6.4.3.2正弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4 平面向量的应用 6.4.3 第二讲 正弦定理 基础教育精品课 1 1 情境导入 （1）在△ABC中，若A＝30°，B＝45°，AC＝4，你还能直接运用余弦定理求出边BC吗？ 思考一下： [提示]　不能。 （2）在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？ 2 3 因此我们由那视频可以得出： A B C a c b 4 2 定理推导 A B C a b c == 又因为==1 5 Rt△ABC边与它对角的正弦比为： 思考一下：对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？ == 关系式： 6 向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦。如何实现转化? 由诱导公式 cos(-a)=sin a 可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系。 7 利用向量法证明正弦定理 8 在钝角三角形中的这个边角关系成立吗？ 【提示】 成立，如图，当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝角。过点A作与垂直的单位向量j ,则j与 的夹角为A-,j与的夹角为-C.仿照上述方法，同样可得： j A C B == 9 条件 在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c 结论 ________＝ ＝________ 文字叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的________的比相等 正弦 正弦定理 10 以上我们利用向量方法获得了正弦定理。事实上，探索和证明这个定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加简洁。你还能想到其他方法吗？ 11 利用三角形的高证明正弦定理 (1)当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有CD=a，CD=b。 B A C D a b 由此，得，同理可得 故有==从而这个结论在锐角三角形中成立。 12 利用三角形的高证明正弦定理 (2)当△ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有CD=a=a，CD=b。 由此，可得 == 由（1）（2）可知，在△ABC中，==成立。 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 C A B D a b 13 利用三角形面积证明正弦定理 我们除了以上两种方法，还有哪些证明方法呢？ 利用三角形的外接圆证明正弦定理 14 练一练 在△ABC中，若A＝30°，B＝45°，AC＝4，请你用正弦定理来求出边BC的长？ 已知： A＝30°，B＝45°，AC=4 由=BC==4=42 所以△ABC中，BC的长为2。 B A C 4 30° 45° 15 3 知识梳理 正弦定理 图形语言 文字语言 符号语言 C B A c b a 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 ____________________________ 16 如图，△ABC为锐角三角形，过点A作与eq \o(AC,\s\up15(→))垂 直的单位向量j，则j与eq \o(AB,\s\up15(→))的夹角为eq \f(π,2)－A，j与eq \o(CB,\s\up15(→))的夹角为eq \f(π,2)－C. 因为eq \o(AC,\s\up15(→))＋eq \o(CB,\s\up15(→))＝eq \o(AB,\s\up15(→))，所以j·(eq \o(AC,\s\up15(→))＋eq \o(CB,\s\up15(→)))＝j·eq \o(AB,\s\up15(→)).由分配律，得j·eq \o(AC,\s\up15(→))＋j·eq \o(CB,\s\up15(→))＝j·eq \o(AB,\s\up15(→))， 即|j||eq \o(AC,\s\up15(→))|cos eq \f(π,2)＋|j||eq \o(CB,\s\up15(→))|cos (eq \f(π,2)－C)＝|j||eq \o(AB,\s\up15(→))|cos (eq \f(π,2)－A)，也即asin C＝csin A，即eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C).同理，过点C作与eq \o(CB,\s\up15(→))垂直的单位向量m，可得eq \f(c,sin C)＝eq \f(b,sin B).因此eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C). $$