题意； 、，能够成直角三角形，不符合题意； 、，能够成直角三角形，不符合题意； 、，，不能构成直角三角形，符合题意． 故选：． 26．（2024春•丰台区期中）以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是　　 A．6，7，8 B．6，8，10 C．3，4，6 D．2，3，4 【答案】 【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可． 【解答】解：．，， ， 以6，7，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； ．，， ， 以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； ．，， ， 以3，4，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； ．，， ， 以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 27．（2024春•兴宁区校级月考）以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是　　 A．3，4，5 B．1，2，3 C．6，9，12 D．5，8，10 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形求解即可． 【解答】解：、，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意； 、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； 、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； 、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意． 故选：． 28．（2024春•田家庵区校级期中）中，、、分别为、、的对边，下列条件中能判断为直角三角形的是　　 A． B． C． D．，， 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可． 【解答】解：、， 是等边三角形，不是直角三角形，本选项不符合题意； 、， ， 最大角， 不是直角三角形，故本选项不符合题意； 、， ，， ， 不是直角三角形，故本选项不符合题意； 、，，， ， 是直角三角形，故本选项符合题意． 故选：． 四．勾股定理的应用 29．（2024春•江夏区期中）已知一轮船以18海里时的速度从港口出发向东北方向航行，同时另有一轮船以12海里时的速度也从港口出发向东南方向航行，都离开港口2小时后，两船相距多少海里？　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由题意画出图形，再由勾股定理求出的长即可． 【解答】解：如图， 两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ， 两小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里）， 在中，根据勾股定理得：（海里）． 故选：． 30．（2024春•天河区校级期中）如图，一棵树（树干与地面垂直）高18米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为12米，则这棵树断裂处点离地面的高度的值为　　 A．12米 B．14米 C．3米 D．5米 【答案】 【分析】设米，则米，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：由题意得：，米，米， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即这棵树断裂处点离地面的高度的值为5米， 故选：． 31．（2024春•昌乐县期中）如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高为．若铅笔的长为，则这只铅笔露在笔筒外面的长度的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度；考虑当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度是露出的最大长度；从而可确定答案． 【解答】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：， 则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：； 当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为， 即铅笔在笔筒外面最长不超过， 所以这只铅笔露在笔筒外面的长度的取值范围是． 故选：． 32．（2024春•启东市校级月考）有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：米，米，米，米，且．请同学们计算一下这块草坪的面积　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图：连接，根据勾股定理可求得，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，最后根据这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和即可解答． 【解答】解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积． 故选：． 33．（2024春•海淀区校级期中）如图，在水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑工地，在间建一条直水管，则水管的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长即可． 【解答】解：由题意可知，，，， ， 故选：． 34．（2024春•确山县期中）数学兴趣小组为测量学校与河对岸的科技馆之间的距离，在的同岸选取点，测得米，，，如图，据此可求得，之间的距离为 　　米． 【答案】． 【分析】证明米，再由勾股定理求出的长即可． 【解答】解：在中，，， ， 米， （米， 即，之间的距离为米， 故答案为：． 35．（2024春•嘉祥县月考）如图，一根长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距离墙，如果梯子的顶端下滑，那么梯子底端将向外滑动 　　． 【答案】． 【分析】由题意得，，，．先在中根据勾股定理求出的长，即可知的长，再在△中，根据勾股定理求出的长，即可求出的长． 【解答】解：由题意得，，，， 在中，，， ， 在△中，，， ， ， 梯子底端将向外滑动了， 故答案为：． 36．（2023秋•成都期末）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 　13　米． 【答案】13． 【分析】过作地面，连接，由题意得米，（米，由勾股定理可得的长，即小鸟至少要飞行的距离． 【解答】解：过作地面，连接， ， 由题意得，米，（米， 由勾股定理得，（米， 故答案为：13． 37．（2023秋•东河区期末）笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个漂流点，．其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点，，在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线　　千米． 【答案】． 【分析】由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，设千米，则千米，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：在中，千米，千米，千米． ， 是直角三角形，， ， 设千米，则千米， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即原路线的长为千米， 故答案为：． 38．（2024春•河西区期中）如图，有一四边形空地，，，，，，则四边形的面积为 　144　． 【答案】144． 【分析】连接，根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理逆定理证得直角三角形，然后由列式计算即可． 【解答】解：如图，连接， ， ， ， 在中，，，， ， 是直角三角形，且， ， 即四边形的面积为144， 故答案为：144． 39．（2024春•中阳县期中）某校“综合与实践”小组开展了测量学校旗杆的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：张组长组员：甲同学，乙同学，丙同学 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点．如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的长度． 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 1.2米 图2中的长度 6.2米 （1）请你根据“综合与实践”小组测量得到的相关数据，计算学校旗杆的高度（结果保留一位小数）． （2）如果想要更加准确计算学校旗杆的高度，请你帮助该小组提出一条可行的建议（写出一条即可）． 【答案】（1）旗杆的高度为16.0米． （2）想要更加准确计算学校旗杆的高度，每个数据多测量几遍，求其平均数．（不唯一，合理即可）． 【分析】（1）设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中，根据勾股定理即可得出结果； （2）答案不唯一，合理即可． 【解答】解：（1）由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1.2米， 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米 由图2可得，在中，， ， 解得，， 答：旗杆的高度为16.0米． （2）想要更加准确计算学校旗杆的高度，每个数据多测量几遍，求其平均数．（不唯一，合理即可）． 40．（2024春•长沙期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心由西向东，从行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求的度数； （2）海港受台风影响吗？并说明理由． 【答案】（1）； （2）海港不受台风影响．理由见解答过程． 【分析】（1）依据三角形中三边的关系确定的度数； （2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响． 【解答】解：（1），， 又， ， 是直角三角形， ； （2）海港不受台风影响，理由如下： 过点作， 是直角三角形，， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ， 海港不受台风影响． 41．（2023秋•叙州区期末）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）海港受台风影响，理由： ，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 42．（2023秋•儋州期末）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识，解决下列问题： （1）四边形的面积； （2）点到的距离． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）连接，由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，然后由，列式计算即可； （2）过点作于点，由三角形面积求出的长即可． 【解答】解：（1）如图1，连接， ，，， ， ， ， 是直角三角形，且， ， 答：四边形土地的面积为； （2）如图2，过点作于点， 由（1）可知，是直角三角形，， ， ， 答：点到的距离为． 43．（2024春•寻甸县期中）如图，小明先把升旗的绳子贴紧旗杆，将其拉直到旗杆底端，绳子的末端刚好接触地面处．然后又将绳子拉紧，将末端拉到距旗杆水平距离8米的处，此时绳子末端距离地面2米．求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为17米． 【分析】设旗杆的高度为米．根据勾股定理得出方程求解即可． 【解答】解：设旗杆高度为米， 米，米，米， 在中，由题意得： ， 解得， 旗杆的高度为17米． 44．（2024春•重庆期中）如图，台风中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又已知，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为4千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）海港受台风影响，理由见解析； （2）台风影响该海港持续的时间为7小时． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数，利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）海港受台风影响， 理由：，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （3）当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为4千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为7小时． 45．（2024春•四川校级期中）如图，一块四边形草地，其中，，，，求这块草地的面积． 【答案】． 【分析】连接，由勾股定理求出、的长，再由列式计算即可． 【解答】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， ． 46．（2024春•南岗区校级期中）如图1，一个梯子长为5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角之间的距离是4米． （1）求梯子的顶端与墙角之间的距离． （2）如图2，将梯子的底端向的方向挪动1米，若在墙的上方点处须悬挂一个广告牌，点与之间的距离是4.2米，试判断：此时的梯子的摆放位置能否够到点处？ 【答案】（1）3米； （2）时的梯子的摆放位置不能够到点处，理由见解析． 【分析】（1）根据勾股定理即可求出； （2）根据勾股定理求出，与4.2比较即可． 【解答】解：（1）如图1，在中， 米，米， 米， 答：梯子的顶端与墙角之间的距离为3米； （2）如图2，在中， 米，（米， 米， ， ， 此时的梯子的摆放位置不能够到点处． 47．（2024春•纳溪区期中）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上两点、的距离分别为，，，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）海港受台风影响，理由见解析； （2）台风影响该海港持续的时间为8小时． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）海港受台风影响，理由： ，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 五．平面展开−最短路径问题 48．（2024春•西山区校级期中）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是4米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是　　米． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， 米，米，点到的距离是4米， 米， （米， （米， （米， 这只蚂蚁的最短行程应该是5米． 故选：． 49．（2024春•东西湖区期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点爬到点的最短距离为　　． A． B． C． D． 【答案】 【分析】将圆柱侧面展开，根据勾股定理求出的长即可． 【解答】解：如图，将圆柱侧面展开，则长即为从点爬到点的最短距离， ， 故选：． 50．（2024春•南岗区校级月考）如图，实心圆柱的底面周长为，高为．蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点爬到点的最短路程是 　17　厘米． 【答案】17． 【分析】沿过点和过点的母线剪开，展开成平面，连接，则长时蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程，求出的长，在中，根据勾股定理，即可求解． 【解答】解：沿过点和过点的母线剪开，展开成平面，连接， 则长时蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程， ， 在中，， 故答案为：17． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$