北师大版七年级期末真题必刷常考60题（60个考点专练）-2023-2024学年七年级数学下学期考试满分全攻略高频考点+重难点讲练与测试（北师大版）

期末真题必刷常考60题（60个考点专练） 一．科学记数法—表示较小的数（共1小题） 1．（2023春•梅州期末）近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知7nm＝0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示为（　　） A．7×10﹣7 B．7×10﹣6 C．0.7×10﹣6 D．0.7×10﹣7 二．同底数幂的乘法（共1小题） 2．（2022秋•惠城区校级期末）若，，则　　 A． B． C．10 D．24 三．幂的乘方与积的乘方（共1小题） 3．（2020春•双流区校级期末）若，，则　　． 四．同底数幂的除法（共1小题） 4．（2023秋•五莲县期末）下列运算中正确的是　　 A． B． C． D． 五．单项式乘单项式（共1小题） 5．（2023秋•仓山区校级期中）在下列各式中，应填入“”的是 A．•____＝﹣y B．•____＝﹣2y C．•____＝﹣8y D．•____＝﹣3y 六．单项式乘多项式（共1小题） 6．（2023春•清远期末）计算：　　． 七．多项式乘多项式（共1小题） 7．（2023秋•二道区期末）若，则的值是　　 A． B． C． D． 八．完全平方公式（共1小题） 8．（2023秋•龙山区期末）已知，，则的值是　 　． 九．完全平方公式的几何背景（共1小题） 9．（2021秋•阳江期末）将一个长为，宽为的矩形纸片，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为　　 A． B． C． D． 一十．完全平方式（共1小题） 10．（2023秋•阿荣旗期末）若是完全平方式，则的值等于　　 A．3 B． C．7 D．7或 一十一．平方差公式（共1小题） 11．（2023秋•昌吉州期末）计算：　　． 一十二．平方差公式的几何背景（共1小题） 12．（2022秋•雨花区校级期末）如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是　　 A． B． C． D． 一十三．整式的除法（共1小题） 13．（2021春•靖边县期末）计算：． 一十四．整式的混合运算（共1小题） 14．（2023春•东阿县期末）计算： （1）． （2） 一十五．整式的混合运算—化简求值（共1小题） 15．（2023秋•谷城县期末）已知的值为　 　． 一十六．零指数幂（共1小题） 16．（2023秋•鼓楼区校级期末）计算　　． 一十七．负整数指数幂（共1小题） 17．（2023春•邯郸期末）若，，，，则　　 A． B． C． D． 一十八．常量与变量（共1小题） 18．（2023春•黔东南州期末）司机王师傅在加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是　　 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 一十九．函数关系式（共1小题） 19．（2023春•通川区校级期末）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度与的函数关系是　 　． 二十．函数的图象（共1小题） 20．（2022春•渌口区期末）小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离（米与时间（分钟）之间关系的大致图象是　　 A． B． C． D． 二十一．动点问题的函数图象（共1小题） 21．（2023春•德城区校级期末）在矩形中，动点从点出发，沿，，运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，则矩形的面积是　　． 二十二．函数的表示方法（共1小题） 22．（2023春•宽甸县期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是　　 放水时间（分 1 2 3 4 水池中水量 48 46 44 42 A．水池里的水量是自变量，放水时间是因变量 B．每分钟放水 C．放水10分钟后，水池里还有水 D．放水25分钟，水池里的水全部放完 二十三．余角和补角（共1小题） 23．（2023秋•海南期末）若一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数为　　． 二十四．相交线（共1小题） 24．（2021秋•峨边县期末）三条直线相交，最多有　 　个交点． 二十五．对顶角、邻补角（共1小题） 25．（2023秋•上城区期末）下列图形中，与是对顶角的是　　 A． B． C． D． 二十六．垂线（共1小题） 26．（2023秋•阿荣旗期末）如图：直线、相交于，，，平分，求：的度数． 二十七．垂线段最短（共1小题） 27．（2022秋•社旗县期末）如图，在立定跳远后，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在跳线上，另一边与拉的皮尺重合，这样做的理由是　　． 二十八．点到直线的距离（共1小题） 28．（2023春•泉州期末）如图，三角形中，，则点到直线的距离是　　 A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 二十九．同位角、内错角、同旁内角（共1小题） 29．（2024春•朝阳区校级月考）如图所示，与构成同旁内角的有　　个． 三十．平行线（共1小题） 30．（2022春•海州区校级期末）在同一平面内，若，，则与的位置关系是 　　． 三十一．平行线的判定（共1小题） 31．（2023春•淮滨县期末）如图，点，分别在线段和上，下列条件能判定的是　　 A． B． C． D． 三十二．平行线的性质（共1小题） 32．（2023秋•沈北新区期末）如图，直线，直线，若，则　　 A． B． C． D． 三十三．三角形（共1小题） 33．（2022秋•金平区期末）如图，图中三角形的个数共有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 三十四．三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 34．（2021春•惠民县期末）中，，平分交于点． （1），，求的大小 ． （2） 若，则与是否相等？若相等， 请说明理由 ． 三十五．三角形的面积（共1小题） 35．（2023春•大名县期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为80，，求的长； （2）若，，求的大小． 三十六．三角形的稳定性（共1小题） 36．（2023秋•静宁县校级期末）如图，自行车的车架做成三角形的形状，该设计是利用三角形的　　． 三十七．三角形的重心（共1小题） 37．（2023春•禅城区期末）如图，中，点、分别是、的中点，连接、交于点，当的面积为时，的面积为 　　． 三十八．三角形三边关系（共1小题） 38．（2023秋•长寿区期末）现有两根木棒，它们长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则下列四根木棒应选取　　 A．的木棒 B．的木棒 C．的木棒 D．的木棒 三十九．三角形内角和定理（共1小题） 39．（2023秋•忻州期末）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是　　 A． B． C． D． 四十．全等图形（共1小题） 40．（2022秋•东至县期末）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为 　　． 四十一．全等三角形的判定（共1小题） 41．（2022秋•晋城期末）如图，线段，相交于点，，，求证：． 四十二．全等三角形的判定与性质（共1小题） 42．（2023秋•梨树县期末）如图，与中，与交于点，且，． （1）求证：； （2）当，求的度数． 四十三．全等三角形的应用（共1小题） 43．（2023秋•广安期末）小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使，此时量得．根据这些数据，小明计算出了路灯的高度．你知道小明计算的路灯的高度是多少？为什么？ 四十四．角平分线的性质（共1小题） 44．（2022秋•阿荣旗期末）已知，如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是、．试说明：． 四十五．线段垂直平分线的性质（共1小题） 45．（2023秋•天津期末）在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为6． （1）与的数量关系为　　． （2）求的长． （3）分别连接，，，若的周长为16，求的长． 四十六．等腰三角形的性质（共1小题） 46．（2023秋•凉山州期末）已知一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角等于 　　． 四十七．等边三角形的性质（共1小题） 47．（2023秋•洮北区期末）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则　　． 四十八．直角三角形的性质（共1小题） 48．（2023春•南京期末）直角三角形中两个锐角的差为，则较小的锐角度数是 　　． 四十九．作图—基本作图（共1小题） 49．（2022春•榕城区期末）如图，平分，点为上一点． （1）尺规作图：以为顶点，作，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 五十．生活中的轴对称现象（共1小题） 50．（2023春•乐山期末）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反弹），那么该球最后将落入的球袋是　　 A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 五十一．轴对称的性质（共1小题） 51．（2023秋•南康区期末）如图，是三角形的对称轴，点、是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是　 　． 五十二．轴对称图形（共1小题） 52．（2023春•郏县期末）“嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰在浩瀚的宇宙中谱写着中华民族飞天梦想的乐章．下列航天图标（不考虑字符与颜色）为轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 五十三．作图-轴对称变换（共1小题） 53．（2023秋•高青县期末）如图，在正方形网格中，已知的三个顶点在格点上． （1）画出关于直线的轴对称图形△； （2）若正方形网格的单位长度为1，求△的面积． 五十四．利用轴对称设计图案（共1小题） 54．（2023春•萍乡期末）小明设计了这样一个游戏：在方格内有3个小圆，其余方格都是空白，请你分别在下面四个图中的某个方格内补画一个小圆，使补画后的图形为轴对称图形． 五十五．轴对称-最短路线问题（共1小题） 55．（2022春•吉州区期末）已知点在内． （1）如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、． ①若，则　　； ②若，连接，请说明当为多少度时，； （2）如图2，若，、分别是射线、上的任意一点，当的周长最小时，求的度数． 五十六．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 56．（2022秋•蔡甸区校级期末）已知，，点在边上，点是射线上的一个动点，将沿折叠，使点落在点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2．试探究与的数量关系，并说明理由； （3）连接，当时，直接写出与的数量关系为　　． 五十七．随机事件（共1小题） 57．（2022秋•惠阳区校级期末）　　和 　　统称为确定事件． 五十八．可能性的大小（共1小题） 58．（2022春•环翠区期末）按要求设计方案： （1）设计一个转盘，使转盘停止转动时，“指针落在黑色区域”与“指针落在白色区域”出现的可能性一样大； （2）在一个小正方体的6个面上分别写上一个数字，抛掷这个小正方体，使“向上一面的数字为2”比“向上一面的数字为3”出现的可能性大． 五十九．概率的意义（共1小题） 59．（2021秋•衡山县期末）某同学掷一枚硬币，结果是一连8次都掷出正面朝上，请问他第9次掷出硬币时出现正面朝上的概率是　　 A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定 六十．几何概率（共1小题） 60．（2023秋•宁江区期末）如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末真题必刷常考60题（60个考点专练） 一．科学记数法—表示较小的数（共1小题） 1．（2023春•梅州期末）近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，已知7nm＝0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示为（　　） A．7×10﹣7 B．7×10﹣6 C．0.7×10﹣6 D．0.7×10﹣7 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7． 故选：A． 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 二．同底数幂的乘法（共1小题） 2．（2022秋•惠城区校级期末）若，，则　　 A． B． C．10 D．24 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：，， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键． 三．幂的乘方与积的乘方（共1小题） 3．（2020春•双流区校级期末）若，，则　45　． 【分析】根据同底数幂乘法的逆运算将所求式子进行变形，，代入计算即可． 【解答】解：， 故答案为：45． 【点评】本题考查幂的乘方、同底数幂乘法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 四．同底数幂的除法（共1小题） 4．（2023秋•五莲县期末）下列运算中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用同底数幂的除法与乘方，幂的乘方与积的乘方及合并同类项的法则求解即可． 【解答】解：、，故本选项错误； 、，故本选项正确； 、，故本选项错误； 、，故本选项错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了同底数幂的除法与乘方，幂的乘方与积的乘方及合并同类项，解题的关键是熟记同底数幂的除法与乘方，幂的乘方与积的乘方及合并同类项的法则． 五．单项式乘单项式（共1小题） 5．（2023秋•仓山区校级期中）在下列各式中，应填入“”的是 A．•____＝﹣y B．•____＝﹣2y C．•____＝﹣8y D．•____＝﹣3y 【分析】根据单项式乘单项式，系数乘系数，同底数的乘通底数的，只在一个单项式中出现的字母作为积的一个因式出现，可得答案． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，系数乘系数，同底数的诚通底数的，在一个单项式中出现的字母作为积的一个因式出现，注意符号． 六．单项式乘多项式（共1小题） 6．（2023春•清远期末）计算：　　． 【分析】利用单项式乘多项式的法则进行计算，即可得出结果． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的法则是解决问题的关键． 七．多项式乘多项式（共1小题） 7．（2023秋•二道区期末）若，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算等式的左边，根据等式得到、的值，代入计算出代数式的值． 【解答】解：， 又， ． ，． ，． ． 故选：． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 八．完全平方公式（共1小题） 8．（2023秋•龙山区期末）已知，，则的值是　　． 【分析】先求出的平方，然后把，代入求解，最后再开平方即可． 【解答】解：，， ， ， ， ． 【点评】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，完全平方公式：． 九．完全平方公式的几何背景（共1小题） 9．（2021秋•阳江期末）将一个长为，宽为的矩形纸片，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】由图1得，一个小长方形的长为，宽为，由图2得：中间空的部分的面积大正方形的面积个小长方形的面积，代入计算． 【解答】解：中间空的部分的面积大正方形的面积个小长方形的面积， ， ， ； 故选：． 【点评】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用几何图形面积公式和或差列等式进行计算． 一十．完全平方式（共1小题） 10．（2023秋•阿荣旗期末）若是完全平方式，则的值等于　　 A．3 B． C．7 D．7或 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【解答】解：是完全平方式， ， 解得：或， 故选：． 【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 一十一．平方差公式（共1小题） 11．（2023秋•昌吉州期末）计算：　　． 【分析】此题符合平方差公式的特征：（1）两个二项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数．直接利用平方差公式计算． 【解答】解：， ， ； 故填． 【点评】本题主要考查平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 一十二．平方差公式的几何背景（共1小题） 12．（2022秋•雨花区校级期末）如图1，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图，利用这两幅图形面积，可以验证的公式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据左图中阴影部分的面积是，右图中梯形的面积是，利用面积相等即可解答． 【解答】解：左图中阴影部分的面积是，右图中梯形的面积是， ． 故选：． 【点评】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 一十三．整式的除法（共1小题） 13．（2021春•靖边县期末）计算：． 【分析】直接利用整式的乘除运算法则化简，再合并同类项得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 一十四．整式的混合运算（共1小题） 14．（2023春•东阿县期末）计算： （1）． （2） 【分析】（1）先算幂的乘方，多项式乘多项式，再算除法，最后合并同类项即可； （2）可利用平方差公式及完全平方公式对所求的式子进行运算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 一十五．整式的混合运算—化简求值（共1小题） 15．（2023秋•谷城县期末）已知的值为　14　． 【分析】两边平方，再展开即可求出答案． 【解答】解：， 两边平方，再展开得：， ， 故答案为：14． 【点评】本题考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力． 一十六．零指数幂（共1小题） 16．（2023秋•鼓楼区校级期末）计算　1　． 【分析】直接利用零指数幂：求解可得． 【解答】解：， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查零指数幂，解题的关键是掌握零指数幂：． 一十七．负整数指数幂（共1小题） 17．（2023春•邯郸期末）若，，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】分别进行化简，然后再进行比较，即可得到答案． 【解答】解：，，，， ，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，乘方的运算，以及有理数的比较大小，解题的关键是熟练掌握运算法则正确的进行化简． 一十八．常量与变量（共1小题） 18．（2023春•黔东南州期末）司机王师傅在加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是　　 A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 【分析】根据常量与变量的定义即可判断． 【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， 故选：． 【点评】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型． 一十九．函数关系式（共1小题） 19．（2023春•通川区校级期末）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度与的函数关系是　　． 【分析】根据等量关系，可得方程组，根据解方程组，可得纸杯的高，纸杯边沿的高，根据纸杯的高加纸杯边沿的高，可得答案． 【解答】解：设纸杯的高是，纸杯边沿的高是，由题意，得 ， 解得． 高度与的函数关系是， 即， 故答案为：． 【点评】本题考查了函数关系式，利用方程组得出纸杯的高、纸杯边沿的高是解题关键． 二十．函数的图象（共1小题） 20．（2022春•渌口区期末）小张的爷爷每天坚持体育锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离（米与时间（分钟）之间关系的大致图象是　　 A． B． C． D． 【分析】生活中比较运动快慢通常有两种方法，即比较相同时间内通过的路程多少或通过相同路程所用时间的多少，但统一的方法是直接比较速度的大小． 【解答】解：根据题中信息可知，相同的路程，跑步比漫步的速度快；在一定时间内没有移动距离，则速度为零．故小张的爷爷跑步到公园的速度最快，即单位时间内通过的路程最大，打太极的过程中没有移动距离，因此通过的路程为零，还要注意出去和回来时的方向不同，故符合要求． 故选：． 【点评】此题考查函数图象问题，关键是根据速度的物理意义和比较物体运动快慢的基本方法． 二十一．动点问题的函数图象（共1小题） 21．（2023春•德城区校级期末）在矩形中，动点从点出发，沿，，运动至点停止，设点运动的路程为，的面积为，则矩形的面积是　20　． 【分析】点从点运动到点的过程中，与的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明的长为4，当点在上运动时，三角形的面积保持不变，就是矩形面积的一半，并且动路程由4到9，说明的长为5，然后求出矩形的面积． 【解答】解：当点在上时，， 是定值， 点从点到的过程中，逐渐增加，增加到点到点时，增加到最大， 从图（2）知，时增加到最大， ， 当点在上时，， ，是定值，所以始终保持不变， 从（2）知，从4到9时，保持不变， ， 所以矩形的面积为：． 故答案为：20 【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，根据矩形中三角形的面积和函数图象，求出和的长，再用矩形面积公式求出矩形的面积． 二十二．函数的表示方法（共1小题） 22．（2023春•宽甸县期末）一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是　　 放水时间（分 1 2 3 4 水池中水量 48 46 44 42 A．水池里的水量是自变量，放水时间是因变量 B．每分钟放水 C．放水10分钟后，水池里还有水 D．放水25分钟，水池里的水全部放完 【分析】根据题意可得蓄水量，从而进行各选项的判断即可． 【解答】解：设蓄水量为，时间为， 则可得， 、放水时间是自变量，水池里的水量是因变量，故本选项符合题意； 、蓄水池每分钟放水，故本选项不合题意； 、放水10分钟后，水池中水量为：，故本选项不合题意； 、蓄水池一共可以放水25分钟，故本选项不合题意； 故选：． 【点评】本题考查了函数关系式的知识，解答本题的关键是根据题意确定函数关系式． 二十三．余角和补角（共1小题） 23．（2023秋•海南期末）若一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数为　　． 【分析】根据补角和余角的定义，利用“一个角的补角是它的余角的度数的3倍”作为相等关系列方程求解即可得出结果． 【解答】解：设这个角的度数是， 则， 解得． 答：这个角的度数是． 故答案为：． 【点评】本题考查余角和补角的知识，设出未知数是解决本题的关键，要掌握解答此类问题的方法． 二十四．相交线（共1小题） 24．（2021秋•峨边县期末）三条直线相交，最多有　3　个交点． 【分析】三条直线相交，有三种情况，即：两条直线平行，被第三条直线所截，有两个交点；三条直线经过同一个点，有一个交点；三条直线两两相交且不经过同一点，有三个交点．故可得答案． 【解答】解：三条直线相交时，位置关系如图所示： 判断可知：最多有3个交点． 【点评】解决本题的关键是画出三条直线相交时的三种情况，找出交点． 二十五．对顶角、邻补角（共1小题） 25．（2023秋•上城区期末）下列图形中，与是对顶角的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据对顶角的定义进行选择即可． 【解答】解：只有两直线相交时，才产生对顶角 与是对顶角的是， 故选：． 【点评】本题考查了对顶角，掌握对顶角的定义是解题的关键． 二十六．垂线（共1小题） 26．（2023秋•阿荣旗期末）如图：直线、相交于，，，平分，求：的度数． 【分析】先根据，求出与的度数，从而可以得到的度数，再根据角平分线的定义求出，然后根据对顶角相等求出，与相加即可求解． 【解答】解：，， ， 解得， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了垂线，对顶角相等的性质，以及角的计算，准确识图，结合图形先求出与的度数是解题的关键，也是突破口． 二十七．垂线段最短（共1小题） 27．（2022秋•社旗县期末）如图，在立定跳远后，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在跳线上，另一边与拉的皮尺重合，这样做的理由是　垂线段最短　． 【分析】利用点到直线的距离中垂线段最短判断即可． 【解答】解：如图，在立定跳远后，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在跳线上，另一边与拉的皮尺重合，这样做的理由是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短 【点评】此题考查了垂线段最短，点到直线的所有连线中，垂线段最短． 二十八．点到直线的距离（共1小题） 28．（2023春•泉州期末）如图，三角形中，，则点到直线的距离是　　 A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【分析】根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，即可解答． 【解答】解：， 点到直线的距离是线段的长， 故选：． 【点评】本题考查了点到直线的距离，注意点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形． 二十九．同位角、内错角、同旁内角（共1小题） 29．（2024春•朝阳区校级月考）如图所示，与构成同旁内角的有　3　个． 【分析】据图形和同旁内角的定义，可知构成同旁内角的有、、，共3个． 【解答】解：与、相截，与构成同旁内角的有； 与、相截，与构成同旁内角的有； 与、相截，与构成同旁内角的有；共3个．故填3． 【点评】本题主要考查同旁内角的定义，注意区分同位角、内错角、同旁内角的差别． 三十．平行线（共1小题） 30．（2022春•海州区校级期末）在同一平面内，若，，则与的位置关系是 　　． 【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行即可求解． 【解答】解：，， ． 故答案为． 【点评】本题考查了平行线的判定：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 三十一．平行线的判定（共1小题） 31．（2023春•淮滨县期末）如图，点，分别在线段和上，下列条件能判定的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【解答】解：根据，可得，故错误； 根据，可得，故正确； 根据，不能判定，故错误； 根据，可得，故错误； 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 三十二．平行线的性质（共1小题） 32．（2023秋•沈北新区期末）如图，直线，直线，若，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到． 【解答】解：直线，， ， 直线， ． ． 故选：． 【点评】本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等及垂线的定义是解题的关键． 三十三．三角形（共1小题） 33．（2022秋•金平区期末）如图，图中三角形的个数共有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据三角形的定义，找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论． 【解答】解：图中是三角形的有：、、、、． 故选：． 【点评】本题考查了三角形，牢记三角形的定义是解题的关键． 三十四．三角形的角平分线、中线和高（共1小题） 34．（2021春•惠民县期末）中，，平分交于点． （1），，求的大小 ． （2） 若，则与是否相等？若相等， 请说明理由 ． 【分析】（1） 由三角形内角和定理可求得的度数， 在中， 可求得的度数，是角平分线， 有，故； （2） 由 （1） 知， 用和表示出，即可知与的关系 ． 【解答】解： （1）， 是角平分线， 是高， ； （2） 由 （1） 知，① 把代入①， 整理得 ， ． 【点评】本题利用了三角形内角和定理、 角的平分线的性质、 直角三角形的性质求解 ． 三十五．三角形的面积（共1小题） 35．（2023春•大名县期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为80，，求的长； （2）若，，求的大小． 【分析】（1）利用面积法求解即可． （2）求出，再根据求解即可． 【解答】解：（1）是的中线，， ， 是的高，的面积为80， ， ． （2）在中，为它的一个外角，且，， ， 是的角平分线， ， 是的高， ． ． 【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形面积、角平分线的定义，熟练掌握基础知识是解答本题的关键． 三十六．三角形的稳定性（共1小题） 36．（2023秋•静宁县校级期末）如图，自行车的车架做成三角形的形状，该设计是利用三角形的　稳定性　． 【分析】利用三角形的稳定性解答即可． 【解答】解：自行车的车架做成三角形，这是应用了三角形的稳定性； 故答案为：稳定性． 【点评】此题考查的是三角形具有稳定性这一性质，应注意对基础知识的掌握和理解． 三十七．三角形的重心（共1小题） 37．（2023春•禅城区期末）如图，中，点、分别是、的中点，连接、交于点，当的面积为时，的面积为 　21　． 【分析】由题意可得，，，可求，即可求解． 【解答】解：连接， 、分别是、的中点， ，，， ， ， ， 故答案为：21． 【点评】本题考查了三角形的重心，三角形的面积，利用三角形的面积关系解决问题是解题的关键． 三十八．三角形三边关系（共1小题） 38．（2023秋•长寿区期末）现有两根木棒，它们长分别是和，若要钉成一个三角形木架，则下列四根木棒应选取　　 A．的木棒 B．的木棒 C．的木棒 D．的木棒 【分析】本题从边的方面考查三角形形成的条件，应满足三角形的三边关系定理：任意两边之和第三边． 【解答】解：已知三角形的两边是和，则 第三边． 故选的木棒． 故选：． 【点评】本题考查三角形的三边关系定理，即任意两边之和第三边． 三十九．三角形内角和定理（共1小题） 39．（2023秋•忻州期末）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】延长交于点，由三角形的内角和可求得，再由平行线的性质可得，，从而可得解． 【解答】解：延长交于点，如图所示： ，， ， ，， ，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是对相应的知识的掌握与应用． 四十．全等图形（共1小题） 40．（2022秋•东至县期末）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则的度数为 　　． 【分析】直接利用全等图形的性质得出，进而得出答案． 【解答】解：如图所示： 由题意可得：， 则， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了全等图形，正确掌握全等三角形的性质是解题关键． 四十一．全等三角形的判定（共1小题） 41．（2022秋•晋城期末）如图，线段，相交于点，，，求证：． 【分析】由，可得，再证明．而边公共，根据即可证明． 【解答】证明：， ， 又， ， 即． 在与中 ， ． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 四十二．全等三角形的判定与性质（共1小题） 42．（2023秋•梨树县期末）如图，与中，与交于点，且，． （1）求证：； （2）当，求的度数． 【分析】（1）根据即可推出和全等； （2）根据三角形全等得出，推出，根据三角形的外角性质得出，代入求出即可． 【解答】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【点评】本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力． 四十三．全等三角形的应用（共1小题） 43．（2023秋•广安期末）小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使，此时量得．根据这些数据，小明计算出了路灯的高度．你知道小明计算的路灯的高度是多少？为什么？ 【分析】根据题意可得，进而利用求出即可． 【解答】解：，，， ， 在和中 ， ， ， ，， ， 答：路灯的高度是8.2米． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出是解题关键． 四十四．角平分线的性质（共1小题） 44．（2022秋•阿荣旗期末）已知，如图，是的平分线，，点在上，，，垂足分别是、．试说明：． 【分析】根据角平分线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【解答】证明：为的平分线， ， 在和中，， ， ， 点在上，，， ． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到是解题的关键． 四十五．线段垂直平分线的性质（共1小题） 45．（2023秋•天津期末）在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为6． （1）与的数量关系为　　． （2）求的长． （3）分别连接，，，若的周长为16，求的长． 【分析】（1）根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可； （3）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）是线段的垂直平分线， ， 故答案为：； （2）是线段的垂直平分线， ， 的周长为6， ， ，即； （3）是线段的垂直平分线， ， 是线段的垂直平分线， ， ， 的周长为16，， ， ． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 四十六．等腰三角形的性质（共1小题） 46．（2023秋•凉山州期末）已知一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角等于 　或　． 【分析】分两种情况：当的内角为顶角时；当的角为底角时，利用三角形的内角和结合等腰三角形的性质可计算求解． 【解答】解：当 的内角为顶角时，这个等腰三角形的顶角为； 当的角为底角时，则该等腰三角形的另一底角为， 顶角为：， 故答案为或． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，注意分类讨论． 四十七．等边三角形的性质（共1小题） 47．（2023秋•洮北区期末）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则　2　． 【分析】先设，则，根据是等边三角形，得出，再利用三角函数求出和的长，即可得出的值． 【解答】解：设，则， 是等边三角形， ． ， 同理可得，， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查的是等边三角形的性质，用到的知识点是三角函数，难度不大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神． 四十八．直角三角形的性质（共1小题） 48．（2023春•南京期末）直角三角形中两个锐角的差为，则较小的锐角度数是 　35　． 【分析】设较小锐角的度数为，则较大锐角的度数为，根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可． 【解答】解：设较小锐角的度数为，则较大锐角的度数为， 根据题意得：， 解得：， 较小锐角的度数为：， 故答案为：35． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，列出方程是解题的关键． 四十九．作图—基本作图（共1小题） 49．（2022春•榕城区期末）如图，平分，点为上一点． （1）尺规作图：以为顶点，作，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求的度数． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法即可作，交于点； （2）根据，结合（1）即可求的度数． 【解答】解：（1）如图，即为所求； （2）， ， ， ， ， 平分， ． ， 答：的度数为． 【点评】本题考查了作图基本作图，平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 五十．生活中的轴对称现象（共1小题） 50．（2023春•乐山期末）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反弹），那么该球最后将落入的球袋是　　 A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 故选：． 【点评】主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键． 五十一．轴对称的性质（共1小题） 51．（2023秋•南康区期末）如图，是三角形的对称轴，点、是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是　3　． 【分析】根据轴对称的性质，由是三角形的对称轴得到垂直平分，则，，根据三角形的面积公式得到，得到，然后把，代入计算即可． 【解答】解：是三角形的对称轴， 垂直平分， 即，， ， ． 故答案为3． 【点评】本题考查了轴对称的性质：关于某直线对称的两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被对轴轴垂直平分．也考查了三角形的面积公式． 五十二．轴对称图形（共1小题） 52．（2023春•郏县期末）“嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰在浩瀚的宇宙中谱写着中华民族飞天梦想的乐章．下列航天图标（不考虑字符与颜色）为轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项、、的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 五十三．作图-轴对称变换（共1小题） 53．（2023秋•高青县期末）如图，在正方形网格中，已知的三个顶点在格点上． （1）画出关于直线的轴对称图形△； （2）若正方形网格的单位长度为1，求△的面积． 【分析】（1）利用网格特点和对称轴的性质，分别画出点、、关于直线的对称点、、即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【解答】解：（1）如图，△为所作； （2）的面积． 【点评】本题考查了轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 五十四．利用轴对称设计图案（共1小题） 54．（2023春•萍乡期末）小明设计了这样一个游戏：在方格内有3个小圆，其余方格都是空白，请你分别在下面四个图中的某个方格内补画一个小圆，使补画后的图形为轴对称图形． 【分析】要补成轴对称图形，关键是找出对称轴，不同的对称轴有不同的轴对称图形，所以此题首先要找出对称轴，再思考怎么画轴对称图形． 【解答】解： ． 【点评】做这类题的关键是找对称轴．而且这是一道开放题，答案不唯一． 五十五．轴对称-最短路线问题（共1小题） 55．（2022春•吉州区期末）已知点在内． （1）如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、． ①若，则　　； ②若，连接，请说明当为多少度时，； （2）如图2，若，、分别是射线、上的任意一点，当的周长最小时，求的度数． 【分析】（1）依据轴对称可得，，即可得到平分，平分，进而得出；②当时，，此时点，，在同一直线上，可得； （2）设点关于、对称点分别为、，当点、在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【解答】解：（1）①点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是， ，， 平分， 同理可得平分， ， 故答案为：； ②， ， 当时，， 点，，在同一直线上， ； （2）如图所示：分别作点关于、的对称点、，连接、、，交、于点、， 连接、，则， “，此时周长的最小值等于的长． 由轴对称性质可得，，，， ， ， ， 同理可得， ． 【点评】本题主要考查了轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点． 五十六．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 56．（2022秋•蔡甸区校级期末）已知，，点在边上，点是射线上的一个动点，将沿折叠，使点落在点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2．试探究与的数量关系，并说明理由； （3）连接，当时，直接写出与的数量关系为　或　． 【分析】（1）连接，利用三角形的外角的性质解决问题即可． （2）方法类似（1）． （3）分两种情形：如图中，当点在线段上时，结论：；如图2中，当点在的延长线上时，结论：．分别利用平行线的性质证明即可． 【解答】解：（1）如图1中，连接． 由翻折的性质可知，， ， ， ． （2）结论：． 理由：如图2中， ， ， ． （3）如图中，当点在线段上时，结论： 理由：连接． ， ， 由翻折可知，， ． 如图2中，当点在的延长线上时，结论：． 理由：连接． ， ， ， ， ， ． 综上所述，与的数量关系为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查翻折变换，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 五十七．随机事件（共1小题） 57．（2022秋•惠阳区校级期末）　必然事件　和 　　统称为确定事件． 【分析】根据必然事件、不可能事件，可得答案． 【解答】解：必然事件和不可能事件统称为确定事件， 故答案为：必然事件，不可能事件． 【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 五十八．可能性的大小（共1小题） 58．（2022春•环翠区期末）按要求设计方案： （1）设计一个转盘，使转盘停止转动时，“指针落在黑色区域”与“指针落在白色区域”出现的可能性一样大； （2）在一个小正方体的6个面上分别写上一个数字，抛掷这个小正方体，使“向上一面的数字为2”比“向上一面的数字为3”出现的可能性大． 【分析】（1）根据概率的意义，“指针落在黑色区域”与“指针落在白色区域”的面积相等，然后画出即可； （2）根据概率的意义，在一个小立方体的6个面上分别写上4个2、2个3即可． 【解答】解：（1）如图所示： （2）如：6个面上分别写上4个2、2个3． 【点评】本题考查的是可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 五十九．概率的意义（共1小题） 59．（2021秋•衡山县期末）某同学掷一枚硬币，结果是一连8次都掷出正面朝上，请问他第9次掷出硬币时出现正面朝上的概率是　　 A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定 【分析】认清无论哪一次抛掷硬币，都有2种情况，即正、反，与第几次抛掷硬币无关，根据概率的求法可得答案． 【解答】解：无论哪一次抛掷硬币，都有2种情况，即正、反， 故第10次掷出硬币时出现正面朝上的概率为． 故选：． 【点评】本题考查概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 六十．几何概率（共1小题） 60．（2023秋•宁江区期末）如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 　　． 【分析】先设每个小正方形的面积为，则阴影部分的面积是，得出整个图形的面积是，再根据几何概率的求法即可得出答案． 【解答】解：先设每个小正方形的面积为， 则阴影部分的面积是，得出整个图形的面积是， 则这个点取在阴影部分的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$