专题02 三角函数（考点清单，知识导图+13个考点清单&题型解读）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修二）

专题02 三角函数（考点清单，知识导图+13个考点清单&题型解读） 1．正弦曲线 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线． 2．正弦函数图象的画法 (1)几何法： ①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象； ②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法： ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． 3．余弦曲线 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线． 4．余弦函数图象的画法 (1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可． (2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． 5．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 6．正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值 函数 y＝sin x y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 解析式 y＝sin x y＝cos x 图象 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 在＋2kπ，k∈Z上单调递增， 在＋2kπ，k∈Z上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减 最值 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 7.正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 对称中心 ，k∈Z 单调性 在开区间，k∈Z内都是增函数 一．正弦函数的图象（共3小题） 1．（2024春•宝山区校级月考）已知函数的初始相位为，若在区间，上有且只有三条对称轴，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•嘉定区校级期中）已知，，，函数，对任意正整数，有，且集合，，的元素个数为3，则满足要求的（1）的取值集合　　． 3．（2024春•黄浦区校级期中）已知，，，常数满足，若集合中恰有6个元素，则的取值构成的集合为 　　． 二．正弦函数的定义域和值域（共4小题） 4．（2024春•浦东新区校级期中）函数在，上的定义域为 　　． 5．（2023春•虹口区校级期中）若函数的定义域是，，值域是，，则的最大值是 　　． 6．（2023春•黄浦区期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，若其终边过点，则函数，的值域为 　　． 7．（2024春•虹口区校级期中）已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，，求的值域． 三．正弦函数的单调性（共5小题） 8．（2024春•长宁区校级期中）设函数在区间，上是增函数，则的取值范围为　　． 9．（2024春•普陀区校级期中）函数包含的一个严格增区间是 　　． 10．（2024春•嘉定区校级期中）已知函数，其中在，，上是严格增函数，则的最大值为 　　． 11．（2024春•浦东新区期中）已知函数． （1）求的单调增区间； （2）求函数在的值域． 12．（2024春•普陀区校级期中）已知，设． （1）若，求函数，，的单调减区间； （2）设为锐角，若函数的最小正周期为，且为偶函数，求的大小以及的值． 四．正弦函数的奇偶性和对称性（共5小题） 13．（2024春•黄浦区校级期中）已知函数是偶函数，则的最小值是 　　． 14．（2023春•徐汇区校级期中）若函数为偶函数，则　　． 15．（2022春•闵行区校级期中）若函数关于直线对称，则　　． 16．（2023春•虹口区校级期中）已知函数的图象关于直线成轴对称图形，则实数　　． 17．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数的对称中心到对称轴的最小距离为，将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，且关于函数有下列四种说法： ①是的一个对称轴； ②是的一个对称中心； ③在上单调递增； ④若，则，． 以上四个说法中，正确的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 五．余弦函数的图象（共6小题） 18．（2024春•黄浦区校级期中），，的单调减区间是 　　． 19．（2024春•宝山区校级月考）若函数，是奇函数，则　　． 20．（2024春•黄浦区期中）方程在，内的解为　　． 21．（2024春•杨浦区校级期中）设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为　　 A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 22．（2024春•浦东新区校级期中）函数的定义域为　　 A． B． C． D． 23．（2024春•宝山区校级期中）函数的简图是　　 A． B． C． D． 六．余弦函数的单调性（共3小题） 24．（2024春•长宁区校级期中）函数的严格增区间是 　　． 25．（2022秋•静安区校级期中）若在上为严格减函数，则的最大取值为　　． 26．（2024春•虹口区校级期中）已知函数，且在，上单调递减，在，上单调递增，则实数的取值范围是 　　． 七．余弦函数的对称性（共3小题） 27．（2024春•浦东新区校级期中）函数是　　 A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 28．（2024春•浦东新区校级期中）设函数的一个对称中心是，则　　． 29．（2021春•徐汇区校级期中）已知函数（其中，． （1）若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若存在实数、使得是奇函数，且在上是严格增函数，请写出符合条件的两组与的值，并验证其符合题意； （3）在（2）的条件下，求出所有符合题意的与的值． 八．正切函数的图象（共4小题） 30．（2024春•浦东新区校级期中）函数，的最大值为 　　． 31．（2024春•嘉定区校级期中）我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”．而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行扫线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图像中的两条和邻“平行曲线”与直线相交于、两点，且，已知命题：①；②函数在，上有4048个零点，则以下判断正确的是　　 A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 32．（2024春•宝山区校级月考）已知函数的最小正周期为，则方程在，上的解集为 　　． 33．（2023春•虹口区校级期末）已知函数，其中． （1）若，求函数的最小正周期以及函数图像的对称中心； （2）若在闭区间，上是严格增函数，求正实数的取值范围． 九．正切函数的定义域和值域（共2小题） 34．（2024春•嘉定区校级期中）求函数的定义域 　　． 35．（2022春•普陀区校级期中）函数的定义域是　　． 一十．正切函数的单调性和周期性（共2小题） 36．（2022•宝山区模拟）函数的最小正周期为　　． 37．（2024春•宝山区校级期中）若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是 　　． 一十一．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象（共3小题） 38．（2023春•静安区校级月考）已知． （1）若，求的单调递增区间； （2）若，求的最大值，并指出相应的值； （3）当时，的值域； （4）作出函数的大致图象． 39．（2023春•长宁区校级期中）已知函数，． （1）用“五点作图法”画出函数在一个周期内的图像（体现作图过程）； （2）若的图像关于点对称，且，求的值； （3）不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 40．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数． （Ⅰ）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； （Ⅱ）若方程在上有解，求实数的取值范围； （Ⅲ）若图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到函数，求的单调递增区间． 一十二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共8小题） 41．（2024春•黄浦区校级期中）对于函数，给出下列结论： （1）函数的图像关于点对称； （2）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像； 则下列说法正确的是　　 A．（1）（2）都正确 B．（1）正确（2）错误 C．（1）错误（2）正确 D．（1）（2）都错误 42．（2024春•虹口区校级期中）已知，关于该函数有下面两种说法， ①当时，的取值范围为 ②的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 下列判断正确的是　　 A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 43．（2024春•浦东新区校级期中）将函数的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为　 　． 44．（2024春•虹口区校级期中）已知． （1）某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下： 0 0 0 0 请填写表中的空格，并写出函数的表达式： （2）若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合； （3）对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得． 45．（2023春•徐汇区校级期中）已知函数 （1）化简的表达式． （2）若的最小正周期为，求的单调区间 （3）将（2）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称．若对于任意的实数，函数与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围． 46．（2024春•嘉定区校级期中）已知函数，其中． （1）若，，求的值； （2）若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在，，且上恰好有4个零点，求的最小值； （3）令，，对任意实数，．当时，有成立．将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值． 47．（2024春•静安区校级期中）某同学用“五点法”画函数，在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 （1）请填写上表的空格处，并写出函数的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调递增区间； （3）在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数的值． 48．（2024春•宝山区校级月考）已知函数． （1）某同学打算用“五点法”画出函数再某一周期内的图像，列表如表： 0 0 1 0 0 0 0 0 请填写表的空格处，并写出函数的解析式； （2）若函数，将图像上各点的纵坐标不变、横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位，得到函数的图像，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点的个数． 一十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共4小题） 49．（2024春•闵行区期中）函数（其中，，的部分图象如图所示，则的解析式是　　 A． B． C． D． 50．（2024春•宝山区校级期中）如图所示为的部分图像，点和点之间的距离为5，那么　　． 51．（2024春•浦东新区校级期中）函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为 　　． 52．（2024春•浦东新区校级月考）某同学用“五点法”面函数，在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 （1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式； （2）当，时，求的解集． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al (y＝Asinωx＋φ,的性质)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(定义域：R,值域：[－|A|，|A|],周期：T＝\f(2π,|ω|),奇偶性：φ＝kπk∈Z为奇函数，φ＝kπ＋\f(π,2)k∈Z为偶函数,单调性：有单调递增、递减区间,对称性：对称中心\f(kπ－φ,ω)，0k∈Z，对称轴x＝\f(kπ＋\f(π,2)－φ,ω)k∈Z)),实际应用：在生活、建筑、物理、航海等方面的应用)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三角函数\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(三角函数的定义：sinα＝\f(y,r)，cosα＝\f(x,r)，tanα＝\f(y,x),诱导公式：2kπ＋αk∈Z，－α，π±α，\f(π,2)±α，2π－α)),性质\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝sinx：x∈R，y∈[－1，1]，T＝2π，奇函数，有单调递增和递减区间,y＝cosx：x∈R，y∈[－1，1]，T＝2π，偶函数，有单调递增和递减区间,y＝tanx：x≠kπ＋\f(π,2)，y∈R，T＝π，奇函数，仅有单调增区间)))) $$ 专题02 三角函数（考点清单，知识导图+13个考点清单&题型解读） 1．正弦曲线 正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫正弦曲线． 2．正弦函数图象的画法 (1)几何法： ①利用单位圆画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象； ②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法： ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接； ②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． 3．余弦曲线 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线． 4．余弦函数图象的画法 (1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可． (2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． 5．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 6．正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值 函数 y＝sin x y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数 解析式 y＝sin x y＝cos x 图象 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性 在＋2kπ，k∈Z上单调递增， 在＋2kπ，k∈Z上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减 最值 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 7.正切函数的图象与性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 对称中心 ，k∈Z 单调性 在开区间，k∈Z内都是增函数 一．正弦函数的图象（共3小题） 1．（2024春•宝山区校级月考）已知函数的初始相位为，若在区间，上有且只有三条对称轴，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据的取值范围，确定，结合在区间，上有且只有三条对称轴，列出不等式，即可求得答案． 【解答】解：由于函数的初始相位为， 即，当，时，， 由于在区间，上有且只有三条对称轴，故， 解得． 故选：． 【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题． 2．（2024春•嘉定区校级期中）已知，，，函数，对任意正整数，有，且集合，，的元素个数为3，则满足要求的（1）的取值集合　，1，　． 【分析】由，可得函数周期为4，进而可的值，由周期为4，列举（1）、（2）、（3）、（4），结合集合元素的互异性得到可能的的值，进而求得（1）的值． 【解答】解：因为对任意正整数，有， 所以函数周期为4， 则， 所以， 则（1），（2）， （3），（4）， 而集合中只有3个元素，根据集合元素的互异性，说明以上四个值中一定有两个是相等的， 若（1）（2），即，则（3）（4），集合中只有2个元素，不合题意； 若（1）（4），即，则（2）（3），集合中只有2个元素，不合题意； 若（1）（3），即，则，得或， 此时（1）； 若（2）（4），即，则，得或0， 此时（1）或； 综上，（1）的值为0或1或， 所以，1，． 故答案为：，1，． 【点评】本题考查了三角函数的性质、分类讨论思想，属于中档题． 3．（2024春•黄浦区校级期中）已知，，，常数满足，若集合中恰有6个元素，则的取值构成的集合为 　　． 【分析】根据，，，集合有6个元素，利用和差化积进行求解，利用函数的性质求解． 【解答】解：因为， 设， 则 ， 所以函数， 最小正周明． 由集合有6个元素，则可得到在半个周期内存在6个不同的值， 即， 化简， 即， 又因为，， 所以， 即． 故答案为：． 【点评】本题主要运用和差化积的求解公式，再运用三角函数的性质进行求解，属于中档题． 二．正弦函数的定义域和值域（共4小题） 4．（2024春•浦东新区校级期中）函数在，上的定义域为 　，　． 【分析】直接根据满足的条件列不等式即可． 【解答】解：因为函数， 所以， 所以函数在，上的定义域为：，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查函数的定义域和正弦函数的性质应用，属于基础题． 5．（2023春•虹口区校级期中）若函数的定义域是，，值域是，，则的最大值是 　　． 【分析】根据题意，利用正弦函数的图象与性质，即可得出结论． 【解答】解：的定义域是，，值域是，， 令， 即函数的定义域为，，值域是，， 结合正弦函数的图象与性质， 不妨取，， 此时取得最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目． 6．（2023春•黄浦区期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，若其终边过点，则函数，的值域为 　，　． 【分析】根据角的终边过点求出，再求时的最小、最大值即可． 【解答】解：因为角的终边过点，所以， 又因为，所以， 所以函数， 时，，， 所以时，取得最小值为， 时，取得最大值为1， 所以的值域为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 7．（2024春•虹口区校级期中）已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若，，求的值域． 【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质求出函数的单调递增区间； （2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值． 【解答】解：（1）函数， 令， 可得，， 故函数的单调递增区间为：； （2），，可得，， 结合正弦函数的性质可得，当，即时，有最小值为， 当，即时，有最大值为2， 即函数的值域为． 【点评】本题主要考查正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 三．正弦函数的单调性（共5小题） 8．（2024春•长宁区校级期中）设函数在区间，上是增函数，则的取值范围为　，　． 【分析】结合函数的单调性建立不等式关系即可． 【解答】解：，且在，上为增函数， 若函数在区间，上是增函数， 则，即， 得， 得， 即的取值范围为，， 故答案为：， 【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用，结合三角函数过原点的单调递增区间为，，建立不等式关系是解决本题的关键． 9．（2024春•普陀区校级期中）函数包含的一个严格增区间是 　（答案不唯一）　． 【分析】由已知结合正切函数的单调性先求出正切函数单调递增区间，即可求解． 【解答】解：令，， 则，， 则包含的一个严格增区间． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了正切函数单调性的应用，属于基础题． 10．（2024春•嘉定区校级期中）已知函数，其中在，，上是严格增函数，则的最大值为 　　． 【分析】由整体代入法得函数的单调递增区间，对比，，即可得解． 【解答】解：由于函数满足的单调递增区间为，， 解得，； 故函数的单调递增区间为，； 故，； 故，，即的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正弦函数单调性的应用，属于基础题． 11．（2024春•浦东新区期中）已知函数． （1）求的单调增区间； （2）求函数在的值域． 【分析】（1）由题意，根据正弦函数的单调性，求出的增区间． （2）由题意，根据正弦函数的定义域和值域，求出的值域． 【解答】解：（1）对于函数，令，， 求得，， 可得的单调增区间为，，． （2）在上，，， ，，，， 故函数在的值域为，． 【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，定义域和值域，属于基础题． 12．（2024春•普陀区校级期中）已知，设． （1）若，求函数，，的单调减区间； （2）设为锐角，若函数的最小正周期为，且为偶函数，求的大小以及的值． 【分析】（1）由已知结合正弦函数的单调性即可求解； （2）结合周期公式先求出，然后结合正弦函数的奇偶性可求，再由二倍角公式及和差角公式对所求式子进行化简，代入即可求解． 【解答】解：（1）若，则， 令，， 解得，， 故，的单调减区间为，； （2）若函数的最小正周期为，则， 所以， 因为为偶函数， 所以，， 则，， 因为为锐角， 所以， ． 【点评】本题主要考查了正弦函数周期性，单调性的应用，还考查了正弦函数奇偶性的应用，还考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题． 四．正弦函数的奇偶性和对称性（共5小题） 13．（2024春•黄浦区校级期中）已知函数是偶函数，则的最小值是 　　． 【分析】直接利用正弦型函数的性质求出结果． 【解答】解：函数是偶函数， 则，整理得，； 当时，的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 14．（2023春•徐汇区校级期中）若函数为偶函数，则　　． 【分析】利用正弦函数的奇偶性可得，再结合可得答案． 【解答】解：若函数为偶函数， 则， 又， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查正弦函数的奇偶性及其应用，属于基础题． 15．（2022春•闵行区校级期中）若函数关于直线对称，则　　． 【分析】先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性可求． 【解答】解：因为为辅助角）关于直线对称， 则， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性的应用，属于基础题． 16．（2023春•虹口区校级期中）已知函数的图象关于直线成轴对称图形，则实数　　． 【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性，可得，由此求得的值． 【解答】解：函数的图象关于直线成轴对称图形，故当时，函数值为最值， ， 则实数， 故答案为：． 【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于中档题． 17．（2024春•浦东新区校级期中）已知函数的对称中心到对称轴的最小距离为，将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称，且关于函数有下列四种说法： ①是的一个对称轴； ②是的一个对称中心； ③在上单调递增； ④若，则，． 以上四个说法中，正确的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用三角函数性质可得，代入验证检验可得①正确；②错误；根据正弦函数单调性利用整体代换法可得③错误；由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期，即任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍，可得④正确． 【解答】解：根据题意由对称中心到对称轴的最小距离为，可得，即，得； 将的图象向右平移个单位长度后可得，其图象关于轴对称， 所以为偶函数，则，， 解得，， 由可知当时，符合题意； 由可得， 因此； 对于①，当时，，取得最大值， 所以是的一个对称轴，即①正确； 对于②，当时，， 所以不是的一个对称中心，即②错误； 对于③，当时，可得，又在上不单调， 所以在上不是单调递增的，所以③错误； 对于④，若，由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期， 所以任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍， 由的周期为可得，，即④正确； 所以正确的个数只有①和④，共2个． 故选：． 【点评】本题主要考查了由部分函数性质求解的解析式，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题． 五．余弦函数的图象（共6小题） 18．（2024春•黄浦区校级期中），，的单调减区间是 　，　． 【分析】利用余弦函数的图像即可得到函数的单调递减区间． 【解答】解：如图所示， 由余弦函数的图像可知，在，上的单调递减区间为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查余弦函数的单调性，属于简单题． 19．（2024春•宝山区校级月考）若函数，是奇函数，则　　． 【分析】根据正余弦函数的奇偶性，结合诱导公式，即可得解． 【解答】解：因为是奇函数， 所以，， 又，，所以． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握正余弦函数的奇偶性，诱导公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 20．（2024春•黄浦区期中）方程在，内的解为　　． 【分析】由的范围，可得方程的唯一解． 【解答】解：设，，，则函数单调递减， 又因为， 所以方程在，内有唯一解为． 故答案为：． 【点评】本题考查方程根与函数的零点的关系及三角函数的单调性的应用，属于基础题． 21．（2024春•杨浦区校级期中）设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为　　 A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【分析】分，时和的其它整数两种情况讨论，由函数在，，函数单调递减，且为半个周期的所有函数值，可得集合中的元素个数． 【解答】解：，则，， 当，且时，恰好为半个周期的值的所有的值， 此时函数，，单调递减， 所以此时函数值有1013个，当为其它整数时，其函数值都包含在，的范围内． 故选：． 【点评】本题考查三角函数的单调性的应用及函数值的个数的求法，属于基础题． 22．（2024春•浦东新区校级期中）函数的定义域为　　 A． B． C． D． 【分析】根据给定的函数，列出不等式，再解三角不等式即得． 【解答】解：函数的意义，则，即，解得， 所以函数的定义域为． 故选：． 【点评】本题考查的知识点：函数的定义域，三角函数的不等式，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 23．（2024春•宝山区校级期中）函数的简图是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用余弦函数的图象和函数图象的平移变换求出结果． 【解答】解：根据函数，，， 如图所示： 将函数，，的图象向上平移1个单位得到的简图， 如图所示： ． 故选：． 【点评】本题考查的知识点：余弦函数的图象，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 六．余弦函数的单调性（共3小题） 24．（2024春•长宁区校级期中）函数的严格增区间是 　　． 【分析】直接利用余弦型函数的性质求出结果． 【解答】解：令：，，整理得，． 故函数的单调递增区间为：． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点：余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 25．（2022秋•静安区校级期中）若在上为严格减函数，则的最大取值为　　． 【分析】由复合函数的单调性求出函数的减区间，再由函数在上为严格减函数，可得关于的不等式，求解得答案． 【解答】解：由， 得，． 取，可得函数的一个减区间为， 在上为严格减函数， ，得． 的最大取值为． 故答案为：． 【点评】本题考查余弦函数的单调性，熟记余弦函数的减区间是关键，考查运算求解能力，是基础题． 26．（2024春•虹口区校级期中）已知函数，且在，上单调递减，在，上单调递增，则实数的取值范围是 　　． 【分析】由已知先求出余弦函数的单调递增及递减区间，结合已知单调性即可得关于的不等式组，可求． 【解答】解：因为在，上单调递减，在，上单调递增， 若在，上单调递减，在，上单调递增， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了余弦函数单调性的应用，属于中档题． 七．余弦函数的对称性（共3小题） 27．（2024春•浦东新区校级期中）函数是　　 A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数 【分析】先利用诱导公式将函数化为，再利用奇函数的定义和周期计算公式证明其为最小正周期为的奇函数即可 【解答】解： ， 函数为最小正周期为的奇函数 故选：． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的定义，三角函数的图象和性质，诱导公式的应用，属基础题 28．（2024春•浦东新区校级期中）设函数的一个对称中心是，则　　． 【分析】根据余弦函数的性质可解． 【解答】解：因为余弦函数的对称中心的横坐标也是函数零点， 则， 即， 则，， 又， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查余弦函数的性质，属于中档题． 29．（2021春•徐汇区校级期中）已知函数（其中，． （1）若，，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若存在实数、使得是奇函数，且在上是严格增函数，请写出符合条件的两组与的值，并验证其符合题意； （3）在（2）的条件下，求出所有符合题意的与的值． 【分析】（1）先利用诱导公式化简，然后由奇函数和偶函数的定义进行判断即可； （2）先猜想出两组、，然后代入函数进行化简，再判断是否符合条件即可； （3）先利用函数为奇函数得到，然后分与，两种情况，由诱导公式先化简，再利用的单调性进行分析，即可求出和的值． 【解答】解：（1）若，，则，定义域为， 所以，故为奇函数； （2）猜想或． 由可知，，则为奇函数且在上是严格增函数； 由可知，，则为奇函数且在上是严格增函数； （3）因为为奇函数，则有， 所以，即，因为， 所以，则，解得， 当时，为奇函数， 因为在上是严格增函数，所以， 由，解得，则有， 所以，解得，又， 所以或，则； 当时，为奇函数， 因为在上是严格增函数，所以， 由，解得，则有， 所以，解得，又， 所以或，则． 综上所述，或． 【点评】本题考查了三角函数性质的综合应用，考查了三角函数奇偶性与单调性的运用，诱导公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题． 八．正切函数的图象（共4小题） 30．（2024春•浦东新区校级期中）函数，的最大值为 　　． 【分析】利用正切函数的单调性即可求最值． 【解答】解：当时，，且在上单调递增， 又，，所以的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查正切函数的最值问题． 31．（2024春•嘉定区校级期中）我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”．而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行扫线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图像中的两条和邻“平行曲线”与直线相交于、两点，且，已知命题：①；②函数在，上有4048个零点，则以下判断正确的是　　 A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【分析】求解函数的周期，推出，然后求解函数的零点个数． 【解答】解：由题意可得：，所以，所以，所以①不正确． 函数图像，在一个周期内，只有一个零点， 所以函数在，上有4048个周期，因此，函数有4048个零点，所以②正确． 故选：． 【点评】本题考查正切函数的图象与性质的应用，是基础题． 32．（2024春•宝山区校级月考）已知函数的最小正周期为，则方程在，上的解集为 　，，，，　． 【分析】根据正切函的最小正周期求出，再求方程在，上的解即可． 【解答】解：因为函数的最小正周期为，解得， 所以方程为，即，所以，解得或， 所以在，上的的解为0，，和，的解为和， 所以原方程的解集为，，，，． 故答案为：，，，，． 【点评】本题考查了正切函数的图象与性质应用问题，是基础题． 33．（2023春•虹口区校级期末）已知函数，其中． （1）若，求函数的最小正周期以及函数图像的对称中心； （2）若在闭区间，上是严格增函数，求正实数的取值范围． 【分析】（1）由题意，利用正切函数的周期性和图象的对称性，得出结论． （2）由题意，利用正切函数的单调性，得出结论． 【解答】解：（1）若，则函数， 故函数的最小正周期为． 令，，求得，， 可得函数图像的对称中心为，，． （2）若在闭区间，上是严格增函数， ，， 则，求得， 故正实数的取值范围为． 【点评】本题主要考查正切函数的定义和性质，属于基础题． 九．正切函数的定义域和值域（共2小题） 34．（2024春•嘉定区校级期中）求函数的定义域 　，　． 【分析】根据正切函数的定义域即可得出结果． 【解答】解：令，，即，， 则函数的定义域为，． 【点评】本题考查正切函数的定义域，属于基础题． 35．（2022春•普陀区校级期中）函数的定义域是　，　． 【分析】根据正切函数有意义的条件是不等于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围，即为所求函数的定义域． 【解答】解：由，解得， 则函数的定义域是，． 故答案为：， 【点评】此题考查了正切函数的定义域，要求学生掌握正切函数的图象与性质，以及正切函数有意义的条件． 一十．正切函数的单调性和周期性（共2小题） 36．（2022•宝山区模拟）函数的最小正周期为　　． 【分析】直接利用正切函数的周期公式，求出函数的最小正周期． 【解答】解：因为函数，所以． 所以函数的最小正周期为． 故答案为：． 【点评】本题是基础题，考查正切函数的周期的求法，考查计算能力，送分题． 37．（2024春•宝山区校级期中）若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是 　　． 【分析】根据正切函数的性质即可得． 【解答】解：令，且在上为严格增函数， 故，解得． 故答案为． 【点评】本题考查三角函数的性质，属于基础题． 一十一．五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象（共3小题） 38．（2023春•静安区校级月考）已知． （1）若，求的单调递增区间； （2）若，求的最大值，并指出相应的值； （3）当时，的值域； （4）作出函数的大致图象． 【分析】（1）先利用二倍角和降幂公式，再利用辅助角公式化一角一函数，就可借助正弦函数的单调增区间即可求得函数的单调递增区间； （2）直接根据三角函数的有界性，求其最值，并求对应的值； （3）通过的范围，求出的范围，进而求出，可得的值域． （4）根据五点法作图可得． 【解答】解：（1）， 由，得， 的单调增区间为． （2）当，即，得时，取最大值为2． （3），， 则，， 即当时，的值域为，． （4）根据五点法作一个周期函数图象，列表： 0 0 2 0 0 描点连线可得图象如图： 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，利用函数单调性和最值性的性质进行求解是解决本题的关键，是中档题． 39．（2023春•长宁区校级期中）已知函数，． （1）用“五点作图法”画出函数在一个周期内的图像（体现作图过程）； （2）若的图像关于点对称，且，求的值； （3）不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）化简解析式，由“五点作图法”，列表描点作图，可得答案； （2）由正弦函数的对称中心，解方程可得所求的值； （3）由正弦函数的图像和性质，求得在上的最值，再由绝对值不等式的解法和不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【解答】解：（1）函数， 由“五点法”，列表如下： 0 0 2 0 0 描点，作图如下： （2）， 由的图像关于点对称，可得， 即，，解得，， 由于，可取，可得； （3）由，可得，， 则，，的最小值为1，最大值为2， 不等式对任意的恒成立， 等价为对任意的恒成立， 因为的最大值为，的最小值为， 则，可得的取值范围是． 【点评】本题考查五点法作函数的图像，三角函数的对称性和最值，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 40．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数． （Ⅰ）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； （Ⅱ）若方程在上有解，求实数的取值范围； （Ⅲ）若图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到函数，求的单调递增区间． 【分析】（Ⅰ）利用列表、描点、连线法画出在一个周期上的图象； （Ⅱ）利用三角函数的图象与性质即可求出的取值范围； （Ⅲ）求出函数横坐标伸长为原来的2倍得函数的解析式，再把所得函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，写出解析式，然后利用正弦函数的性质即可求解的单调递增区间． 【解答】解：（Ⅰ）列表： 0 0 1 0 0 描点连线画出函数在一个周期上的图象如图所示：（5分） 说明：其它周期上的图象同等给分；个别关键点错误酌情给分． （Ⅱ），可得：，， ，， 方程在上有解， 实数的取值范围为：，；（8分） （Ⅲ）若图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到函数，求． 将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的图象， 再将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 令，，解得：，， 可得的单调递增区间为：，，．（12分） 【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查三角函数的化简，正弦函数的单调性，函数的图象变换，熟练掌握的图象变换法则及方法是解答本题的关键，属于中档题． 一十二．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共8小题） 41．（2024春•黄浦区校级期中）对于函数，给出下列结论： （1）函数的图像关于点对称； （2）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像； 则下列说法正确的是　　 A．（1）（2）都正确 B．（1）正确（2）错误 C．（1）错误（2）正确 D．（1）（2）都错误 【分析】（1）利用二倍角公式，两角差的正弦公式化简函数解析式可得，利用正弦函数的性质即可判断； （2）利用函数的图象变换即可判断． 【解答】解：（1）， 因为， 所以函数的图像不关于点对称，错误； （2）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，正确． 故选：． 【点评】本题考查了二倍角公式，两角差的正弦公式的应用，考查了正弦函数的性质，函数的图象变换，属于基础题． 42．（2024春•虹口区校级期中）已知，关于该函数有下面两种说法， ①当时，的取值范围为 ②的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 下列判断正确的是　　 A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【分析】直接利用函数关系式的变换和正弦型函数的性质判断①②的结论． 【解答】解：由于，由于，故，故函数的值域为，故①错误； 函数向右平移个单位，得到函数的图象，故②正确． 故选：． 【点评】本题考查的知识点：三角函数关系式的变换，函数图象的平移变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 43．（2024春•浦东新区校级期中）将函数的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为　　． 【分析】直接利用三角函数的平移变换法则，左加右减，写出结果即可． 【解答】解：将函数的图象向左平移个单位，所得函数．的图象，所求函数的解析式为：． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的图象的变换，注意平移的方向以及的系数，基本知识的考查． 44．（2024春•虹口区校级期中）已知． （1）某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下： 0 0 0 0 请填写表中的空格，并写出函数的表达式： （2）若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合； （3）对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得． 【分析】（1）由函数的最大值可得的值，再由题意可得，解出，的值，即求出函数的解析式； （2）由半角公式和辅助角公式可得的解析式，再由函数的伸缩变换可得的解析式，进而求出的零点的集合； （3）求出成立的解集，即证得存在无穷多个互不相等的正整数满足不等式． 【解答】解：（1）由题意可得， ，解得，， 所以，可得； 所以，可得； 所以表格如下： 0 0 0 0 所以； （2）， 由题意可得， 当时，可得， 所以，，或，， 所以的零点的集合为，或，； （3）证明：要使成立，即成立， 即成立， 可得，， 即存在无穷多个互不相等的正整数，使得成立． 【点评】本题考查函数的解析式的求法及函数的平移的性质的应用，属于中档题． 45．（2023春•徐汇区校级期中）已知函数 （1）化简的表达式． （2）若的最小正周期为，求的单调区间 （3）将（2）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于对称．若对于任意的实数，函数与的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围． 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数； （2）根据最小正周期公式求，再采用代入的方法求函数的单调区间； （3）首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求，并求得，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求的取值范围． 【解答】解：（1）依题意，， （2）由（1）知，，解得，则， 当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减， 由得：，由得：， 所以在上单调递增，上单调递减； （3）由（2）及已知，，因图像关于对称，则， 解得：，又，即有，，于是． 由得：，，而函数的周期， 依题意，对于在上均有不少于6个且不多于10个根，则有，即，解得：， 所以正实数的取值范围是，． 【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题． 46．（2024春•嘉定区校级期中）已知函数，其中． （1）若，，求的值； （2）若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在，，且上恰好有4个零点，求的最小值； （3）令，，对任意实数，．当时，有成立．将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值． 【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，即可得； （2）由图像平移变换得到函数，结合和，求得，根据的零点个数可得，要使最小，则，恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据，，可得，当且仅当，时取等号，进而可求出． 【解答】解：（1）函数， 若，， 则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为， 由，解得； （2）， ， 所以， 所以或， 解得或， 又，得， 所以， 函数最小正周期， 令，即， 解得或， 若在，上恰好有4个零点，则， 要使最小，则，恰好为的零点， 所以的最小值为； （3）由题意， 因为，， 所以，当且仅当，时取等号， 又因为函数的最大值为10， 所以，同时取得最大值1， 所以， 所以， 所以满足条件的的最小值为． 【点评】本题考查了三角恒等变换、三角函数图象的变化及正弦型函数的性质，属于中档题． 47．（2024春•静安区校级期中）某同学用“五点法”画函数，在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 （1）请填写上表的空格处，并写出函数的解析式； （2）将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调递增区间； （3）在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数的值． 【分析】（1）根据表中数据可得关于，的方程组，解出，的值后再计算补全表中数据，再由表中数据可得，从而可得函数的解析式． （2）先求出的解析式，再求出的定义域，结合三角函数的单调性可得复合函数的单调增区间． （3）令，设方程的根为，，分（1）；（2），，；（3），，三种情况讨论在，及上零点个数，再根据周期性得到的零点个数，结合题设条件可得的值及相应的零点个数． 【解答】（1）解：根据表中的数据可得，解得， 故，所以，又，故． 所以完表如下： 0 0 1 0 0 0 0 0 所以．函数如图： （2）解：将函数的图像向右平移个单位，所得图像的解析式为： 再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像， 故． 此时， 令，则，故． 当时，为增函数， 故为减函数； 当时，为减函数； 故为增函数． 所以的增区间为． （3）解：，的周期为， 当，时，令，考虑方程的根情况， 因为△，故在必有两个不同的实数根，，， 因为在有奇数个零点，故，或，． 若，则方程，在，共有4个不同的实数根， 在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或个根， 与有奇数个零点矛盾，舍去． 若，，，则在，共有2个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或， 与有奇数个零点矛盾，舍去． 同理，，也不成立，所以或， 若，则，此时的根为， 方程在，共有3个不同的实数根，而在上，有两个不同的根，无解， 所以在有个根， 与有奇数个零点矛盾，舍去； 若，则，方程的根， 方程在，共有3个不同的实数根，而在上，无解，有一个根， 所以在有个根，符合题意． 综上，，在共有3031个不同的零点． 【点评】本题较为全面地考查了三角函数的图像和性质、三角函数的图像变换及复合函数零点的个数判断，考查学生的综合能力．属于难题． 48．（2024春•宝山区校级月考）已知函数． （1）某同学打算用“五点法”画出函数再某一周期内的图像，列表如表： 0 0 1 0 0 0 0 0 请填写表的空格处，并写出函数的解析式； （2）若函数，将图像上各点的纵坐标不变、横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位，得到函数的图像，若在上恰有奇数个零点，求实数与零点的个数． 【分析】（1）根据数据确定参数的值，即可得函数解析式，即可完善表格； （2）根据三角函数图象的变换求出的表达式，即可求得的表达式，结合方程的解的情况，分类讨论确定其解，结合题意以及正弦函数的周期性，即可求得答案． 【解答】解：（1）由表中数据可得，，解得， 故， 令，可得， 令，可得，此时， 所以完善表列表如下： 0 0 1 0 0 0 0 0 （2）若函数，将图像上各点的纵坐标不变、横坐标扩大到原来的2倍， 再向右平移个单位，得到函数的图像， 则． 故，的周期为， 当，时，令，考虑方程的根的情况， 因为△，所以在上必有两个不同的实数根，，， 因为在恰有奇数个零点，所以，，或，， 若，则方程，在，共有4个不同的实数根， 在有0个或2个实数根， 所以在上有个根或个根， 与有奇数个零点矛盾，舍去； 若，，， 则在，共有2个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在上有个根或个根， 与有奇数个零点矛盾，舍去； 同理，，，也不成立， 所以或， 若，代入，则， 此时的根为，， 方程，在，共有3个不同的实数根， 而在上，有两个不同的根，无解， 所以在上有个根， 与有奇数个零点矛盾，舍去； 若，代入，则，此时方程的根为1，， 方程，在，共有3个不同的实数根，而在上，无解，有一个根， 所以在上有个根，符合题意． 综上，，在共有3037个不同的零点． 【点评】本题考查了五点作图法，三角函数图象的平移变换，函数零点个数的判断，考查运算求解能力，是难题． 一十三．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共4小题） 49．（2024春•闵行区期中）函数（其中，，的部分图象如图所示，则的解析式是　　 A． B． C． D． 【分析】结合三角函数的图像读出，求出，，代入的值，求出，从而求出的解析式． 【解答】解：结合图像：，，则，， 故，当时，，而，故， 故， 故选：． 【点评】本题考查了三角函数的性质，考查求三角函数的解析式，是中档题． 50．（2024春•宝山区校级期中）如图所示为的部分图像，点和点之间的距离为5，那么　　． 【分析】根据，两点之间的距离为5可得函数的周期，得到的值，再根据图像与轴交于点，可求出，即可求值． 【解答】解：根据图像连接，过点，作轴的垂线和平行线，交于点． 在直角三角形中，，，可得，即函数的周期， 所以，所以， 又图像与轴交于点．即，且，则， 所以，则． 故答案为：． 【点评】本题考查根据三角函数的图像求函数表达式，考查三角函数的图像性质，属于中档题． 51．（2024春•浦东新区校级期中）函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为 　　． 【分析】由函数图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式． 【解答】解：由函数的部分图象可知：， 因为的个最小正周期为，所以，则， 根据五点法作图，得，解得，适合， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查由的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题． 52．（2024春•浦东新区校级月考）某同学用“五点法”面函数，在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 （1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式； （2）当，时，求的解集． 【分析】（1）借助表格计算可得，，，而后逐项计算即可得； （2）令，解出即可得． 【解答】解：（1）由表可得，，， 故，，， 故， 补充数据见表格如下： 0 0 5 0 0 （2）令，即， 则或，， 则或，， 由，，故或， 即的解集为． 【点评】本题考查了由的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al (y＝Asinωx＋φ,的性质)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(定义域：R,值域：[－|A|，|A|],周期：T＝\f(2π,|ω|),奇偶性：φ＝kπk∈Z为奇函数，φ＝kπ＋\f(π,2)k∈Z为偶函数,单调性：有单调递增、递减区间,对称性：对称中心\f(kπ－φ,ω)，0k∈Z，对称轴x＝\f(kπ＋\f(π,2)－φ,ω)k∈Z)),实际应用：在生活、建筑、物理、航海等方面的应用)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(三角函数\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(三角函数的定义：sinα＝\f(y,r)，cosα＝\f(x,r)，tanα＝\f(y,x),诱导公式：2kπ＋αk∈Z，－α，π±α，\f(π,2)±α，2π－α)),性质\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝sinx：x∈R，y∈[－1，1]，T＝2π，奇函数，有单调递增和递减区间,y＝cosx：x∈R，y∈[－1，1]，T＝2π，偶函数，有单调递增和递减区间,y＝tanx：x≠kπ＋\f(π,2)，y∈R，T＝π，奇函数，仅有单调增区间)))) $$