精品解析：2024年辽宁省大连市九年级中考二模数学试题

2024年大连市初中学业水平考试模拟考试 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 随着商业的发展和技术的进步，手机支付已经成为常见的支付方式，若手机钱包收入元记作元，则元表示（ ） A. 支出元 B. 收入元 C. 支出元 D. 收入元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量，正确理解正、负数的意义是解题的关键．收入和支出相反，如果收入为正，那么负为支出，即可解决． 【详解】∵收入元记作元， ∴元表示支出元， 故选：A． 2. 如图放置在水平桌面上的四个几何体中，主视图是圆的是（ ） A. 三棱柱 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据几何体的三种视图，对各图形的主视图分析后进行选择即可． 【详解】解：A．三棱柱的主视图是长方形，故不符合题意； B．圆锥的主视图是三角形，故不符合题意； C．圆柱的主视图是长方形，故不符合题意； D．球的主视图是圆，故符合题意； 故选：D． 3. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．利用平行四边形的性质即可得到答案． 【详解】解∶∵的顶点A，B，C的坐标分别为，，， ∴D和A的纵坐标相同，， ∴点D的坐标是， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：A、，故A不正确，不符合题意； B、，故B正确，符合题意； C、和不是同类二次根式，不能合并，故C不正确，不符合题意； D、，故D不正确，不符合题意； 故选：B． 5. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．根据根的判别式，代入数据计算可得答案． 【详解】解：一元二次方程， ，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6. 反比例函数 的图象在其每个象限内 都随 的增大而减小，则 的值可以为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出不等式确定k的范围，再找出符合范围的选项． 【详解】根据题意得：k﹣1＞0，解得：k＞1． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大． 7. 如图，数轴上点M，N表示两个连续整数，点A表示的数是，则点N表示的数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，利用“夹逼法”得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵M，N表示两个连续整数，且A在M、N之间， ∴点N表示的数是4， 故选：B． 8. 光线在镜面上反射时，经过入射点与镜面垂直的直线是法线，反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，两束光线，分别从不同方向射向镜面m，入射点为A，B，，是法线．，的反射光线相交于点C．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了余角，三角形内角和定理．熟练掌握余角，三角形内角和定理是解题的关键． 如图，由题意知，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，， ∴， 故选：C． 9. 如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．射线与 相交于点D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质与判定．利用等腰三角形底角相等求得，由作法得平分，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作法得平分， ∴， ∴． 故选：A． 10. 汽车在公路上行驶时，油箱中剩余油量y（单位：L）是行驶里程x（单位：km）的函数，小丽记录了一次远行时汽车行驶里程及油箱中剩余的油量，数据如下表： 行驶里程x/km 0 100 200 300 剩余油量y/L 50 40 30 20 该函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，观察表格发现：行驶路程每增加，油量减少，可判断该函数是一次函数，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：观察表格发现：行驶路程每增加，油量减少， ∴该函数是一次函数， 设函数解析式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴， 检验：当，； 当，； ∴该函数的表达式是， 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. “对顶角相等”的逆命题是______（填“真”或者“假”）命题． 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，逆命题的真假判断，先写出逆命题再判断真假即可． 【详解】解：“对顶角相等”的逆命题是：相等的角是对顶角，此命题为假命题． 故答案为：假． 12. 某射击运动员在同工艺条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上的次数 15 33 78 158 321 801 射中9环以上的频率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801 则“射中9环以上”的概率（结果保留0.1）_______； 【答案】## 【解析】 【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：∵由题意可知，射击1000次时，运动员射击一次时“射中9环以上”的频率为0.801， ∴用频率估计概率为0.801，结果保留0.1后，可知概率值为0.8， ∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8． 故答案为：0.8 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解本题的关键是理解当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 13. 如图， 是菱形的对角线，，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键． 根据菱形的性质得到，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， 是菱形的对角线， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 14. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，．以原点O为位似中心，把线段AB放大，得到线段，点A的对应点的坐标是，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，由以原点O为位似中心，相似比为，根据位似图形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵A的坐标为，以原点O为位似中心，点A的对应点的坐标是， ∴相似比为， ∴的对应点的坐标是， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，点D在线段上，坐标为，点E坐标为，过点E作x轴的垂线l，点D关于直线l的对称点为，连接，．若与抛物线有一个公共点，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，二次函数与不等式等知识，利用轴对称性求出点的坐标为，根据与抛物线有一个公共点，得出，利用二次函数与不等式的关系求出m的取值范围即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∵在上， ∴ ∵点D坐标为，点E坐标为，过点E作x轴的垂线l，点D关于直线l的对称点为， ∴点的坐标为， ∵与抛物线有一个公共点， ∴ 令， 当时，，解得，， 画草图如下： ∴当时，， ∴的解集为； 同的解集为或， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算与分式的化简，正确掌握运算步骤是解题关键． （1）结合零指数幂、绝对值进行实数运算即可； （2）利用分式混合运算的化简方法化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 【答案】（1）2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为 （2）此次价格的下降率最多是 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键． （1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x，200元经过两年下降后的价格为，由此列出方程，求解方程即得答案； （2）设此次价格的下降率为m，根据题中的数量关系列出不等式，求解不等式即得答案． 【小问1详解】 设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x， 根据题意得，， 解得，（舍去）， 答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为； 【小问2详解】 设此次价格的下降率为m， 根据题意得， 解得， 答：此次价格的下降率最多是． 18. 2024年某市体育与健康评价考试执行新标准．男生体育基础体能考试分为必考项目（1000米）和选考项目（5选2）两部分．其中5项选考项目分别为：①投掷实心球；②引体向上；③立定跳远；④1分钟跳绳；⑤50米跑．对于选考项目（5选2），小明同学决定先选择1分钟跳绳作为第一项，再从立定跳远和50米跑中选择一项，作为第二项． 为了选择体育基础体能考试的最佳选考项目，小明记录下最近连续10次立定跳远和50米跑的试测成绩，进行整理、描述和分析，部分信息如下： 【数据收集与整理】 信息一：50米跑试测成绩（单位：分）依次是 85 80 95 85 95 90 95 95 95 100 信息二：立定跳远试测成绩中，80分与85分的次数相同，90分共4次． 【数据描述】 【数据分析】 平均数 中位数 众数 方差 50米跑成绩 91.5 95 a 35.25 立定跳远成绩 91.5 b 90 35.25 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：m=______，a=______，b=______； （2）为了在体育考试中取得更好的成绩，你认为小明应该如何选择？请说明理由． 【答案】（1）10，95，90 （2）50米跑，理由： 从平均数和方差看，立定跳远和50米跑的成绩都一样， 从中位数和众数看，50米跑的成绩高于立定跳远的成绩， 故小明应该选择50米跑． 【解析】 【分析】本题考查了统计图，众数、中位数等知识，解题的关键是： （1）根据众数、中位数的定义求解即可；根据个得分所占百分比和为1得出关于m的方程，解方程即可； （2）对比各个统计量的大小，结合各个统计量所反映数据的变化特点，做出判断即可． 【小问1详解】 解：∵10次立定跳远成绩中，80分与85分的次数相同，90分共4次， 10次立定跳远 ∴， 解得， ∴10次立定跳远成绩为：80分共次，85分共次，90分共4次，95分共次，100分共次， ∴中位数为， ∵50米跑试测成绩（单位：分）依次是85 80 95 85 95 90 95 95 95 100， ∴95出现次数最多， ∴， 故答案为：10，95，90； 【小问2详解】 略 19. 平板电脑借助磁吸背板支架放置在水平桌面上（如图1），其侧面示意图如图2所示，，，支架张开角为，其范围是，求点A到桌面距离的范围（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】点A到桌面距离的范围为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用． 连接，易证，然后进行分类讨论：当时，当时，即可解答． 【详解】解：连接， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴， 即点A到桌面距离的范围为． 20. 如图，某人在两部手机电量为时开始充电，甲手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是线段．乙手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是折线． （1）当甲手机电量充至时，所需时间为多少？ （2）求甲、乙两部手机电量充至时所需时间的差． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式是解题的关键． （1）待定系数法求的解析式为，当时，，可求，然后作答即可； （2）待定系数法求的解析式为；将代入，可求；将代入，可求；根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解 ：设的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴的解析式为， 当时，， 解得，， ∴甲手机电量充至时，所需时间为； 【小问2详解】 解：设的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴的解析式为； 将代入得，， 解得，； 将代入得，， 解得，； ∵， ∴甲、乙两部手机电量充至时所需时间的差为． 21. 如图1，是的弦，的延长线与相交于点C，与过点B的切线相交于点D，． （1）求的度数； （2）如图2，点E在上，，连接．若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质可得，由，，可得，利用三角形内角和求得即可； （2）连接，，由 是直径，可得，由（1）可得，则，由，，可得，，由，可得，证明是等边三角形，则，，，然后利用弧长公式计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：如图2，连接，， ∵ 是直径， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的弦相等，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，正弦，弧长等知识．熟练掌握切线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的弦相等，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，正弦，弧长是解题的关键． 22. 【问题情境】 （1）某数学活动小组在研究“平方差公式的几何意义”时，提供了如下思路： 如图1，在中，，D为中点，，垂足为E．设，，根据勾股定理，在中用含a，b的式子表示；借助，用含a，b的式子再次表示，建立等式，得到． 请根据上述思路，完成平方差公式的推理过程． 【拓展迁移】 （2）如图2，在中，点D在边上，，延长到点E，使，过点E作，垂足为F，延长到点G，使． ①求证； ②如图3，若，，求的值． 【答案】 （1）在中，，D为中点， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）①证明：过A作于H， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴； ②0.8 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边上中线的性质得出，在中，利用勾股定理得出，证明，利用相似三角形的性质求出，即可得证； （2）①过A作于H，利用证明，得出，利用证明，即可得证； ②过A作于H，在和中，利用勾股定理可得出，结合（1）的结论可得出，同①可证，，得出，，代入化简即可求解． 【详解】解∶（1）略 （2）①略 ②过A作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同①可证，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造直角三角形和全等三角形是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，抛物线上点A，B的坐标分别为，． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求m的取值范围； （3）过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，直线，交点为C，以为边作矩形． ①求； ②线段与x轴相交于点E，以为边作矩形，使矩形在x轴同侧，且．当矩形与矩形重合部分图形的面积是矩形面积的时，求m的值． 【答案】（1）抛物线的表达式为； （2）或； （3）①；②m的值为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得抛物线与轴的交点坐标为和，再分①当时，；②当时，，两种情况讨论，据此求解即可； （3）①当点在第一象限，点在第四象限时，求得，，据此求解即可；当点在第四象限，点在第一象限时，同理可解； ②当点在第一象限，点在第四象限时，求得，证明，利用相似三角形的性质求得，列式计算即可求解；当点在第四象限，点在第一象限时，同理求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴当时，； 当或时，； ①∵，，， ∴当时，，此时， ∴， ∵， ∴点在第四象限，即， ∴， ∴； ②当时，， 当点在第三象限，， ∴， ∴此时点在第四象限，即， ∴，不符合题意，舍去； 当点在第四象限，， ∴， ∵， ∴点在第一象限，即， 解得， ∴； 综上，或； 【小问3详解】 解：①∵点，在抛物线上， ∴，， 如图，当点在第一象限，点在第四象限时， ，， ∴； 如图，当点在第四象限，点在第一象限时， ，， ∴； ②中，， 设，， ∴， ∴， 如图，当点在第一象限，点在第四象限时， ， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）； 如图，当点在第四象限，点在第一象限时， 同理可知， 此时， ∴， 解得（舍去），． 综上，m的值为或． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、矩形的性质、线段的中点坐标的表示方法、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年大连市初中学业水平考试模拟考试 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 随着商业的发展和技术的进步，手机支付已经成为常见的支付方式，若手机钱包收入元记作元，则元表示（ ） A. 支出元 B. 收入元 C. 支出元 D. 收入元 2. 如图放置在水平桌面上的四个几何体中，主视图是圆的是（ ） A. 三棱柱 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 球 3. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 6. 反比例函数 的图象在其每个象限内 都随 的增大而减小，则 的值可以为 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，数轴上点M，N表示两个连续整数，点A表示的数是，则点N表示的数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 光线在镜面上反射时，经过入射点与镜面垂直的直线是法线，反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，两束光线，分别从不同方向射向镜面m，入射点为A，B，，是法线．，的反射光线相交于点C．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交 于点N．分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．射线与相交于点D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 汽车在公路上行驶时，油箱中剩余油量y（单位：L）是行驶里程x（单位：km）的函数，小丽记录了一次远行时汽车行驶里程及油箱中剩余的油量，数据如下表： 行驶里程x/km 0 100 200 300 剩余油量y/L 50 40 30 20 该函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. “对顶角相等”的逆命题是______（填“真”或者“假”）命题． 12. 某射击运动员在同工艺条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上的次数 15 33 78 158 321 801 射中9环以上的频率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801 则“射中9环以上”的概率（结果保留0.1）_______； 13. 如图，是菱形的对角线，，则的度数是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，．以原点O为位似中心，把线段AB放大，得到线段，点A的对应点的坐标是，则点的坐标是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，点D在线段上，坐标为，点E坐标为，过点E作x轴的垂线l，点D关于直线l的对称点为，连接，．若与抛物线有一个公共点，则m的取值范围是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）计算：． 17. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 18. 2024年某市体育与健康评价考试执行新标准．男生体育基础体能考试分为必考项目（1000米）和选考项目（5选2）两部分．其中5项选考项目分别为：①投掷实心球；②引体向上；③立定跳远；④1分钟跳绳；⑤50米跑．对于选考项目（5选2），小明同学决定先选择1分钟跳绳作为第一项，再从立定跳远和50米跑中选择一项，作为第二项． 为了选择体育基础体能考试的最佳选考项目，小明记录下最近连续10次立定跳远和50米跑的试测成绩，进行整理、描述和分析，部分信息如下： 【数据收集与整理】 信息一：50米跑试测成绩（单位：分）依次是 85 80 95 85 95 90 95 95 95 100 信息二：立定跳远试测成绩中，80分与85分的次数相同，90分共4次． 【数据描述】 【数据分析】 平均数 中位数 众数 方差 50米跑成绩 91.5 95 a 35.25 立定跳远成绩 91.5 b 90 35.25 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：m=______，a=______，b=______； （2）为了在体育考试中取得更好的成绩，你认为小明应该如何选择？请说明理由． 19. 平板电脑借助磁吸背板支架放置在水平桌面上（如图1），其侧面示意图如图2所示，，，支架张开角为，其范围是，求点A到桌面距离的范围（结果精确到）． （参考数据：，，，） 20. 如图，某人在两部手机电量为时开始充电，甲手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是线段．乙手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是折线． （1）当甲手机电量充至时，所需时间为多少？ （2）求甲、乙两部手机电量充至时所需时间的差． 21. 如图1， 是的弦，的延长线与相交于点C，与过点B的切线相交于点D，． （1）求的度数； （2）如图2，点E在上，，连接．若，求的长． 22. 【问题情境】 （1）某数学活动小组在研究“平方差公式的几何意义”时，提供了如下思路： 如图1，在中，，D为 中点，，垂足为E．设，，根据勾股定理，在中用含a，b的式子表示；借助，用含a，b的式子再次表示，建立等式，得到． 请根据上述思路，完成平方差公式的推理过程． 【拓展迁移】 （2）如图2，在中，点D在边上，，延长到点E，使，过点E作，垂足为F，延长到点G，使． ①求证； ②如图3，若，，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，抛物线上点A，B的坐标分别为，． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，求m的取值范围； （3）过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，直线，交点为C，以为边作矩形． ①求； ②线段 与x轴相交于点E，以为边作矩形，使矩形在x轴同侧，且．当矩形与矩形重合部分图形的面积是矩形面积的时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $