专题2 一元二次方程及其解法（专题检测）-2023-2024学年浙教版数学八年级下期末专题突破

专题02 一元二次方程及其解法 专题测试 一．选择题 1．（2023秋•永善县期末）把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0 2．（2023秋•武城县期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（　　） A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．都不对 3．（2023秋•醴陵市期末）方程：x2﹣25＝0的解是（　　） A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝﹣5，x2＝5 D．x＝±25 4．（2023秋•澄海区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+x+a2﹣9＝0的一个根是0，则a的值（　　） A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．0 5．（2024•西城区校级二模）将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（　　） A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8 6．（2023秋•中山市期末）对于实数a，b，定义运算“※”：a※b＝a2﹣2b，例如：5※1＝52﹣2×1＝23．若x※x＝﹣1，则x的值为（　　） A．1 B．0 C．0或1 D．1或﹣1 7．（2023秋•宿豫区期末）若代数式2x2﹣3的值与x的值相等，则x的值是（　　） A．﹣1 B． C．或1 D．或﹣1 8．（2024•路桥区二模）已知关于x的一元二次方程x2+（b﹣3）x﹣b＝0，该方程的根的情况为（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．与b的取值有关 9．（2024•安徽模拟）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（4k﹣1）x+4k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＜ B．k＜且k≠0 C．k＞﹣ D．k＞﹣且k≠0 10．（2024春•海州区校级月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m≥1且m≠0 B．m＞1 C．m≤1且m≠0 D．m＜1且m≠0 11．（2024春•拱墅区校级期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣11＝0的两个根，则＝（　　） A．﹣11 B．4 C．16 D．38 12．（2024春•山海关区期中）现在定义一种运算，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据此规则，如果x满足2（x+2）*5＝﹣1，那么x的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题 13．（2024•兴庆区校级二模）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m，则代数式3m2﹣6m+2024的值为 　　． 14．（2024春•沙坪坝区校级期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 　　． 15．（2024春•余姚市期中）将方程（x﹣1）（x+3）＝1化成一般形式是 　　． 16．（2022秋•路桥区期末）对于解关于x的一元二次方程（x+3）2＝m，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是x+3＝﹣2，则m的值为 　　． 17．（2023秋•郴州期末）已知方程x2+4x+m＝0可配方成（x+n）2＝3，则mn＝　　． 18．（2024•龙湖区一模）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2　 　． 19．（2024•开阳县一模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是 　　． 20．（2023秋•巴中期末）阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 　 　．（根用i表示）． 三．解答题 21．（2024春•瑶海区校级期中）（1）解方程：x2﹣4x＝7； （2）解方程：3x（3x+1）＝6x+2． 22．（2024春•泰山区期中）已知：关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m2﹣2＝0． （1）当m取何值时，此方程没有实数根； （2）若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 23．（2024春•海淀区校级期中）已知关于x的一元二次方程mx2+（2+3m）x+（2m+2）＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，直接写出m的值． 24．（2024春•吴兴区期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？ （3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值． 25．（2024春•萧山区期中）【综合与实践】 [问题情境]对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0），求方程的根的实质是找到一个x的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的x的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与a，b，c之间具有一定的关系． [操作判断]项目研究小组经过讨论得到两个结论： （1）当a+b+c＝0时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是1． （2）当a+c＝b时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是﹣1． 请判断两个结论的真假，并说明原因． [实践探究]项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决： 方程（2023x）2﹣2022×2024x﹣1＝0的较大的根为p，方程x2+2023x﹣2024＝0的较小的根为q，求p﹣q的值． 26．（2024春•浙江期中）小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 探究一元三次方程根与系数的关系 素材1 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为ax3+bx2+cx+d＝0（a、b、c、d为常数，且a≠0）． 素材2 一元三次方程的解法 若一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a≠0）的左边在实数范围内可因式分解为a（x﹣p）（x﹣q）（x﹣r）（p、q、r为实数），即原方程化为：a（x﹣p）（x﹣q）（x﹣r）＝0，则得方程的根为x1＝p，x2＝q，x3＝r. 素材3 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x1，x2，则方程可化为a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，即ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2＝0，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：x1+x2＝﹣，x1x2＝. 问题解决 任务1 感受新知 若关于x的三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a、b、c、d为常数）的左边可分解为a（x﹣1）（x+2）（x﹣3），则方程ax3+bx2+cx+d＝0的三个根分别为x1＝　　，x2＝　　，x3＝　　. 任务2 探索新知 若关于x的三次方程ax3+bx2+cx+d＝0的三个根为x1，x2，x3，请探究x1+x2+x3，x1•x2•x3与系数a、b、c、d之间的等量关系． 任务3 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程2x3+x2﹣7x﹣6＝0的三个根为α、β、γ，求的值． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程及其解法 专题测试 一．选择题 1．（2023秋•永善县期末）把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0 【思路点拨】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【解析】解：将一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式之后，变为x2﹣2x﹣2＝0， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 2．（2023秋•武城县期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（　　） A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．都不对 【思路点拨】根据一元二次方程的定义得出a﹣3≠0且|a﹣1|＝2，再求出a即可． 【解析】解：∵关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程， ∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2， 解得：a＝﹣1， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 3．（2023秋•醴陵市期末）方程：x2﹣25＝0的解是（　　） A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝﹣5，x2＝5 D．x＝±25 【思路点拨】这个式子先移项，变成x2＝25，从而把问题转化为求25的平方根． 【解析】解：移项得x2＝25，∴x1＝﹣5，x2＝5．故选：C． 【点睛】法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 4．（2023秋•澄海区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+x+a2﹣9＝0的一个根是0，则a的值（　　） A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．0 【思路点拨】把x＝0代入一元二次方程得a2﹣9＝0，解得a1＝3，a2＝﹣3，然后根据一元二次方程的定义确定a的值． 【解析】解：把x＝0代入一元二次方程（a﹣3）x2+x+a2﹣9＝0得a2﹣9＝0， 解得a1＝3，a2＝﹣3， 而a﹣3≠0， 所以a＝﹣3． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义． 5．（2024•西城区校级二模）将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（　　） A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8 【思路点拨】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【解析】解：∵x2﹣6x+1＝0， ∴x2﹣6x＝﹣1， 则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 6．（2023秋•中山市期末）对于实数a，b，定义运算“※”：a※b＝a2﹣2b，例如：5※1＝52﹣2×1＝23．若x※x＝﹣1，则x的值为（　　） A．1 B．0 C．0或1 D．1或﹣1 【思路点拨】根据题意列得一元二次方程，解方程即可． 【解析】解：由题意可得x2﹣2x＝﹣1， 整理得：x2﹣2x+1＝0， 则（x﹣1）2＝0， 解得：x1＝x2＝1， 故选：A． 【点睛】本题考查解一元二次方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． 7．（2023秋•宿豫区期末）若代数式2x2﹣3的值与x的值相等，则x的值是（　　） A．﹣1 B． C．或1 D．或﹣1 【思路点拨】利用题意列方程2x2﹣3＝x，然后把方程化为一般式后利用因式分解法解方程． 【解析】解：根据题意得2x2﹣3＝x， 即2x2﹣x﹣3＝0， （2x﹣3）（x+1）＝0， 2x﹣3＝0或x+1＝0， 所以x1＝，x2＝﹣1． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 8．（2024•路桥区二模）已知关于x的一元二次方程x2+（b﹣3）x﹣b＝0，该方程的根的情况为（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．与b的取值有关 【思路点拨】先计算根的判别式的值得到Δ＝b2﹣2b+9，再进行配方法和非负数的性质可判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【解析】解：∵Δ＝（b﹣3）2﹣4（﹣b）＝b2﹣2b+9＝（b﹣1）2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 9．（2024•安徽模拟）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（4k﹣1）x+4k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＜ B．k＜且k≠0 C．k＞﹣ D．k＞﹣且k≠0 【思路点拨】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0且二次项系数不为0，求出k的范围即可． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（4k﹣1）x+4k﹣3＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（4k﹣1）2﹣4k（4k﹣3）＞0且k≠0， 解得：k且k≠0． 故选：D． 【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键． 10．（2024春•海州区校级月考）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m≥1且m≠0 B．m＞1 C．m≤1且m≠0 D．m＜1且m≠0 【思路点拨】根据二次项系数非零结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝有实数根， ∴（﹣2）2﹣4m•1≥0且m≠0， 即m≤1且m≠0， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ≥0时，一元二次方程有实数根”是解题的关键． 11．（2024春•拱墅区校级期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣11＝0的两个根，则＝（　　） A．﹣11 B．4 C．16 D．38 【思路点拨】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣11＝0的两个根， ∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣11， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 12．（2024春•山海关区期中）现在定义一种运算，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据此规则，如果x满足2（x+2）*5＝﹣1，那么x的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】由题意可得[2（x+2）]3﹣52＝﹣1，将其整理后解一元二次方程即可． 【解析】解：由题意可得[2（x+2）]2﹣52＝﹣1， 整理得：4（x+2）2＝24， 则（x+2）2＝6， 直接开平方得：x+2＝±， 则x＝﹣2±， 故选：C． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 二．填空题 13．（2024•兴庆区校级二模）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m，则代数式3m2﹣6m+2024的值为 　2030　． 【思路点拨】根据方程的解满足方程代入得到含m的代数式的值，然后整体代入所求式子即可得到答案． 【解析】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m， ∴m2﹣2m﹣2＝0， ∴m2﹣2m＝2， ∴3m2﹣6m+2024 ＝3（m2﹣2m）+2024 ＝3×2+2024 ＝6+2024 ＝2030， 故答案为：2030． 【点睛】本题考查方程的解及求代数式的值，解题的关键是知道方程的解满足方程及整体代换的思想． 14．（2024春•沙坪坝区校级期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 　﹣2　． 【思路点拨】根据一元二次方程的定义得出a﹣2≠0且a2﹣2＝2，再求出答案即可． 【解析】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴a﹣2≠0且a2﹣2＝2， 解得：a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出a﹣2≠0且a2﹣2＝2是解此题的关键． 15．（2024春•余姚市期中）将方程（x﹣1）（x+3）＝1化成一般形式是 　x2+2x﹣4＝0　． 【思路点拨】先去括号，再根据等式的性质移项，最后合并同类项即可． 【解析】解：（x﹣1）（x+3）＝1， x2+3x﹣x﹣3﹣1＝0， x2+2x﹣4＝0， 即方程（x﹣1）（x+3）＝1的一般形式是x2+2x﹣4＝0． 故答案为：x2+2x﹣4＝0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式（ax2+bx+c＝0，其中a、b、c为常数，a≠0）是解此题的关键． 16．（2022秋•路桥区期末）对于解关于x的一元二次方程（x+3）2＝m，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是x+3＝﹣2，则m的值为 　4　． 【思路点拨】利用直接开平方法解一元二次方程得到，结合其中一个解进行计算即可． 【解析】解：根据题意得， ∵其中一个一元一次方程是x+3＝﹣2， ∴， 则m＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了解利用直接开平方法一元二次方程，掌握直接开平方法是关键． 17．（2023秋•郴州期末）已知方程x2+4x+m＝0可配方成（x+n）2＝3，则mn＝　2　． 【思路点拨】已知配方方程转化成一般方程后求出m、n的值，即可得到结果． 【解析】解：由（x+n）2＝3，得： x2+2nx+n2﹣3＝0， ∴2n＝4，n2﹣3＝m， ∴n＝2，m＝1， ∴mn＝2 故答案为：2． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 18．（2024•龙湖区一模）解方程：x（x﹣2）＝x﹣2　x1＝2，x2＝1　． 【思路点拨】首先移项进而提取公因式（x﹣2），进而分解因式求出即可． 【解析】解：x（x﹣2）＝x﹣2 x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， 解得：x1＝2，x2＝1． 故答案为：x1＝2，x2＝1． 【点睛】此题主要考查了分解因式法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键． 19．（2024•开阳县一模）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是 　m≤1　． 【思路点拨】根据方程有实数根，得出Δ≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【解析】解：由题意知，Δ＝4﹣4m≥0， ∴m≤1， 故答案为：m≤1． 【点睛】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；Δ＜0⇔方程没有实数根是本题的关键． 20．（2023秋•巴中期末）阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 　x1＝1+i，x2＝1﹣i　．（根用i表示）． 【思路点拨】方程利用配方法，结合阅读材料中的方法求出解即可． 【解析】解：方程整理得：x2﹣2x＝﹣2， 配方得：x2﹣2x+1＝﹣1，即（x﹣1）2＝﹣1， 开方得：x﹣1＝±i， 解得：x1＝1+i，x2＝1﹣i． 故答案为：x1＝1+i，x2＝1﹣i． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 三．解答题 21．（2024春•瑶海区校级期中）（1）解方程：x2﹣4x＝7； （2）解方程：3x（3x+1）＝6x+2． 【思路点拨】（1）用配方法解方程即可； （2）把等号右边的项移到左边，再因式分解可求出方程的解． 【解析】解：（1）∵x2﹣4x＝7， ∴（x﹣2）2＝11， ∴x﹣2＝或x﹣2＝﹣， ∴x1＝2+，x2＝2﹣； （2）∵3x（3x+1）＝6x+2， ∴3x（3x+1）﹣2（3x+1）＝0， ∴（3x+1）（3x﹣2）＝0， ∴3x+1＝0或3x﹣2＝0， ∴x1＝﹣，x2＝． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法和因式分解法解一元二次方程． 22．（2024春•泰山区期中）已知：关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m2﹣2＝0． （1）当m取何值时，此方程没有实数根； （2）若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 【思路点拨】（1）利用判别式的意义得到Δ＝＜0，解答即可； （2）利用判别式的意义得到Δ＝≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可． 【解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m2﹣2＝0． ∵方程没有实数根 ∴Δ＝＜0， ∴m＜﹣； （2）＝m2+2m+1﹣m2+8＝2m+9． ∵方程有两个实数根， ∴△≥0，即2m+9≥0， ∴m≥﹣． ∴m的最小整数值为﹣4． 【点睛】本题考查了根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键． 23．（2024春•海淀区校级期中）已知关于x的一元二次方程mx2+（2+3m）x+（2m+2）＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，直接写出m的值． 【思路点拨】（1）利用根的判别式进行证明即可． （2）用m表示出方程的实数根即可解决问题． 【解析】证明：（1）∵Δ＝（2+3m）2﹣4m（2m+2）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0， ∴方程总有两个实数根． 解：（2）由方程mx2+（2+3m）x+（2m+2）＝0得， （x+1）（mx+2m+2）＝0， 所以． 因为m为整数，且此方程有两个互不相等的负整数根， 所以为负整数，且不等于﹣1， 则m＝1或2． 【点睛】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 24．（2024春•吴兴区期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0 （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？ （3）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求m的值． 【思路点拨】（1）先计算出Δ＝4，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先求出方程的解，根据此方程的两个根都是正整数列出关于m的不等式，解不等式即可求解； （3）根据等腰三角形的性质和三角形三边关系得到关于m的方程，解方程即可求解． 【解析】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0， [（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0， x1＝，x2＝1， ∵此方程的两个根都是正整数， ∴＞0， 当m+1＞0，m﹣1＞0时，解得m＞1， 当m+1＜0，m﹣1＜0时，解得m＜﹣1， ∴m＝2或m＝3； （3）∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0的解为x1＝，x2＝1， ∵△ABC是等腰三角形，第三边BC的长为5， ∴＝5， 解得m＝1.5， 经检验，m＝1.5是原方程的解． 故m的值是1.5． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． 25．（2024春•萧山区期中）【综合与实践】 [问题情境]对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，且a≠0），求方程的根的实质是找到一个x的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的x的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与a，b，c之间具有一定的关系． [操作判断]项目研究小组经过讨论得到两个结论： （1）当a+b+c＝0时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是1． （2）当a+c＝b时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是﹣1． 请判断两个结论的真假，并说明原因． [实践探究]项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决： 方程（2023x）2﹣2022×2024x﹣1＝0的较大的根为p，方程x2+2023x﹣2024＝0的较小的根为q，求p﹣q的值． 【思路点拨】[操作判断]根据判断结论的真假，将x＝±1代入方程即可判断； [实践探究]先利用因式分解法分别解两个一元二次方程得到p和q的值，然后计算它们的差即可． 【解析】解：[操作判断] 两个结论是真命题； （1）将x＝1代入方程可得a+b+c＝0，故当a+b+c＝0时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是1． （2）将x＝﹣1代入方程可得a﹣b+c＝0，即a+c＝b，故当a+c＝b时，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根是﹣1． [实践探究]∵（2023x）2﹣2022×2024x﹣1＝0， ∴（20232x+1）（x﹣1）＝0， ∴x1＝﹣，x2＝1，则p＝1， x2+2023x﹣2024＝0， （x+2024）（x﹣1）＝0， ∴x1＝﹣2024，x2＝1，则q＝﹣2024， ∴p﹣q＝1+2024＝2025． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了因式分解法解一元二次方程． 26．（2024春•浙江期中）小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 探究一元三次方程根与系数的关系 素材1 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为ax3+bx2+cx+d＝0（a、b、c、d为常数，且a≠0）． 素材2 一元三次方程的解法 若一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a≠0）的左边在实数范围内可因式分解为a（x﹣p）（x﹣q）（x﹣r）（p、q、r为实数），即原方程化为：a（x﹣p）（x﹣q）（x﹣r）＝0，则得方程的根为x1＝p，x2＝q，x3＝r. 素材3 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x1，x2，则方程可化为a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，即ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2＝0，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：x1+x2＝﹣，x1x2＝. 问题解决 任务1 感受新知 若关于x的三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a、b、c、d为常数）的左边可分解为a（x﹣1）（x+2）（x﹣3），则方程ax3+bx2+cx+d＝0的三个根分别为x1＝　1　，x2＝　﹣2　，x3＝　3　. 任务2 探索新知 若关于x的三次方程ax3+bx2+cx+d＝0的三个根为x1，x2，x3，请探究x1+x2+x3，x1•x2•x3与系数a、b、c、d之间的等量关系． 任务3 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程2x3+x2﹣7x﹣6＝0的三个根为α、β、γ，求的值． 【思路点拨】任务1，根据abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0，即可解决问题． 任务2，将方程改写成几个一次因式积的形式，展开后进行对比即可解决问题． 任务3，利用上述过程发现的结论即可解决问题． 【解析】解：任务1， 由题知， 原方程可改写为a（x﹣1）（x+2）（x﹣3）＝0， 所以x﹣1＝0或x+2＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝1，x2＝﹣2，x3＝3． 故答案为：1，﹣2，3． 任务2， 因为关于x的三次方程ax3+bx2+cx+d＝0的三个根为x1，x2，x3， 所以a（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝0， 展开得，ax3﹣a（x1+x2+x3）x2+a（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣ax1x2x3＝0， 所以ax3+bx2+cx+d＝ax3﹣a（x1+x2+x3）x2+a（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣ax1x2x3， 所以﹣a（x1+x2+x3）＝b，﹣ax1x2x3＝d， 则． 任务3， 由方程2x3+x2﹣7x﹣6＝0得， a＝2，b＝1，c＝﹣7，d＝﹣6， 所以，， 所以＝． 【点睛】本题考查根与系数的关系及根的判别式，整体思想的巧妙运用是解题的关键． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$