专题05 空间几何体的结构特征、表面积及体积3种常考题型归类【好题汇编】-备战2023-2024学年高一数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题05 空间几何体的结构特征、表面积及体积 3种常考题型归类 空间几何体的结构特征 1．（21-22高一下·北京丰台·期末）如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一竖直的平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一下·北京延庆·期末）如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱台的两底面边长分别为，高是，则该棱台的斜高为（    ） A． B． C． D． 空间几何体的表面积 4．（21-22高一下·北京平谷·期末）已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为1，那么这个球的表面积是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一下·北京·期末）已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的倍．给出下列结论： ①设圆柱与圆锥的体积分别为、，则； ②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为、，则； ③设圆柱与圆锥的侧面积分别为、，则； ④设圆柱与圆锥表面积分别为、，则. 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．②③ C．①③④ D．①②③④ 6．（21-22高一下·北京·期末）已知某圆柱体的底面半径为，高为，则该圆柱体的侧面的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高一下·北京延庆·期末）如图，是棱长都为2的直平行六面体，且，则这个直平行六面体的表面积为（    ） A．16 B． C． D． 8．（22-23高一下·北京延庆·期末）已知一个长方体的长、宽、高分别为4、4、2，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（    ） A． B． C． D．以上都不对 9．（22-23高一下·北京怀柔·期末）某圆柱体的底面半径为2，母线长为4，则该圆柱体的表面积为 ．   10．（22-23高一下·北京·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 11．（21-22高一下·北京·期末）已知长方体的棱长分别为3，4，5，长方体的各个顶点都在一个球面上，则该球的表面积等于 ． 12．（22-23高一下·北京·期末）若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是 (只需写出一个可能的值) 空间几何体的体积 13．（21-22高一下·北京平谷·期末）如图，在四棱柱中，底面是正方形，底面，，那么该四棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高一下·北京海淀·期末）已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的体积为            A． B． C． D． 15．（21-22高一下·北京丰台·期末）如图，在棱长为的正方体中，、是棱上任意两点，且，、是正方形及其内部的动点，且，则四面体的体积的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 16．（22-23高一下·北京顺义·期末）如图，圆锥的底面直径和高均是2，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是（    ）    A． B． C． D． 17．（22-23高一下·北京密云·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，若，则该四棱锥的体积为（    ）    A．48 B．18 C．16 D．8 18．（22-23高一下·北京密云·期末）已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 19．（21-22高一下·北京·期末）已知正四棱锥，底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高一下·北京房山·期末）在三棱锥中，两两垂直，，则点到平面的距离等于（    ） A．1 B． C． D． 21．（22-23高一下·北京朝阳·期末）堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．则图2中的阳马与图1中的长方体的体积比是（    ）    A． B． C． D． 22．（21-22高一下·北京延庆·期末）已知一个棱长为1的正方体的8个顶点都在一个球面上，则球的表面积为 ，体积为 . 23．（22-23高一下·北京大兴·期末）一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱的体积为 ，将这个实心圆柱熔化后铸成一个实心球体，则这个铁球的半径为 ． 24．（22-23高一下·北京·期末）若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为 ． 25．（21-22高一下·北京·期末）用一个平面截一个球，所得截面面积为，球心到截面的距离为，则该球的表面积为 ，体积为 ． 26．（22-23高一下·北京·期末）已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 ． 27．（21-22高一下·北京通州·期末）如图，在正方体中，，则四棱锥的表面积为 ；若该正方体的顶点都在球O的球面上，则球O的体积为 . 28．（21-22高一下·北京·期末）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑 (四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵中，已知，，．当阳马体积等于时， 求： (1)堑堵的侧棱长； (2)鳖臑的体积； (3)阳马的表面积． 29．（22-23高一下·北京房山·期末）如图，在各棱长均为1的的四面体中，E是PA的中点，Q为直线EB上的动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 30．（22-23高一下·北京东城·期末）已知长方形墙把地面上两点隔开，该墙与地面垂直，长10米，高3米．已测得米，米．现欲通过计算，能唯一求得两点之间的距离，需要进一步测量的几何量可以为（    ）    A．点到的距离 B．长度和长度 C．和 D．长度和 31．（21-22高一下·北京延庆·期末）如图，已知直三棱柱中，，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．（21-22高一下·北京·期末）在正方体中，，为线段上的动点，且与不重合，为线段的中点.给出下列三个结论： ①； ②三棱锥的体积不变； ③平面截正方体所得的截面图形一定是矩形. 其中，所有正确结论的序号为 . 33．（21-22高一下·北京延庆·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为棱上的动点且不与重合，为线段的中点.给出下列四个结论： ①三棱锥体积的最大值为； ② ③三角形的面积不变； ④四棱锥是正四棱锥. 其中，所有正确结论的序号为 . 34．（22-23高一下·北京通州·期末）如图，在棱长为1的正方体中，E为棱BC上的动点且不与B重合，F为线段的中点．给出下列四个命题：    ①三棱锥的体积为； ②； ③的面积为定值； ④四棱锥是正四棱锥． 其中所有正确命题的序号是 -． 35．（22-23高一下·北京丰台·期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段上的动点，给出下列四个结论：      ①当为线段的中点时，两点之间距离的最小值为； ②当为线段的中点时，三棱锥的体积为定值； ③存在点，，使得平面； ④当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为. 其中所有正确结论的序号是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 空间几何体的结构特征、表面积及体积 3种常考题型归类 空间几何体的结构特征 1．（21-22高一下·北京丰台·期末）如图所示，该几何体是从一个水平放置的正方体中挖去一个内切球（正方体各个面均与球面有且只有一个公共点）以后而得到的．现用一竖直的平面去截这个几何体，则截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正方体内切球的性质，及球的截面圆即可求解. 【详解】对于A，用竖直的平面截正方体，该平面过球心，且过正方体四个面的中心，即可得到截面图形A，如图； 对于B，用竖直的平面截正方体，该平面为正方体的对角面,过球心，及正方体两个侧面的对角线的中心，即可得到截面图形B； 对于CD，用竖直的平面截正方体，该平面过正方体一个侧面的中心，如图，切点在截面的边CD的中点处，且CD为长方形中较短的线段，即可得到D. 故选：C 2．（21-22高一下·北京延庆·期末）如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱长都为3，则棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先还原为三棱锥，再计算小棱锥的高，再根据相似关系，即可计算三棱台的高. 【详解】如图1，将正三棱台，还原为正三棱锥，由相似关系可知，三棱锥的棱长都是3，如图2，点在底面的射影是底面三角形的中心，高，所以根据相似关系可知，三棱台的高也是. 故选：C 3．（22-23高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱台的两底面边长分别为，高是，则该棱台的斜高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正棱台的性质确定侧面为等腰梯形，结合已知条件求斜高即可. 【详解】由题意，正棱台侧面为上下底边长分别为的等腰梯形，    所以棱台的斜高为. 故选：C 空间几何体的表面积 4．（21-22高一下·北京平谷·期末）已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为1，那么这个球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正方体外接球的直径就是正方体的体对角线，由勾股定理求出直径，再用球的表面积公式求解即可 【详解】因为一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上， 所以正方体外接球的直径就是正方体的体对角线， 由勾股定理可得体对角线为， 所以球的半径是, 所以这个球的表面积是， 故选：D 5．（21-22高一下·北京·期末）已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的倍．给出下列结论： ①设圆柱与圆锥的体积分别为、，则； ②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为、，则； ③设圆柱与圆锥的侧面积分别为、，则； ④设圆柱与圆锥表面积分别为、，则. 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】设圆锥和圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，圆锥的高为，圆锥的母线长为，利用圆锥、圆柱的侧面积、表面积、体积公式以及三角形、矩形的面积公式判断可得出合适的选项. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，圆锥的高为，圆锥的母线长为. 对于①，，，则，①对； 对于②，，，则，②错； 对于③，，，则，③对； 对于④，，， 则，④对. 故选：C. 6．（21-22高一下·北京·期末）已知某圆柱体的底面半径为，高为，则该圆柱体的侧面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据侧面积公式求解即可 【详解】由题意，则该圆柱体的侧面的面积为 故选：D 7．（21-22高一下·北京延庆·期末）如图，是棱长都为2的直平行六面体，且，则这个直平行六面体的表面积为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】D 【分析】计算上下底面与四个侧面的面积，再相加即可 【详解】由题意可知：底面是菱形，且，， 所以, 所以底面的面积为：， 又因为每个侧面的面积都是， 所以这个直平行六面体的表面积为， 故选：D 8．（22-23高一下·北京延庆·期末）已知一个长方体的长、宽、高分别为4、4、2，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】由长方体外接球直径为体对角线求出半径长，即可求球体表面积. 【详解】由题意，球体的直径为长方体的体对角线，即， 所以，故球体表面积为. 故选：B 9．（22-23高一下·北京怀柔·期末）某圆柱体的底面半径为2，母线长为4，则该圆柱体的表面积为 ． 【答案】 【分析】算出圆柱的侧面积和上下底面积可得答案. 【详解】由题知圆柱的底面半径为，母线长为， 所以，该圆柱的侧面积为， 圆柱的上下底面面积都为， 所以则该圆柱体的表面积为. 故答案为：.    10．（22-23高一下·北京·期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 【答案】 【分析】圆柱侧面积等于底面周长乘以高. 【详解】依题意，圆柱底面周长等于，故侧面积等于 故答案为： 11．（21-22高一下·北京·期末）已知长方体的棱长分别为3，4，5，长方体的各个顶点都在一个球面上，则该球的表面积等于 ． 【答案】 【解析】根据长方体的结构特征，可得长方体的体对角线长等于其外接球的直径，由此求出球的半径，进而可得球的表面积. 【详解】因为长方体的体对角线长等于其外接球的直径，该长方体的棱长分别为3，4，5， 所以外接球的直径为，则， 所以该球的表面积为. 故答案为： 12．（22-23高一下·北京·期末）若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是 (只需写出一个可能的值) 【答案】或或 【分析】由题意画出一种满足条件的图形,求解表面积即可 【详解】由四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体如图, ①四面体各棱中有一条为1，另五条为2， 不妨取三条侧棱长均为2,底面边长BC=BD=2，CD=1.    其表面积为. 故其表面积为. ②四面体各棱中有两条为1，四条为2， 由三角形两边之和大于第三边，可知边长为1的必为对棱. 如图示，    四个面全等，所以表面积为. ③四面体各棱中有三条为1，三条为2， 由三角形两边之和大于第三边，可知边长为1的必在同一个面内. 如图示：    所以表面积为. 故答案为: 或或 空间几何体的体积 13．（21-22高一下·北京平谷·期末）如图，在四棱柱中，底面是正方形，底面，，那么该四棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该四棱柱的体积为，由此能求出结果． 【详解】在四棱柱中，底面是正方形， 底面，，， 该四棱柱的体积为． 故选：C． 14．（22-23高一下·北京海淀·期末）已知正四棱锥的底面边长为，高为，则它的体积为            A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正四棱锥的性质，以及锥体的体积公式，直接计算，即可得到答案. 【详解】由题意，正四棱锥的底面边长为，高为，则底面正方形的面积为， 所以四棱锥的体积为，故选B. 15．（21-22高一下·北京丰台·期末）如图，在棱长为的正方体中，、是棱上任意两点，且，、是正方形及其内部的动点，且，则四面体的体积的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】设直线交直线于点，连接、，设，分析可得，即可求得结果. 【详解】设直线交直线于点，连接、，则， 过点、在平面内分别作，，垂足分别为、， 因为平面平面，平面平面，， 平面，平面，同理可得平面， 设， ， 当且仅当时，等号成立， 故四面体的体积的最大值为. 故选：A. 16．（22-23高一下·北京顺义·期末）如图，圆锥的底面直径和高均是2，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的体积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥和圆柱的体积公式即可求解. 【详解】设圆锥底面半径为，圆柱底面半径为，则，， 剩下几何体的体积． 故选：D 17．（22-23高一下·北京密云·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，若，则该四棱锥的体积为（    ）    A．48 B．18 C．16 D．8 【答案】C 【分析】由棱锥的体积公式计算即可求解. 【详解】由题意可得：该四棱锥的体积为， 故选：C. 18．（22-23高一下·北京密云·期末）已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆柱的侧面积公式直接可得. 【详解】由题意设底面半径为，母线为， 圆柱的侧面积为. 故选：C. 19．（21-22高一下·北京·期末）已知正四棱锥，底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正四棱锥的高为h，由体积是，求出.利用勾股定理求出侧棱长. 【详解】因为正四棱锥，底面边长是，所以底面积为. 设正四棱锥的高为h，由，所以. 所以侧棱长为. 即侧棱长为. 故选：C 20．（22-23高一下·北京房山·期末）在三棱锥中，两两垂直，，则点到平面的距离等于（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据利用等体积法求解即可. 【详解】设点到平面的距离为， ∵两两垂直，且， ∴，， ∴， 又，，，平面， 所以平面， ∵，即 ∴， ∴，即点到平面的距离为， 故选：D 21．（22-23高一下·北京朝阳·期末）堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑．则图2中的阳马与图1中的长方体的体积比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出长方体的体积，利用锥体的体积公式计算出阳马的体积，即可求得阳马与长方体的体积之比. 【详解】设阳马的体积为，长方体的体积为， 由图2可知，阳马是底面为矩形，高为的四棱锥，则， 长方体的体积为，因此，. 故选：B. 22．（21-22高一下·北京延庆·期末）已知一个棱长为1的正方体的8个顶点都在一个球面上，则球的表面积为 ，体积为 . 【答案】 【分析】依题意正方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为，利用勾股定理即可求出，再根据球的表面积、体积公式计算可得. 【详解】解：依题意正方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球的半径为，则，所以， 球的表面积，球的体积. 故答案为：；． 23．（22-23高一下·北京大兴·期末）一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱的体积为 ，将这个实心圆柱熔化后铸成一个实心球体，则这个铁球的半径为 ． 【答案】 / 【分析】设圆柱的高为，根据侧面积求出高，再根据圆柱的体积公式计算可得，设球的半径为，由球的体积与圆柱的体积相同得到方程，解得即可. 【详解】设圆柱的高为，因为底面半径，侧面积为， 所以，解得， 所以圆柱的体积， 设球的半径为，则，解得. 故答案为：； 24．（22-23高一下·北京·期末）若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为 ． 【答案】． 【分析】利用勾股定理及圆锥的体积公式即可求解. 【详解】因为圆锥的母线长为5，底面半径为3， 所以圆锥的高， 所以该圆锥的体积为． 故答案为：． 25．（21-22高一下·北京·期末）用一个平面截一个球，所得截面面积为，球心到截面的距离为，则该球的表面积为 ，体积为 ． 【答案】 / 【分析】先确定截面圆的半径，再利用勾股定理求得球的半径，再根据球的表面积公式和体积公式即可得出答案. 【详解】解：因为截面面积为， 所以截面圆的半径为， 因为球心到截面的距离为， 所以球的半径为， 所以球的表面积为， 球的体积为. 故答案为：；. 26．（22-23高一下·北京·期末）已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 ． 【答案】 【分析】根据球体的体积和表面积数值相等的条件得到等式关系，解方程即可求出球的半径 【详解】假设球体的半径为，由已知条件球体的体积与其表面积数值相等， 得，解得. 故答案为： 27．（21-22高一下·北京通州·期末）如图，在正方体中，，则四棱锥的表面积为 ；若该正方体的顶点都在球O的球面上，则球O的体积为 . 【答案】 / 【分析】由四棱锥的结构特征求出各个面的面积作答，求出正方体外接球半径即可计算得解. 【详解】在正方体中，平面，平面，平面， 因此，在四棱锥中，，而， 所以四棱锥的表面积； 正方体外接球O的直径是正方体的体对角线长， 则球O的半径，所以球O的体积为. 故答案为：； 28．（21-22高一下·北京·期末）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑 (四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵中，已知，，．当阳马体积等于时， 求： (1)堑堵的侧棱长； (2)鳖臑的体积； (3)阳马的表面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设堑堵的侧棱长为，根据阳马体积等于求解即可； （2）根据棱锥的体积计算即可； （3）分别计算的侧面积与底面积即可 【详解】（1）因为，，， 所以． 所以△为直角三角形． 设堑堵的侧棱长为，则 ，则， 所以，所以堑堵的侧棱长为． （2）因为， 所以． 所以鳖臑的体积为． （3）因为，， ，， ，所以阳马的表面积的表面积为． 29．（22-23高一下·北京房山·期末）如图，在各棱长均为1的的四面体中，E是PA的中点，Q为直线EB上的动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意将和折成一个平面，可知，结合余弦定理运算求解. 【详解】由题意可知：， 在中，由余弦定理可得， 可知为锐角，可得， 将和折成一个平面，连接， 可知，当且仅当三点共线时，等号成立，    此时， 在中，由余弦定理可得， 即，所以的最小值为. 故选：B. 30．（22-23高一下·北京东城·期末）已知长方形墙把地面上两点隔开，该墙与地面垂直，长10米，高3米．已测得米，米．现欲通过计算，能唯一求得两点之间的距离，需要进一步测量的几何量可以为（    ）    A．点到的距离 B．长度和长度 C．和 D．长度和 【答案】D 【分析】由已知可知中三边是已知的，所以三个角可求解出来，连接，在或中求解，然后逐个分析判断. 【详解】连接，在中，，，，所以， 所以，， 对于A，若测量点到的距离，则在或中只有一条边长度是已知，无法求解的长，所以A错误， 对于B，若测量长度和长度，则在中有两边长度是已知，或中只有一条边长度是已知，无法求解的长，所以B错误， 对于C，若测量和，则在或中只有一条边是已知，无法求解的长，所以C错误， 对于D，若测量长度和，则在中，可求出，而， 所以由余弦定理得，从而可求出，所以D正确， 故选：D    31．（21-22高一下·北京延庆·期末）如图，已知直三棱柱中，，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，，再证明，故为动点到直线的距离，设，求出，再求其最小值即可. 【详解】如图过点作，垂足为，过作，垂足为， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，又平面， 所以，又，，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面， 所以，因为，，，平面， 所以平面，因为平面， 所以，故为点到直线的距离， 因为，，所以， 设，，则，又， 所以，又为直角三角形，， 所以， 因为平面，又平面， 所以，所以为直角三角形，， 所以， 所以，又， 所以当时，取最小值，最小值为， 所以线段上的动点到直线的距离的最小值为， 故选：C. 32．（21-22高一下·北京·期末）在正方体中，，为线段上的动点，且与不重合，为线段的中点.给出下列三个结论： ①； ②三棱锥的体积不变； ③平面截正方体所得的截面图形一定是矩形. 其中，所有正确结论的序号为 . 【答案】①②③ 【分析】对于①，连接，由线面垂直的性质和判定可证得平面，由此可判断； 对于②，由，点F到平面ABC的距离是正方体的棱长的一半，是定值可判断； 对于③，延长BE交CD于点G，过点G作交于点H，连接，则四边形就是面截正方体所得的截面图形，由此可判断； 【详解】解：对于①，连接， 因为平面，所以，又，所以平面，所以， 同理可证，又，所以平面，故平面，所以，故①正确； 对于②，因为，而为线段的中点，所以点F到平面ABC的距离是正方体的棱长的一半，是个定值，又是定值，所以三棱锥的体积不变，故②正确； 对于③，延长BE交CD于点G，过点G作交于点H，连接， 则四边形就是面截正方体所得的截面图形， 而平面，又平面，所以， 又，，所以，又，所以四边形一定是矩形. 同理可得延长BE交AD于点G时的情形如下图所示，仍得四边形一定是矩形.故③正确； 所以正确的命题为：①②③， 故答案为：①②③. 33．（21-22高一下·北京延庆·期末）如图，在棱长为1的正方体中，为棱上的动点且不与重合，为线段的中点.给出下列四个结论： ①三棱锥体积的最大值为； ② ③三角形的面积不变； ④四棱锥是正四棱锥. 其中，所有正确结论的序号为 . 【答案】②③④ 【分析】利用锥体的体积公式可判断①，利用线面垂直的判定定理可判断②，利用平行线的传递性及三角形面积公式可判断③，利用正棱锥的定义可判断④. 【详解】因为三棱锥体积为， 所以三棱锥体积的最大值为，故①错误； 连接，，则，又平面，平面， 所以，， 所以平面，，故②正确； 设，连接，则，所以，即和到的距离相等且不变，所以三角形的面积不变，故③正确； 由，可知平面，又为正方形，为其中心，故四棱锥是正四棱锥，故④正确. 故答案为：②③④. 34．（22-23高一下·北京通州·期末）如图，在棱长为1的正方体中，E为棱BC上的动点且不与B重合，F为线段的中点．给出下列四个命题：    ①三棱锥的体积为； ②； ③的面积为定值； ④四棱锥是正四棱锥． 其中所有正确命题的序号是 -． 【答案】②③④ 【分析】利用锥体的体积公式可判断①，利用线面垂直的判定定理可判断②，利用平行线的传递性及三角形面积公式可判断③，利用正棱锥的定义可判断④. 【详解】因为三棱锥体积为， 所以三棱锥体积的最大值为，故①错误； 连接，则，又平面，平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以，故②正确；      设，连接，则，所以，即和到的距离相等且不变，所以三角形的面积不变，故③正确； 由，可知平面，又为正方形，为其中心，故四棱锥是正四棱锥，故④正确. 故答案为：②③④. 35．（22-23高一下·北京丰台·期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段上的动点，给出下列四个结论：      ①当为线段的中点时，两点之间距离的最小值为； ②当为线段的中点时，三棱锥的体积为定值； ③存在点，，使得平面； ④当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】②③ 【分析】 对于①，根据垂线段最短，结合等边三角形图形特点进行计算即可； 对于②，根据三棱锥体积公式进行判断即可； 对于③，根据线面垂直的判定定理得到平面，进而判断即可； 对于④，根据正方体图形特点找到截面，进而求解周长即可. 【详解】对于①，当为线段的中点时，连接，如图所示，      则为线段的中点，是边长为的正三角形， 两点之间距离的最小值为到的垂线段长度， 此时，故①错误； 对于②，当为线段的中点时，连接，如图所示，      显然，到平面的距离为定值，面积为定值， 结合三棱锥体积公式可知，三棱锥的体积为定值，故②正确； 对于③，当与重合，与重合时，如图所示，      由正方体可知平面，， 因为平面，所以， 又因为平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 同理，， 又因为平面，， 所以平面，即平面， 所以存在点，，使得平面，故③正确； 对于④，当为靠近点的三等分点时，延长交于点， 取中点，连接，如图所示，      由得四边形是平行四边形，所以 ， 由可知，即， 所以是中点，又因为是中点，所以,， 所以平面截该正方体所得截面为等腰梯形， 在直角中，，同理， 所以截面的周长为, 即当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为，故④错误. 故答案为：②③ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$