专题01 平行线（讲义）-2023-2024学年浙教版数学七年级下期末专题突破

专题01 平行线 ( 知识 网络 ) ( 精讲精练破 )知识点一 平行线的概念 1.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 2.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线 3.平行线的传递性：平行同一直线的两直线平行 【典例1】（2023秋•长沙期末）下列说法中正确的是（　　） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间，线段最短 C．射线AB与射线BA是同一条射线 D．线段AB叫做A、B两点间的距离 【变式训练】 1．（2023春•青龙县期末）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 2．（2023秋•锦江区校级期末）下列语句正确的有（　　）个 ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行 ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行 ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a． A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2022秋•海陵区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．平角是一条直线 D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线 知识点二 同位角、内错角、同旁内角 如图所示： 同位角： ∠1和∠5 内错角： ∠3和∠5 同旁内角： ∠4和∠5 【典例2】（2023春•金华期末）如图，直线a，b被直线l所截，∠1与∠2是一对（　　） A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角 【变式训练】 1．（2023春•上城区期末）下列四个图形中，∠1与∠2互为内错角的是（　　） A．B． C．D． 2．（2023春•嘉兴期末）如图，直线a，b被直线c所截，∠1的内错角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 3．（2020春•吴兴区期末）如图，∠1和∠2是同位角的是（　　） A． B． C． D． 4．（2023春•丽水期末）如图，下列各角与∠1是内错角的是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 5．（2023春•镇海区校级期末）如图，直线a，b被直线c所截，则∠1的同旁内角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 6．（2023春•金华期末）如图，∠1和∠2不是同位角的是（　　） A．B． C． D． 6．（2023春•海曙区期末）如图，直线EF与直线AB，CD相交．图中所示的各个角中，能看作∠1的内错角的是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 知识点三 平行线的性质与判定 1.平行线的判定方法： （1）根据定义判定； （2）三个判定定理：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行； （3）平行的传递性； （4）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 2.平行线的性质： （1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等； （3）两直线平行，同旁内角互补. 【典例3】（2023秋•金东区期末）如图，已知AB⊥AC于点A，∠C+∠EDC＝90°． （1）试说明∠BAE+∠E＝180°．（填空） 已知 AB⊥AC，得∠BAC＝90°，所以∠C+　　＝90°， 又已知∠C+∠EDC＝90°，根据 　 　，得∠B＝∠EDC，根据 　 　， 得AB∥DE，根据 　 　，得∠BAE+∠E＝180°． （2）若∠C＝∠EAC，∠E＝55°，求∠B的度数． 【变式训练】 1．（2023春•德清县期末）如图，下面四个条件中不能得到AB∥CD的是（　　） A．∠B＝∠1 B．∠A＝∠2 C．∠B＝∠BCD D．∠B+∠BCD＝180° 2．（2023春•西湖区期末）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线l1与l2这样画的依据是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 3．（2023春•海曙区校级期末）如图，点E在CB的延长线上，下列条件中，能判定AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3 C．∠A＝∠C D．∠A+∠ADC＝180° 4．（2023春•诸暨市期末）如图，下列选项中：①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠1＝∠4；④∠2＝∠3；⑤∠2＝∠4；⑥∠3＝∠4，单个选项条件可以说明EF∥GH的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2023秋•温岭市期末）直角三角板与直尺如图摆放，直尺的两个直角顶点分别在三角板的两条直角边上，则∠1+∠2＝　°　． 6．（2023春•鄞州区期末）如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝130°，则∠2＝　　°． 7．（2023秋•宁波期末）如图，在△ABC中，E是CA延长线上一点，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠3． 求证：∠1＝∠2． 8．（2023春•镇海区期末）如图，已知∠1＝∠C，EF⊥BC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：∠2＝∠4； （2）试求出∠ADC的度数． 9．（2023春•苍南县校级期末）如图，已知F，E分别是射线AB，CD上的点．连接AC，AE平分∠BAC，EF平分∠AED，∠2＝∠3． （1）试说明AB∥CD； （2）若∠AFE﹣∠2＝30°，求∠AFE的度数． 10．（2023春•海曙区期末）如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E． （1）求证：∠ABC+∠ADC＝90°； （2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CGD的度数； （3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD＝∠BCN，则∠CIP、∠IPN、∠CNP之间的数量关系是　 　． 知识点四 图形的平移 1.平移的概念：一个图形沿着某个方向运动，在移动过程中，原图形上的每一个点都沿着同一方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移； 2.平移的两个要素：平移的方向和平移的距离 3.平移的性质 （1）平移不改变图形的形状和大小； （2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等. 【典例4】（2022春•鄞州区期末）如图，将△ABC平移得到△A′B′C′，下列结论中不一定成立的是（　　） A．AA′∥BB′ B．BB′∥CC′ C．AA′＝BB′ D．BC＝A′C′ 【变式训练】 1．（2023春•宁波期末）“水是生命之源，滋润着世间万物”国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水！以下通过平移节水标志得到的图形是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•椒江区期末）如图，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知BF＝12，EC＝2，则平移的距离为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2023春•路桥区期末）如图，△ABC的边BC的长为cm．将△ABC向上平移cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 4．（2023春•海曙区校级期末）如图1，直线CB∥OA，∠A＝∠B＝120°，E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF． （1）求∠AOB及∠EOC的度数； （2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值； 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平行线 ( 知识 网络 ) ( 精讲精练破 )知识点一 平行线的概念 1.平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 2.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线 3.平行线的传递性：平行同一直线的两直线平行 【典例1】（2023秋•长沙期末）下列说法中正确的是（　　） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间，线段最短 C．射线AB与射线BA是同一条射线 D．线段AB叫做A、B两点间的距离 【思路点拨】根据平行线的定义可对选项A进行判断；根据线段的性质可对选项B进行判断；根据射线的定义可对选项C进行判断；根据两点间距离的定义可对选项D进行判断． 【解析】解：对于选项A，根据平行线的定义得：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线， 因此选项A不正确，故不符合题意； 对于选项B，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这是由于两点之间，线段最短， 因此选项B正确，故符合题意； 对于选项C，射线AB的端点是点A，射线BA的端点是B，因此射线AB与射线BA不是同一条射线， 因此选项C不正确，故不符合题意； 对于选项D，线段AB的长度叫做A、B两点间的距离， 因此选项D不正确，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行线的定义，线段的性质，射线的定义，两点间的距离的定义，正确理解平行线的定义，线段的性质，射线的定义，两点间的距离的定义是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（2023春•青龙县期末）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 【思路点拨】根据直线的位置关系解答． 【解析】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交， 所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交． 故选：C． 【点睛】本题考查了两直线的位置关系，需要特别注意，垂直是相交特殊形式，在同一平面内，不重合的两条直线只有平行或相交两种位置关系． 2．（2023秋•锦江区校级期末）下列语句正确的有（　　）个 ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行 ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行 ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a． A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可． 【解析】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，只有a∥b时才能画出，故说法错误； ④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行线，关键是掌握平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行； 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 3．（2022秋•海陵区校级期末）下列说法正确的是（　　） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C．平角是一条直线 D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线 【思路点拨】根据平行线、垂线的性质，角和直线的概念逐一判断可求解． 【解析】解：A．应强调在同一平面内，错误； B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确； C．直线与角是不同的两个概念，错误； D．过同一平面内三点中任意两点，能画出3条直线或1条直线，故错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的定义，垂线的性质，平角的定义，直线，对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别． 知识点二 同位角、内错角、同旁内角 如图所示： 同位角： ∠1和∠5 内错角： ∠3和∠5 同旁内角： ∠4和∠5 【典例2】（2023春•金华期末）如图，直线a，b被直线l所截，∠1与∠2是一对（　　） A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角 【思路点拨】根据同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角判断即可． 【解析】解：∠1和∠2是同位角， 故选：A． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，能熟记同位角、内错角、同旁内角的定义的内容是解此题的关键，注意数形结合． 【变式训练】 1．（2023春•上城区期末）下列四个图形中，∠1与∠2互为内错角的是（　　） A．B． C．D． 【思路点拨】根据内错角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角逐一判断即可． 【解析】解：A．∠1与∠2不是内错角，不符合题意，选项错误； B．∠1与∠2不是内错角，不符合题意，选项错误； C．∠1与∠2是内错角，符合题意，选项正确； D．∠1与∠2不是内错角，不符合题意，选项错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了内错角，能根据内错角的定义正确判断是解题关键． 2．（2023春•嘉兴期末）如图，直线a，b被直线c所截，∠1的内错角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【思路点拨】根据两角在截线的两旁，在两条被截线的内侧，即可得出结论． 【解析】解：由图可知：∠1与∠3的位置关系是内错角； 故选：B． 【点睛】本题考查三线八角．找准截线，确定角的位置关系，是解题的关键． 3．（2020春•吴兴区期末）如图，∠1和∠2是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据同位角定义可得答案． 【解析】解：A、∠1和∠2不是同位角，故此选项不符合题意； B、∠1和∠2不是同位角，故此选项不合题意； C、∠1和∠2是同位角，故此选项合题意； D、∠1和∠2不是同位角，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查同位角的概念．解题的关键是掌握同位角的概念，是需要熟记的内容．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角． 4．（2023春•丽水期末）如图，下列各角与∠1是内错角的是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【思路点拨】根据同位角，内错角，同旁内角的意义，逐一判断即可解答． 【解析】解：A、∠2与∠1是同旁内角，故A不符合题意； B、∠3与∠1是内错角，故B符合题意； C、∠4与∠1不是内错角，故C不符合题意； D、∠5与∠1是同位角，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 5．（2023春•镇海区校级期末）如图，直线a，b被直线c所截，则∠1的同旁内角是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【思路点拨】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【解析】解：A、∠2与∠1是对顶角，故A不符合题意； B、∠3与∠1是内错角，故B不符合题意； C、∠4与∠1是同旁内角，故C符合题意； D、∠5与∠1不是同旁内角，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义． 6．（2023春•金华期末）如图，∠1和∠2不是同位角的是（　　） A．B． C． D． 【思路点拨】根据“三线八角”中同位角的意义逐项进行判断即可． 【解析】解：A、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意； B、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意； C、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意； D、∠1和∠2不是同位角，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了同位角的定义，正确掌握同位角定义是解题关键．同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 6．（2023春•海曙区期末）如图，直线EF与直线AB，CD相交．图中所示的各个角中，能看作∠1的内错角的是（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【思路点拨】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．根据内错角的边构成“Z”形判断即可． 【解析】解：由图可知：能看作∠1的内错角的是∠3， 故选：B． 【点睛】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角的定义，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形． 知识点三 平行线的性质与判定 1.平行线的判定方法： （1）根据定义判定； （2）三个判定定理：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行； （3）平行的传递性； （4）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 2.平行线的性质： （1）两直线平行，同位角相等； （2）两直线平行，内错角相等； （3）两直线平行，同旁内角互补. 【典例3】（2023秋•金东区期末）如图，已知AB⊥AC于点A，∠C+∠EDC＝90°． （1）试说明∠BAE+∠E＝180°．（填空） 已知 AB⊥AC，得∠BAC＝90°，所以∠C+　∠B　＝90°， 又已知∠C+∠EDC＝90°，根据 　同角的余角相等　，得∠B＝∠EDC，根据 　同位角相等，两直线平行　， 得AB∥DE，根据 　两直线平行，同旁内角互补　，得∠BAE+∠E＝180°． （2）若∠C＝∠EAC，∠E＝55°，求∠B的度数． 【思路点拨】（1）根据互余关系，平行线的判定和性质，作答即可； （2）根据∠C＝∠EAC，得到AE∥BC，进而得到∠EDC＝∠E，根据∠EDC＝∠B，即可得出结果． 【解析】解：（1）已知AB⊥AC，得∠BAC＝90°， 所以∠C+∠B＝90°， 又已知∠C+∠EDC＝90°，根据同角的余角相等，得∠B＝∠EDC， 根据同位角相等，两直线平行，得AB∥DE， 根据两直线平行，同旁内角互补，得∠BAE+∠E＝180°； 故答案为：∠B，同角的余角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补； （2）∵∠C＝∠EAC， ∴AE∥BC， ∴∠EDC＝∠E， 由（1）知：∠EDC＝∠B， ∴∠B＝∠E＝55°． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法和性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023春•德清县期末）如图，下面四个条件中不能得到AB∥CD的是（　　） A．∠B＝∠1 B．∠A＝∠2 C．∠B＝∠BCD D．∠B+∠BCD＝180° 【思路点拨】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解析】解：∵∠B＝∠1， ∴AB∥CD， 故A不符合题意； ∵∠A＝∠2， ∴AB∥CD， 故B不符合题意； 由∠B＝∠BCD，不能判定AB∥CD， 故C符合题意； ∵∠B+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD， 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 2．（2023春•西湖区期末）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线l1与l2这样画的依据是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 【思路点拨】根据题目的已知条件并结合图形进行分析，然后根据内错角相等，两直线平行，即可解答． 【解析】解：在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线l1与l2这样画的依据是：内错角相等，两直线平行， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 3．（2023春•海曙区校级期末）如图，点E在CB的延长线上，下列条件中，能判定AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3 C．∠A＝∠C D．∠A+∠ADC＝180° 【思路点拨】根据平行线的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【解析】解：A．∵∠1＝∠4，∴AD∥BC，符合题意， B．∵∠2＝∠3，∴AB∥CD，不符合题意； C．∵∠A＝∠C，不能判断AD∥BC，不符合题意； D．∵∠A+∠ADC＝180°，∴AB∥CD，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 4．（2023春•诸暨市期末）如图，下列选项中：①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠1＝∠4；④∠2＝∠3；⑤∠2＝∠4；⑥∠3＝∠4，单个选项条件可以说明EF∥GH的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】根据平行线的判定定理求解即可． 【解析】解：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， 故①不符合题意； 由∠1＝∠3，不能判定EF∥GH， 故②不符合题意； 由∠1＝∠4，不能判定EF∥GH， 故③不符合题意； ∵∠2＝∠3， ∴EF∥GH， 故④符合题意； ∵∠2＝∠4， ∴EF∥GH， 故⑤符合题意； 由∠3＝∠4，不能判定EF∥GH， 故⑥不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 5．（2023秋•温岭市期末）直角三角板与直尺如图摆放，直尺的两个直角顶点分别在三角板的两条直角边上，则∠1+∠2＝　90°　． 【思路点拨】根据题意，得到∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，∠3+∠4＝90°，进一步求出∠1+∠2的值即可． 【解析】解：由图和题意，可知：∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，∠3+∠4＝90°， ∴∠1＝90°﹣∠3，∠2＝90°﹣∠4， ∴∠1+∠2＝90°﹣∠3+90°﹣∠4＝180°﹣（∠3+∠4）＝90°； 故答案为：90°． 【点睛】本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 6．（2023春•鄞州区期末）如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝130°，则∠2＝　65　°． 【思路点拨】延长AB，由平行线的性质可求出∠4，再由折叠及平角的定义求出∠2． 【解析】解：如图所示：∵AB∥CD， ∴∠1+∠4＝180°． ∴∠4＝50°． 由图形折叠可知∠2＝∠3， ∵∠4+∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝65°． 故答案为：65． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差等知识点．解决本题的关键是掌握折叠前后角的关系． 7．（2023秋•宁波期末）如图，在△ABC中，E是CA延长线上一点，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠3． 求证：∠1＝∠2． 【思路点拨】由AD⊥BC，EG⊥BC，利用垂直的定义可得，∠EGC＝∠ADC＝90°，利用平行线的判定可得EG∥AD，利用平行线的性质可得，）∠2＝∠E，∠1＝∠3，又因为∠E＝∠3，等量代换得出结论． 【解析】证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC， ∴∠EGC＝∠ADC＝90° ∴EG∥AD ∴∠2＝∠E，∠1＝∠3， ∵∠E＝∠3， ∴∠1＝∠2． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质及判定，综合运用平行线的性质和判定定理是解答此题的关键． 8．（2023春•镇海区期末）如图，已知∠1＝∠C，EF⊥BC，∠2+∠3＝180°． （1）求证：∠2＝∠4； （2）试求出∠ADC的度数． 【思路点拨】（1）先利用同位角相等，两直线平行可得DP∥AC，然后再利用平行线的性质，即可解答； （2）先根据垂直定义可得∠EFC＝90°，再利用（1）的结论和已知易得∠3+∠4＝180°，从而利用同旁内角互补，两直线平行可得AD∥EF，然后利用平行线的性质，即可解答． 【解析】（1）证明：∵∠1＝∠C， ∴DP∥AC， ∴∠2＝∠4； （2）解：∵EF⊥BC， ∴∠EFC＝90°， ∵∠2＝∠4，∠2+∠3＝180˚， ∴∠3+∠4＝180°， ∴AD∥EF， ∴∠ADF＝∠EFC＝90°， ∴∠ADC的度数为90°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 9．（2023春•苍南县校级期末）如图，已知F，E分别是射线AB，CD上的点．连接AC，AE平分∠BAC，EF平分∠AED，∠2＝∠3． （1）试说明AB∥CD； （2）若∠AFE﹣∠2＝30°，求∠AFE的度数． 【思路点拨】（1）利用角平分线的定义可得∠1＝∠2，从而利用等量代换可得∠1＝∠3，然后利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，即可解答； （2）根据已知可得∠AFE＝∠2+30°，然后利用平行线的性质可得∠AFE＝∠FED＝∠2+30°，从而利用角平分线的定义可得∠AED＝2∠FED＝2∠2+60°，再利用平角定义可得∠3+∠AED＝180°，最后进行计算可求出∠2＝40°，从而求出∠AFE的度数，即可解答． 【解析】解：（1）∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠2， ∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥CD； （2）∵∠AFE﹣∠2＝30°， ∴∠AFE＝∠2+30°， ∵AB∥CD， ∴∠AFE＝∠FED＝∠2+30°， ∵EF平分∠AED， ∴∠AED＝2∠FED＝2∠2+60°， ∵∠3+∠AED＝180°， ∴∠3+2∠2+60°＝180°， ∵∠3＝∠2， ∴∠2＝40°， ∴∠AFE＝∠2+30°＝70°， ∴∠AFE的度数为70°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 10．（2023春•海曙区期末）如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD⊥BC于E． （1）求证：∠ABC+∠ADC＝90°； （2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CGD的度数； （3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD＝∠BCN，则∠CIP、∠IPN、∠CNP之间的数量关系是　3∠CNP＝∠CIP+∠IPN或3∠IPN＝∠CIP+∠CNP　． 【思路点拨】（1）如图1中，过E作EF∥a．利用平行线的性质即可解决问题． （2）如图2中，作FM∥a，GN∥b，设∠ABF＝∠EBF＝x，∠ADG＝∠CDG＝y，可得x+y＝45°，证明∠AFB＝180°﹣（2y+x），∠CGD＝180°﹣（2x+y），推出∠AFB+∠CGD＝360°﹣（3x+3y）即可解决问题． （3）分两种情形分别画出图形求解即可． 【解析】（1）证明：如图1中，过E作EF∥a． ∵a∥b， ∴a∥b∥EF， ∵AD⊥BC， ∴∠BED＝90°， ∵EF∥a， ∴∠ABE＝∠BEF， ∵EF∥b， ∴∠ADC＝∠DEF， ∴∠ABC+∠ADC＝∠BED＝90°． （2）解：如图2中，作FM∥a，GN∥b， 设∠ABF＝∠EBF＝x，∠ADG＝∠CDG＝y， 由（1）知：2x+2y＝90°，x+y＝45°， ∵FM∥a∥b， ∴∠BFD＝2y+x， ∴∠AFB＝180°﹣（2y+x）， 同理：∠CGD＝180°﹣（2x+y）， ∴∠AFB+∠CGD＝360°﹣（3x+3y）， ＝360°﹣3×45°＝225°． （3）如图，设PN交CD于E． 当点N在∠DCB内部时，∵∠CIP＝∠PBC+∠IPB， ∴∠CIP+∠IPN＝∠PBC+∠BPN+2∠IPE， ∵PN平分∠IPB， ∴∠EPB＝∠EPI， ∵AB∥CD， ∴∠NPB＝∠CEN，∠ABC＝∠BCE， ∵∠NCE＝∠BCN， ∴∠CIP+∠IPN＝3∠PEC+3∠NCE＝3（∠NCE+∠NEC）＝3∠CNP． 当点N′在直线CD的下方时，同法可知：∠CIP+∠CNP＝3∠IPN， 综上所述：3∠CNP＝∠CIP+∠IPN或3∠IPN＝∠CIP+∠CNP． 故答案为：3∠CNP＝∠CIP+∠IPN或3∠IPN＝∠CIP+∠CNP． 【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 知识点四 图形的平移 1.平移的概念：一个图形沿着某个方向运动，在移动过程中，原图形上的每一个点都沿着同一方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移； 2.平移的两个要素：平移的方向和平移的距离 3.平移的性质 （1）平移不改变图形的形状和大小； （2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等. 【典例4】（2022春•鄞州区期末）如图，将△ABC平移得到△A′B′C′，下列结论中不一定成立的是（　　） A．AA′∥BB′ B．BB′∥CC′ C．AA′＝BB′ D．BC＝A′C′ 【思路点拨】根据平移的性质判断即可． 【解析】解：由平移的性质可知，AA′∥BB′，BB′∥CC′，AA′＝BB′，BC＝B′C′， 故选项A、B、C结论成立，不符合题意， 选项D结论不一定成立，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查的是平移的性质，平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 【变式训练】 1．（2023春•宁波期末）“水是生命之源，滋润着世间万物”国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水！以下通过平移节水标志得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，据此判断即可． 【解析】解：C选项中的图： 通过平移能与上面的图形重合． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移的定义，平移时移动过程中只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，掌握平移的定义是解题的关键． 2．（2023春•椒江区期末）如图，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知BF＝12，EC＝2，则平移的距离为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【思路点拨】利用平移的性质得到BE＝CF，再结合已知长度解决问题即可． 【解析】解：由平移的性质可知，BE＝CF， ∵BF＝12，EC＝2， ∴BE+CF＝12﹣2＝10， ∴BE＝CF＝5， ∴平移的距离为5， 故选：B． 【点睛】本题考查平移的性质，熟练掌握平移变换的性质是解题的关键． 3．（2023春•路桥区期末）如图，△ABC的边BC的长为cm．将△ABC向上平移cm得到△A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据平移的性质，将阴影部分的面积转换为长方形BCC′B′的面积即可． 【解析】解：根据平移的性质可知，△ABC≌△A'B'C'， 因此阴影部分的面积就是长方形BCC′B′的面积，即BC•BB′＝×＝（cm2）， 故选：D． 【点睛】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是正确解答的前提． 4．（2023春•海曙区校级期末）如图1，直线CB∥OA，∠A＝∠B＝120°，E，F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF． （1）求∠AOB及∠EOC的度数； （2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值； 【思路点拨】（1）根据平行线的性质得到∠BOA＝60°，再利用角平分线的定义得到∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝30°； （2）利用平行线的性质得到∠OCB＝∠COA，∠OFB＝∠FOA，然后利用∠FOC＝∠AOC得到∠COA＝∠FOA，从而得到∠OCB：∠OFB的值． 【解析】解：（1）∵CB∥OA ∴∠BOA+∠B＝180°， ∴∠BOA＝180°﹣120°＝60°， ∵∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF ∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC ＝∠BOF+∠FOA ＝（∠BOF+∠FOA） ＝×60° ＝30°； （2）不变． ∵CB∥OA ∴∠OCB＝∠COA，∠OFB＝∠FOA， ∵∠FOC＝∠AOC ∴∠COA＝∠FOA， 即∠OCB：∠OFB＝1：2． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．也考查了平行线的性质． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$