1.3 全等三角形的应用（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

1.3 全等三角形的应用 【考点1 全等三角形的判定和性质】 【考点2利用三角形全等测量能到两端的距离】 【考点3利用三角形全等求两端的距离】 【考点4 利用三角形全等测量物体的内径】 【考点5 全等三角形的其他应用】 知识点1 全等三角形的判定和性质 1. 全等三角形的判定 (1) 边边边定理(SAS)：(2) 边角边定理(SAS)： (3) 角边角定理(ASA)：(4) 角角边定理(AAS)： (5) 斜边、直角边定理(HL)： 2.全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 【考点1 全等三角形的判定和性质】 【典例1】（2024•高新区一模）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1＝38°，求∠BDE的度数． 【变式1-1】（2024春•成都期中）如图，点C、E在BF上，BE＝CF，AB∥FD，∠A＝∠D． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）若∠B＝50°，∠BED＝145°，求∠D的度数． 【变式1-2】（2024春•九龙坡区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，延长AC到点F，过点F作FE⊥AB于点E，FE与BC交于点D，若DE＝DC． （1）求证：BD＝DF； （2）若AC＝3cm，AB＝5cm，求CF的长度． 【变式1-3】（2023秋•南昌期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE． （1）求证：△ACB≌△EBD； （2）若DB＝12，求AC的长． 知识点2：全等三角形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 【考点2利用三角形全等测量能到两端的距离】 【典例2】（2023秋•龙口市期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，根据两个三角形全等，那么量出DE的长就是A，B的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【变式2-1】（2023秋•成武县期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝30°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝65°，∠MCB＝30°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（　　） A．SAS B．AAA C．ASA D．SSS 【变式2-2】（2022秋•晋安区期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C、D，使得BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与点A、C在一条直线上，这是测得线段DE的长就是线段AB的长，其原理运用到三角形全等的判定是（　　） A．ASA B．SSS C．HL D．SAS 【变式2-3】（2024•郫都区模拟）要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是　20　米． 【考点3利用三角形全等求两端的距离】 【典例3】（2024•凉州区一模）某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△ACB≌△BED； （2）求两堵木墙之间的距离． 【变式3-1】（2023秋•石狮市期末）如图，小亮要测量池塘A，B两端的距离，他设计了一个测量方案．先在平地上取可以直接到达A点和B点的C，D两点，AC与BD相交于点O，且AC＝BD＝40m，OA＝OD，又测得△COD的周长为70m，则A，B两端的距离为（　　） A．10m B．20m C．30m D．35m 【变式3-2】（2023秋•安康期末）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC． 【变式3-3】（2023秋•翠屏区期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B、F、C、E在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BE＝120m，BF＝38m，求池塘FC的长度． 【考点4 利用三角形全等测量物体的内径】 【典例4】（2024春•武侯区校级期中）数学实践活动课中，老师布置了“测量小口圆柱形瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AC，BD的中点O固定，现测得C，D之间的距离为69mm，求小口圆柱形瓶底部的内径AB的长度． 【变式4-1】（2023秋•滨江区期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得A'B'＝10cm，则工件内槽宽AB为 　　cm． 【变式4-2】（2023秋•红桥区期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【考点5 全等三角形的其他应用】 【典例5】（2023秋•南浔区期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 【变式5-1】（2023秋•雁峰区校级期末）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（　　）去． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【变式5-2】（2023秋•高阳县期末）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SSS D．HL 【变式5-3】（2022秋•红桥区期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 一．选择题（共8小题） 1．（2024•金牛区模拟）如图，在△ABC和△ADC中，∠B＝∠D＝90°，∠2＝40°，CB＝CD，则∠1＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 2．（2023秋•潮州期末）如图，AB＝AC，BD＝CD．若∠B＝70°，则∠DAC＝（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 3．（2023秋•长清区期末）如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于D，若CB＝CD，且∠1＝30°，AC＝2，则AD的长为（　　） A．1 B．4 C． D． 4．（2023秋•麻阳县期末）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝5，CF＝3，则BD的长是（　　） A．0.5 B．1 C．2 D．1.5 5．（2023秋•固始县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE于E，DE＝4cm，AD＝6cm，则BE的长是（　　） A．2cm B．1.5cm C．1cm D．3cm 6．（2023秋•重庆期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，交AD于点F．若AF＝10，则BD的长为（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 7．（2023秋•开化县期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 8．（2023秋•港南区期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离DE是（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 二．解答题（共5小题） 9．（2024•惠山区一模）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，∠ACB＝∠CED，BC＝DE． （1）求证：△ABC≌△CDE； （2）若AB＝2，DE＝4，求BD的长． 10．（2023春•淄博期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB分别交AB、AD于E、F两点，且BD＝FD，AB＝CF．求证： （1）CE⊥AB； （2）AE＝BE． 11．（2024•凉州区二模）已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC＝EF，AD＝BE，∠A＝∠E， （1）求证：△ABC≌△EDF； （2）当∠C＝90°，∠CBA＝60°时，求∠E的度数． 12．（2024•北流市一模）【跨学科组合】 小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得BD＝8cm，OA＝17cm． （1）求证：∠COE＝∠B； （2）求AE的长． 13．（2024春•章丘区期中）如图，点A，B在射线CA，CB上，CA＝CB．点E，F在射线CD上，∠BEC＝∠CFA，∠BEC+∠BCA＝180°． （1）求证：△BCE≌△CAF； （2）试判断线段EF，BE，AF的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 全等三角形的应用 【考点1 全等三角形的判定和性质】 【考点2利用三角形全等测量能到两端的距离】 【考点3利用三角形全等求两端的距离】 【考点4 利用三角形全等测量物体的内径】 【考点5 全等三角形的其他应用】 知识点1 全等三角形的判定和性质 1. 全等三角形的判定 (1) 边边边定理(SAS)：(2) 边角边定理(SAS)： (3) 角边角定理(ASA)：(4) 角角边定理(AAS)： (5) 斜边、直角边定理(HL)： 2.全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 【考点1 全等三角形的判定和性质】 【典例1】（2024•高新区一模）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1＝38°，求∠BDE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AE和BD相交于点O， ∴∠AOD＝∠BOE． 在△AOD和△BOE中， ∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2． 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO， ∴∠AEC＝∠BED． 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． （2）∵△AEC≌△BED， ∴EC＝ED，∠C＝∠BDE． 在△EDC中， ∵EC＝ED，∠1＝38°， ∴∠C＝∠EDC＝71°， ∴∠BDE＝∠C＝71°． 【变式1-1】（2024春•成都期中）如图，点C、E在BF上，BE＝CF，AB∥FD，∠A＝∠D． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）若∠B＝50°，∠BED＝145°，求∠D的度数． 【答案】（1）证明见解答； （2）∠D的度数是95°． 【解答】（1）证明：∵BE＝CF， ∴BE+CE+CF+CE， ∴BC＝FE， ∵AB∥FD， ∴∠B＝∠F， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（AAS）． （2）解：∵∠B＝50°，∠B＝∠F， ∴∠F＝50°， ∵∠BED＝145°，∠BED＝∠D+∠F， ∴145°＝∠D+50°， ∴∠D＝95°， ∴∠D的度数是95°． 【变式1-2】（2024春•九龙坡区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，延长AC到点F，过点F作FE⊥AB于点E，FE与BC交于点D，若DE＝DC． （1）求证：BD＝DF； （2）若AC＝3cm，AB＝5cm，求CF的长度． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）2． 【解答】（1）证明：∵FE⊥AB，∠ACB＝90°， ∴∠DEB＝∠DCF＝90°， 在△DEB和△DCF中， ∠DEB＝∠DCF＝90°，DE＝DC，∠BDE＝∠FDC， ∴△DEB≌△DCF（ASA）， ∴BD＝DF； （2）解：∵DE＝DC，由（1）可知：BD＝DF， ∴DE+DF＝DC+BD， 即EF＝CB， ∵FE⊥AB，∠ACB＝90°， ∴∠AEF＝∠ACB＝90°， 在△AEF和△ACB中， ∠AEF＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，EF＝CB， ∴△AEF≌△ACB（AAS）， ∴AF＝AB＝5， ∵AC＝3， ∴CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2． 【变式1-3】（2023秋•南昌期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE． （1）求证：△ACB≌△EBD； （2）若DB＝12，求AC的长． 【答案】（1）见解析过程； （2）6． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DBC＝90°，DE⊥AB， ∴∠DEB+∠ABC＝90°，∠A+∠ABC＝90°， ∴∠DEB＝∠A， 在△ACB和△EBD中， ， ∴△ACB≌△EBD（AAS）； （2）解：由（1）得：△ACB≌△EBD， ∴BC＝DB，AC＝EB， ∵E是BC的中点， ∴， ∵DB＝12，BC＝DB， ∴BC＝12， ∴AC＝EB＝BC＝6． 知识点2：全等三角形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 【考点2利用三角形全等测量能到两端的距离】 【典例2】（2023秋•龙口市期末）如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，根据两个三角形全等，那么量出DE的长就是A，B的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解答】证明：在△DEC和△ABC中， ， ∴△DEC≌△ABC（SAS）， ∴DE＝AB． 故选：A． 【变式2-1】（2023秋•成武县期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝30°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝65°，∠MCB＝30°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（　　） A．SAS B．AAA C．ASA D．SSS 【答案】C 【解答】解：∵∠ABC＝65°，∠ACB＝30°，∠CBM＝65°，∠MCB＝30°， ， ∴△MBC≌△ABC（ASA）， 即MB＝AB， 故选：C． 【变式2-2】（2022秋•晋安区期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C、D，使得BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与点A、C在一条直线上，这是测得线段DE的长就是线段AB的长，其原理运用到三角形全等的判定是（　　） A．ASA B．SSS C．HL D．SAS 【答案】A 【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法． 故选：A． 【变式2-3】（2024•郫都区模拟）要测量河岸相对两点A，B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是　20　米． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥AB， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， 在△ABC和△EDC中，， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED＝20． 故答案为：20． 【考点3利用三角形全等求两端的距离】 【典例3】（2024•凉州区一模）某同学用10块高度都是5cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板ABD（∠ABD＝90°，BD＝BA），点B在CE上，点A和D分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△ACB≌△BED； （2）求两堵木墙之间的距离． 【答案】（1）证明过程见解答部分； （2）两堵木墙之间的距离为50cm． 【解答】（1）证明：由题意得：AB＝BD，∠ABD＝90°，AC⊥CE，DE⊥CE， ∴∠BED＝∠ACB＝90°， ∴∠BDE+∠DBE＝90°，∠DBE+∠ABC＝90°， ∴∠BDE＝∠ABC， 在△ACB和△BED中， ， ∴△ACB≌△BED（AAS）； （2）解：由题意得：AC＝5×3＝15（cm），DE＝7×5＝35（cm）， ∵△ACB≌△BED， ∴DE＝BC＝35cm，BE＝AC＝15cm， ∴DE＝DC+CE＝50（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为50cm． 【变式3-1】（2023秋•石狮市期末）如图，小亮要测量池塘A，B两端的距离，他设计了一个测量方案．先在平地上取可以直接到达A点和B点的C，D两点，AC与BD相交于点O，且AC＝BD＝40m，OA＝OD，又测得△COD的周长为70m，则A，B两端的距离为（　　） A．10m B．20m C．30m D．35m 【答案】C 【解答】解：∵AC＝BD，OA＝OD， ∴AC﹣OA＝BD﹣OD， 即OC＝OB， 在△COD和△BOA中， ， ∴△COD≌△BOA（SAS）， ∴CD＝AB， ∵△COD的周长为70m， ∴OC+OD+CD＝70m， 即AC+CD＝70m， ∵AC＝40m， ∴CD＝30m， ∴AB＝30m， 故选：C． 【变式3-2】（2023秋•安康期末）如图是一个工业开发区局部的设计图，河的同一侧有两个工厂A和B，AD、BC的长表示两个工厂到河岸的距离，其中E是进水口，D、C为两个排污口．已知AE＝BE，∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC，点D、E、C在同一直线上，AD＝150米，BC＝350米，求两个排污口之间的水平距离DC． 【答案】两个排污口之间的水平距离DC为500米． 【解答】解：∵∠AEB＝90°，AD⊥DC，BC⊥DC， ∴∠AEB＝∠ADE＝∠BCE＝90°， ∴∠AED+∠DAE＝90°，∠AED+∠BEC＝90°，∠BEC+∠EBC＝90°， ∴∠DAE＝∠CEB，∠AED＝∠EBC， 在△ADE与△ECB中， ． ∴△ADE≌△ECB（ASA）， ∴AD＝CE，DE＝BC， 又∵AD＝150米，BC＝350米， ∴DC＝DE+CE＝BC+AD＝350+150＝500（米）． 答：两个排污口之间的水平距离DC为500米． 【变式3-3】（2023秋•翠屏区期末）小明和小亮准备用所学数学知识测一池塘的长度，经过实地测量，绘制如下图，点B、F、C、E在直线l上（点F、C之间的距离为池塘的长度），点A、D在直线l的异侧，且AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BE＝120m，BF＝38m，求池塘FC的长度． 【答案】（1）见解析； （2）44m． 【解答】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DEF， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌DEF（ASA）； （2）解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF ∴BF+FC＝EC+FC， ∴BF＝EC， ∵BE＝120m，BF＝38m， ∴FC＝BE﹣BF﹣EC＝44m． 答：FC的长是44m． 【考点4 利用三角形全等测量物体的内径】 【典例4】（2024春•武侯区校级期中）数学实践活动课中，老师布置了“测量小口圆柱形瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒AC，BD的中点O固定，现测得C，D之间的距离为69mm，求小口圆柱形瓶底部的内径AB的长度． 【答案】69mm． 【解答】解：∵点O是AC、BD的中点， ∴AO＝CO，BO＝DO， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴AB＝CD＝69mm． 即小口圆柱形瓶底部的内径AB的长度为69mm． 【变式4-1】（2023秋•滨江区期末）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得A'B'＝10cm，则工件内槽宽AB为 　10　cm． 【答案】10． 【解答】解：连接A′B′，如图， ∵点O分别是AA′、BB′的中点， ∴OA＝OA′，OB＝OB′， 在△AOB和△A′OB′中， ， ∴△AOB≌△A′OB′（SAS）． ∴A′B′＝AB， ∵A'B'＝10cm， ∴AB＝10cm， 故答案为：10． 【变式4-2】（2023秋•红桥区期末）如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是（　　） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解答】解：由题意，得：OA＝OA′，∠AOB＝∠A′OB′，OB＝OB′， ∴△AOB≌△A′OB′（SAS）， ∴AB＝A′B′； ∴理论依据是：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 故选：A． 【考点5 全等三角形的其他应用】 【典例5】（2023秋•南浔区期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 【答案】D 【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出， 所以，依据是ASA． 故选：D． 【变式5-1】（2023秋•雁峰区校级期末）小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（　　）去． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】D 【解答】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故选：D． 【变式5-2】（2023秋•高阳县期末）如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（　　） A．ASA B．AAS C．SSS D．HL 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点， ∴AD＝AE， 在△ADM和△AEM中， ． ∴△ADM≌△AEM（SSS）， 故选：C． 【变式5-3】（2022秋•红桥区期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解答】解：∵在△ONC和△OMC中， ∴△MOC≌△NOC（SSS）， ∴∠BOC＝∠AOC， 故选：A． 一．选择题（共8小题） 1．（2024•金牛区模拟）如图，在△ABC和△ADC中，∠B＝∠D＝90°，∠2＝40°，CB＝CD，则∠1＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C 【解答】解：∵∠B＝∠D＝90°，∠2＝40°， ∴∠DAC＝90°﹣∠2＝50°， 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∴∠1＝∠DAC＝50°， 故选：C． 2．（2023秋•潮州期末）如图，AB＝AC，BD＝CD．若∠B＝70°，则∠DAC＝（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【解答】解：解法一：∵AB＝AC，∠B＝70°， ∴∠B＝∠C＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝40°， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠DAB＝∠DAC， ∵∠DAB+∠DAC＝∠BAC， ∴∠DAC＝20°， 解法二：∵AB＝AC，∠B＝70°， ∴∠B＝∠C＝70°， ∵BD＝CD， ∴AD⊥BC， ∴∠DAC＝90°﹣70°＝20°． 故选：B． 3．（2023秋•长清区期末）如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于D，若CB＝CD，且∠1＝30°，AC＝2，则AD的长为（　　） A．1 B．4 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵AB⊥BC，AD⊥DC， ∴∠B＝∠D＝90°， 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∴∠1＝∠CAD＝30°， ∴CD＝AC＝1，AD＝CD＝， 故选：C． 4．（2023秋•麻阳县期末）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝5，CF＝3，则BD的长是（　　） A．0.5 B．1 C．2 D．1.5 【答案】C 【解答】解：∵CF∥AB， ∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F， 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴AD＝CF＝3， ∵AB＝5， ∴DB＝AB﹣AD＝5﹣3＝2． 故选：C． 5．（2023秋•固始县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE于E，DE＝4cm，AD＝6cm，则BE的长是（　　） A．2cm B．1.5cm C．1cm D．3cm 【答案】A 【解答】解：∵∠DCA+∠BCE＝90°，∠DCA+∠DAC＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE，∵AD⊥CE，BE⊥CE ∴∠ADC＝∠BEC 在△ACD和△CBE中， ∵， ∴△ACD≌△CBE（AAS） ∴CE＝AD＝6cm，CD＝BE， BE＝CD＝CE﹣DE＝6﹣4＝2（cm）． 故选：A． 6．（2023秋•重庆期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，交AD于点F．若AF＝10，则BD的长为（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【解答】解：∵BE⊥AC， ∴∠ABE+∠BAE＝90°， ∵∠ABE＝45°， ∴∠BAE＝∠ABE＝45°， ∴AE＝BE， ∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠EBC+∠C＝90°，∠FAE+∠C＝90°， ∴∠EBC＝∠FAE， 在△BEC和△AEF中， ， ∴△BEC≌△AEF（ASA）， ∴BC＝AF＝10， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC＝BC＝5， 故选：B． 7．（2023秋•开化县期末）如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【答案】D 【解答】解：这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，从而可根据“ASA”重新配一块与原来全等的三角形玻璃． 故选：D． 8．（2023秋•港南区期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离DE是（　　） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 【答案】C 【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； ∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm， ∴DE＝DC+CE＝20（cm）， 故选：C． 二．解答题（共5小题） 9．（2024•惠山区一模）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，∠ACB＝∠CED，BC＝DE． （1）求证：△ABC≌△CDE； （2）若AB＝2，DE＝4，求BD的长． 【答案】（1）证明见解答； （2）BD的长是6． 【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠B＝∠D＝90°， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（ASA）． （2）解：由（1）得△ABC≌△CDE， ∴AB＝CD＝2，BC＝DE＝4， ∴BD＝BC+CD＝4+2＝6， ∴BD的长是6． 10．（2023春•淄博期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB分别交AB、AD于E、F两点，且BD＝FD，AB＝CF．求证： （1）CE⊥AB； （2）AE＝BE． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵AD⊥BC于D， ∴∠ADB＝∠CDF＝90°， 在Rt△ADB和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ADB≌Rt△CDF（HL）， ∴∠BAD＝∠DCF， 在△AEF和△CDF中， ∠EAF＝∠DCF，∠AFE＝∠CFD， ∴∠AEC＝∠CDF＝90° ∴CE⊥AB， （2）∵CE平分∠ACB ∴∠ACE＝∠BCE， 又∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠BEC＝90°， ， ∴△ACE≌△BCE（ASA）， ∴AE＝BE． 11．（2024•凉州区二模）已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC＝EF，AD＝BE，∠A＝∠E， （1）求证：△ABC≌△EDF； （2）当∠C＝90°，∠CBA＝60°时，求∠E的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）30°． 【解答】（1）证明：∵AD＝BE， ∴AB＝ED， 在△ABC和△EDF中， ， ∴△ABC≌△EDF（SAS）； （2）解：∵∠C＝90°，∠CBA＝60°， ∴∠A＝90°﹣∠CBA＝90°﹣60°＝30°， ∵△ABC≌△EDF， ∴∠E＝∠A＝30°． 12．（2024•北流市一模）【跨学科组合】 小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作CE⊥OA于点E，测得BD＝8cm，OA＝17cm． （1）求证：∠COE＝∠B； （2）求AE的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）9cm． 【解答】（1）证明：∵OB⊥OC， ∴∠BOD+∠COE＝90°， ∵BD⊥OA， ∴∠ODB＝90°， ∴∠BOD+∠B＝90°， ∴∠COE＝∠B； （2）解：∵BD⊥OA，CE⊥OA， ∴∠CEO＝∠ODB＝90°， 由题意得：OC＝OB＝OA＝17cm， 由（1）得：∠COE＝∠B， 在△COE和△OBD中， ， ∴△COE≌△OBD（AAS）， ∴OE＝BD＝8cm， ∴AE＝OA﹣OE＝17﹣8＝9（cm）． 13．（2024春•章丘区期中）如图，点A，B在射线CA，CB上，CA＝CB．点E，F在射线CD上，∠BEC＝∠CFA，∠BEC+∠BCA＝180°． （1）求证：△BCE≌△CAF； （2）试判断线段EF，BE，AF的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析过程； （2）AF+EF＝BE，理由见解析过程． 【解答】（1）证明：∵∠BEC+∠BCA＝180°， ∴∠BEC+∠ECB+∠ACF＝180°， ∵∠CFA+∠ACF+∠FAC＝180°，∠BEC＝∠CFA， ∴∠BCF＝∠FAC， 在△BCE与△CAF中 ， ∴△BCE≌△CAF（AAS）； （2）解：AF+EF＝BE，理由如下： ∵△BCE≌△CAF， ∴AF＝CE，CF＝BE， ∵CE+EF＝CF， ∴AF+EF＝BE． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$