专题04复数（考点清单，知识导图+13个考点清单&题型解读）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修二）

专题04复数（考点清单，知识导图+13个考点清单&题型解读） 一、数系的扩充和复数的概念 （1）复数的定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. （2）复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. （3）复数相等：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. （4）复数的分类 ①对于复数a＋bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下： ， ②集合表示： 二、复数的几何意义 （1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部） （2）复数的几何意义 ①复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点z（a，b）. ②复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量. （3）复平面上的两点间的距离公式：（，）. （4）复数的模 ①定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值. ②记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. ③公式：|z|＝|a＋bi|＝（a，b∈R）. 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|（a的绝对值）. （5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. （6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 （7）解复数方程 若，在复数集内有且仅有两个共轭复数根. 三、复数的加、减运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 ①运算法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. ②复数加法的几何意义：如图，复数z 1＋z 2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. ③加法运算律：对任意z 1，z 2，z 3∈c，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）. ④复数加法的几何意义：两个向量与的和就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行. （2）复数的减法法则 ①运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di是任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，两个复数的差是一个确定的复数. ②复数减法的几何意义：如图，复数z 1－z 2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数. 四、复数的乘、除运算 （1）复数的乘法运算 ①复数的乘法法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z 1·z 2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. ②复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有 交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 乘法对加法的分配律 z 1（z 2＋z 3）＝z 1 z 2＋z 1 z 3 结合律 （z 1·z 2）·z 3＝z 1·（z 2·z 3） （2）复数的除法运算 设z 1＝a＋bi，,z 2＝c＋di（c＋di≠0）），则 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi. 五、几个重要的结论 ①②③若为虚数，则 4、运算律 ① ② ③ 5、关于虚数单位i的一些固定结论： ①②③④ 六、复数的三角表示式 （1）复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. （2）辐角主值：规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz. 2、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 （1）复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cosθ1＋isinθ1)·r 2(cosθ2＋isinθ2)＝r 1 r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. （2）复数三角形式的除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 一．虚数单位i、复数（共6小题） 1．（2023春•奉贤区校级期末）是复数为纯虚数的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 2．（2023春•普陀区校级期中）复数的虚部是 　　． 3．（2023春•宝山区校级月考）已知复数，，若，求实数的取值范围 　　． 4．（2023春•宝山区期末）在复数范围内，的所有平方根为 　　． 5．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数，则　　． 6．（2022春•金山区校级期末）已知复数，为实数），并且，则实数　　． 二．复数的代数表示法及其几何意义（共5小题） 7．（2023•长宁区二模）设复平面上表示和的点分别为点和点，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2023春•虹口区校级期末）设复数的共轭复数是，且，又复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时在复平面上以，，三点为顶点的图形是　　 A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 9．（2023春•杨浦区校级期末）已知复平面上有点和点，向量与向量所对应的复数分别为与，则点的坐标为 　　． 10．（2023春•徐汇区校级期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 　　． 11．（2024春•浦东新区校级期中）已知复数满足，复数满足，则复数对应复平面上的点构成区域的面积是 　　． 三．纯虚数（共6小题） 12．（2023春•浦东新区校级期末）已知复数为虚数单位）为纯虚数，则实数　　 A．2 B． C．或2 D． 13．（2022春•黄浦区校级期末）已知纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为　　 A．1 B．3 C．1或3 D．0 14．（2023春•杨浦区校级期末）若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为 　　． 15．（2023春•长宁区校级期末）若复数是纯虚数，则实数　　． 16．（2023春•黄浦区校级期中）若复数是纯虚数，则角　　． 17．（2023春•浦东新区校级期末）已知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位． （1）求复数； （2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围． 四．复数的运算（共9小题） 18．（2024春•浦东新区校级期中）下列说法正确的是　　 A．设则是纯虚数的充要条件是 B．复数与在复平面中对应的点分别在轴上方和下方 C．设复数与满足，则 D．若复数与满足，则 19．（2023春•徐汇区校级期末）若虚数使得是实数，则满足　　 A．实部是 B．实部是 C．虚部是 D．虚部是 20．（2023春•静安区期末）设，表示满足的最小正整数，则的值　　 A．6 B．7 C．8 D．9 21．（2024春•普陀区校级期中）已知是虚数单位，，复数，，则“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 22．（2023春•普陀区校级期末）在复平面中，复数为虚数单位）对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．（2023春•徐汇区校级期末）已知个两两互不相等的复数，，，，，，满足，且，，（其中，2；，1，2，，，则的最大值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 24．（2023春•奉贤区校级期末）已知复数，且为纯虚数． （1）求实数的值； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 25．（2023春•徐汇区校级期末）（1）公元1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为，数系扩充后这两个根分别记为若，求复数； （2）为了求方程的虚根，我们可以把原方程变形为，，则由此可以求得原方程的一个虚根，试求的实部． 26．（2024春•普陀区校级期中）已知是虚数单位，，，设复数，，，且． （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为，，且为复平面的坐标原点． ①是否存在实数，，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数，的值；如果不存在，请说明理由； ②若，，三点不共线，记的面积为，求及其最大值． 五．复数的模（共4小题） 27．（2023春•嘉定区校级期末）已知复数且，则的最小值是　　 A． B． C． D． 28．（2023春•杨浦区校级期末）已知，且，为虚数单位，则的最大值是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 29．（2024春•宝山区校级期中）已知复数满足，则　　． 30．（2024春•浦东新区校级期中）设复数满足，则当取最大值时，对应的复平面上点的坐标是 　　． 六．复数的三角表示（共5小题） 31．（2022春•浦东新区校级期末）的三角形式是　　 A． B． C． D． 32．（2022春•浦东新区校级月考）若复数为虚数单位），则　　． 33．（2022春•虹口区校级期末）已知复数，若复数满足，则复数的辐角主值为 　　． 34．（2022春•浦东新区校级期末）复数的辐角主值是 　　． 35．（2021春•徐汇区校级期末）已知，且，若． （1）求复数的三角形式，并且复数的辐角主值； （2）求． 七．实系数多项式虚根成对定理（共6小题） 36．（2023春•长宁区校级期末）在复数范围内，方程的两个根是　　． 37．（2022春•普陀区校级期末）若是关于的方程的一个虚数根，则　　． 38．（2023春•闵行区期末）若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则　　． 39．（2023春•浦东新区校级期末）若是关于的方程的一个根，则实数　　． 40．（2021春•静安区期末）设是实系数一元二次方程的根． （1）求出所有； （2）选取（1）中求出的一个值，计算 的值． 41．（2022春•徐汇区期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04复数（考点清单，知识导图+13个考点清单&题型解读） 一、数系的扩充和复数的概念 （1）复数的定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. （2）复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. （3）复数相等：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. （4）复数的分类 ①对于复数a＋bi（a，b∈R），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下： ， ②集合表示： 二、复数的几何意义 （1）复平面（复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部） （2）复数的几何意义 ①复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点z（a，b）. ②复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量. （3）复平面上的两点间的距离公式：（，）. （4）复数的模 ①定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值. ②记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. ③公式：|z|＝|a＋bi|＝（a，b∈R）. 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数，它的模就等于|a|（a的绝对值）. （5）共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. （6）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 （7）解复数方程 若，在复数集内有且仅有两个共轭复数根. 三、复数的加、减运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 ①运算法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. ②复数加法的几何意义：如图，复数z 1＋z 2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. ③加法运算律：对任意z 1，z 2，z 3∈c，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）. ④复数加法的几何意义：两个向量与的和就是与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行. （2）复数的减法法则 ①运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di是任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，两个复数的差是一个确定的复数. ②复数减法的几何意义：如图，复数z 1－z 2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数. 四、复数的乘、除运算 （1）复数的乘法运算 ①复数的乘法法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z 1·z 2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. ②复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有 交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 乘法对加法的分配律 z 1（z 2＋z 3）＝z 1 z 2＋z 1 z 3 结合律 （z 1·z 2）·z 3＝z 1·（z 2·z 3） （2）复数的除法运算 设z 1＝a＋bi，,z 2＝c＋di（c＋di≠0）），则 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi. 五、几个重要的结论 ①②③若为虚数，则 4、运算律 ① ② ③ 5、关于虚数单位i的一些固定结论： ①②③④ 六、复数的三角表示式 （1）复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. （2）辐角主值：规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz. 2、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 （1）复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cosθ1＋isinθ1)·r 2(cosθ2＋isinθ2)＝r 1 r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. （2）复数三角形式的除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 一．虚数单位i、复数（共6小题） 1．（2023春•奉贤区校级期末）是复数为纯虚数的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【分析】，时，复数为纯虚数，由此可确定是复数为纯虚数的必要不充分条件． 【解答】解：，时，复数为纯虚数，故，不能推出复数为纯虚数； 复数为纯虚数，则，，故复数为纯虚数可推出 故是复数为纯虚数的必要不充分条件 故选：． 【点评】本题重点考查四种条件，考查复数的分类，掌握复数为纯虚数的充要条件是关键． 2．（2023春•普陀区校级期中）复数的虚部是 　　． 【分析】利用复数的相关概念即可得解． 【解答】解：由复数虚部的概念，易知复数的虚部为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数虚部的定义，属于基础题． 3．（2023春•宝山区校级月考）已知复数，，若，求实数的取值范围 　，　． 【分析】根据复数相等得，利用换元法结合对勾函数单调性即可得到的范围． 【解答】解：， ，， ， ， ，令，， 根据对勾函数单调性可知函数在，上严格单调递减， ， 所以的范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查复数相等的条件，属于基础题． 4．（2023春•宝山区期末）在复数范围内，的所有平方根为 　　． 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：， 则的所有平方根为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题． 5．（2022春•浦东新区校级期末）已知复数，则　10　． 【分析】根据已知条件，结合实部的定义，即可求解． 【解答】解：， 则． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查实部的定义，属于基础题． 6．（2022春•金山区校级期末）已知复数，为实数），并且，则实数　　． 【分析】由复数相等的定义得到，从而，由此能求出结果． 【解答】解：复数，为实数），并且， ， 实数． 故答案为：． 【点评】本题考查实数值的求法，考查复数相等、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 二．复数的代数表示法及其几何意义（共5小题） 7．（2023•长宁区二模）设复平面上表示和的点分别为点和点，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据条件可写出表示向量的复数，然后即可得出该复数所位于的象限． 【解答】解：根据题意知，表示向量的复数为， 在复平面上所对应的点为位于第一象限． 故选：． 【点评】本题考查了复数和复平面内的点的对应关系，复数和向量的对应关系，考查了计算能力，属于基础题． 8．（2023春•虹口区校级期末）设复数的共轭复数是，且，又复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时在复平面上以，，三点为顶点的图形是　　 A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【分析】根据复数的几何意义，结合复数模长公式进行计算即可 【解答】解：， 设， 则， 则， 当，即，时取得最大值， 最大值为，此时， ，，， 则， 则对应三角形为等腰三角形． 故选：． 【点评】本题主要考查复数的几何意义，利用三角函数的性质求出对应最值，结合复数模长公式是解决本题的关键，属于中档题． 9．（2023春•杨浦区校级期末）已知复平面上有点和点，向量与向量所对应的复数分别为与，则点的坐标为 　　． 【分析】由向量的运算知，从而可得对应的复数为，从而求得． 【解答】解：， 对应的复数为， 故点的坐标为， 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的几何意义的应用，属于基础题． 10．（2023春•徐汇区校级期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 　　． 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解． 【解答】解：复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量， 则对应的复数是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题． 11．（2024春•浦东新区校级期中）已知复数满足，复数满足，则复数对应复平面上的点构成区域的面积是 　　． 【分析】由复数的几何意义可知，复数对应的点在以为圆心，半径长为1的圆上，又因为，而和表示点到原点和点的距离，再结合勾股定理和基本不等式求解即可． 【解答】解：因为，所以复数对应的点在以为圆心，半径长为1的圆上， ， 注意到和表示点到原点和点的距离，而三角形是直角三角形， 所以， 故，即对应的点到的距离不超过4， 所以对应的点构成以为圆心、半径长为4的圆，面积是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了复数的几何意义，属于中档题． 三．纯虚数（共6小题） 12．（2023春•浦东新区校级期末）已知复数为虚数单位）为纯虚数，则实数　　 A．2 B． C．或2 D． 【分析】直接由复数的实部等于0且虚部不等于0求解的值． 【解答】解：为虚数单位）为纯虚数， ，， 故选：． 【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，是基础题． 13．（2022春•黄浦区校级期末）已知纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为　　 A．1 B．3 C．1或3 D．0 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【解答】解：纯虚数， 则，解得． 故选：． 【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题． 14．（2023春•杨浦区校级期末）若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为 　4　． 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【解答】解：， 是纯虚数， ， 则且，解得，， 故正整数的最小值为4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查纯虚数定义，属于基础题． 15．（2023春•长宁区校级期末）若复数是纯虚数，则实数　　． 【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 【解答】解：是纯虚数， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题． 16．（2023春•黄浦区校级期中）若复数是纯虚数，则角　．　． 【分析】由已知可得，然后根据三角函数的性质即可求解． 【解答】解：由已知可得，则，， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查了虚数的定义，涉及到三角函数的性质，属于基础题． 17．（2023春•浦东新区校级期末）已知复数是纯虚数，且是实数，其中是虚数单位． （1）求复数； （2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围． 【分析】（1）设，且，化简得到，结合题意得到，即可求解； （2）由，求得，根据题意得到且，即可求解． 【解答】解：（1）由题意，设，其中且， 可得， 因为为实数，可得，解得，即． （2）解：由，则， 因为复数所表示的点在第一象限，可得且， 解得，所以实数的取值范围为． 【点评】本题主要考查纯虚数、实数的定义，以及复数的几何意义，属基础题． 四．复数的运算（共9小题） 18．（2024春•浦东新区校级期中）下列说法正确的是　　 A．设则是纯虚数的充要条件是 B．复数与在复平面中对应的点分别在轴上方和下方 C．设复数与满足，则 D．若复数与满足，则 【分析】结合复数的概念，以及特殊值法，即可求解． 【解答】解：一个复数是纯虚数的充要条件是实部为0且虚部不为0，故选项错误； 实数与其共轭复 数对应的点都在实轴上，故选项错误； 说明与都是实数，故正确； 选项对实数成立，但对虚数未必成，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查复数的概念，属于基础题． 19．（2023春•徐汇区校级期末）若虚数使得是实数，则满足　　 A．实部是 B．实部是 C．虚部是 D．虚部是 【分析】根据题意可设，、，且，代入计算，根据是实数求出的值． 【解答】解：设，、，且， 则， 因为是实数，所以，即，解得， 所以的实部是． 故选：． 【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，是基础题． 20．（2023春•静安区期末）设，表示满足的最小正整数，则的值　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：因为，， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题． 21．（2024春•普陀区校级期中）已知是虚数单位，，复数，，则“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合复数相等的有关概念即可得到结论． 【解答】解：复数，， 若， 则，解得或， “”是“”的充分非必要条件． 故选：． 【点评】本题主要充分条件和必要条件的判断，利用复数相等的有关概念是解决本题的关键，是基础题． 22．（2023春•普陀区校级期末）在复平面中，复数为虚数单位）对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：对应的点位于第四象限． 故选：． 【点评】本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题． 23．（2023春•徐汇区校级期末）已知个两两互不相等的复数，，，，，，满足，且，，（其中，2；，1，2，，，则的最大值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】由题意，设，，，，，根据，得到，此时，对于平面内距离为2的点，作出函数图象，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：不妨设，，，，， 因为满足， 所以， 即， 整理得到， 所以，对于平面内距离为2的点， 因为，， 所以与，对应的点的距离为1或3， 则构成了点、、、、共5个点， 故的最大值为5． 故选：． 【点评】本题考查复数的运算，考查了逻辑推理、数形结合和运算能力． 24．（2023春•奉贤区校级期末）已知复数，且为纯虚数． （1）求实数的值； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解； （2）根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解． 【解答】解：（1）复数， 则， 为纯虚数，即为纯虚数， ，解得； （2）， 复数， 复数对应的点在第二象限， ，解得， 故实数的取值范围为． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题． 25．（2023春•徐汇区校级期末）（1）公元1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为，数系扩充后这两个根分别记为若，求复数； （2）为了求方程的虚根，我们可以把原方程变形为，，则由此可以求得原方程的一个虚根，试求的实部． 【分析】（1）根据复数的计算规则进行计算即可； （2）由于一元二次方程的两虚根是共轭的，所以其实部的2倍等于两根之和． 【解答】解：（1）由题意，； （2）令 ， 则，，是方程的两根， 由于的两根为，所以设的实部为，则，即． 【点评】本题主要考查复数的基本性质，属中档题． 26．（2024春•普陀区校级期中）已知是虚数单位，，，设复数，，，且． （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为，，且为复平面的坐标原点． ①是否存在实数，，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数，的值；如果不存在，请说明理由； ②若，，三点不共线，记的面积为，求及其最大值． 【分析】（1）计算，然后使其实部为零，虚部不为零，再结合可求出，的值，从而可求出求； （2）①方法一：由题意可得，然后解关于，的方程组可得结果，方法二：设，则，再由题意得，从而可求得结果， ②设向量的夹角为，，设复数所对应的向量为，则，化简后再利用可求得其最大值． 【解答】解：（1）因为复数， 所以， 而为纯虚数，因此，即． 又因为，且，所以， 由，解得或， 所以或． （2）①存在，理由如下： 法一：由题意知：，得， 解得或， 因为逆时针旋转后与重合，所以； 法二：设，是以轴正半轴为始边，为终边的角，则， 所以即， 所以，所以， 且时，满足． 所以． ②因为复数，对应的向量分别是为坐标原点），且，，三点不共线， 所以设向量的夹角为，，设复数所对应的向量为， 则且， 因此的面积， ， 设，则， 当且仅当且，即或时等号成立， 所以，其最大值为2． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题． 五．复数的模（共4小题） 27．（2023春•嘉定区校级期末）已知复数且，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【分析】利用复数模的几何意义求解运算． 【解答】解：，则对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上， 如图， 的最小值是复数对应的点到原点的距离减去半径1， 即． 故选：． 【点评】本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题． 28．（2023春•杨浦区校级期末）已知，且，为虚数单位，则的最大值是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解． 【解答】解：设， ， ，即，表示以点为圆心，1为半径的圆， ，表示圆上的点到点的距离， 的最大值是． 故选：． 【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题． 29．（2024春•宝山区校级期中）已知复数满足，则　　． 【分析】利用复数的模的性质进行计算． 【解答】解：由， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到模的求解，属于基础题． 30．（2024春•浦东新区校级期中）设复数满足，则当取最大值时，对应的复平面上点的坐标是 　，　． 【分析】根据复数模的几何意义求解． 【解答】解：由题意，对应的点在以为圆心，半径为1的圆上，连接并延长至， 可得到的距离最大，最大值为，此时，． 故答案为：，． 【点评】本题考查复数的几何意义，属于中档题． 六．复数的三角表示（共5小题） 31．（2022春•浦东新区校级期末）的三角形式是　　 A． B． C． D． 【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查化复数的代数形式为三角形式，考查三角函数值的求法，是基础题． 32．（2022春•浦东新区校级月考）若复数为虚数单位），则　　． 【分析】化为复数的三角形式即可得出结论． 【解答】解：复数， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的三角形式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 33．（2022春•虹口区校级期末）已知复数，若复数满足，则复数的辐角主值为 　　． 【分析】结合复数的四则运算，先对化简，再结合辐角的定义，即可求解． 【解答】解：，， ， 故复数的辐角主值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及辐角的定义，属于基础题． 34．（2022春•浦东新区校级期末）复数的辐角主值是 　　． 【分析】判断复数所在象限及辐角的正切值，求出辐角的主值． 【解答】解：复数的模是，因为对应的点在第一象限且辐角的正切，它的辐角主值为， 三角形式为：， 所以复数的辐角主值是， 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的模及辐角主值以及复数三角形式的求法，是基础题． 35．（2021春•徐汇区校级期末）已知，且，若． （1）求复数的三角形式，并且复数的辐角主值； （2）求． 【分析】（1）直接利用三角变换可得复数的三角形式及辐角主值； （2）设，结合求得，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解． 【解答】解：（1）， 则； （2）设， ，， ，， ，则，， ，则， 则． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题． 七．实系数多项式虚根成对定理（共6小题） 36．（2023春•长宁区校级期末）在复数范围内，方程的两个根是　　． 【分析】方程的根的判别式：△，再用一元二次方程的求根的公式可以得出原方程的解． 【解答】解：根据题意，：△ 所以原方程的根为：是虚数单位） 整理，得， 故答案为： 【点评】本题考查了一元二次方程根的求解，属于基础题．当根的判别式小于0时，方程有一对共轭的虚数根． 37．（2022春•普陀区校级期末）若是关于的方程的一个虚数根，则　25　． 【分析】由已知可得是关于的方程的另一个虚数根，再由根与系数的关系求解． 【解答】解：是关于的方程的一个虚数根， 是关于的方程的另一个虚数根， 则． 故答案为：25． 【点评】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，是基础题． 38．（2023春•闵行区期末）若是关于的实系数一元二次方程的一个根，则　5　． 【分析】由是关于的实系数一元二次方程的一个根，可得也是关于的实系数一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系即可得出． 【解答】解：是关于的实系数一元二次方程的一个根， 则也是关于的实系数一元二次方程的一个根， 则． 故答案为：5． 【点评】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 39．（2023春•浦东新区校级期末）若是关于的方程的一个根，则实数　2　． 【分析】利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理求解即可． 【解答】解：是关于的方程的一个根， 所以，也是关于的方程的一个根， 所以． 故答案为：2． 【点评】本题考查实系数方程虚根成对定理的应用，韦达定理的应用，是基础题． 40．（2021春•静安区期末）设是实系数一元二次方程的根． （1）求出所有； （2）选取（1）中求出的一个值，计算 的值． 【分析】（1）利用实系数方程求解复数根即可． （2）代入复数，化简求解即可． 【解答】解：（1）， 可得，解得；， （2）时，原式； 时，． 【点评】本题考查实系数方程虚根成对定理的应用，是基础题． 41．（2022春•徐汇区期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【分析】（1）由△，求解不等式即可得答案； （2）由关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，从而即可求解． 【解答】（1）解：因为关于的实系数一元二次方程有两个虚根和， 所以△，解得， 所以的取值范围为； （2）解：因为关于的实系数一元二次方程的两个虚根为， 所以，所以，解得． 【点评】本题考查多项式的根，考查学生的运算能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$