北师大版七年级期末真题必刷易错60题（59个考点专练）-2023-2024学年七年级数学下学期考试满分全攻略高频考点+重难点讲练与测试（北师大版）

期末真题必刷易错60题（59个考点专练） 一．同底数幂的乘法（共1小题） 1．（2023春•济南期末）计算：． 二．幂的乘方与积的乘方（共1小题） 2．（2023春•西安期末）计算的结果正确的是　　 A． B． C． D． 三．同底数幂的除法（共1小题） 3．（2023秋•三河市期末）计算：　　． 四．单项式乘单项式（共1小题） 4．（2023秋•绥中县期末）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 五．单项式乘多项式（共1小题） 5．（2021春•宁德期末）计算： （1）． （2）． 六．多项式乘多项式（共1小题） 6．（2023春•白银区校级期末）观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是　　 A．， B．，4 C．3， D．3，4 七．完全平方公式（共1小题） 7．（2023春•凤城市期末）下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 八．完全平方公式的几何背景（共1小题） 8．（2023秋•光山县期末）如图，两个正方形的边长分别为，，若，，则四边形的面积为　 　． 九．完全平方式（共1小题） 9．（2023春•泗县期末）若二次三项式是完全平方式，则的值是　　 A．6 B． C． D． 一十．平方差公式（共1小题） 10．（2023秋•碑林区校级期末）若，那么代数式应为　　 A． B． C． D． 一十一．平方差公式的几何背景（共1小题） 11．（2023秋•射洪市期末）如图1，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形（如图，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于，的恒等式为　　 A． B． C． D． 一十二．整式的除法（共1小题） 12．（2023春•成华区期末）（1）计算：； （2）计算： 一十三．整式的混合运算（共1小题） 13．（2023春•崂山区期末）（1）； （2）； （3）； （4）． 一十四．整式的混合运算—化简求值（共1小题） 14．（2023秋•丰泽区期末）先化简，再求值，其中． 一十五．零指数幂（共1小题） 15．（2020春•靖远县期末）若，则应满足条件． 一十六．负整数指数幂（共1小题） 16．（2023秋•白河县期末）计算． 一十七．常量与变量（共1小题） 17．（2021春•贵阳期末）太阳能作为一种新型能源，被广泛应用到实际生活中，在利用太阳能热水器来加热的过程中，热水器里水的温度随着太阳光照射时间的变化而变化，这一变化过程中因变量是　　 A．水的温度 B．太阳光的强弱 C．太阳光照射的时间 D．热水器的容积 一十八．函数关系式（共1小题） 18．（2022春•长清区期末）如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答问题： （1）请将下表补充完整： 碗的数量（个 1 2 3 4 5 高度 4 5.2 　　 7.6 　　 （2）写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间的关系式 　　；当碗的数量为10个时，碗的高度是 　　； （3）若这摞碗的高度为，求这摞碗的数量． 一十九．函数的图象（共1小题） 19．（2022春•青岛期末）甲、乙两人在笔直的公路上从起点地以不同的速度匀速跑向终点地，先到地的人原地休息，已知、两地相距1500米，且甲比乙早出发，甲、乙两人之间的距离（米与甲出发的时间（秒的关系如图所示． （1）甲早出发 　　秒，乙出发时两人距离 　　米； （2）甲的速度是 　　米秒，甲从地跑到地共需 　　秒； （3）乙出发 　　秒时追上了甲； （4）甲出发 　　秒时，两人相距120米． 二十．动点问题的函数图象（共1小题） 20．（2022春•莲池区期末）如图①，在三角形中，，，是中点，动点沿的路径从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动，设点运动的时间为，三角形的面积为，关于的变化图象大致如图②，已知，则下列结论正确的是 　　． ①点的实际意义：动点与点重合时运动的时间与三角形的面积的关系；②；③点对应的数为17；④，． 二十一．函数的表示方法（共1小题） 21．（2023春•金牛区期末）某奶茶店销售奶茶的杯数（杯与销售总价（元的关系如下表： 奶茶数量杯 1 2 3 4 10 销售总价元 12 22 32 42 102 （1）写出销售总价（元与奶茶数量（杯的关系式． （2）若该店想要在一天中销售总价达到822元，那么要销售多少杯奶茶？ 二十二．余角和补角（共1小题） 22．（2023秋•临县校级期末）某天卢老师在数学课上，利用多媒体展示如下内容：如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．聪明的你认为哪些结论是正确的，请写出正确结论的序号 　　． 二十三．相交线（共1小题） 23．（2021春•自贡期末）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字． 则条直线最多有　　个交点． 二十四．对顶角、邻补角（共1小题） 24．（2022秋•永州期末）下面四个图形中，与是对顶角的图形有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二十五．垂线（共1小题） 25．（2023春•霸州市期末）如图，直线与直线相交于点，平分，若，且，则　　． 二十六．垂线段最短（共1小题） 26．（2022春•墨玉县期末）如图，，，垂足分别为点，．若，，则的长可能是　　 A．4 B．6 C．7 D．8 二十七．点到直线的距离（共1小题） 27．（2023春•益阳期末）下列说法中，正确的是　　 A．在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直 B．两直线相交，对顶角互补 C．垂线段最短 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 二十八．同位角、内错角、同旁内角（共1小题） 28．（2022春•西吉县期末）如图，直线，被直线和所截，则的同位角和的内错角分别是 　　． 二十九．平行线（共1小题） 29．（2022春•娄星区期末）在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是　　 A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定 三十．平行线的判定（共1小题） 30．（2023春•鸡西期末）如图，要使，则需要添加的条件是　　（写一个即可） 三十一．平行线的性质（共1小题） 31．（2020春•天山区校级期末）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为　　． 三十二．三角形（共1小题） 32．（2021春•柳南区校级期末）如图，图中直角三角形共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三十三．三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 33．（2022春•丰泽区期末）如图，在直角中，边上有，，三点，，，，垂足为． （1）以为中线的三角形是 　　；以为角平分线的三角形是 　　；以为高线的钝角三角形有 　　个； （2）若，求的度数． 三十四．三角形的面积（共1小题） 34．（2023春•泉州期末）如图，中，点在边上且，点为边上中点，和相交于点，比的面积大2，则的面积为 　　． 三十五．三角形的稳定性（共1小题） 35．（2022秋•安定区校级期末）下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是　　 A． B． C． D． 三十六．三角形的重心（共1小题） 36．（2020春•肥城市期末）如图，的中线、相交于点，，且，，则四边形的面积是　　． 三十七．三角形三边关系（共1小题） 37．（2021春•达州期末）有5根小木棒，长度分别为、、、、，任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为　　 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 三十八．三角形内角和定理（共1小题） 38．（2023秋•新民市期末）有一张三角形纸片，已知，，点在边上，请在边上找一点，将纸片沿直线折叠，点落在点处，若与三角形纸片的边平行，则的度数为 　　． 三十九．全等图形（共1小题） 39．（2020春•玉门市期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则　　． 四十．全等三角形的判定（共1小题） 40．（2022秋•大安市期末）如图，，要使，还需要补充一个条件：　　（填一个即可）． 四十一．全等三角形的判定与性质（共2小题） 41．（2023春•开福区校级期末）如图，，，点、、在一条直线上，，，，则　　度． 42．（2023春•梅江区期末）如图，在中，，，点从出发以每秒2个单位的速度在线段上从点向点运动，点同时从出发以每秒2个单位的速度在线段上向点运动，连接、，设、两点运动时间为秒 （1）运动　　秒时，； （2）运动多少秒时，能成立，并说明理由； （3）若，，则　　（用含的式子表示）． 四十二．全等三角形的应用（共1小题） 43．（2022春•洋县期末）小明家门前有一条小河，村里准备在河面上架上一座桥，但河宽无法直接测量，爱动脑的小明想到了如下方法：在与垂直的岸边上取两点、使　　，再引出的垂线，在上取一点，并使、、在一条直线上，这时测出线段　　的长度就是的长． （1）按小明的想法填写题目中的空格； （2）请完成推理过程． 四十三．角平分线的性质（共1小题） 44．（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是　　 A．15 B．30 C．45 D．60 四十四．线段垂直平分线的性质（共1小题） 45．（2023春•榆林期末）如图，在中．，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，则的度数为 　　． 四十五．等腰三角形的性质（共1小题） 46．（2023春•东平县期末）如图，已知，，，，以此类推，若，则　　． 四十六．等边三角形的性质（共1小题） 47．（2022春•龙口市期末）数学理解 （1）如图1，在等边内，作，且，是内一点，且，，求的度数； 联系拓广（联系图1特点，解决下列问题） （2）如图2，在中，，，是内一点，且，，连接，求的度数． 四十七．直角三角形的性质（共1小题） 48．（2023春•二道区校级期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求： （1）的度数． （2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）　　 　　． 　　 　　　　（等量代换） （2） （等式的性质） （已知） 　　　　（等量代换）． 四十八．生活中的轴对称现象（共1小题） 49．（2020春•兖州区期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角（即，．小球从点出发第1次碰到长方形边上的点记为点，第2次碰到长方形边上的点记为点，第2020次碰到长方形边上的点为图中的　　 A．点 B．点 C．点 D．点 四十九．轴对称的性质（共1小题） 50．（2022春•郏县期末）如图所示，内有一点，，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点，若，求的周长． 五十．轴对称图形（共1小题） 51．（2023秋•江岸区期末）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 五十一．作图-轴对称变换（共1小题） 52．（2021春•峡江县期末）已知如图，点在内，请按要求完成以下问题． （1）分别作关于、的对称点、，连接分别交、于、； （2）若的周长为20，求的长． 五十二．利用轴对称设计图案（共1小题） 53．（2022春•丰城市校级期末）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图拼出来的图形的总长度是 　　（结果用含，代数式表示）． 五十三．轴对称-最短路线问题（共1小题） 54．（2023春•和平区期末）如图，在中，是的角平分线，点、分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为　　 A． B． C． D． 五十四．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 55．（2023春•浉河区期末）如图，点，分别为长方形纸片的边，上的点，将纸片沿翻折，点，分别落在点，处，下列结论： ①； ②若的度数比大，则的度数为； ③； ④． 其中一定正确的有 　　（填序号即可）． 五十五．随机事件（共1小题） 56．（2023秋•屯昌县期末）彩民李大叔购买1张彩票中奖，这个事件是　　 A．随机事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．必然事件 五十六．可能性的大小（共1小题） 57．（2022秋•平城区校级期末）下列说法正确的是　　 A．可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生 B．可能性很小的事件在一次实验中一定发生 C．可能性很小的事件在一次实验中有可能发生 D．不可能事件在一次实验中也可能发生 五十七．概率的意义（共1小题） 58．（2021春•惠来县期末）下列说法正确的是　　 A．某一事件发生的可能性非常大就是必然事件 B．概率很小的事情不可能发生 C．2022年1月27日惠来会下雨是随机事件 D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次 五十八．概率公式（共1小题） 59．（2022春•银川校级期末）一只不透明的袋子中有3个红球，3个绿球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球． （1）若袋子内白球有4个，任意摸出一个球是绿球的概率是多少？ （2）如果任意摸出一个球是绿球的概率是，求袋子内有几个白球？ 五十九．几何概率（共1小题） 60．某沿海城市将进行旧城改造，该市地区面积约占，其余为郊区，计划将城区面积的建成“公寓式”住宅，面积占城区的工厂迁至北部郊区的荒废地带，其余均为商业区，而郊区的北部已有工厂占郊区面积的，南部沿海一带将被开发为别墅区占，原占地农田不变．当电脑把该市新城郊规划图显示在屏幕上时，任意点击一下鼠标，则被点击点是下列位置的概率是多少？ （1）别墅区（2）居住区（3）商业区（4）工业区 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末真题必刷易错60题（59个考点专练） 一．同底数幂的乘法（共1小题） 1．（2023春•济南期末）计算：． 【分析】根据同底数幂的乘法和合并同类项法则可直接得出结论． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，熟知相关法则是解题关键：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 二．幂的乘方与积的乘方（共1小题） 2．（2023春•西安期末）计算的结果正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据积的乘方法则，把积中的每个因式分别乘方，然后利用幂的乘方法则底数不变指数相乘化简，并把所计算的结果相乘即可求出值． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】此题考查学生掌握积的乘方及幂的乘方的法则，此题的容易出错的地方是的计算． 三．同底数幂的除法（共1小题） 3．（2023秋•三河市期末）计算：　　． 【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可，同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 四．单项式乘单项式（共1小题） 4．（2023秋•绥中县期末）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、与不能合并，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 五．单项式乘多项式（共1小题） 5．（2021春•宁德期末）计算： （1）． （2）． 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以多项式法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式． 【点评】本题考查了整式的运算，能正确运用法则进行化简是解此题的关键． 六．多项式乘多项式（共1小题） 6．（2023春•白银区校级期末）观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若，则，的值可能分别是　　 A．， B．，4 C．3， D．3，4 【分析】根据题意，即可得出，，进而得到，的值可能分别是，． 【解答】解：根据题意，知：，， ，的值可能分别是，， 故选：． 【点评】本题主要考查完了多项式乘多项式的法则的运用，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 七．完全平方公式（共1小题） 7．（2023春•凤城市期末）下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项，单项式乘多项式的法则，完全平方公式分析选项即可知道答案． 【解答】解：．，原计算错误，故此选项不符合题意； ．和不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； ．，原计算正确，故此选项符合题意； ．，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，合并同类项，完全平方公式，单项式乘多项式的法则． 八．完全平方公式的几何背景（共1小题） 8．（2023秋•光山县期末）如图，两个正方形的边长分别为，，若，，则四边形的面积为　20　． 【分析】分析图形可得，四边形的面积为两个正方形面积和减去两个三角形的面积，据此计算可得关系式；代入，，计算可得答案． 【解答】解：根据题意可得，四边形的面积 ； 代入，，可得： 四边形的面积． 故答案为：20． 【点评】此题考查整式的混合运算，关键是利用面积的和差关系求出四边形的面积，但在计算时要把未知的代数式转化成已知，代入求值． 九．完全平方式（共1小题） 9．（2023春•泗县期末）若二次三项式是完全平方式，则的值是　　 A．6 B． C． D． 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 【解答】解：，是完全平方式， ， 解得． 故选：． 【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 一十．平方差公式（共1小题） 10．（2023秋•碑林区校级期末）若，那么代数式应为　　 A． B． C． D． 【分析】利用平方差公式先分解，再根据等式的相等关系可得的值． 【解答】解：， ． 故选：． 【点评】本题考查了平方差公式．会灵活运用． 一十一．平方差公式的几何背景（共1小题） 11．（2023秋•射洪市期末）如图1，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形（如图，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于，的恒等式为　　 A． B． C． D． 【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到． 【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积， 第二个图形面积， 则． 故选：． 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键． 一十二．整式的除法（共1小题） 12．（2023春•成华区期末）（1）计算：； （2）计算： 【分析】（1）依据题意，由零指数幂及负整数指数幂的意义进行计算可以得解； （2）依据题意，由整式的除法法则进行计算可以得解． 【解答】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 【点评】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂及整式的除法，解题时需要熟练掌握并理解． 一十三．整式的混合运算（共1小题） 13．（2023春•崂山区期末）（1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）按照从左到右的顺序，进行计算即可解答； （3）利用单项式乘多项式的法则，进行计算即可解答； （4）先去括号，再合并同类项，即可解答． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点评】本题考查了整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 一十四．整式的混合运算—化简求值（共1小题） 14．（2023秋•丰泽区期末）先化简，再求值，其中． 【分析】先利用完全平方公式，多项式乘多项式计算括号里，再算括号外，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解答】解： ， 当时，原式 ． 【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 一十五．零指数幂（共1小题） 15．（2020春•靖远县期末）若，则应满足条件． 【分析】根据零指数幂：可得，解出即可． 【解答】解：， ， 解得：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了零次幂，关键是掌握底数不能为零． 一十六．负整数指数幂（共1小题） 16．（2023秋•白河县期末）计算． 【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了负整数指数幂，有理数的减法，有理数的乘法，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 一十七．常量与变量（共1小题） 17．（2021春•贵阳期末）太阳能作为一种新型能源，被广泛应用到实际生活中，在利用太阳能热水器来加热的过程中，热水器里水的温度随着太阳光照射时间的变化而变化，这一变化过程中因变量是　　 A．水的温度 B．太阳光的强弱 C．太阳光照射的时间 D．热水器的容积 【分析】函数的定义：设在某变化过程中有两个变量、，如果对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一的值与它对应，那么称是的函数，叫自变量．函数关系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量． 【解答】解：根据函数的定义可知，水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，所晒时间为自变量． 故选：． 【点评】本题主要考查的是对函数的定义，关键是根据函数的定义对自变量和因变量的认识和理解． 一十八．函数关系式（共1小题） 18．（2022春•长清区期末）如图，一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答问题： （1）请将下表补充完整： 碗的数量（个 1 2 3 4 5 高度 4 5.2 　6.4　 7.6 　　 （2）写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间的关系式 　　；当碗的数量为10个时，碗的高度是 　　； （3）若这摞碗的高度为，求这摞碗的数量． 【分析】（1）根据表格先求出每增加1，就增加1.2，然后进行计算即可解答； （2）根据整齐叠放在桌面上碗的高度一个碗的高度（碗的总数，从而可得，然后把代入函数关系式中，进行计算即可解答； （3）把代入函数关系式进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， ， ， 故答案为：6.4，8.8； （2）由题意得： ， 整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间的关系式：， 当时，， 当碗的数量为10个时，碗的高度是， 故答案为：，14.8； （3）当时，， 解得：， 这摞碗的数量为15个． 【点评】本题考查了函数关系式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 一十九．函数的图象（共1小题） 19．（2022春•青岛期末）甲、乙两人在笔直的公路上从起点地以不同的速度匀速跑向终点地，先到地的人原地休息，已知、两地相距1500米，且甲比乙早出发，甲、乙两人之间的距离（米与甲出发的时间（秒的关系如图所示． （1）甲早出发 　30　秒，乙出发时两人距离 　　米； （2）甲的速度是 　　米秒，甲从地跑到地共需 　　秒； （3）乙出发 　　秒时追上了甲； （4）甲出发 　　秒时，两人相距120米． 【分析】（1）根据图象解答即可； （2）根据题意和图象中的数据即可求出甲的速度，进而求出甲从地跑到地共需要的时间； （3）根据题意可知，当时，乙追上甲，由图象可得出结果； （4）根据题意列方程解答即可． 【解答】解：（1）由图象可知，甲早出发30秒，乙出发时两人距离75米； 故答案为：30；75． （2）根据题意得， 甲的速度为：米秒， （秒． 即甲从地跑到地共需600秒． 故答案为：2.5；600． （3）（秒， 乙出发150秒时追上了甲． 故答案为：150； （4）设甲出发秒时，两人相距120米，根据题意得： 或， 解得或552． 即甲出发420秒或552秒时，两人相距120米． 故答案为：420或552． 【点评】本题考查函数图象的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和时间距离图象进行解答． 二十．动点问题的函数图象（共1小题） 20．（2022春•莲池区期末）如图①，在三角形中，，，是中点，动点沿的路径从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动，设点运动的时间为，三角形的面积为，关于的变化图象大致如图②，已知，则下列结论正确的是 　①②　． ①点的实际意义：动点与点重合时运动的时间与三角形的面积的关系；②；③点对应的数为17；④，． 【分析】根据题意可知，图②中，线段对应点从点；线段对应点从点，线段对应点从点．再根据图②中给出的数据进行分析即可． 【解答】解：根据题意可知，图②中，线段对应点从点；线段对应点从点，线段对应点从点． 则点的实际意义是，动点与点重合时运动的时间与三角形的面积的关系；故①正确； ，，，故②正确； ，点是的中点， ， ， ， ，故③错误； 当点与点重合时，的面积面积为14， 点是的中点，当点与点重合时， 的面积为7，即，故④错误； 故答案为：①②． 【点评】本题是动点函数图象问题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，三角形的面积等，将图①图②中点中运动结合分析是解题的关键． 二十一．函数的表示方法（共1小题） 21．（2023春•金牛区期末）某奶茶店销售奶茶的杯数（杯与销售总价（元的关系如下表： 奶茶数量杯 1 2 3 4 10 销售总价元 12 22 32 42 102 （1）写出销售总价（元与奶茶数量（杯的关系式． （2）若该店想要在一天中销售总价达到822元，那么要销售多少杯奶茶？ 【分析】（1）由表格可值，销售数量每增加1杯，销售总价增加10元，即可写出函数关系式； （2）把代入（1）中的函数关系式中即可得出答案． 【解答】解：（1）销售数量每增加1杯，销售总价增加10元，则该函数为一次函数， 设该函数关系式为：，把和代入，得． ． 根据题意可得，， 销售总价（元与奶茶数量（杯的关系式． （2）把代入中， ． ． 该店想要在一天中销售总价达到822元，那么要销售82杯奶茶． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握函数的表示方法进行求解是解决本题的关键． 二十二．余角和补角（共1小题） 22．（2023秋•临县校级期末）某天卢老师在数学课上，利用多媒体展示如下内容：如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．聪明的你认为哪些结论是正确的，请写出正确结论的序号 　①②④　． 【分析】根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【解答】解：平分，平分，平分， ，，， ，， ，， ，故①②正确， ，， ， ， 与不互补，故③错误， ， ．故④正确． 故答案为：①②④． 【点评】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 二十三．相交线（共1小题） 23．（2021春•自贡期末）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字． 则条直线最多有　　个交点． 【分析】根据已知得出两条直线相交，最多有个交点，三条直线两条直线相交，最多有个交点，四条直线相交，最多有个交点，5条直线相交，最多有个交点，推出条直线相交，最多的交点个数是． 【解答】解：两条直线相交，最多有1个交点，即， 三条直线两条直线相交，最多有3个交点，即 四条直线相交，最多有6个交点，即 5条直线相交，最多有10个交点，即， 条直线相交，最多的交点个数是， 故答案为：． 【点评】本题考查了线段，相交线等知识点，解此题的关键是根据已知得出规律，题目比较典型，但是有一定的难度． 二十四．对顶角、邻补角（共1小题） 24．（2022秋•永州期末）下面四个图形中，与是对顶角的图形有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，即可解答． 【解答】解：根据对顶角的定义可知：只有第3个图中的是对顶角，其它都不是． 故选：． 【点评】本题考查对顶角的定义，解决本题的关键是熟记对顶角的定义． 二十五．垂线（共1小题） 25．（2023春•霸州市期末）如图，直线与直线相交于点，平分，若，且，则　　． 【分析】根据垂直定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，然后利用平角定义进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， ， 平分， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 二十六．垂线段最短（共1小题） 26．（2022春•墨玉县期末）如图，，，垂足分别为点，．若，，则的长可能是　　 A．4 B．6 C．7 D．8 【分析】依据垂线段最短，即可得到的取值范围，进而得出结论． 【解答】解：，， ，， ， 又，， ， 的长可能是6， 故选：． 【点评】本题主要考查了垂线段的性质，垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． 二十七．点到直线的距离（共1小题） 27．（2023春•益阳期末）下列说法中，正确的是　　 A．在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直 B．两直线相交，对顶角互补 C．垂线段最短 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 【分析】依据垂线的性质、对顶角的性质、垂线段的性质以及点到直线的距离的概念，即可得出结论． 【解答】解：．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误； ．两直线相交，对顶角相等，故本选项错误； ．垂线段最短，故本选项正确； ．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本选项错误； 故选：． 【点评】本题主要考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 二十八．同位角、内错角、同旁内角（共1小题） 28．（2022春•西吉县期末）如图，直线，被直线和所截，则的同位角和的内错角分别是 　、　． 【分析】同位角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；内错角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．根据定义进行分析即可． 【解答】解：的同位角是，的内错角是， 即的同位角和的内错角分别是、． 故答案为：、． 【点评】此题主要考查了三线八角，解题的关键是掌握同位角的边构成“ “形，内错角的边构成“ “形，同旁内角的边构成“”形． 二十九．平行线（共1小题） 29．（2022春•娄星区期末）在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系是　　 A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．无法确定 【分析】根据在同一平面内两条不重合的直线的位置关系得出即可． 【解答】解：在同一平面内两条不重合的直线的位置关系是平行和相交． 故选：． 【点评】本题主要考查对平行线和相交线的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键． 三十．平行线的判定（共1小题） 30．（2023春•鸡西期末）如图，要使，则需要添加的条件是　　（写一个即可） 【分析】依据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，即可得到添加的条件． 【解答】解：当（或或或时，， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 三十一．平行线的性质（共1小题） 31．（2020春•天山区校级期末）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为　　． 【分析】先根据角平分线的定义，得出，，再根据三角形内角和定理，推理得出，进而求得的度数． 【解答】解：平分，平分， ，， ，， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 三十二．三角形（共1小题） 32．（2021春•柳南区校级期末）如图，图中直角三角形共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可作判断． 【解答】解：如图，图中直角三角形有、、，共有3个， 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形的定义，比较简单，掌握直角三角形的定义是关键，要做到不重不漏． 三十三．三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 33．（2022春•丰泽区期末）如图，在直角中，边上有，，三点，，，，垂足为． （1）以为中线的三角形是 　　；以为角平分线的三角形是 　　；以为高线的钝角三角形有 　　个； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据三角形的中线、高、角平分线的概念解答即可； （2）根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案． 【解答】解：（1）以为中线的三角形是； 以为角平分线的三角形是； 以为高线的钝角三角形有、、共3个， 故答案为：；；3； （2）在中，，， ， ， ． 【点评】本题考查的是三角形的中线、高、角平分线以及直角三角形的性质，正确认识三角形的中线、高、角平分线是解题的关键． 三十四．三角形的面积（共1小题） 34．（2023春•泉州期末）如图，中，点在边上且，点为边上中点，和相交于点，比的面积大2，则的面积为 　12　． 【分析】连接，设的面积为，则的面积，再根据已知，可得：的面积的面积，然后根据三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形可得：的面积的面积，的面积的面积，从而可得的面积的面积，进而可得的面积，最后根据已知，可得：的面积的面积，从而可得，进行计算即可解答． 【解答】解：连接， 设的面积为， 比的面积大2， 的面积， ， 的面积的面积， 点为边上中点， 的面积的面积，的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积， ， 的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， ， 解得：， 的面积的面积的面积 ， 故答案为：12． 【点评】本题考查了三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 三十五．三角形的稳定性（共1小题） 35．（2022秋•安定区校级期末）下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形具有稳定性判断即可． 【解答】解：、不是利用“三角形稳定性”，不符合题意； 、利用了“三角形稳定性”，符合题意； 、不是利用“三角形稳定性”，不符合题意； 、不是利用“三角形稳定性”，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 三十六．三角形的重心（共1小题） 36．（2020春•肥城市期末）如图，的中线、相交于点，，且，，则四边形的面积是　　． 【分析】根据三角形的面积底高，求出的面积是多少；然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得、的面积均是的面积的一半，据此判断出四边形的面积等于的面积，据此解答即可． 【解答】解：、均是的中线， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及三角形的中线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键要明确：（1）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；（2）三角形的面积底高． 三十七．三角形三边关系（共1小题） 37．（2021春•达州期末）有5根小木棒，长度分别为、、、、，任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为　　 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【分析】根据三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断． 【解答】解：可搭出不同的三角形为： 、、；、、；、、；、、；、、；、、；、、共7个． 故选：． 【点评】考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去． 三十八．三角形内角和定理（共1小题） 38．（2023秋•新民市期末）有一张三角形纸片，已知，，点在边上，请在边上找一点，将纸片沿直线折叠，点落在点处，若与三角形纸片的边平行，则的度数为 　或　． 【分析】分两种情况：①当点在的上方时，②当点在的下方时，根据折叠性质、平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：①当点在的上方时，如图： ，， ， ； ②当点在的下方时，如图： ，， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【点评】此题考查的是翻折变换和平行线的性质，掌握翻折的性质是解决此题的关键． 三十九．全等图形（共1小题） 39．（2020春•玉门市期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则　　． 【分析】观察图形可知与互余，是直角的一半，利用这些关系可解此题． 【解答】解：观察图形可知：， ， 又， ． ， ． 故答案为：． 【点评】此题综合考查角平分线以及全等图形，要注意与互余，是直角的一半，特别是观察图形的能力． 四十．全等三角形的判定（共1小题） 40．（2022秋•大安市期末）如图，，要使，还需要补充一个条件：　或　（填一个即可）． 【分析】两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，据此可得结论． 【解答】解：，， 当或时，， 还需要补充一个条件为：或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． 四十一．全等三角形的判定与性质（共2小题） 41．（2023春•开福区校级期末）如图，，，点、、在一条直线上，，，，则　65　度． 【分析】由角的和差得，边角边证明，其性质得，再由三角形的内角和定理，邻补角的性质求出． 【解答】解：如图所示： ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 故答案为65． 【点评】本题综合考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，邻补角的性质等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是灵活运用证明三角形全等的方法解决实际问题，易错点是学生将结果加上度的符号． 42．（2023春•梅江区期末）如图，在中，，，点从出发以每秒2个单位的速度在线段上从点向点运动，点同时从出发以每秒2个单位的速度在线段上向点运动，连接、，设、两点运动时间为秒 （1）运动　3　秒时，； （2）运动多少秒时，能成立，并说明理由； （3）若，，则　　（用含的式子表示）． 【分析】（1）依据，可得，，再根据当，时，，可得的值； （2）当成立时，，根据，可得的值； （3）依据，，，即可得到，再根据，，即可得出． 【解答】解：（1）由题可得，， ，， 当，时，， 解得， 故答案为：3； （2）当成立时，， ， 解得， 运动2秒时，能成立； （3）当时，， 又，， ， 又，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．利用全等三角形的对应边相等得出方程是解题关键． 四十二．全等三角形的应用（共1小题） 43．（2022春•洋县期末）小明家门前有一条小河，村里准备在河面上架上一座桥，但河宽无法直接测量，爱动脑的小明想到了如下方法：在与垂直的岸边上取两点、使　　，再引出的垂线，在上取一点，并使、、在一条直线上，这时测出线段　　的长度就是的长． （1）按小明的想法填写题目中的空格； （2）请完成推理过程． 【分析】（1）根据全等三角形的性质进行填空，构造全等三角形即可； （2）首先证明，进而可根据全等三角形对应边相等可得． 【解答】解：（1）在与垂直的岸边上取两点、使，再引出的垂线，在上取一点，并使、、在一条直线上，这时测出线段的长度就是的长． 故答案为：，； （2）由题意得， ， 在和中， ， ， （全等三角形的对应边相等）． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形对应边相等． 四十三．角平分线的性质（共1小题） 44．（2021秋•朝阳区校级期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是　　 A．15 B．30 C．45 D．60 【分析】作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：作于， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ，， ， 的面积， 故选：． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 四十四．线段垂直平分线的性质（共1小题） 45．（2023春•榆林期末）如图，在中．，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，则的度数为 　30　． 【分析】先利用三角形内角和定理求出，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 故答案为：30． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 四十五．等腰三角形的性质（共1小题） 46．（2023春•东平县期末）如图，已知，，，，以此类推，若，则　　． 【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，从而利用三角形的外角性质可得，进而利用等腰三角形的性质可得，然后按照同样的思路，从数字找规律进行计算，即可解答． 【解答】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，规律型：数字的变化类，规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键． 四十六．等边三角形的性质（共1小题） 47．（2022春•龙口市期末）数学理解 （1）如图1，在等边内，作，且，是内一点，且，，求的度数； 联系拓广（联系图1特点，解决下列问题） （2）如图2，在中，，，是内一点，且，，连接，求的度数． 【分析】（1）连接，依据直线是线段的垂直平分线，即可得到平分，进而得出的度数；再判定，即可得到； （2）作等边三角形，连接，判定，即可得到，进而得出，再根据进行计算即可． 【解答】解：（1）如图1，连接， ，， 直线是线段的垂直平分线， 平分， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又，， ， ； （2）如图2，作等边三角形，连接， 由（1）解答知，，， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握等边三角形的三个内角都相等，且都等于． 四十七．直角三角形的性质（共1小题） 48．（2023春•二道区校级期末）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求： （1）的度数． （2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）　是斜边上的高　 　　． 　　 　　　　（等量代换） （2） （等式的性质） （已知） 　　　　（等量代换）． 【分析】（1）依据题意，读懂题目中的因果关系然后进行判断可以得解； （2）依据题意，类似（1）进行分析，利用三角形的外角的性质即可得解． 【解答】解：（1）是斜边上的高）， ． （三角形的外角的性质）， （等量代换）． 故答案为：是斜边上的高；；三角形的外角的性质；；． （2） （等式的性质）， （已知）， （等量代换）． 故答案为：；． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并理解． 四十八．生活中的轴对称现象（共1小题） 49．（2020春•兖州区期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角（即，．小球从点出发第1次碰到长方形边上的点记为点，第2次碰到长方形边上的点记为点，第2020次碰到长方形边上的点为图中的　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【解答】解：如图所示，经过6次反弹后动点回到出发点， ， 当点第2020次碰到长方形的边时为第337个循环组的第4次反弹， 第2020次碰到长方形的边时的点为图中的点， 故选：． 【点评】此题主要考查了点的坐标的规律以及生活中的轴对称现象，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 四十九．轴对称的性质（共1小题） 50．（2022春•郏县期末）如图所示，内有一点，，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点，若，求的周长． 【分析】根据轴对称的性质进行等量代换，便可知与的周长是相等的，即可求解． 【解答】解：，分别是点关于、的对称点， ，； 的周长， 的周长为． 【点评】本题考查轴对称的性质，难度一般，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能简单做出此题． 五十．轴对称图形（共1小题） 51．（2023秋•江岸区期末）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 五十一．作图-轴对称变换（共1小题） 52．（2021春•峡江县期末）已知如图，点在内，请按要求完成以下问题． （1）分别作关于、的对称点、，连接分别交、于、； （2）若的周长为20，求的长． 【分析】（1）作关于、的对称点、，连接分别交、于、即可； （2）根据轴对称的性质可知：，，所以线段的长的周长． 【解答】解：（1）如图所示： （2）点与点关于对称，点与点关于对称， ，， 的周长， ． 【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 五十二．利用轴对称设计图案（共1小题） 53．（2022春•丰城市校级期末）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图拼出来的图形的总长度是 　　（结果用含，代数式表示）． 【分析】方法1、用9个这样的图形（图的总长减去拼接时的重叠部分8个，即可得到拼出来的图形的总长度． 方法2、口朝上的有5个，长度之和是，口朝下的有四个，长度为，即可得出结论． 【解答】解：方法1、如图，由图可得，拼出来的图形的总长度 故答案为：． 方法2、小明用9个这样的图形（图拼出来的图形 口朝上的有5个，口朝下的有四个， 而口朝上的有5个，长度之和是，口朝下的有四个，长度为， 即：总长度为， 故答案为． 【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 五十三．轴对称-最短路线问题（共1小题） 54．（2023春•和平区期末）如图，在中，是的角平分线，点、分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，可证得△，所以，由“直角三角形两锐角互余”可得，所以，由此可得结论． 【解答】解：过点作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，如图， 此时最小． 是的角平分线， ， ， ， ， ， △， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，直角三角形的性质等知识，根据轴对称最值问题作出辅助线是解题关键． 五十四．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 55．（2023春•浉河区期末）如图，点，分别为长方形纸片的边，上的点，将纸片沿翻折，点，分别落在点，处，下列结论： ①； ②若的度数比大，则的度数为； ③； ④． 其中一定正确的有 　①③④　（填序号即可）． 【分析】根据矩形的性质可得，从而可得，然后利用折叠的性质可得，即可判断①；根据已知设，则，再利用折叠的性质可得，然后利用平行线的性质可得，从而求出的值，即可判断②；设，根据折叠的性质可得，再利用平行线的性质可得，，然后进行计算即可判断③；根据折叠的性质可得，再利用③的结论进行计算即可解答． 【解答】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠得： ， ， 故①正确； 的度数比大， 设，则， 由折叠得： ， ， ， ， ， ， 故②不正确； 设， 由折叠得： ， ， ， ， ， ， 故③正确； 由折叠得： ， 由③可得：， ， ， ， 故④正确； 所以，上列结论，其中一定正确的有：①③④， 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换（折叠问题），熟练掌握平行线的性质，以及折叠的性质是解题的关键． 五十五．随机事件（共1小题） 56．（2023秋•屯昌县期末）彩民李大叔购买1张彩票中奖，这个事件是　　 A．随机事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．必然事件 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答． 【解答】解：彩民李大叔购买1张彩票中奖，这个事件是随机事件， 故选：． 【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 五十六．可能性的大小（共1小题） 57．（2022秋•平城区校级期末）下列说法正确的是　　 A．可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生 B．可能性很小的事件在一次实验中一定发生 C．可能性很小的事件在一次实验中有可能发生 D．不可能事件在一次实验中也可能发生 【分析】事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小． 【解答】解：、可能性很小的事件在一次实验中也会发生，故错误； 、可能性很小的事件在一次实验中可能发生，也可能不发生，故错误； 、可能性很小的事件在一次实验中有可能发生，故正确； 、不可能事件在一次实验中更不可能发生，故错误． 故选：． 【点评】一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．注意可能性较小的事件也有可能发生；可能性很大的事也有可能不发生． 五十七．概率的意义（共1小题） 58．（2021春•惠来县期末）下列说法正确的是　　 A．某一事件发生的可能性非常大就是必然事件 B．概率很小的事情不可能发生 C．2022年1月27日惠来会下雨是随机事件 D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次 【分析】利用随机事件的分类及概率意义判断即可． 【解答】解：某事件发生的可能性大并不一定会发生，故错误． 概率很小的随机事件也有可能发生，故错误． 2022年1月27日惠来下雨可能发生，也可能不发生，是随机事件，故正确． 抛硬币，正面朝上的概率为，在大量重复试验的情况下，平均抛1000次，有500次正面朝上，故错误． 故选：． 【点评】本题考查事件的分类及概率的意义，正确理解概念和意义是求解本题的关键． 五十八．概率公式（共1小题） 59．（2022春•银川校级期末）一只不透明的袋子中有3个红球，3个绿球和若干个白球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球． （1）若袋子内白球有4个，任意摸出一个球是绿球的概率是多少？ （2）如果任意摸出一个球是绿球的概率是，求袋子内有几个白球？ 【分析】（1）依据有3个红球，3个绿球和4个白球，即可得到任意摸出一个球是绿球的概率； （2）设袋子内有个白球，依据概率公式列出方程，即可得到白球的数量． 【解答】解：（1）任意摸出一个球是绿球的概率是； （2）设袋子内有个白球，则 ， 解得， 袋子内有6个白球． 【点评】本题考查概率的求法与运用，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）． 五十九．几何概率（共1小题） 60．某沿海城市将进行旧城改造，该市地区面积约占，其余为郊区，计划将城区面积的建成“公寓式”住宅，面积占城区的工厂迁至北部郊区的荒废地带，其余均为商业区，而郊区的北部已有工厂占郊区面积的，南部沿海一带将被开发为别墅区占，原占地农田不变．当电脑把该市新城郊规划图显示在屏幕上时，任意点击一下鼠标，则被点击点是下列位置的概率是多少？ （1）别墅区（2）居住区（3）商业区（4）工业区 【分析】别墅区面积的概率等于郊区面积的百分比与它所占的总面积的百分比之积； 居住区面积的概率等于公寓面积的概率别墅面积的概率； 商业区面积的概率等于城市面积的概率与的积； 工业区的面积的概率等于原有工业区的概率与新移过去的概率之和． 【解答】解：别墅区面积占城市总面积； 居住区，也就是公寓别墅，面积占城市总面积； 商业区面积占城市总面积； 工业区面积占城市总面积； 剩下的是：农田，面积占城市总面积； ．别墅区的概率为：；2．居住区的概率为：；3．商业区的概率为：；4．工业区被点击的概率：． 【点评】部分所占的概率等于总体与相应概率之积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$