专题06空间中点线面的位置关系6种常考题型归类【好题汇编】-备战2023-2024学年高一数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题06 空间中点、线、面的位置关系 6种常考题型归类 空间中点线面位置关系 1．（21-22高一下·北京通州·期末）如图，在长方体中，则下列结论正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线与直线是相交直线 D．直线与直线是异面直线 2．（21-22高一下·北京通州·期末）如图，在长方体中，则下列结论正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线与直线是相交直线 D．直线与直线是异面直线 3．（21-22高一下·北京昌平·期末）在正方体各条棱所在的直线中，与直线异面且垂直的可以是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·北京房山·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．两个平面相交，可以只有一个公共点 C．三角形是平面图形 D．四边形是平面图形 5．（21-22高一下·北京·期末）如图，在正方体中，与直线互为异面直线的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·北京房山·期末）如图，在正四棱台中，，分别为上、下底面中心，，分别为，的中点，则下列结论中错误的是（    ） A．是直角梯形 B．是直角梯形 C．直线与直线异面 D．直线与直线异面 7．（21-22高一下·北京丰台·期末）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点画直线，则满足 （选出你认为正确的全部结论） ①；②；③与直线相交；④与直线相交． 8．（21-22高一下·北京·期末）如图，在正方体中，是棱上一点，且． (1)试画出过三点的平面截正方体所得截面； (2)证明：平面与平面相交，并指出它们的交线． 空间中线面、面面平行有关问题 9．（21-22高一下·北京·期末）“直线与平面平行”是“直线与平面内无数条直线平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（21-22高一下·北京·期末）已知平面和直线，则下列结论正确的是（    ） A．若垂直于平面内的两条平行直线，则 B．若平行于平面内的一条直线，则 C．若平行于平面内的无数条直线，则 D．若垂直于平面内的两条相交直线，则 11．（21-22高一下·北京丰台·期末）已知直线，与平面，，，能使成立的条件是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 12．（21-22高一下·北京·期末）设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则“”是“且”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（22-23高一下·北京大兴·期末）已知平面，，直线，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（22-23高一下·北京怀柔·期末）已知一条直线l和两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．（21-22高一下·北京朝阳·期末）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若m与n不相交，则 D．若，则m与n不相交 16．（22-23高一下·北京顺义·期末）若是两个不同的平面，则“存在两条异面直线m，n，满足”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（22-23高一下·北京延庆·期末）已知直线与不同平面，则“”是“且”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（21-22高一下·北京大兴·期末）已知直线和平面.给出下列三个论断：①∥；②∥；③.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： . 19．（21-22高一下·北京通州·期末）如图，在正方体中，E为的中点，F为正方体棱的中点，则满足条件直线平面的点F的个数是 . 20．（22-23高一下·北京西城·期末）如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面． 21．（21-22高一下·北京海淀·期末）如图，在四棱锥中，平面PAD，，E，F，H，G分别是棱PA，PB，PC，PD的中点． (1)求证：； (2)判断直线EF与直线GH的位置关系，并说明理由． 空间中线面、面面垂直有关问题 22．（21-22高一下·北京·期末）设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 23．（22-23高一下·北京平谷·期末）已知直线，平面，那么下列所给命题正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 24．（22-23高一下·北京丰台·期末）如图，在正方形中，分别为边，的中点.现沿线段，及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为.在该四面体中，作平面，垂足为，则是的（    ）      A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 25．（22-23高一下·北京房山·期末）已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到的是 .（填入条件的序号即可） ①；②；③；④. 26．（21-22高一下·北京·期末）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥；③l⊥． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ． 27．（22-23高一下·北京大兴·期末）如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，给出下列四个结论： ①平面平面； ②与的夹角为定值； ③三棱锥体积最大值为； ④点的轨迹的长度为； 其中所有正确结论的序号是 ． 28．（21-22高一下·北京昌平·期末）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，给出下列五个论断： ①；②；③；④；⑤． 以其中两个论断作为条件，使得成立．这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号） 29．（22-23高一下·北京房山·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点.    (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 30．（22-23高一下·北京丰台·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，平面与棱交于点.    (1)求证：为棱的中点； (2)若平面平面，，△为等边三角形，求四棱锥的体积. 31．（21-22高一下·北京通州·期末）如图，在三棱维中，，平面平面. (1)求证：； (2)求证：平面. 32．（21-22高一下·北京丰台·期末）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF． (1)求证：直线平面ADF； (2)求证：直线平面ADF； (3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 33．（21-22高一下·北京朝阳·期末）如图，在四棱柱中，侧棱底面，四边形为菱形，，E，F分别为的中点． (1)证明平面，并求点C到平面的距离； (2)证明：四点共面． 空间中平行、垂直综合问题 34．（15-16高三上·北京昌平·期末）已知直线和两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 35．（21-22高一下·北京平谷·期末）已知平面，则 “∥”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 36．（21-22高一下·北京通州·期末）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 37．（22-23高一下·北京密云·期末）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 38．（22-23高一下·北京丰台·期末）已知是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列说法正确的是（    ） A．若∥，∥，则∥ B．若，∥，则 C．若，，，则 D．若，，，则∥ 39．（22-23高一下·北京延庆·期末）如果直线和是空间中两条不相交的直线，则必定存在平面，使得（    ） A． B． C． D． 40．（21-22高一下·北京延庆·期末）下列命题错误的是（    ） A．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线 B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行 C．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 D．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角 41．（21-22高一下·北京延庆·期末）已知是两条直线，是两个平面，则下列四个命题正确的有（    ） ①； ②； ③； ④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．（22-23高一下·北京西城·期末）已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 43．（22-23高一下·北京通州·期末）设是直线，，是两个不同平面，则下面命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 44（21-22高一下·北京平谷·期末）如图，在直三棱柱中，，，、分别为、的中点. 为上的点且. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 45．（21-22高一下·北京·期末）如图，在正三棱柱中，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若，求三棱锥的体积. 46．（22-23高一下·北京平谷·期末）三棱锥中，面，、分别是、中点，过的一个平面交面于． (1)证明：； (2)证明：． 47．（22-23高一下·北京房山·期末）如图，在正方体中，，分别为，的中点.      (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求证：，，，四点共面. 48．（21-22高一下·北京平谷·期末）如图，在三棱锥中，底面，，分别为，的中点.设平面与平面交于直线 (1)求证：平面； (2)求证：∥. 49．（21-22高一下·北京·期末）如图，已知三棱柱中，侧面和是矩形，分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求证：三棱柱为直三棱柱. 50．（21-22高一下·北京·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，点为侧棱的中点，过三点的平面交侧棱于点. (1)求证：平面； (2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求证：. 条件①：；条件②：平面. 注：如果选择条件①､条件②分别解答，按第一个解答计分. 51．（21-22高一下·北京延庆·期末）如图，在四棱锥中，已知底面是一个菱形，，且，平面平面. (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)求证：. 52．（22-23高一下·北京延庆·期末）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，且底面，，点为棱的中点，平面与棱交于点．    (1)求证：； (2)求证：平面． 53．（22-23高一下·北京丰台·期末）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知， 求证：平面平面. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 54．（22-23高一下·北京延庆·期末）如图，在三棱锥中，分别是，的中点，平面与棱交于点．      (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 55．（22-23高一下·北京大兴·期末）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，M，N分别为，AC的中点．    (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求证：． 条件①：；条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．   56．（22-23高一下·北京通州·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，，，E，F分别是PC，BD的中点．    (1)求证：平面PAD； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求三棱锥的体积． 条件①：G是棱BC上一点，且； 条件②：G是PB的中点； 条件③：G是的内心（内切圆圆心）． 注；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 57．（22-23高一下·北京密云·期末）如图，在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧棱平面，，是的中点．    (1)求证：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积． 58．（21-22高一下·北京昌平·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 59．（21-22高一下·北京昌平·期末）如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，使得平面平面，点为线段上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若平面BCEF与直线AG相交于点H，试确定点H的位置，并求线段BH的长． 空间中线面夹角问题 60．（21-22高一下·北京·期末）在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 61．（22-23高一下·北京朝阳·期末）在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 62．（21-22高一下·北京大兴·期末）如图，在正方体中，是棱的中点.令直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（    ） A． B． C． D． 63．（21-22高一下·北京通州·期末）如图，在长方体中，，，则下列结论： ①直线与直线所成的角为； ②直线与平面所成的角为； ③平面与平面所成的二面角为； ④平面与平面所成的二面角为直二面角. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 64．（21-22高一下·北京·期末）如图正方体的棱长为，则二面角的正弦值为 . 65．（21-22高一下·北京大兴·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)若平面平面，求的大小. 66．（22-23高一下·北京怀柔·期末）如图，正方体的棱长为2．    (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求二面角的正弦值． 67．（22-23高一下·北京大兴·期末）如图，从长、宽，高分别为，，的长方体中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥．    (1)求三棱锥的体积； (2)证明：三棱锥的每个面都是锐角三角形； (3)直接写出一组，，的值，使得二面角是直二面角． 68．（21-22高一下·北京通州·期末）如图，在正方体中，. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线和平面所成的角. 空间中动点、存在性问题 69．（22-23高一下·北京东城·期末）如图，直三棱柱中，为棱的中点，为线段上的动点．以下结论中正确的是（    ） A．存在点，使 B．不存在点，使 C．对任意点，都有 D．存在点，使平面 70．（21-22高一下·北京·期末）如图，在正方体中，点为线段上异于的动点，则下列四个命题： ①是等边三角形； ②平面平面； ③设，则三棱锥的体积随着增大先减少后增大； ④连接，总有平面. 其中正确的命题是 . 71．（22-23高一下·北京东城·期末）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美．下面给出四个结论： ①平面； ②平面平面； ③过点存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等； ④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的． 其中所有正确结论的序号是 ． 72．（22-23高一下·北京顺义·期末）在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，有以下四个说法： ①可能与相交； ②与不可能平行； ③与是异面直线； ④三棱锥的体积为定值； 其中，所有正确说法的序号是 ． 73．（21-22高一下·北京海淀·期末）如图，在边长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②存在点，使得平面； ③对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面； ④是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 74．（21-22高一下·北京·期末）正方体的棱长为，为棱上的动点，点分别是棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得为等腰三角形 C．三棱锥的体积为定值 D．存在点，使得平面 75．（22-23高一下·北京通州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点为底面上在意一点，若直线与平面无公共点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D．2 76．（22-23高一下·北京密云·期末）如图，在边长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论，其中正确的是（    ）      A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得平面 C．是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为 D．对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面 77．（22-23高一下·北京昌平·期末）已知棱长为2的正方体是的中点，是正方形内（包括边界）的一个动点，且，则线段长度的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 78．（22-23高一下·北京延庆·期末）如图，在正方体中，是棱上的动点，下列结论正确的个数是（    ） ①存在点，使得； ②存在点，使得； ③对于任意点，到的距离为定值； ④对于任意点，都不是锐角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 79．（22-23高一下·北京大兴·期末）已知点P在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP的长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 80．（22-23高一下·北京·期末）在正方体中，是正方体的底面（包括边界）内的一动点，（不与重合），是底面内一动点，线段与线段相交且互相平分，则使得四边形面积最大的点是（    ）． A．个 B．个 C．个 D．无数个 79．（21-22高一下·北京·期末）如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，. (1)求证：； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 80．（21-22高一下·北京·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且，. (1)若平面与平面相交于直线，求证：； (2)求证：平面平面； (3)棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 81．（22-23高一下·北京平谷·期末）如图，几何体中，面面，，，且，，四边形是边长为4的菱形，，点为的交点．    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)试判断在棱上是否存在一点，使得平面平面?说明理由． 82．（22-23高一下·北京密云·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．    (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面?请说明理由． 83．（22-23高一下·北京西城·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，为的中点，为上一点，为上一点，且平面平面．    (1)求证：； (2)求证：为线段中点，并直接写出到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求；若不存在，说明理由． 84．（22-23高一下·北京通州·期末）如图，在直三棱柱中，点M在棱AC上，且平面，，， ．    (1)求证：M是棱AC的中点； (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 85．（22-23高一下·北京东城·期末）如图，四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形，是上一动点，是中点．    (1)当是中点时，求证：∥平面； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 86．（22-23高一下·北京怀柔·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，底面．    (1)证明：平面平面； (2)设平面平面于直线l，证明：； (3)若，在线段BC上是否存在点F，使得平面，若存在点F，则a为何值时，直线EF与底面所成角为． 87．（22-23高一下·北京朝阳·期末）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点．      (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设棱与平面交于点，求的值． 88．（21-22高一下·北京海淀·期末）如图，在直棱柱中，底面是菱形，，，，，分别是棱，的中点．    (1)求证：； (2)求证：平面； (3)是否存在正数，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由 89．（21-22高一下·北京西城·期末）如图，在正方体中，，为上底面的中心. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)判断棱上是否存在一点，使得？并说明理由. 90．（21-22高一下·北京朝阳·期末）如图，在四棱锥中，平面平面∥平面，，E是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)若M是线段上任意一点，试判断线段上是否存在点N，使得∥平面？请说明理由． 91．（22-23高一下·北京房山·期末）如图1，在矩形ABCD中，，E为AB的中点，将沿DE折起，点A折起后的位置记为点，得到四棱锥，M为AC的中点，如图2.某同学在探究翻折过程中线面位置关系时，得到下列四个结论： ①恒有；                        ②恒有平面； ③三棱锥的体积的最大值为；  ④存在某个位置，使得平面平面. 其中所有正确结论的序号是 . 92．（21-22高一下·北京朝阳·期末）已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为的中点，则下列结论中正确的是（    ） ①直线与直线垂直；                ②直线与平面平行； ③点C与点G到平面的距离相等；       ④平面截正方体所得的截面面积为． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 93．（22-23高一下·北京西城·期末）如图，在棱长为4的正方体中，点P是线段AC上的动点（包含端点），点E在线段上，且，给出下列四个结论： ①存在点P，使得平面平面； ②存在点P，使得是等腰直角三角形； ③若，则点P轨迹的长度为； ④当时，则平面截正方体所得截面图形的面积为18． 其中所有正确结论的序号是 ． 94．（22-23高一下·北京昌平·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为内一动点（不与三点重合）.给出下列四个结论：    ①直线与所成角的大小为；②；③的最小值为；④若，则点的轨迹所围成图形的面积是. 其中所有正确结论的序号是 . 94．（22-23高一下·北京怀柔·期末）在中，，D是边AC的中点，E是边AB上的动点（不与A，B重合），过点E作AC的平行线交BC于点F，将沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥，如图所示，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是 ．    ①不可能为等腰三角形； ②平面PEF； ③当E为AB中点时，三棱锥体积的最大值为； ④存在点E，P，使得． 95．（21-22高一下·北京大兴·期末）如图1，四边形是矩形，将沿对角线折起成，连接，如图2，构成三棱锥.过动点作平面的垂线，垂足是. (1)当落在何处时，平面平面，并说明理由； (2)在三棱锥中，若为的中点，判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (3)设是及其内部的点构成的集合，，当时，求三棱锥的体积的取值范围. 96．（22-23高一下·北京昌平·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，是棱上的动点（不与重合），交平面于点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若是的中点，平面将四棱锥分成五面体和 五面体，记它们的体积分别为，直接写出的值. 97．（22-23高一下·北京顺义·期末）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点．    (1)求证：//平面； (2)求证：； (3)若平面，求实数的值． 98．（21-22高一下·北京西城·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，E为PD的中点. (1)若，求四棱锥的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 空间中点、线、面的位置关系 6种常考题型归类 空间中点线面位置关系 1．（21-22高一下·北京通州·期末）如图，在长方体中，则下列结论正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线与直线是相交直线 D．直线与直线是异面直线 【答案】D 【分析】根据给定图形，利用点、线、面的位置关系判断作答. 【详解】在长方体中， 直线平面，点，且不重合，即点平面，A不正确； 点平面，点平面，即直线平面，B不正确； 直线平面，则与平面无公共点，直线平面， 所以直线与直线没有公共点，C不正确； 直线平面，即直线与平面无公共点，直线平面， 则直线与直线没有公共点，又，直线，即直线与直线不平行， 因此直线与直线是异面直线，D正确. 故选：D 2．（21-22高一下·北京通州·期末）如图，在长方体中，则下列结论正确的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线与直线是相交直线 D．直线与直线是异面直线 【答案】D 【分析】根据给定图形，利用点、线、面的位置关系判断作答. 【详解】在长方体中， 直线平面，点，且不重合，即点平面，A不正确； 点平面，点平面，即直线平面，B不正确； 直线平面，则与平面无公共点，直线平面， 所以直线与直线没有公共点，C不正确； 直线平面，即直线与平面无公共点，直线平面， 则直线与直线没有公共点，又，直线，即直线与直线不平行， 因此直线与直线是异面直线，D正确. 故选：D 3．（21-22高一下·北京昌平·期末）在正方体各条棱所在的直线中，与直线异面且垂直的可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间中直线的位置关系逐一判断即可. 【详解】直线与直线异面但不垂直，直线与直线异面但不垂直， 直线与直线异面且垂直，直线与直线共面， 故选：C 4．（22-23高一下·北京房山·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．一条直线和一个点确定一个平面 B．两个平面相交，可以只有一个公共点 C．三角形是平面图形 D．四边形是平面图形 【答案】C 【分析】根据基本事实1、2和3及基本事实1的推论逐一判断． 【详解】对于A：一条直线和直线外一点确定一个平面，故A错； 对于B：两个平面相交，有一条公共直线，有无数个公共点，故B错； 对于C：三角形的两条边一定相交，根据基本事实1的推论2“过两条相交直线，有且只有一个平面”， 所以三角形的两条边确定一个平面，而第三边的两个端点在该平面内， 根据基本事实2“如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内”确定第三边在该平面内，故三角形是一个平面图形，故C正确； 对于D：如图四边形不是平面图形，故D错误； 故选：C 5．（21-22高一下·北京·期末）如图，在正方体中，与直线互为异面直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由异面直线的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于选项A，，故A不正确； 对于选项B，，故B不正确； 对于选项C，直线与直线相交，故C不正确； 对于选项D，因为直线与直线不同在任意一个平面，所以直线与直线是异面直线，故D正确. 故选：D. 6．（22-23高一下·北京房山·期末）如图，在正四棱台中，，分别为上、下底面中心，，分别为，的中点，则下列结论中错误的是（    ） A．是直角梯形 B．是直角梯形 C．直线与直线异面 D．直线与直线异面 【答案】D 【分析】将正四棱台补全为正四棱锥，再结合正四棱锥的性质一一分析即可. 【详解】由棱台的定义可知可将正四棱台补全为如图所示正四棱锥， 因为，分别为上、下底面中心，所以、、三点共线， 且底面，底面，底面，底面， 所以，， 又，且，所以是直角梯形，故A正确； 因为，分别为，的中点，与均为等腰三角形，且，， 所以，， 又，，所以是直角梯形，故B正确； 因为，，所以直线与直线异面，故C正确； 由，所以直线与直线相交于点，故D错误. 故选：D 7．（21-22高一下·北京丰台·期末）木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块时，为了经过木料表面内一点和棱将木料平整锯开，需要在木料表面过点画直线，则满足 （选出你认为正确的全部结论） ①；②；③与直线相交；④与直线相交． 【答案】③④ 【分析】延长、交于点，则、的延长线也过点，则直线即为所求作的直线，由此可得出结论. 【详解】延长、交于点，则、的延长线也过点，如下图所示： 因为，则平面，则直线即为所求作的直线， 所以，直线与直线、直线都相交. 故答案为：③④. 8．（21-22高一下·北京·期末）如图，在正方体中，是棱上一点，且． (1)试画出过三点的平面截正方体所得截面； (2)证明：平面与平面相交，并指出它们的交线． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析；为面与面的交线 【分析】（1）在上取一点，使得，延长交于点，连结，即可得到截面； （2）根据两平面有公共点，可知两面相交；延长，设它们交于点，可证得在两面交线上，由此可知交线为. 【详解】（1）在上取一点，使得，延长交于点，连结， 则平面就是过三点的平面截正方体所得截面． （2）平面，平面， 平面平面，即平面与平面相交． 延长，设它们交于点， 直线，直线平面，平面． 直线，直线平面，平面． 为面与面的交线 空间中线面、面面平行有关问题 9．（21-22高一下·北京·期末）“直线与平面平行”是“直线与平面内无数条直线平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】利用线面平行的判定定理和性质定理进行判断即可. 【详解】因为“直线与平面平行”，所以根据线面平行的性质定理可知“直线与平面内无数条直线平行”，反之不成立，因为直线还可能在平面内. 故选：A. 10．（21-22高一下·北京·期末）已知平面和直线，则下列结论正确的是（    ） A．若垂直于平面内的两条平行直线，则 B．若平行于平面内的一条直线，则 C．若平行于平面内的无数条直线，则 D．若垂直于平面内的两条相交直线，则 【答案】D 【分析】根据线面垂直于平行的性质和判定逐个分析即可 【详解】对A， 垂直于平面内的两条相交直线才有，故A错误； 对B，当，且平行于平面内的一条直线，不成立，故B错误； 对C，若平行于平面内的无数条直线，则或，故C错误； 对D，根据线面垂直的判定可得若垂直于平面内的两条相交直线，则，故D正确； 故选：D 11．（21-22高一下·北京丰台·期末）已知直线，与平面，，，能使成立的条件是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 【答案】C 【分析】利用平面与平面的位置关系可判断AC；利用直线与平面的位置关系可以判断B；利用面面平行的判定定理可判断D. 【详解】对于A，，，则与相交或，故A错误； 对于B，，，则与相交或，故B错误； 对于C，，，则，故C正确； 对于D，，，，，没有说明直线，相交，故不能通过线面平行证明面面平行，故D错误； 故选：C 12．（21-22高一下·北京·期末）设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则“”是“且”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 由面面平行的判定与性质判断充分性和必要性即可. 【详解】由面面平行的性质可知：且，充分性成立； 当时，若，，，则可能平行或相交，必要性不成立； “”是“且”的充分而不必要条件. 故选：A. 13．（22-23高一下·北京大兴·期末）已知平面，，直线，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若且得不到，此时与可能相交，故充分性不成立， 若又，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 14．（22-23高一下·北京怀柔·期末）已知一条直线l和两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用线面平行，面面平行的判定及性质，线面垂直面面垂直的判定及性质来分析，进而得出答案. 【详解】A中，若，则与平行或相交，故A错误； B中，若，则可能，故B错误； C中，若，则可能，故C错误； D中，若，则，故D正确. 故选：D . 15．（21-22高一下·北京朝阳·期末）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若m与n不相交，则 D．若，则m与n不相交 【答案】D 【分析】根据面面平行的判定定理和性质定理对选项一一判断即可得出答案. 【详解】若，则可能平行、可能相交，故A不正确； 若，则可能平行、可能异面，故B不正确； 若m与n不相交，则也不一定平行，故C不正确； 若m与n不相交，则，故D正确. 故选：D. 16．（22-23高一下·北京顺义·期末）若是两个不同的平面，则“存在两条异面直线m，n，满足”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分，必要条件的定义，结合几何关系，数形结合，即可判断. 【详解】必要性：如图，，平面与平面交于，平面交平面交于，，，平面是相交平面，所以与，与是相交直线， 所以与是异面直线， 且，，所以，同理，      所以满足必要性， 充分性， 若异面直线平移至点，成为相交直线，当直线都与平面平行时，    则所确定的平面都与平行， 此时，所以“存在两条异面直线m，n，满足”是“”的充分条件， 由以上可知，“存在两条异面直线m，n，满足”是“”的充分必要条件. 故选：C 17．（22-23高一下·北京延庆·期末）已知直线与不同平面，则“”是“且”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由面面、线面位置关系判断题设条件间的推出关系，结合充分、必要性定义可得答案. 【详解】由，而直线与平面位置关系不明，不可能推出且，充分性不成立； 由且，为不同平面，根据与同一直线垂直的两个平面平行，即，必要性成立； 所以“”是“且”的必要而不充分条件. 故选：B 18．（21-22高一下·北京大兴·期末）已知直线和平面.给出下列三个论断：①∥；②∥；③.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： . 【答案】若，则 【分析】分三种情况判断：①②作条件，③作结论；①③作条件，②作结论；②③作条件，①作结论.只要以上三个命题为真即可. 【详解】解：将①②作条件，③作结论：若∥，∥，则.此命题为假命题（结论应为或∥）； 将①③作条件，②作结论：若∥，，则∥.此命题为假命题（结论应为与相交或∥）； 将②③作条件，①作结论：若∥， ，则∥.由两平面平行的性质定理可知此命题为真命题. 故答案为：若∥， ，则∥. 19．（21-22高一下·北京通州·期末）如图，在正方体中，E为的中点，F为正方体棱的中点，则满足条件直线平面的点F的个数是 . 【答案】 【分析】为了得到直线平面，只需求得平面平面，即平面内的任意一条直线都与平面平行，进而求得点的个数. 【详解】 分别取的中点，连接， ， 在正方体中，，，四边形是平行四边形， ，， 又平面，平面， 平面，同理平面， 又，平面，平面， 平面平面， 平面内的任意一条直线都与平面平行， 则满足条件直线平面的点可以是的任何一个， 点F的个数是个. 故答案为：. 20．（22-23高一下·北京西城·期末）如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据正方体的性质，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可； （2）根据正方体的性质，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可. 【详解】（1），所以平面．    因为平面，所以． 因为为正方形，所以， 又因为，平面，所以平面； （2）设，连接OE． 因为为正方体，所以，且， 所以，且． 因为E，F分别，的中点，所以，且． 所以，且． 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，平面，所以平面． 21．（21-22高一下·北京海淀·期末）如图，在四棱锥中，平面PAD，，E，F，H，G分别是棱PA，PB，PC，PD的中点． (1)求证：； (2)判断直线EF与直线GH的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)直线与直线相交，理由见解析. 【分析】（1）根据线面平行的性质即可求解； （2）根据题意可证四点共面，又因为，所以，即得与相交. 【详解】（1）解：因为平面，平面，平面平面， 所以. （2）解：直线与直线相交，理由如下： 连接， 因为分别是棱的中点， 所以，同理可证：， 因为，所以， 所以四点共面， 因为，所以， 所以与不平行，即与相交. 空间中线面、面面垂直有关问题 22．（21-22高一下·北京·期末）设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（    ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】B 【分析】根据线面与面面的位置关系逐一判断即可 【详解】对于A：，且，则，故A错误； 对于B：一条直线垂直于平面，则与这条直线平行的直线也垂直于这个平面，易知B正确； 对于C：，且，则或或n与相交均有可能，故C错误； 对于D：，且，则则或或n与相交均有可能，故D错误； 故选：B 23．（22-23高一下·北京平谷·期末）已知直线，平面，那么下列所给命题正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 【答案】D 【分析】通过反例可说明ABC错误；根据线面垂直、面面垂直相关定理可判断出D正确. 【详解】对于A，在正方体中，若平面平面，平面平面，直线直线，满足，，此时与平面不垂直，A错误； 对于B，在正方体中，若直线直线，直线直线，平面平面，满足，，此时，B错误； 对于C，在正方体中，若直线直线，直线直线，平面平面，满足，，此时，C错误； 对于D，若，，则或，又，，D正确. 故选：D. 24．（22-23高一下·北京丰台·期末）如图，在正方形中，分别为边，的中点.现沿线段，及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为.在该四面体中，作平面，垂足为，则是的（    ）      A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】A 【分析】根据题意证明平面，得到，进而证明平面，得到，同理得到和即可得到答案. 【详解】如下图所示，在四面体中，连接，      由题意知，，， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以， 同理，，，则是的垂心. 故选：A 25．（22-23高一下·北京房山·期末）已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到的是 .（填入条件的序号即可） ①；②；③；④. 【答案】①③（或②④） 【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系对选项一一分析即可得出答案. 【详解】选①②， 若，，则可能，不正确； 选①③， 若，，则，正确； 选①④， 若，，则可能，不正确； 选②③， 若，，则可能，不正确； 选②④， 若，，则，正确； 选③④， 若，，则可能，不正确； 故答案为：①③（或②④） 26．（21-22高一下·北京·期末）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥；③l⊥． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ． 【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，则m∥α. 【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析. 【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m. 正确； （2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α.正确； （3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α.不正确，有可能l与α斜交、l∥α. 27．（22-23高一下·北京大兴·期末）如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，给出下列四个结论： ①平面平面； ②与的夹角为定值； ③三棱锥体积最大值为； ④点的轨迹的长度为； 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】①由题设结合线面垂直的判定证面，再由面面垂直的判定即可判断正误；②若是的中点，应用平行四边形的性质有，可知与的夹角为或其补角，进而求其大小；③根据①②的分析，当面时最大，求其最大值；④确定F的轨迹与到的轨迹相同，且到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，即可求轨迹长度. 【详解】对于①：由，，为边的中点知且， 易知，，而，面， 故面，又面，所以面面，故①正确； 对于②：若是的中点，又为的中点，则且， 而且，所以且，即为平行四边形， 故，所以与的夹角为或其补角， 若为中点，即，由①分析易知， 故与的夹角为，故②正确； 对于③：由上分析知：翻折过程中当面时，最大， 此时，故③错误； 对于④：由②分析知：且，故的轨迹与到的轨迹相同， 由①知：到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点， 故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，所以的轨迹长度为，故④正确. 故答案为：①②④. 28．（21-22高一下·北京昌平·期末）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，给出下列五个论断： ①；②；③；④；⑤． 以其中两个论断作为条件，使得成立．这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号） 【答案】②⑤或③④ 【分析】根据空间中的线面、面面位置关系可判断出答案. 【详解】由、可得； 由、可得； 故答案为：②⑤或③④ 29．（22-23高一下·北京房山·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点.    (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在，且，理由见解析 【分析】（1）依题意可得，再由底面为矩形，则，即可得证； （2）由已知证明平面，进一步可得平面平面； （3）连接、，，连接，依题意可得，则，再由线面平行的性质得到，即可得解. 【详解】（1）因为，为的中点，所以， 又底面为矩形，所以，所以. （2）底面为矩形，． 平面平面，平面平面， 平面，平面， 又平面，． 又，，、平面，平面， 而平面，平面平面； （3）存在，且，理由如下： 连接、，，连接， 因为是矩形，且为的中点，所以，所以， 又平面，平面平面，平面， 所以， 所以.    30．（22-23高一下·北京丰台·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，平面与棱交于点.    (1)求证：为棱的中点； (2)若平面平面，，△为等边三角形，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）证明，可得为棱的中点； （2）证明平面，四棱锥的高为，计算底面梯形的面积，即可计算四棱锥的体积. 【详解】（1）因为四边形是矩形，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为平面，平面平面， 所以，即. 又为棱的中点，所以为棱的中点. （2）因为四边形是矩形，所以. 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，平面， 所以. 因为为等边三角形，为棱的中点，所以. 因为平面，，所以平面， 即点到平面的距离为，因为，所以. 等边三角形中，， 则直角梯形的面积， 所以四棱锥的体积. 31．（21-22高一下·北京通州·期末）如图，在三棱维中，，平面平面. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）利用线面垂直的判定、性质推理作答. （2）在平面内过点A作于，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理作答. 【详解】（1）在三棱维中，因，，平面， 于是得平面，而平面， 所以. （2）在平面内过点A作于，如图， 因平面平面，平面平面，则有平面，而平面， 于是得，由（1）知，，平面， 所以平面. 32．（21-22高一下·北京丰台·期末）如图，在直角梯形中，，，，并将直角梯形绕AB边旋转至ABEF． (1)求证：直线平面ADF； (2)求证：直线平面ADF； (3)当平面平面ABEF时，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使平面ADE与平面BCE垂直．并证明你的结论． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)答案见解析 【分析】（1）依题意可得，且，即可得证； （2）依题意可得且，即可得到，从而得证； （3）根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再根据所选条件一一证明即可； 【详解】（1）证明：在直角梯形中，，，将直角梯形绕边旋转至， 所以， 又，平面， 所以平面； （2）证明：依题意可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面； （3）证明：因为平面平面，，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以， 过点作，交于点， 若选①，，，所以， 所以，此时， 所以 如图过点作交的延长线于点， 因为平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 又平面， 所以平面平面，显然平面与平面不垂直； 若选②：，则，所以，， 所以，即， 又，平面，所以平面， 又平面， 所以平面平面； 若选③：，又，，平面，所以平面， 又平面， 所以平面平面； 33．（21-22高一下·北京朝阳·期末）如图，在四棱柱中，侧棱底面，四边形为菱形，，E，F分别为的中点． (1)证明平面，并求点C到平面的距离； (2)证明：四点共面． 【答案】(1)证明见解析，距离为；(2)证明见解析； 【分析】（1）由及即可证得平面；设交于，即为点C到平面的距离，再由三角形知识求解即可； （2）取中点，先证得四边形为平行四边形，得到，进而证得，即可证得结论. 【详解】（1） 因为四边形为菱形，所以，又侧棱底面，底面，则， 又，所以，又，平面，所以平面； 设交于，则即为点C到平面的距离，又，则， 即点C到平面的距离为； （2） 取中点，连接，易得，则四边形为平行四边形， 则，又，则，所以四点共面． 空间中平行、垂直综合问题 34．（15-16高三上·北京昌平·期末）已知直线和两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系判断即可. 【详解】对于A选项，若，则可能与平行，故A错误； 对于B选项，若，则可能与平行或者在平面内，故B错误； 对于C选项，若，则可能平行或者相交，则C错误； 对于D选项，由面面平行以及线面垂直的性质可知，D正确； 故选：D 35．（21-22高一下·北京平谷·期末）已知平面，则 “∥”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若以“”作为条件，先证明l垂直于γ，进而证明“”；若以“”作为条件，结合正方体即可判断. 【详解】如图1，设，在内作直线m，使得，而，所以. 在内作直线n，使得，而，所以. 于是，又因为，所以，而，所以，故.    如图2，    过直线l作平面与平面交于r，若，则以，而，故. 如图3，在正方体，记平面，平面，平面ABCD，平面分别为，容易判断，但.      所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 36．（21-22高一下·北京通州·期末）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据空间中点线面的位置关系即可逐一判断. 【详解】若,则可能平行，可能异面，故A错误；根据平行线中的一条平行于平面，则另一条也平行于平面，故B正确，，则或，故C错误，，不一定垂直于，故D 错误， 故选：B 37．（22-23高一下·北京密云·期末）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系进行判断. 【详解】对于A，若，则可能有，故A错误； 对于B，若，则可能相交，故B错误； 对于C，若，由面面平行的性质可得，故C正确； 对于D，若，则与可能平行，故D错误. 故选：C. 38．（22-23高一下·北京丰台·期末）已知是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列说法正确的是（    ） A．若∥，∥，则∥ B．若，∥，则 C．若，，，则 D．若，，，则∥ 【答案】D 【分析】对于ABC，举例判断，对于D，利用面面垂直的性质和线面平行的判定分析判断 【详解】对于A，如图在长方体中，∥，∥，此时，所以A错误，    对于B，如图在长方体中，，∥，此时∥，所以B错误，    对于C，如图在长方体中，，，，此时∥，所以C错误，    对于D，如图，设，在平面作直线于点，因为，所以， 因为，所以∥，因为，，所以∥，所以D正确，    故选：D 39．（22-23高一下·北京延庆·期末）如果直线和是空间中两条不相交的直线，则必定存在平面，使得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间两直线的位置关系逐项判断作答. 【详解】由直线和是空间中两条不相交的直线，知直线和可以是平行直线、可以是异面直线， 对于A，当直线和是异面直线时，不成立，A错误； 对于B，由，知，当直线和是异面直线时，不成立，B错误； 对于D，由，知，当直线和是平行直线时，不成立，D错误； 对于C，若，当时，； 当直线和是异面直线时，在直线上取点，过点作直线，显然直线确定一个平面，    令此平面为，有，则， 综上知，必定存在平面，使得，C正确. 故选：C 40．（21-22高一下·北京延庆·期末）下列命题错误的是（    ） A．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线 B．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行 C．如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 D．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角 【答案】B 【分析】利用线面垂直的定义可判断A，利用线面的位置关系可判断B，利用面面平行判定定理可判断C，利用二面角的定义可判断D. 【详解】A，一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线，故A正确； B，如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线与这个平面平行或在这个平面内，故B错误； C，如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行，故C正确； D，一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线都垂直，故它们形成的角就是二面角的一个平面角，故D正确. 故选：B. 41．（21-22高一下·北京延庆·期末）已知是两条直线，是两个平面，则下列四个命题正确的有（    ） ①； ②； ③； ④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①，由平面与平面平行的性质可判断； 对于②，由题可得或异面； 对于③，由题意可得或； 对于④，由题意可得在平面内至少有一条直线，使得，，从而得到. 【详解】解：对于①，由平面与平面平行的性质可知，当时有成立，故正确； 对于②，由，可得或异面，故错误； 对于③，由可得或，故错误； 对于④，由可得，又因为，所以至少有一条直线，使得，所以，所以，故正确. 所以说法正确的有①④共2个. 故选：B. 42．（22-23高一下·北京西城·期末）已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系逐项分析可得答案. 【详解】对于A，若，，则或与异面，故A错误； 对于B，若，，则或与异面或与相交，故B错误； 对于C，若，过作平面，使得，则， 因为，，则，又，则，故C正确；    对于D，若，，则或或与相交，故D错误. 故选：C. 43．（22-23高一下·北京通州·期末）设是直线，，是两个不同平面，则下面命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据线线关系、线面关系以及面面关系逐个判断各选项即可得出答案. 【详解】是直线，，是两个不同平面， 若，，则或平面与平面相交，故A错误； 若，，则，故B正确； 若，，则或，故C错误； 若，则与平面相交或或，故D错误. 故选: B. 44（21-22高一下·北京平谷·期末）如图，在直三棱柱中，，，、分别为、的中点. 为上的点且. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再由线面垂直的判定定理证明即可； （2）取中点，取BC中点连接，，由平行的传递性与线面平行的判定定理证明即可； （3）由等积法求解即可 【详解】（1）在直三棱柱中，底面，所以， 又因为⊥，，所以⊥平面. （2）取中点，取BC中点连接，， 因为为的中点，为上的点且，所以为的中点， 所以 因为，分别是、的中点，所以，且=， 因为，且=，所以∥，且=， 所以四边形为平行四边形，所以， 又，所以， 又因为平面，平面，所以平面.   （3）因为，，⊥，所以=， 所以三棱锥体积等于三棱锥的体积为： ==. 45．（21-22高一下·北京·期末）如图，在正三棱柱中，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）依题意可得，再由，即可得到，从而得证； （2）由正三棱柱的性质得到，再由，即可得到平面，从而得证； （3）求出的面积，然后利用锥体的体积公式求解即可； 【详解】（1）证明：因为、分别为、的中点， 则，又， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）证明：在正三棱柱中，平面且为等边三角形， 因为平面，所以，又为的中点，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以； （3）解：在正三棱柱中，，，、分别为、的中点， 则，， 所以， 故三棱锥的体积为； 46．（22-23高一下·北京平谷·期末）三棱锥中，面，、分别是、中点，过的一个平面交面于． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直判定定理证明线面垂直进而证明面面垂直； （2）先证明线面平行，再根据线面平行性质定理证明线线平行. 【详解】（1）面 , , ,面,面, 面,面 （2）分别是中点， 面面面 面，面面 47．（22-23高一下·北京房山·期末）如图，在正方体中，，分别为，的中点.      (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求证：，，，四点共面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由正方体的性质得到，即可得证； （2）通过证明平面，即可得证； （3）连接，即可得到，再由正方体的性质得到，即可得证. 【详解】（1）由正方体的性质，平面，平面， 所以平面. （2）由正方体的性质平面，平面，所以， 又为正方形，所以，，平面， 所以平面，又平面， 所以.    （3）连接，因为，分别为，的中点， 所以， 又且，所以为平行四边形，所以， 所以，所以，，，四点共面. 48．（21-22高一下·北京平谷·期末）如图，在三棱锥中，底面，，分别为，的中点.设平面与平面交于直线 (1)求证：平面； (2)求证：∥. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）先证明，然后结合线面垂直的判定定理证明问题； （2）先证明平面，然后结合线面平行的性质定理证明问题. 【详解】（1）因为 平面， 平面， 所以 .   因为 ，， 所以 平面. （2）在中，因为 ，分别为，的中点，所以 .   因为 平面，平面，所以 平面.    因为平面与平面交于直线，所以∥. 49．（21-22高一下·北京·期末）如图，已知三棱柱中，侧面和是矩形，分别为和的中点. (1)求证：平面； (2)求证：三棱柱为直三棱柱. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取中点为，连接，由三角形中位线的性质，平行的传递性，线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证明平面即可得证 【详解】（1）取中点为，连接. 在中，因为点为的中点， 所以，且. 在三棱柱中，，且， 又因为点为的中点，所以. 所以，且.所以四边形为平行四边形.所以. 又因为平面平面，所以平面. （2）因为侧面和是矩形，所以. 又因为，平面，平面，所以平面. 所以三棱柱为直三棱柱. 50．（21-22高一下·北京·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，点为侧棱的中点，过三点的平面交侧棱于点. (1)求证：平面； (2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求证：. 条件①：；条件②：平面. 注：如果选择条件①､条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)由平行四边形的性质得到线线平行，由线线平行证明线面平行. (2)选择条件，则线面垂直证得线线垂直即可. 【详解】（1） 四边形是矩形，. 又平面平面，平面. （2）选择条件① 且点为侧棱的中点， 平面平面， 又，故平面 又平面， 又，平面 又平面， 选择条件②： 平面平面， 平面平面， 又，故平面 又平面，. 又，平面. 又平面，. 51．（21-22高一下·北京延庆·期末）如图，在四棱锥中，已知底面是一个菱形，，且，平面平面. (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由线面平行的判定定理与性质定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理证明即可； （3）由线面垂直的判定定理与性质定理证明即可； 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，平面，所以； （2）因为底面是一个菱形，，所以为的中点， 又，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （3）因为底面是一个菱形，，所以为的中点，且， 又，所以， 因为，，，平面，所以平面， 又平面，所以； 52．（22-23高一下·北京延庆·期末）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，且底面，，点为棱的中点，平面与棱交于点．    (1)求证：； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设知，利用线面平行的判定定理得平面，最后根据线面平行的性质证结论； （2）由线面垂直的性质得，又，应用线面垂直的判定定理得面，再由线面垂直、等腰三角形的性质得、，最后根据线面垂直的判定证结论. 【详解】（1）底面是正方形，则，平面平面， 所以平面，平面，平面平面， 所以； （2）因为平面面，所以， 又为正方形，则，，面， 所以面，又面，所以， 因为，点为的中点，所以， 又，面，所以平面． 53．（22-23高一下·北京丰台·期末）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知， 求证：平面平面. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得，且，所以四边形是平行四边形，于是，根据线面平行的判定定理可证得结论； （2）选①：由题意可得，，所以平面，利用面面垂直的判定定理可得结论； 选②：由题意可得，，从而平面，利用面面垂直的判定定理可得结论. 【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是平行四边形. 因为分别为棱的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形，于是. 又平面平面，所以平面. （2）选①： 由（1）知，，且，所以. 因为直三棱柱，所以平面. 又平面，所以. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 选②： 因为，且为棱的中点，所以. 因为直三棱柱，所以平面. 又平面，所以. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 54．（22-23高一下·北京延庆·期末）如图，在三棱锥中，分别是，的中点，平面与棱交于点．      (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设易知，再由线面平行的判定证结论； （2）由（1）及题设得、，根据线面垂直的判定得平面，再由面面垂直的判定证结论. 【详解】（1）因为分别是的中点，即为的中位线， 所以，平面平面，则平面； （2）由（1）知，又，所以， 又分别是的中点，所以，又，所以， 又，面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 55．（22-23高一下·北京大兴·期末）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，M，N分别为，AC的中点．    (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求证：． 条件①：；条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形是平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先根据面面垂直的性质证明平面，选①，证明，再根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证. 选②，取的中点，连接，则且，，先证明，再证明，进而得证. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为M，N分别为，AC的中点，所以且， 又且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，所以， 选①，由（1）得，因为，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. 选②，取的中点，连接， 因为M，N分别为，AC的中点，所以且，， 因为平面，所以平面， 又平面，所以，即， 因为，所以， 又，所以，所以， 所以， 又，所以.    56．（22-23高一下·北京通州·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，，，E，F分别是PC，BD的中点．    (1)求证：平面PAD； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求三棱锥的体积． 条件①：G是棱BC上一点，且； 条件②：G是PB的中点； 条件③：G是的内心（内切圆圆心）． 注；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接AC，则AC与BD交于点，推导出，由此能证明平面PAD； （2）选择①从而平面PDC，再推导出三棱锥的高为，由此能求出三棱锥的体积；选择条件②：推导出，从而平面PDC，再推导出三棱锥的高为，由此能求出三棱锥的体积；选择条件③：推导出，从而平面PDC，设的内切圆与PC边相切于点，则，三棱锥的高为GH，由此能求出三棱锥的体积. 【详解】（1）连接，则与交于点， 在中，,均为中点，， 平面平面，平面.    （2）选择条件① 平面平面，， 又底面ABCD是矩形,， 平面，平面， 是的三等分点，且， 三棱锥的高为， 底面底面ABCD，， 在中，为中点，， 三棱锥的体积为:. 选择条件② 同条件①得到平面, 是PB中点，是PC中点，在中,， 三棱锥的高为, 底面底面ABCD，， 在中,为PC中点， ， 三棱锥的体积为：. 选择条件③ 同条件①得到平面， 设的内切圆与PC边相切于点，则， 平面平面， 三棱锥的高为GH， 在Rt中，，， ，， 底面底面ABCD，， 在中,为PC中点, ， 三棱锥的体积为：.    57．（22-23高一下·北京密云·期末）如图，在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧棱平面，，是的中点．    (1)求证：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据线线平行，即可证明线面平行； （2）根据线面垂直的性质定理，以及线面垂直的判断定理，即可求解； （3）利用等体积转化，求三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：设，连接．    在四棱柱中，是正方形， 所以为中点． 又因为为中点，所以． 因为面面， 所以面． （2）证明：在四棱柱中，面． 因为面，所以． 在正方形中，． 又因为面面， 所以面． 因为面，所以． （3）在四棱柱中， 因为面，所以是三棱锥的高． 所以． 58．（21-22高一下·北京昌平·期末）如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由条件可得，即可证明； （2）根据条件证明、，然后得到平面即可. 【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， （2）因为，为的中点，所以， 因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以，因为， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 59．（21-22高一下·北京昌平·期末）如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，使得平面平面，点为线段上一点，且． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若平面BCEF与直线AG相交于点H，试确定点H的位置，并求线段BH的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)点为的延长线与的延长线的交点，. 【分析】（1）根据条件证明四边形是平行四边形，然后得到即可； （2）根据面面垂直的性质定理得到平面即可； （3）点为的延长线与的延长线的交点，然后可求出答案. 【详解】（1）因为，，，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， （2）因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， （3） 因为与共面，所以点为的延长线与的延长线的交点， 因为，，所以，所以， 因为平面，所以为直角三角形， 所以. 空间中线面夹角问题 60．（21-22高一下·北京·期末）在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的特征求解 【详解】连接，，如图， 因为正方体中， 所以就是与所成的角， 在中，. ∴. 故选：C 61．（22-23高一下·北京朝阳·期末）在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线所成角的性质，结合正方体线线关系即可求解. 【详解】如图，连接    在正方体中，因为 所以四边形为平行四边形，所以 又在正方形中，所以 则异面直线与所成角的大小为.故选：B. 62．（21-22高一下·北京大兴·期末）如图，在正方体中，是棱的中点.令直线与所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，再根据几何关系，结合线线角线面角与二面角的定义，分析的正切值大小结合正切的单调性判断即可 【详解】取的中点，连接如图.易得，故直线与所成的角.又直线平面，故与平面所成的角.又平面，故二面角的平面角.因为，，， 故，又均为锐角，故 故选：B 63．（21-22高一下·北京通州·期末）如图，在长方体中，，，则下列结论： ①直线与直线所成的角为； ②直线与平面所成的角为； ③平面与平面所成的二面角为； ④平面与平面所成的二面角为直二面角. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对于①，由，则直线与直线所成的角与直线与直线所成的角相等，即，利用锐角三角函数计算即可； 对于②，由平面，得到直线与平面所成的角为，再利用锐角三角函数计算即可； 对于③，知平面，由线面垂直的性质得 ，，从而得到平面与平面所成的二面角为，计算即可； 对于④，知平面，由面面垂直的判定定理得到 平面平面，即可得出结论. 【详解】对于①，由题意得，，则直线与直线所成的角与直线与直线所成的角相等，即， 在长方体中，，，所以， 因为，所以，即直线与直线所成的角为，故①正确； 对于②，在长方体中，平面，所以直线与平面所成的角为， 因为，，所以，则直线与平面所成的角为，故②正确； 对于③，在长方体中，平面，平面，平面，所以，， 又因为平面平面，所以平面与平面所成的二面角为， 由②得，，则平面与平面所成的二面角为，故③错误； 对于④，在长方体中，平面，平面， 所以平面平面，则平面与平面所成的二面角为直二面角，故④正确；故选：C. 64．（21-22高一下·北京·期末）如图正方体的棱长为，则二面角的正弦值为 . 【答案】 【分析】连接交于点，连接，即可得到，，从而即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】解：连接交于点，连接，在正方体中，为的中点， 所以，，所以即为二面角的平面角， 又，， 所以， 所以， 即二面角的正弦值为. 故答案为： 65．（21-22高一下·北京大兴·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)若平面平面，求的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明与平面内两条相交直线分别垂直即可； （2）通过证明平行四边形，证明与平面内的直线平行，进行证明线面平行； （3）利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直，得，由底面为菱形，再利用平面几何知识，求得. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 又因为底面为菱形，所以. 又因为，所以平面. （2） 取为的中点，联结. 在中，分别为的中点，所以. 因为底面为菱形，且为的中点，所以. 所以.所以四边形为平行四边形.所以. 因为平面平面.所以平面. （3）因为平面，平面，所以. 因为平面平面，且平面平面平面， 所以平面.所以. 因为底面为菱形，且为的中点，所以.所以 则是等边三角形. 所以. 66．（22-23高一下·北京怀柔·期末）如图，正方体的棱长为2．    (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得答案； （2）由线面垂直的判定定理可得答案； （3）设，由已知条件可得即为二面角的平面角，在中计算可得答案. 【详解】（1）在正方体，且， ∴为平行四边形，∴， ∵平面，平面∴平面； （2）∵正方体，底面ABCD，底面ABCD，∴， ∵正方形ABCD中，， 又∵平面，平面，，∴平面； （3）∵在正方形ABCD中，设，连接， ∴，， ∵中，，为等腰三角形，∴， ∴即为二面角的平面角， ∵在中，， ∴，即二面角的正弦值为.    67．（22-23高一下·北京大兴·期末）如图，从长、宽，高分别为，，的长方体中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥．    (1)求三棱锥的体积； (2)证明：三棱锥的每个面都是锐角三角形； (3)直接写出一组，，的值，使得二面角是直二面角． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，，（满足或均可）（答案不唯一） 【分析】（1）利用长方体的体积减去四个角的三棱锥的体积即可得解； （2）三棱锥的每个面的三角形的三条边均为，，，不妨设，则为最大边，各面的最大角为，利用余弦定理得到，即可得证； （3）本题属于开放性问题，不妨令，，连接交于点，连接、，则为二面角的平面角，求出线段的长度，即可得到，从而得解. 【详解】（1）在长方体中， 三棱锥， 同理可得， 所以，所以. （2）由已知易得三棱锥的每个面的三角形的三条边均为，，， 不妨设，则为最大边，各面的最大角为， 则， 又，所以各面的最大角为为锐角， 所以三棱锥的每个面都是锐角三角形. （3）不妨令，，（满足或均可）（答案不唯一），    连接交于点，连接、，则， 为的中点，所以，，所以为二面角的平面角， 又，， ， 所以，所以，即， 所以二面角是直二面角. 68．（21-22高一下·北京通州·期末）如图，在正方体中，. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线和平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由线面平行的判定可证明； （2）先证明线线垂直，从而可得线面垂直； （3）由（2）可得即为所求的角，再解三角形即可. 【详解】（1）证明：因为在正方体中，可知,而平面，平面，所以平面. （2）证明：因为在正方体中，可知平面，且平面，所以， 又因为、是正方形的对角形，因此， 又，且平面， 所以平面. （3）设与的交点为，连接，由（2）可知直线和平面所成的角为,且为直角三角形，， 设正方体棱长为2，可得， 所以，因此直线和平面所成的角为. 空间中动点、存在性问题 69．（22-23高一下·北京东城·期末）如图，直三棱柱中，为棱的中点，为线段上的动点．以下结论中正确的是（    ） A．存在点，使 B．不存在点，使 C．对任意点，都有 D．存在点，使平面 【答案】C 【分析】A选项，根据异面直线的定义可以判断； B选项，容易发现重合时符合题意； C选项，利用线面垂直得到线面垂直； D选项，先找出平面的一条垂线，问题转化为判断这条垂线是否和垂直的问题. 【详解】   A选项，由于平面，，平面，则一定异面，A选项错误； B选项，根据直三棱柱性质，平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 又平面，故，显然，即，故重合时，，B选项错误； C选项，直棱柱的侧面必是矩形，而，故矩形成为正方形， 则，B选项已经分析过，平面，由平面，故， 又，平面，故平面，又平面， 则必然成立，C选项正确； D选项，取中点，连接，根据棱柱性质可知，和平行且相等， 故平面可扩展成平面，过作，垂足为， 根据平面，平面，故，显然，故， 由，，平面，故平面， 若平面，则，过作//，交于，连接，于是共面， 又，平面，故平面，由于平面， 故，延长交于，易得//，则，而在线段上，这是不可能的，D选项错误. 故选：C 70．（21-22高一下·北京·期末）如图，在正方体中，点为线段上异于的动点，则下列四个命题： ①是等边三角形； ②平面平面； ③设，则三棱锥的体积随着增大先减少后增大； ④连接，总有平面. 其中正确的命题是 . 【答案】①②④ 【分析】对①：由正方体的面对角线相等即可判断；对②：由线面垂直的判断定理证明平面，即可得证平面平面；对③：由平面,可得点M到平面的距离为定值，从而可得三棱锥的体积为定值；对④：由面面平行的判断定理证明平面平面，再根据面面平行的性质定理即可判断. 【详解】解：对①：在正方体中，设边长为1，则，所以是等边三角形，故①正确； 对②：在正方体中，， 又平面，所以， 因为，所以平面， 又平面， 所以平面平面，故②正确； 对③：在正方体中，因为平面平面, 平面, 所以平面, 所以点M到平面的距离为定值， 所以为定值，故③错误； 对④：在正方体中，因为，平面，平面， 所以平面，同理可得平面，又， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面，故④正确. 故答案为：①②④. 71．（22-23高一下·北京东城·期末）金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美．下面给出四个结论：      ①平面； ②平面平面； ③过点存在唯一一条直线与正八面体的各个面所成角均相等； ④以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】根据线面平行的判定定理判断①； 根据二面角相关知识判断②； 根据线面角相关知识并结合图形特点进而判断③； 根据题意找出正方体的棱长，结合相似三角形从而判断④. 【详解】对于①，根据正八面体性质可知，， 又因为平面，平面， 所以平面，故①正确. 对于②，如下图所示，取中点，连接，      根据等边三角形性质可知， 所以是二面角的平面角， 设该正八面体棱长为， 则，， 则在中，， 所以，所以平面与平面不垂直，故②错误. 对于③，直线与正八面体的各个面所成角均相等，将其平移后使其过点， 则过点至少存在两条直线与正八面体的各个面所成角均相等，故③错误. 对于④，如下图所示，取中点，的中心， 连接，则即正方体的一条棱，    设该正八面体棱长为， 则，， 根据,，得，所以， 所以以正八面体每个面的中心为顶点的正方体的棱长是该正八面体棱长的， 故④正确. 故答案为：①④ 72．（22-23高一下·北京顺义·期末）在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，有以下四个说法： ①可能与相交； ②与不可能平行； ③与是异面直线； ④三棱锥的体积为定值； 其中，所有正确说法的序号是 ．    【答案】①③④ 【分析】分别取和的中点，可证得平面平面，从而可得点的轨迹是线段，再逐一判断即可. 【详解】如图：    分别取和的中点，连接， 则，， 因为平面，平面，所以平面， 同理得平面， 又，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以点的轨迹是线段. 对于①，连接交于，当在点处时，与相交，故①正确； 对于②，当在的中点处时，，故②错误； 对于③，假设与不是异面直线，则与共面且相交， 因为，， 所以由和可确定平面，由和可确定平面， 显然平面与平面不是同一平面， 这与三条两两相交直线（不交于同一点）确定一个平面矛盾， 所以假设不成立，即与是异面直线，故③正确； 对于④，由，平面，平面， 所以平面，三棱锥的高为到平面的距离， 又因为在线段上运动，所以等于点到平面的距离，为定值， 又底面三角形的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故④正确. 故答案为：①③④ 73．（21-22高一下·北京海淀·期末）如图，在边长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥的体积为定值； ②存在点，使得平面； ③对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面； ④是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】根据题意作图，并尝试特殊位置，进行检验证明. 【详解】对于①，如下图所示： 在边长为1的正方体中，易知平面， 因为点是棱上的一个动点，可设点到平面的距离为， 且，则三棱锥的体积， 故①正确； 对于②，连接，，因为在平行四边形中， ，所以不垂直，所以使得不垂直平面， 所以②不正确. 对于③，当点与点重合时，无论点在何位置，直线与平面相交， 故③错误； 对于④，根据题意，作图如下： 因为正方体中，易知平面，所以， 设，则，， 在中，， ， 则该截面面积， 由，当时，，故④正确； 故答案为：①④. 74．（21-22高一下·北京·期末）正方体的棱长为，为棱上的动点，点分别是棱的中点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得为等腰三角形 C．三棱锥的体积为定值 D．存在点，使得平面 【答案】C 【分析】取的中点，连接、，再取的中点，连接，即可证明，从而说明A，再证明平面，即可说明C，由平面说明D，最后利用勾股定理说明B. 【详解】解：对于A：取的中点，连接、，再取的中点，连接， 又正方体的性质可知四边形为平行四边形，所以，则， 显然当在上时，不存在，故不存在点，使得，故A错误； 显然，平面，平面， 所以平面，所以到平面的距离为定值，设为，则， 又，故三棱锥的体积为定值，故C正确； 因为平面，显然平面与平面不平行，故不存在点，使得平面，故D错误； 设，则，所以， ，， 显然，， ，则不能为等腰三角形，故B错误； 故选：C 75．（22-23高一下·北京通州·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点为底面上在意一点，若直线与平面无公共点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由直线与平面无公共点，知平面，由平面平面，知点在上，利用三角形为等边三角形可得的最小值. 【详解】    如图：连接， 由正方体性质可知：， 因平面，平面， 所以平面， 同理，, 因平面，平面， 所以平面， 又， 平面，平面， 所以平面平面， 因直线与平面无公共点，点为底面上在意一点 所以点在上， 故最小时，， 因正方体的棱长为2， 所以三角形为边长为的等边三角形， 时，， 故选：B 76．（22-23高一下·北京密云·期末）如图，在边长为1的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列四个结论，其中正确的是（    ）      A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得平面 C．是线段上的一个动点，过点的截面垂直于，则截面的面积的最小值为 D．对每一个点，在棱上总存在一点，使得平面 【答案】C 【分析】对于A，由得平面，从而点到平面的距离为，再由，由此能求出三棱锥的体积；对于B，若存在点，使得平面，由平面，得，可得，与矛盾；当点与点重合时，利用线面垂直的判定定理可证得平面；对于C，推导出，由余弦定理、三角形面积公式，结合二次函数的最值求出结果；对于D，当与点重合时，无论点在何位置，直线与平面相交. 【详解】对于A，如图，在棱长为1的正方体中， 平面平面，平面， 点是棱上的一个动点，点到平面的距离为， 又， 三棱锥的体积，故A错误； 对于B，若存在点，使得平面，由平面，得， 则为正方形，，与矛盾，故B错误； 对于C，根据题意，过点的截面与棱分别交于，可得为平行四边形，如图， 正方体中，平面，平面，， 设，则，又， 则中，， ， 则该截面面积， ，当时，，故C正确； 对于D，当与点重合时，无论点在何位置，直线与平面相交，故D错误； 故选：C． 77．（22-23高一下·北京昌平·期末）已知棱长为2的正方体是的中点，是正方形内（包括边界）的一个动点，且，则线段长度的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，确定点的轨迹，再求出的范围作答. 【详解】在正方体中，连接，如图，    显然平面，平面，则，又， 且平面，同理平面， 故平面与平面重合，故平面， 又点平面，平面平面，因此点在线段上， 在中，，则，由于是的中点， 从而， 所以线段长度的取值范围是. 故选：B 78．（22-23高一下·北京延庆·期末）如图，在正方体中，是棱上的动点，下列结论正确的个数是（    ）    ①存在点，使得； ②存在点，使得； ③对于任意点，到的距离为定值； ④对于任意点，都不是锐角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】用反证法即可判断①;由平面与平面相交, 即可判断②;取两个特殊点进行运算, 计算出点到的距离和点到的距离, 从而可判断③;设 , 在中, 最大的角为, 再结合勾股定理与余弦定理, 推出 , 即不可能为锐角, 从而可判断④； 【详解】因为是棱上的动点，若，则在中，, 而显然，故不可能是直角，故不存在点，使得；故①错误； 因为点 是棱 上的动点, 所以 平面 , 又 平面 , 所以 与 异面, 即不可能存在点 , 使得 , 所以②错误; (3) 设正方体的棱长为 2 , 当点 与点 重合时, 为直角三角形, 其中 , , 所以点 到 的距离 ; 当点 为棱 的中点时, 为等腰三角形, 其中 , , 所以点 到 的距离 所以对于任意点 , 到的距离不可能为定值, 即③错误; (4)设 , 则 , 所以 , , 在 中, 最长的边为 , 所以最大的角为 , 由余弦定理知， ， 因为 , 所以 , 所以 , 即不可能为锐角, 所以对于任意点 都不是锐角三角形, 即④正确. 故选:A. 79．（22-23高一下·北京大兴·期末）已知点P在棱长为2的正方体表面运动，且，则线段AP的长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出正方体的对角线的中垂面截正方体所得截面多边形，再分段求出AP的长范围作答. 【详解】点在棱长为2的正方体表面运动，且，则点的轨迹是 线段的中垂面截正方体所得截面多边形， 分别取棱的中点， 则， 因此点在线段的中垂面上，点的轨迹是六边形，如图， 当点在线段上时，若点为线段中点，有，， 于是点为线段上任意一点，， 当点在线段上时，，为钝角，则，即， 当点在线段上时，，，， 为钝角，则，即， 当点在线段上时，由， 边上的高为，此时， 由对称性知，当点在折线上时，， 所以线段AP的长的取值范围是. 故选：D 80．（22-23高一下·北京·期末）在正方体中，是正方体的底面（包括边界）内的一动点，（不与重合），是底面内一动点，线段与线段相交且互相平分，则使得四边形面积最大的点是（    ）． A．个 B．个 C．个 D．无数个 【答案】C 【详解】∵线段与线段相交且互相平分， ∴四边形是平行四边形， 因的长为定值，为了使四边形面积最大， 只须到的距离为最大即可， 由正方体的特征可以知道， 当点位于，，时，平行四边形面积相等，且最大， 则使得四边形面积最大的点有个．故选． 79．（21-22高一下·北京·期末）如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，. (1)求证：； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)存在，点为棱的中点 【分析】（1）由线面垂直证明线线垂直即可. （2）先假设存在.连接BD，由中位线证得线线平行，故而得到线面平行. 【详解】（1）因为平面底面，平面底面， 平面，所以平面. 又因为平面，所以. （2）解：存在，点为棱的中点. 连接，交于点，连接，如图所示： 因为底面为平行四边形，所以点为的中点. 在中，因为点分别为的中点. 所以，且. 又因为平面平面，所以平面. 80．（21-22高一下·北京·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且，. (1)若平面与平面相交于直线，求证：； (2)求证：平面平面； (3)棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在为中点，使得平面， 【分析】（1）根据线面平行的性质判定即可； （2）根据线面垂直的判定，结合勾股定理证明平面即可； （3）取中点，中点，证明平行四边形，进而可得平面，再根据勾股定理求解的长即可 【详解】（1）因为，平面，平面，故平面.又平面，且平面与平面相交于直线，故 （2）由题意，，且，故，即，解得，故，故.又平面，平面，故，又，平面，故平面.又平面，故平面平面 （3）存在为中点，使得平面. 证明：取中点，中点，连接如图.由中位线的性质可得，且，又，，故且，故平行四边形，故.又平面，平面，故平面.，此时，，故 81．（22-23高一下·北京平谷·期末）如图，几何体中，面面，，，且，，四边形是边长为4的菱形，，点为的交点．    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)试判断在棱上是否存在一点，使得平面平面?说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，理由见解析 【分析】（1）取中点，连接，易证为平行四边形，从而有，再利用线面平行的判定定理证明； （2）由，利用线面平行的判定定理得到面，从而得到到面的距离为，再由菱形，求得，然后利用三棱锥的体积公式求解； （3）由三角形为等边三角形，点为棱的中点，，由面面，得到面，从而面，然后利用面面垂直的判定定理证明. 【详解】（1）证明：取中点，连接．    菱形为中点， 且， 且， ， 为平行四边形，， 面面， 平面； （2）面面， 面， 到面的距离为， 菱形对角线， ， 三棱锥的体积； （3）在棱上存在一点，使得平面平面，且点为棱的中点． 证明：三角形为等边三角形，点为棱的中点， ， 面面，面面，面， 面，又面， 所以， 又，面，面， 面， 平面， 平面平面. 82．（22-23高一下·北京密云·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．    (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面?请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在为中点，理由见解析 【分析】（1）由题意，又因为平面平面，所以平面，即可得证； （2）由平面，所以，又，所以平面，得，又，从而平面，即可得结论； （3）存在为中点时，平面．取中点为，可得四边形为平行四边形，因此，即可证明． 【详解】（1）因为为中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 因此． （2）由（1）知，平面，平面，所以． 在矩形中，， 又因为，平面,所以平面． 平面，所以． 又因为，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （3）存在为中点时，平面． 证明：取中点为，连接，      因为为中点，，且． 在矩形中，为中点，所以，且． 所以，且，所以四边形为平行四边形， 因此，又因为面面， 所以面． 83．（22-23高一下·北京西城·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，为的中点，为上一点，为上一点，且平面平面．    (1)求证：； (2)求证：为线段中点，并直接写出到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析， (3)存在，． 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理推出平面，再根据线面垂直的性质可得； （2）根据面面平行的性质定理得，结合E为AD的中点，可得M为线段BC中点．转化为求点到平面的距离可求出结果； （3）当N为SC中点时，证明平面ABCD，结合，可得平面平面. 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以． （2）因为平面平面SCD，平面平面， 平面平面，所以， 又因为E为AD的中点，所以M为线段BC中点． 由（1）知，平面，又平面， 所以平面平面，所以点到平面的距离等于点到的距离， 因为，所以为正三角形，又为的中点， 所以点到的距离为，因为平面平面SCD，所以点M到平面SCD的距离为． （3）存在，当N为SC中点时，平面平面，证明如下： 连接EC，DM交于点O，连接SE． 因为，并且，所以四边形EMCD为平行四边形，所以． 又因为N为SC中点，所以． 因为平面平面ABCD，平面平面， 又平面SAD，由已知， 所以平面ABCD，所以平面ABCD． 又因为平面DMN，所以平面平面ABCD． 所以存在点N，使得平面平面ABCD，．    84．（22-23高一下·北京通州·期末）如图，在直三棱柱中，点M在棱AC上，且平面，，， ．    (1)求证：M是棱AC的中点； (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接与, 两线交于点, 连接OM, 利用线面平行的性质可得，再由三角形中位线性质即可证; （2）应用线面垂直的性质、判定可得平面, 从而得到, 根据 和 得到, 再利用线面垂直的判定即可证; （3）当点为 的中点, 设的中点为, 连接DM, DN, 先证四边形 BNDM为平行四边形, 从而得到 , 进而有 平面, 再利用面面垂直的判定即可证. 【详解】（1）连接与, 两线交于点, 为的中点,连接OM,    因为平面，平面,平面平面， 所以 , 又在中为的中点, 所以 M是AC的中点; （2）因为 底面平面ABC, 所以, 又为棱AC的中点, , 所以 , 因为 平面 , 所以 平面平面, 所以, 因为, 所以, 又, 在 Rt 和 Rt中, , 所以 , 即 , 所以 , 又 平面, 所以 平面; （3）当点为 的中点, 即 时, 平面平面 证明如下: 设的中点为, 连接 DM, DN,    因为 DM 分别为 的中点, 所以 且, 又为的中点, 所以 且, 所以四边形BNDM为平行四边形, 故, 由（2）知平面, 所以平面, 又 平面, 所以平面平面. 85．（22-23高一下·北京东城·期末）如图，四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形，是上一动点，是中点．    (1)当是中点时，求证：∥平面； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在； 【分析】（1）由三角形的中位线定理可得∥，再由线面平行的判定定理可证得结论； （2）取中点，连接，由是正三角形，可得，再由菱形的性质可得，然后由线面垂直的判定可得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论； （3）取中点，连接，可得平面，然后过作∥交于点，证得平面，再利用平行线的性质可求得的值. 【详解】（1）证明：因为点是中点，点是中点，所以∥． 因为平面平面， 所以∥平面． （2）证明：如图，取中点，连接． 因为侧面是正三角形，所以． 因为底面是菱形，且， 所以是等边三角形．所以． 因为平面， 所以平面，因为平面，所以． （3）如图，取中点，连接． 因为四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形， 所以，所以． 又，AB、BE在面ABE内， 所以平面． 过作∥交于点． 因为∥∥，所以点平面． 所以平面， 因为平面，所以， 因为为的中点，∥， 所以． 所以．    86．（22-23高一下·北京怀柔·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，底面．    (1)证明：平面平面； (2)设平面平面于直线l，证明：； (3)若，在线段BC上是否存在点F，使得平面，若存在点F，则a为何值时，直线EF与底面所成角为． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1） 由面面垂直的线面垂直的判定定理即可证明；           （2） 由线面平行的性质定理即可证明；         （3）由线面平行的判定定理得出点F在BC的处，再证得平面，所以即为EF与底面所成角，求解即可得出答案. 【详解】（1）∵底面，平面，∴          又底面为正方形，∴                             而，平面， ∴平面，                             又∵平面PBD，∴平面平面. （2）在正方形中，，平面，平面， ∴平面 ，∵平面，平面平面， ∴. （3）存在点F在BC的处，使得平面． 在线段PA上取点K，使连接KE，KB，EF． ∵中，，即， ∴，且， 在正方形中，F在BC的处，∴，且， ∴，且，∴为平行四边形， ∴，又平面，平面，∴平面， 在AD的处取点M，连接． 中，点E，M分别为的处，∴，且 ∵平面，∴平面， ∴EF在平面上的射影MF， ∴即为EF与底面所成角，                           在中，，若，∴    87．（22-23高一下·北京朝阳·期末）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点．      (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)设棱与平面交于点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据面面垂直的性质即可得到线面垂直. （2）取中点，根据线线平行可得平面平面，由此能证明直线平面； （3）作点满足，则与的交点即为与平面的交点，从而可求得的值， 【详解】（1）平面平面,且两平面的交线为, 由于，，所以,平面, 故平面， （2）证明：取中点，连， ，是的中点， ，, 由于平面,平面,所以平面 同理可得平面, ，平面, 平面平面， 平面，直线平面； （3）作点满足，则，，，四点共面， 作的中点，则，所以， 所以四边形是平行四边形，则，又， 所以，即，，，四点共面，平面平面， 则与平面的交点必定在上， 所以与的交点即为与平面的交点， 所以，所以，    88．（21-22高一下·北京海淀·期末）如图，在直棱柱中，底面是菱形，，，，，分别是棱，的中点．    (1)求证：； (2)求证：平面； (3)是否存在正数，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在正数，使得平面平面，证明见解析； 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理证明； （2）根据线面平行的判定定理证明； （3）假设存在正数，使得平面平面，根据面面垂直的判定定理，证得，通过证明，得到，进而所以，求得值进而得解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接，因为底面是菱形，所以， 直棱柱中，平面，所以，且，所以平面，所以.    （2）证明：取的中点M，连接、，则为三角形的中位线， 所以且， 又因为且，又且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面；    （3）解：存在正数，使得平面平面，理由如下： 假设存在，使得平面平面， 过点作于点，连接，    因为平面平面，所以平面，所以， 在直棱柱中，，， 在菱形中，，，所以，所以△△， 所以，所以，所以，所以， 在菱形中，，，所以， 在直棱柱中，，所以，， 所以，所以， 经检验，时，平面平面． 89．（21-22高一下·北京西城·期末）如图，在正方体中，，为上底面的中心. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)判断棱上是否存在一点，使得？并说明理由. 【答案】(1)见解析 (2) (3)不存在 【分析】（1）连接，三角形是等边三角形，即可证明，进一步通过，所以. （2）设点到平面的距离为，所以，代入即可得出答案. 【详解】（1）连接，因为，为的中点， 所以，又因为，所以. （2）设点到平面的距离为，所以， 所以，则，所以. 所以到平面的距离为. （3）不存在,如下图，作一个相同的正方体，取为上底面的中心，连接，易知是平行四边形，所以，而与相交，所以棱上不存在一点，使得. 90．（21-22高一下·北京朝阳·期末）如图，在四棱锥中，平面平面∥平面，，E是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)若M是线段上任意一点，试判断线段上是否存在点N，使得∥平面？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)当为中点时，∥平面. 【分析】（1）由线面平行的性质定理即可证明. （2）由面面垂直的性质定理证得平面，又因为平面，所以平面平面. （3）取的中点，连接，由线面平行的判定定理证明平面，平面，所以平面平面，再由面面平行的性质定理可证得∥平面. 【详解】（1）∥平面平面平面平面, 所以. （2）因为平面平面平面平面， ，所以平面，又因为平面， 所以平面平面. （3）取的中点，连接， 分别为的中点，所以， 平面，平面，所以平面， 又因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面， ，所以平面平面，又因为平面，所以∥平面. 线段上存在点N，使得∥平面. 91．（22-23高一下·北京房山·期末）如图1，在矩形ABCD中，，E为AB的中点，将沿DE折起，点A折起后的位置记为点，得到四棱锥，M为AC的中点，如图2.某同学在探究翻折过程中线面位置关系时，得到下列四个结论： ①恒有；                        ②恒有平面； ③三棱锥的体积的最大值为；  ④存在某个位置，使得平面平面. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】根据原图形判断①，根据面面平行得出线面平行判断②，结合面面垂直及体积公式判断体积最大值得出③，应用面面垂直的性质定理及反证法得出④. 【详解】矩形ABCD中, ,①正确； 取CD中点H，连接MH，BH，M和H分别是，CD的中点，，在平面外， 平面，E是矩形ABCD的AB边中点，，，， 在平面外，平面，又，平面平面， 平面，，②正确； 取的中点，连接，如图所示： 当平面平面时，到平面的距离最大. 因为，为中点，所以. 又因为平面平面，所以. ，所以. 所以四棱锥体积最大值为， 所以四棱锥体积最大值为， M为AC的中点，三棱锥的体积的最大值为故③正确. 平面平面,平面平面平面, 平面,,,④错误 故答案为：①②③. 92．（21-22高一下·北京朝阳·期末）已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为的中点，则下列结论中正确的是（    ） ①直线与直线垂直；                ②直线与平面平行； ③点C与点G到平面的距离相等；       ④平面截正方体所得的截面面积为． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】由即为直线与直线所成的角，即可判断①；对于②，连接，由线面平行的判定即可判断②；由平面不过的中点即可判断③；先找出截面，再计算面积即可判断④. 【详解】解：对于①，由正方体得，则即为直线与直线所成的角， 连接AC，而平面ABCD，所以，所以在中，则不可能是直角，直线与直线不垂直，故①不正确； 对于②，连接，则，所以平面，平面，平面，所以∥平面，故②正确； 对于③，若点C与点G到平面的距离相等，则平面必过的中点，连接交于，且不是的中点， 则平面不过的中点，即点C与点G到平面的距离不相等，③不正确； 对于④，因为，，所以等腰梯形即为平面截正方体所得的截面， 则，之间的距离为， 则面积为，故④正确. 故选：C. 93．（22-23高一下·北京西城·期末）如图，在棱长为4的正方体中，点P是线段AC上的动点（包含端点），点E在线段上，且，给出下列四个结论： ①存在点P，使得平面平面； ②存在点P，使得是等腰直角三角形； ③若，则点P轨迹的长度为； ④当时，则平面截正方体所得截面图形的面积为18． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】①利用面面平行的判定定理求解，②利用空间直角坐标系求解，③分析点P在上运动时的变化情况即可求解，④根据图中的几何关系作出平面截正方体截面即可求解. 【详解】对于①，当点和点重合时，平面平面， 连接交于点，连接交于点，连接,,,, ∵∥,且∥,∴四边形平行四边形，∴∥, ∵平面，平面，∴∥， ∵∥, 平面，平面，∴∥, 又∵,,平面，∴平面； 故①正确；    对于②，分别以所在的直线为轴，轴，轴， 由几何关系可知，要使是等腰直角三角形，则, 由已知得,,设点， 则，， ∵，∴，此方程无解，则不存在点P，使得是等腰直角三角形，故②不正确；    对于③，因为，则,,, 即,则P轨迹是在上的线段，不包括端点、，如下图所示， 由已知得△为等腰三角形，则△底边上的高，随着P向点运动，逐渐减小， 故在线段上存在一点P使得， 同理可知靠近点处也存在一点P使得， 设线段，由勾股定理可知,所以点P轨迹的长度为，故③正确；    对于④，连接,过点作的平行线交于点,连接, 则为平面截正方体所得的截面图形， 由已知得,由△∽△可知， 又因为,且∥,所以四边形为等腰梯形， 其中梯形的高，所以截面面积为，故④正确；      故答案为：①③④ 94．（22-23高一下·北京昌平·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为内一动点（不与三点重合）.给出下列四个结论：    ①直线与所成角的大小为；②；③的最小值为；④若，则点的轨迹所围成图形的面积是. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】根据异面直线所成的角即可判断①，根据空间中的垂直关系转化即可证明平面，即可求证线线垂直进而判断②，根据点到面的距离为最小值，利用等体积法即可求解③，根据圆的面积即可判断④. 【详解】由于，所以即为直线与所成的角或其补角， 由于底面平面，所以,又，所以，①正确； 由于底面平面，所以, 又,平面， 所以平面, 取中点为，连接, 由于为的中点，所以，所以平面，平面，则， 又，中点为，所以, 平面，所以平面，平面，则, 平面，所以平面,平面, 所以, 平面，所以平面,平面, 所以，故②正确； 当平面时，最小，设此时点到平面的距离为， , 所以, 由于，故为等边三角形，, 所以，故③错误； 由③得点到平面的距离为，不妨设在平面的投影为, 所以点到平面的距离为, 由于被平分，所以到平面的距离为, 由②知平面，所以三点共线，即， 又，所以, 因此点的轨迹围成的图形是以点为圆心，以为半径的圆，所以面积为，故④正确. 故答案为：①②④    94．（22-23高一下·北京怀柔·期末）在中，，D是边AC的中点，E是边AB上的动点（不与A，B重合），过点E作AC的平行线交BC于点F，将沿EF折起，点B折起后的位置记为点P，得到四棱锥，如图所示，给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是 ．    ①不可能为等腰三角形； ②平面PEF； ③当E为AB中点时，三棱锥体积的最大值为； ④存在点E，P，使得． 【答案】②③④ 【分析】证明,即可判断①；根据线面平行的判断定理，判断②；表示三棱锥的体积后，即可判断③；利用垂直关系转化，结合条件即可判断④，由此可得结论. 【详解】对于①，因为是等腰直角三角形，所以三角形PEF也是等腰直角三角形，则， 因为，，所以，且 当时，,所以， 此时是等腰三角形，故①错误； 对于②，因为，平面，平面， 所以平面，故②正确； 对于③，当E为AB中点时，则为中点，， 当底面的面积一定时， 若平面平面，即平面时，三棱锥的体积最大， 设， ，故③正确； 对于④，因为，且，， 且平面，平面，所以平面，平面， 所以平面平面，且平面平面， 如图，过点作，连接， 则平面，平面，所以， 若，，平面，平面， 所以平面，平面， 所以， 如图，，延长，交于点， 则和都是等腰直角三角形， 则，点到直线的距离等于， 这样在翻折过程中，若能构成四棱锥，则， 设，则，则， 则存在点E，P，使得，故④正确；    故选：②③④ 95．（21-22高一下·北京大兴·期末）如图1，四边形是矩形，将沿对角线折起成，连接，如图2，构成三棱锥.过动点作平面的垂线，垂足是. (1)当落在何处时，平面平面，并说明理由； (2)在三棱锥中，若为的中点，判断直线与平面的位置关系，并说明理由； (3)设是及其内部的点构成的集合，，当时，求三棱锥的体积的取值范围. 【答案】(1)落上，理由见解析； (2)直线与平面平行，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理即得； （2）取的中点，由题可得，进而可得，利用线面平行的判定定理可得平面，平面，然后利用面面平行的判定及性质即得； （3）作交于，可得平面，在中，作，可得平面，然后求的取值范围即得. 【详解】（1）当落上时，平面平面. 因为，所以平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. （2）直线与平面平行. 证明如下：取的中点，连结. 因为平面， 所以， 在Rt和Rt中，， 所以， 所以， 因为为的中点， 所以，又在矩形中，， 所以，因为平面平面， 所以平面， 在中，分别为的中点，所以， 因为平面平面， 所以平面，又在平面中，， 所以平面平面，因为平面， 所以平面. （3）在矩形中，作交于， 已知，由题意知 在中，作，交于， 沿将折起成后， 又，所以平面. 因为平面，所以，又， 在平面中，， 所以平面， 因此，当时，满足题意的的集合组成的图形为线段， 因为在Rt中， 所以，当时，取得最大值为， 当时，取得最小值为， 因为四面体的体积为， ①当取得最大值时，即与重合时， 四面体的体积取得最大值； ②当取得最小值时，即与重合时， 四面体的体积取得最小值. 综上，当时，四面体的体积的取值范围是. 96．（22-23高一下·北京昌平·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，是棱上的动点（不与重合），交平面于点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若是的中点，平面将四棱锥分成五面体和 五面体，记它们的体积分别为，直接写出的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由线面平行的判定定理可证； （2）由线面垂直的性质定理和判定定理先得平面，再由面面垂直的判定定理得证； （3）连结，将五面体分割成三棱锥和四棱锥，分别求出体积，可求，再由，可解此题. 【详解】（1）由底面是正方形，知， 又平面，平面， 所以平面； （2）由底面是正方形，可知， 又平面，平面，所以， 平面，平面，且， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （3）   连结， 由（1）平面，平面，平面平面, 得，即， 又由（2）平面，可得平面， 由题意，是的中点，          ， 又， 所以， . 97．（22-23高一下·北京顺义·期末）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为的中点．    (1)求证：//平面； (2)求证：； (3)若平面，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据线线平行即可求证， （2）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直, （3）根据线面垂直得到线线垂直，进而根据边角关系即可求解. 【详解】（1）∵,平面,平面 ∴平面    （2）∵为等边三角形，为的中点，∴ 又∵平面平面，平面平面，平面 ∴平面， 又∵平面，∴ （3）延长文于点, ∵平面,平面， ∴,∴,即， ∵,∴， ∵， ∴， ∴，又为的中点，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴在中，， ∴即， 98．（21-22高一下·北京西城·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，E为PD的中点. (1)若，求四棱锥的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题设知为直角梯形，结合已知求其面积，根据平面知四棱锥的高为，利用体积公式求体积. （2）由题设得，线面垂直的性质有，根据线面垂直的判定证结论. （3）若为中点，连接，根据中位线、平行四边形性质可得，最后由线面平行的判定证结论. 【详解】（1）由，知：为直角梯形， 又，且平面， 所以，故， 所以四棱锥的体积. （2）由题设知：，而，故， 又平面，平面，可得， ，面，故平面. （3）若为中点，连接，E为PD的中点， 所以且，又，， 所以且，故为平行四边形， 则，面，面， 所以平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$