专题01 三角（考点清单，知识导图+13个考点清单&题型解读）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修二）

专题01 三角（考点清单，知识导图+13个考点清单&题型解读） 一、正弦、余弦、正切、余切 1.弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制． 2.扇形弧长与面积：记扇形的半径为r，圆心角为α弧度，弧长为l，面积为s，则有 3.单位圆：单位圆泛指半径为１个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以１为半径的圆为单位圆． 4.正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角α的顶点与坐标原点o重合，始边与x轴的正半轴重合，在角α的终边上任取异于原点的一点p（x，y），就有 ；；；； 5.同角三角公式： （1）平方关系： （2）商数关系：；； （3）倒数关系：； 6.诱导公式 第一组： 第二组： 第三组： 第四组： 第五组： 第六组： 诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 二．常用三角公式 1.和角与差角公式： ； 。 2.倍角公式： ；； 。 三．解三角形 1.正弦定理：． 2.余弦定理：． 3.三角形面积公式： 一．任意角的三角函数的定义（共5小题） 1．（2024春•闵行区校级期中）已知角终边上点坐标为，则　　 A． B． C． D． 2．（2024春•浦东新区校级月考）已知，以下命题中所有正确的命题有　　个． ①已知，的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ②已知的两个三角比的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ③已知的值，则可以确定的其余五个三角比的绝对值 ④已知的值和的符号，则可以确定所有六个三角比的值 A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2024春•黄浦区校级期中）已知角的终边上有一点，则　　． 4．（2024春•闵行区校级月考）在平面直角坐标系中，任意角，的终边交单位圆（圆心在坐标原点于，两点． （1）若，为锐角，且，求的值； （2）若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值； （3）若，两点的纵坐标分别为正数，，且，求的最大值． 5．（2023春•金山区校级月考）如图，点是锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，，逆时针旋转得． （1）若的坐标为，求点的横坐标； （2）若点的横坐标是，求的值． 二．三角函数值的符号（共4小题） 6．（2024春•黄浦区期中）若，则点在第　　象限． A．一 B．二 C．三 D．四 7．（2024春•普陀区校级期中）若，则是第　　象限角． A．一或二 B．一或三 C．二或三 D．二或四 8．（2024春•浦东新区校级月考）如果是第一象限角，则　　 A．且 B．且 C．且 D．且 9．（2023秋•宝山区校级期末）已知，，则角的终边在第 　　象限． 三．诱导公式（共1小题） 10．（2024•宝山区校级开学）已知、均为第二象限角，且，． （1）求的值； （2）求的值． 四．运用诱导公式化简求值（共2小题） 11．（2024春•静安区校级期中）与一定相等的是　　 A． B． C． D． 12．（2024春•黄浦区期中）（1）证明：； （2）化简：． 五．同角三角函数间的基本关系（共8小题） 13．（2024春•静安区校级期中）是成立的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14．（2024春•黄浦区校级期中）已知，则的值为 　　． 15．（2024春•黄浦区期中）若为第一象限角，则　　． 16．（2023秋•浦东新区校级期末）若，则　　． 17．（2024春•浦东新区校级月考）已知，求：的值． 18．（2024春•黄浦区期中）已知和是关于方程的两个实根． （1）求实数的值； （2）若，求的值． 19．（2024春•金山区校级月考）（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 20．（2024春•闵行区校级月考）已知、是方程的两个实数根． （1）求实数的值； （2）求的值； （3）若，，求的值． 六．三角函数恒等式的证明（共3小题） 21．（2023春•浦东新区校级月考）证明：． 22．（2023春•青浦区校级月考）（1）化简：． （2）证明恒等式：． 23．（2024春•闵行区校级期中）求证： （1）； （2）． 七．两角和与差的三角函数（共5小题） 24．（2024春•浦东新区校级期中）已知，则　　． 25．（2024春•黄浦区期中）已知，是锐角，且，则　　． 26．（2024春•黄浦区校级期中）已知，，，，则　　．（结果用反三角表示） 27．（2024春•黄浦区期中）在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交点的纵坐标为，锐角的终边与单位圆交点的横坐标为． （1）求和的值； （2）求的值． 28．（2024春•黄浦区期中）在中， （1）若与是方程的两个实根，求角的值； （2）若，判断的形状． 八．二倍角的三角函数（共2小题） 29．（2024春•黄浦区校级月考）方程的解集为 　　． 30．（2024春•长宁区校级期中）若，则　　． 九．半角的三角函数（共2小题） 31．（2024春•宝山区校级期中）已知，，则　　． 32．（2023春•静安区校级月考）已知且，则　　． 一十．三角函数的恒等变换及化简求值（共5小题） 33．（2023秋•浦东新区校级期末）若，则的值是　　 A． B．0 C．1 D． 34．（2023春•宝山区校级月考）若，则的值为　　 A． B． C． D． 35．（2024春•金山区校级月考）对集合，，，和常数，把 定义为集合，，，相对于的“正弦方差”，则集合相对于的“正弦方差”为 　　． 36．（2024春•浦东新区校级期中）已知． （1）求的值； （2）求的值． 37．（嘉定区期末）已知函数，． （1）求函数的单调减区间； （2）若存在，，使等式成立，求实数的取值范围． 一十一．正弦定理（共3小题） 38．（2024春•黄浦区校级期中）的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则　　 A． B． C． D． 39．（2024春•黄浦区期中）在中，“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 40．（2024春•浦东新区校级月考）在中，若，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 一十二．余弦定理（共3小题） 41．（2023春•虹口区校级期中）在中，若，则　　． 42．（2023春•宝山区校级月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为 　　． 43．（2024春•浦东新区期中）在中，． （1）求 的大小； （2）求的最大值． 一十三．解三角形（共6小题） 44．（2024春•杨浦区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为　　 A． B． C． D． 45．（2024春•黄浦区校级期中）已知的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，则　　． 46．（2024春•浦东新区校级期中）某医院对发热门诊进行改造，如图，原发热门诊是区域，可利用部分为，，米，米，为三角形，为以为半径的扇形，且． （1）若需在区域外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度； （2）在中，设置作为补充门诊，求补充门诊面积最大值． 47．（2024春•黄浦区期中）南海作为我国不可分割的蓝色领土，维护南海主权权益是我国必须坚持的基本立场，如图，南海某岛的海岸线为一段圆弧，其对应的圆心角．该岛为打击域外船只的骚扰，在海岸线外侧30海里内的海域对不明船只进行识别查证．在圆弧的两端点，分别建有监测站，已知两监测站的直线距离为120海里． （1）求海域的面积； （2）现海面上点处有一搜不明船只，在监测站测得不明船只距离点60海里处，在监测站测得不明船只距离点海里处，试判断该不明船只是否进入海域？并说明理由． 48．（2024春•虹口区校级期中）设半圆的半径为2，而为直径延长线上的一点，且．对半圆上任意给定的一点，以为一边作等边三角形，使和在的两侧（如图所示）． （1）若的面积为，求的大小； （2）当点在半圆上运动时，求四边形面积的最大值． 49．（2024春•杨浦区期中）某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究． （1）小王获得了以下信息： ．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道； ．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是； ．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是； ．教学楼的高度是20米． 请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度． （2）小李获得了以下信息： ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米 ．大屏幕的高度是2米 ．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳． 请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝\f(sinα,cosα),和角公式\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ,sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ,tanα＋β＝\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ))),差角公式\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ,sinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβ,tanα－β＝\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ))))) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(二倍角公式\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α,sin2α＝2sinαcosα,tan2α＝\f(2tanα,1－tan2α))),半角公式\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＝±\r(\f(1－cosα,2)),cos\f(α,2)＝±\r(\f(1＋cosα,2)),tan\f(α,2)＝\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝±\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝\f(sinα,1＋cosα)＝\f(1－cosα,sinα))))) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(任,意,角)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(概念\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(角：一条射线绕其端点旋转所形成的图形叫作角,正角：按逆时针方向旋转所成的角,零角：没有作任何旋转的角,负角：按顺时针方向旋转所成的角)),弧度制\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1弧度的角：在以单位长为半径的圆中，,单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角,1rad＝\f(180,π)°，1°＝\f(π,180)rad,公式：|α|＝\f(l,r)，S＝\f(1,2)lr)),终边相同的角的集合：{β|β＝2kπ＋α，k∈Z})))) $$ 专题01 三角（考点清单，知识导图+13个考点清单&题型解读） 一、正弦、余弦、正切、余切 1.弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制． 2.扇形弧长与面积：记扇形的半径为r，圆心角为α弧度，弧长为l，面积为s，则有 3.单位圆：单位圆泛指半径为１个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以１为半径的圆为单位圆． 4.正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角α的顶点与坐标原点o重合，始边与x轴的正半轴重合，在角α的终边上任取异于原点的一点p（x，y），就有 ；；；； 5.同角三角公式： （1）平方关系： （2）商数关系：；； （3）倒数关系：； 6.诱导公式 第一组： 第二组： 第三组： 第四组： 第五组： 第六组： 诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 二．常用三角公式 1.和角与差角公式： ； 。 2.倍角公式： ；； 。 三．解三角形 1.正弦定理：． 2.余弦定理：． 3.三角形面积公式： 一．任意角的三角函数的定义（共5小题） 1．（2024春•闵行区校级期中）已知角终边上点坐标为，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，以及三角函数的定义，即可求解． 【解答】解：， ， ， ， 则． 故选：． 【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，以及三角函数的定义，属于基础题． 2．（2024春•浦东新区校级月考）已知，以下命题中所有正确的命题有　　个． ①已知，的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ②已知的两个三角比的值，则可以确定的其余四个三角比的值 ③已知的值，则可以确定的其余五个三角比的绝对值 ④已知的值和的符号，则可以确定所有六个三角比的值 A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】利用三角函数的定义，逐一判断各个命题即得． 【解答】解：依题意，，，，， 给定，，可求出，，，，故①正确； 已知的两个三角比的值，如给出与的值， 由于，相当于只给出其中一个值， 显然，，，值的正负不确定，此时不能确定的其余四个三角比的值，故②错误； 由的值，可求出的值， 由及，可求出，， 求出，， 可得的值，可以确定的其余五个三角比的绝对值，故③正确； 由的值，可求出的值，由结合的符号可求出， 可得，，，故④正确， 可得所有正确的命题有3个． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题． 3．（2024春•黄浦区校级期中）已知角的终边上有一点，则　　． 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求出的值． 【解答】解：由角终边上有一点， 可得、， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 4．（2024春•闵行区校级月考）在平面直角坐标系中，任意角，的终边交单位圆（圆心在坐标原点于，两点． （1）若，为锐角，且，求的值； （2）若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值； （3）若，两点的纵坐标分别为正数，，且，求的最大值． 【分析】（1）由三角函数定义可得，两点的坐标，利用三角函数恒等变换可得结果； （2）根据角的定义并结合，利用可求出的值； （3）由同角三角函数的平方关系计算可得当时，取得最大值为． 【解答】解：（1）由题意知，， ，， ， ，． （2）由角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于， ，且，， ，， ， ． （3）若，两点的纵坐标分别为正数，，可得角和角一个在第一象限，另一个在第二象限， 不妨假设在第一象限，则在第二象限， 根据题意可得，，且，， ，， ， 即可得， 平方可得，当且仅当时，取等号． ，当且仅当时，取等号， 故当时，取得最大值为． 【点评】本题考查任意角定义、三角函数恒等变换、同角三角函数的平方关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．（2023春•金山区校级月考）如图，点是锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得，，逆时针旋转得． （1）若的坐标为，求点的横坐标； （2）若点的横坐标是，求的值． 【分析】（1）根据三角函数定义结合和差公式可得； （2）根据三角函数定义和诱导公式，分类可求得，然后由平方关系和二倍角公式可得． 【解答】解：（1）因为点，根据三角函数的定义可得， 根据题意可知点的横坐标为：； （2）根掂题意可知点的横坐标为， 因为，所以， 当为奇数时，有，所以，， 所以， 所以， 当为偶数时，有，所以，， 所以， 所以， 综上所述，的值为． 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于中档题． 二．三角函数值的符号（共4小题） 6．（2024春•黄浦区期中）若，则点在第　　象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【分析】根据判断和的符号，求解即可． 【解答】解：因为，所以，， 所以点在第四象限． 故选：． 【点评】本题考查了三角函数值的符号判断问题，是基础题． 7．（2024春•普陀区校级期中）若，则是第　　象限角． A．一或二 B．一或三 C．二或三 D．二或四 【分析】根据函数性质，三角函数性质即可判断． 【解答】解：， ，，， 则是第一或三象限角． 故选：． 【点评】本题考查函数性质，三角函数性质，属于基础题． 8．（2024春•浦东新区校级月考）如果是第一象限角，则　　 A．且 B．且 C．且 D．且 【分析】根据的象限确定的象限，即可排除、，再确定的象限，即可排除． 【解答】解：因为是第一象限角，则，， 所以，， 所以是第一或第三象限角，则或，，故排除、； 又，， 所以的终边在第一、第二象限或在轴正半轴，则， 当的终边在轴正半轴时无意义，故排除． 故选：． 【点评】本题考查三角函数值的符号，牢记：一全正、二正弦、三正切、四余弦是解题的关键，属于基础题． 9．（2023秋•宝山区校级期末）已知，，则角的终边在第 　三　象限． 【分析】由已知结合三角函数的定义即可判断． 【解答】解：由可知，为第三或第四象限角， 由可知，为第三或第二象限角， 故为第三象限角． 故答案为：三． 【点评】本题主要考查了三角函数定义在三角函数值符号判断中的应用，属于基础题． 三．诱导公式（共1小题） 10．（2024•宝山区校级开学）已知、均为第二象限角，且，． （1）求的值； （2）求的值． 【分析】（1）利用诱导公式求解． （2）利用同角三角函数关系式、正切加法定理能求出结果． 【解答】解：（1）由诱导公式可知， 所以； （2）由第一问可知，同理， 所以． 【点评】本题考查诱导公式、同角三角函数关系式、正切加法定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 四．运用诱导公式化简求值（共2小题） 11．（2024春•静安区校级期中）与一定相等的是　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合诱导公式检验各选项即可判断． 【解答】解：， ，错误； ，错误； ，错误； ，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了诱导公式在三角化简中的应用，属于基础题． 12．（2024春•黄浦区期中）（1）证明：； （2）化简：． 【分析】（1）利用平方和（差公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦公式以及二倍角公式即可证明； （2）利用诱导公式，两角和与差的正弦公式即可求解． 【解答】解：（1）证明：左边 右边，得证； （2）原式 ． 【点评】本题考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 五．同角三角函数间的基本关系（共8小题） 13．（2024春•静安区校级期中）是成立的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【分析】通过同角三角函数基本关系式，求解三角函数值，然后判断充要条件即可． 【解答】解：可得，可得， 所以是成立的既非充分也非必要条件． 故选：． 【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，充要条件的判定，是基础题． 14．（2024春•黄浦区校级期中）已知，则的值为 　．　． 【分析】先利用二倍角公式求出，然后结合同角基本关系进行化简即可求解． 【解答】解：因为， 所以， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二倍角公式及同角基本关系的应用，属于基础题． 15．（2024春•黄浦区期中）若为第一象限角，则　　． 【分析】利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用对数的换底公式即可求解． 【解答】解：因为为第一象限角，， 所以， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式以及对数的换底公式的应用，属于基础题． 16．（2023秋•浦东新区校级期末）若，则　1或　． 【分析】直接运用倍角公式计算． 【解答】解：由题意， 或， 或． 故答案为：1或． 【点评】本题考查了倍角公式的运用，是基础题． 17．（2024春•浦东新区校级月考）已知，求：的值． 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及切化弦求出，再利用齐次式法求值即得． 【解答】解：依题意，， 解得， 所以． 【点评】本题主要考查了同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题． 18．（2024春•黄浦区期中）已知和是关于方程的两个实根． （1）求实数的值； （2）若，求的值． 【分析】（1）由题意利用韦达定理可得，△，利用同角三角函数基本关系式即可求解； （2）由（1）可得，，结合，，利用平方差公式以及同角三角函数基本关系式即可求解． 【解答】解：（1）、是关于的方程的两个根， ，△， ，解得或， 或， ； （2）， 又由（1）可得，， ，， ． 【点评】本题考查了韦达定理，平方差公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查了方程思想，属于中档题． 19．（2024春•金山区校级月考）（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 【分析】（1）解方程，求出，利用同角三角函数关系式能求出结果． （2）由，且，得，从而，再由，能求出结果． 【解答】解：（1）解方程，得，， 是关于的方程的一个实根，且是第一象限角， ， ． （2），且， ， ， ，，， ， ． 【点评】本题考查同角三角函数关系式、诱导公式、韦达 定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20．（2024春•闵行区校级月考）已知、是方程的两个实数根． （1）求实数的值； （2）求的值； （3）若，，求的值． 【分析】（1）由韦达定理和同角的平方关系，计算可得所求值； （2）运用同角的商数关系和韦达定理，可得所求值； （3）结合，，可得，，利用平方差公式可得，联立方程可得的值，进而可求的值． 【解答】解：（1）因为、是方程的两个实数根， 由韦达定理得，， 由， 则， 所以； （2）； （3）因为，所以①，， 所以， 因为，，所以，，②， 所以由①②可得， 所以． 【点评】本题考查二次方程的韦达定理和同角的基本关系式的应用，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题． 六．三角函数恒等式的证明（共3小题） 21．（2023春•浦东新区校级月考）证明：． 【分析】根据二倍角公式以及同角三角函数之间的基本关系即可得出证明． 【解答】证明：由二倍角公式，以及可得，，得证． 【点评】本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数之间的基本关系，属于基础题． 22．（2023春•青浦区校级月考）（1）化简：． （2）证明恒等式：． 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）从右边开始变形，利用倍角公式及两角和的正切公式变形证明即可． 【解答】（1）解： ； （2）证明：右边 左边． ． 【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简与证明，是基础题． 23．（2024春•闵行区校级期中）求证： （1）； （2）． 【分析】（1）由已知结合角的终边关系及三角函数的定义即可证明； （2）由已知结合向量数量积的定义及向量数量积的坐标表示即可证明． 【解答】证明：（1）设终边上的任意一点为，到原点的距离为， 则， 因为与的终边关于直线对称， 故在的终边上， 所以， 所以； （2）设，， 则，， 所以， 又， 故． 【点评】本题主要考查了三角函数的定义，向量数量积的定义及坐标表示的应用，属于中档题． 七．两角和与差的三角函数（共5小题） 24．（2024春•浦东新区校级期中）已知，则　　． 【分析】根据正切函数两角和公式直接运算即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了两角合的正切公式的应用，属于基础题． 25．（2024春•黄浦区期中）已知，是锐角，且，则　　． 【分析】根据角的范围及正余弦值求得、，再由及差角正弦公式求值即可． 【解答】解：已知，是锐角，且， 则， 则， 而， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属基础题． 26．（2024春•黄浦区校级期中）已知，，，，则　　．（结果用反三角表示） 【分析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解． 【解答】解：已知，，， 则， 又， 则， 则， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题． 27．（2024春•黄浦区期中）在平面直角坐标系中，已知锐角的终边与单位圆交点的纵坐标为，锐角的终边与单位圆交点的横坐标为． （1）求和的值； （2）求的值． 【分析】（1）结合三角函数的定义及同角基本关系即可求解； （2）结合两角和的余弦公式先求出，进而可求． 【解答】解：（1）由三角函数的定义可知，，， 因为，为锐角， 所以； （2）因为 ， 所以． 【点评】本题主要考查了三角函数的定义，同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题． 28．（2024春•黄浦区期中）在中， （1）若与是方程的两个实根，求角的值； （2）若，判断的形状． 【分析】先由根系关系得出与和与积，由正切的和角公式代入即可求值． 【解答】解：（1）在中，与是方程的两个实根， ，， ， ，又， ； （2）在中，， ， ， 或． 为等腰三角形或直角三角形． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与正弦定理及同角三角函数的关系的应用，属于中档题． 八．二倍角的三角函数（共2小题） 29．（2024春•黄浦区校级月考）方程的解集为 　，　． 【分析】根据余弦函数的性质求解即可． 【解答】解：由，得， 因为，所以或， 所以或， 所以方程的解集为． 故答案为：． 【点评】本题考查了余弦函数的性质与应用问题，是基础题． 30．（2024春•长宁区校级期中）若，则　　． 【分析】求出的值，再利用二倍角公式展开，结合弦化切可得结果． 【解答】解：因为，则， 所以，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题． 九．半角的三角函数（共2小题） 31．（2024春•宝山区校级期中）已知，，则　　． 【分析】由已知结合二倍角公式进行化简即可求解． 【解答】解：因为， 所以，， 因为， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题． 32．（2023春•静安区校级月考）已知且，则　　． 【分析】由二倍角的余弦公式即可得出答案． 【解答】解：因为且， 所以， 所以， 则，解得， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题． 一十．三角函数的恒等变换及化简求值（共5小题） 33．（2023秋•浦东新区校级期末）若，则的值是　　 A． B．0 C．1 D． 【分析】由同角三角函数的基本关系计算即可． 【解答】解：因为，所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，属于基础题． 34．（2023春•宝山区校级月考）若，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】由同角三角函数的基本关系化简后代值计算即可． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查利用同角三角函数的基本关系化简求值，属于基础题． 35．（2024春•金山区校级月考）对集合，，，和常数，把定义为集合，，，相对于的“正弦方差”，则集合相对于的“正弦方差”为 　　． 【分析】根据新定义及三角恒等变换化简即可得解． 【解答】解：由题意得，集合，，相对于的“正弦方差为， 所以， 所以， ， ， ，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查新定义及三角恒等变换化简，属于基础题． 36．（2024春•浦东新区校级期中）已知． （1）求的值； （2）求的值． 【分析】（1）由已知结合同角基本关系进行化简即可求； （2）由已知结合同角基本关系进行化简即可求． 【解答】解：（1）因为，即， ； （2）． 【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题． 37．（嘉定区期末）已知函数，． （1）求函数的单调减区间； （2）若存在，，使等式成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用倍角公式结合辅助角公式进行化简即可 （2）利用换元法设，结合一元二次函数的性质求出函数的值域即可． 【解答】解：（1） ， 由得，， 函数的单调递减区间为，，． （2）当，时，， 则，即， 令， 关于得方程在，上有解， 即在，上有解， 当时，， 由，得， 即实数的取值范围是，． 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简以及利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键． 一十一．正弦定理（共3小题） 38．（2024春•黄浦区校级期中）的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果． 【解答】解：因为，，， 由正弦定理知，则可得， 因为， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题． 39．（2024春•黄浦区期中）在中，“”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【分析】由利用大边对大角可得，由正弦定理得成立，可得必要性成立，由正弦定理得，可得成立，可得充分性成立，即可得解． 【解答】解：在中，等价为， 若，则，由正弦定理得成立，即必要性成立， 若，则由正弦定理得，即成立，即充分性成立， 则“”是“”的充要条件． 故选：． 【点评】本题考查了正弦定理，大边对大角等知识的应用，考查了充要条件，属于基础题． 40．（2024春•浦东新区校级月考）在中，若，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】根据正弦定理以及三角恒等变换公式将化为，再根据的范围可求得结果． 【解答】解：在中，，，由及正弦定理， 得 ， 由，，得，且， 则，因此，， 所以的取值范围为． 故选：． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦函数性质的应用，属于中档题． 一十二．余弦定理（共3小题） 41．（2023春•虹口区校级期中）在中，若，则　　． 【分析】利用余弦定理表示出，将已知等式代入计算求出的值，根据为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数． 【解答】解：， ， 为三角形的内角， ． 故答案为： 【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 42．（2023春•宝山区校级月考）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为 　　． 【分析】由正弦定理和余弦定理得到，从而得到，异号，分，和，两种情况，第一种情况不成立，第二种情况得到，结合即可得到的取值范围． 【解答】解：因为， 所以由正弦定理及余弦定理可得， 所以， 因为为的一个内角， 所以， 由，知，异号， 若，， 则为钝角，，为锐角， 则， 所以在上单调递减，而为锐角， 故，所以，不合题意； 若，， 则为钝角，，为锐角， 因为， 所以， 由， 得， 即， 因为，为锐角，所以，， 方程两边同除以得：， 故得，即， 因为为锐角， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了学生运算求解能力，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题． 43．（2024春•浦东新区期中）在中，． （1）求 的大小； （2）求的最大值． 【分析】（1）根据已知和余弦定理，可得，进而得到答案； （2）由（1）得：，结合正弦型函数的图象和性质，可得的最大值． 【解答】解：（1），可得：． ， ， ． （2）由（1）得：， ． ， 故当时，取最大值1，即的最大值为1． 【点评】本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，属于中档题． 一十三．解三角形（共6小题） 44．（2024春•杨浦区校级期中）在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】根据余弦定理，代入数据化简得，因为关于的方程有两个不相等的正根，所以，由此求出的范围，进而求出角的除式． 【解答】解：由余弦定理，得， 整理得，关于的一元二次方程有两个不相等的正根， 所以，解得，结合，解得． 综上所述，角的取值范围是． 故选：． 【点评】本题主要考查利用余弦定理解三角形、一元二次方程根的判别式等知识，属于基础题． 45．（2024春•黄浦区校级期中）已知的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，则　　． 【分析】利用三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求，可求，可得，即可求解，可得，即可得解的值． 【解答】解： ， 因此， 又， 故， 因此， 则， 故， 则， 故， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式以及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 46．（2024春•浦东新区校级期中）某医院对发热门诊进行改造，如图，原发热门诊是区域，可利用部分为，，米，米，为三角形，为以为半径的扇形，且． （1）若需在区域外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度； （2）在中，设置作为补充门诊，求补充门诊面积最大值． 【分析】（1）在直角三角形中由已知条件可求出和，则可求得，从而可求出弧的长，进而可求得结果； （2）连接，设，则结合已知条件表示出，，然后表示出矩形的面积，化简变形后利用正弦函数的性质可求出其最大值． 【解答】解：（1）因为，，， 所以，， 因为为锐角，所以， 因为，所以， 所以弧的长为， 所以隔离带的总长度为 （米； （2）连接，设， 因为，所以，， 因为，所以， 所以， 所以 ， 因为， 所以， 当时，取得最大值， 所以补充门诊面积最大值为（平方米）． 【点评】本题考查三角函数在生活中的应用，属于中档题． 47．（2024春•黄浦区期中）南海作为我国不可分割的蓝色领土，维护南海主权权益是我国必须坚持的基本立场，如图，南海某岛的海岸线为一段圆弧，其对应的圆心角．该岛为打击域外船只的骚扰，在海岸线外侧30海里内的海域对不明船只进行识别查证．在圆弧的两端点，分别建有监测站，已知两监测站的直线距离为120海里． （1）求海域的面积； （2）现海面上点处有一搜不明船只，在监测站测得不明船只距离点60海里处，在监测站测得不明船只距离点海里处，试判断该不明船只是否进入海域？并说明理由． 【分析】（1）利用扇形面积公式即可得；（2）利用余弦定理计算的值即可判断． 【解答】解：（1），，，， ，； （2）由题意知，，，．，， ， ，， 则该船只未进入海域． 【点评】本题考查余弦定理，属于中档题． 48．（2024春•虹口区校级期中）设半圆的半径为2，而为直径延长线上的一点，且．对半圆上任意给定的一点，以为一边作等边三角形，使和在的两侧（如图所示）． （1）若的面积为，求的大小； （2）当点在半圆上运动时，求四边形面积的最大值． 【分析】（1）先根据等边的面积为，求出的长，再在中，利用余弦定理，求解即可； （2）设，先在中，利用余弦定理，用含的式子表示出，再由，结合三角形的面积公式与辅助角公式，求解即可． 【解答】解：（1）因为的面积为，且为等边三角形， 所以，解得， 在中，由余弦定理知，， 因为， 所以． （2）设， 在中，由余弦定理知，， 所以四边形面积 ， 因为，所以，， 当，即时，取得最大值， 故四边形面积的最大值为． 【点评】本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理，三角形的面积公式，辅助角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 49．（2024春•杨浦区期中）某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究． （1）小王获得了以下信息： ．教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道； ．在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是； ．从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是； ．教学楼的高度是20米． 请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度． （2）小李获得了以下信息： ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米 ．大屏幕的高度是2米 ．当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳． 请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置． 【分析】（1）在中，利用正弦定理可得，从而确定长度；（2）利用两角差的正切公式，基本不等式即可确定． 【解答】解：（1）由题意知， 且可知， ，， 由正弦定理可得， 则体育馆的高度为10米； （2）设，则，， ， 当且仅当时，取到最大值． 【点评】本题考查正弦定理，两角差的正切公式，基本不等式，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(同角三角函数的基本关系：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝\f(sinα,cosα),和角公式\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ,sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ,tanα＋β＝\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ))),差角公式\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ,sinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβ,tanα－β＝\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ))))) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(二倍角公式\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α,sin2α＝2sinαcosα,tan2α＝\f(2tanα,1－tan2α))),半角公式\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＝±\r(\f(1－cosα,2)),cos\f(α,2)＝±\r(\f(1＋cosα,2)),tan\f(α,2)＝\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝±\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝\f(sinα,1＋cosα)＝\f(1－cosα,sinα))))) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(任,意,角)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(概念\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(角：一条射线绕其端点旋转所形成的图形叫作角,正角：按逆时针方向旋转所成的角,零角：没有作任何旋转的角,负角：按顺时针方向旋转所成的角)),弧度制\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1弧度的角：在以单位长为半径的圆中，,单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角,1rad＝\f(180,π)°，1°＝\f(π,180)rad,公式：|α|＝\f(l,r)，S＝\f(1,2)lr)),终边相同的角的集合：{β|β＝2kπ＋α，k∈Z})))) $$