1.2 探索三角形全等的条件（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

1.2 探索三角形全等的条件 【考点1 判定全等角形（SSS）】 【考点2判定全等角形（SAS）】 【考点3判定全等角形（ASA）】 【考点4 判定全等角形（AAS）】 【考点5 判定全等角形（HL）】 知识点1 判定全等三角形（边边边） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 【考点1 判定全等角形（SSS）】 【典例1】（2023秋•香洲区期末）如图，AC＝BD，CE＝DE，AD与BC相交于点E，∠EAB＝∠EBA．求证：△ACB≌△BDA． 【变式1-1】（2023秋•赣县区期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AE＝BF，EC＝FD，AB＝CD． 求证：△EAC≌△FBD． 【变式1-2】（2023八上·杭州期末）已知：如图，点在同一条直线上，.求证：. 【变式1-3】（2023八上·京山期中）如图，B，E，C，F在一条直线上，，，，求证：. 知识点2 判定全等三角形（边角边） 1、用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 【考点2判定全等角形（SAS）】 【典例2】（2023秋•郴州期末）如图，已知EC＝BF，AC＝DF，∠C＝∠F，求证：△CBA≌△FED． 【变式2-1】（2023秋•鲤城区校级期末）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AF＝DE，AF∥DE，AC＝DB．求证：△ABF≌△DCE． 【变式2-2】（2023秋•黄埔区期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，BF＝CE，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF． 【变式2-3】（2023八上·安顺期末）如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，． （1）求证：≌． （2）连结、，求证：． 知识点3 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 【考点3判定全等角形（ASA）】 【典例3】（2023秋•泉州期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2．求证：△AEC≌△BED． 【变式3-1】（2023秋•叙州区期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，AC＝DF．请你添加一个适当的条件：　 　，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF． 【变式3-2】（2023八上·甘井子期末）如图：点B，E，C，F在一条直线上，，，求证：，． 【变式3-3】（2024•西安二模）已知，点C、F、B、E在同一直线上，AC∥DF，AB∥DE，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF． 知识点4 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 【考点4 判定全等角形（AAS）】 【典例4】（2023秋•新昌县期末）已知：如图，AC与DB相交于点O，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：△AOB≌△DOC． 【变式4-1】（2023八上·宁波期末）如图，点B、E、C、F是同一直线上顺次四点，，，，求证：. 【变式4-2】（2023八上·临湘期末）已知，如图，，，，求证：. 【变式4-3】（2023八上·西城期末）如图，A，D两点在所在直线同侧，，垂足分别为A，D．的交点为E，．求证：． 知识点5 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【典例5】（2023秋•宿豫区期末）如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，AE＝BF．求证：△AED≌△BFC． 【变得5-1】（2023春•桂林期末）如图，AD，BC相交于点O，BC＝AD，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA． 【变式5-2】（2023秋•洪泽区校级月考）已知：AB⊥AC，CD⊥AC，AD＝CB，问△ABC与△CDA全等吗？为什么？ 【变式5-3】（2023秋•定陶区期末）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF． 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•中山区期末）如图，DC⊥AE，垂足为C，且AC＝CD，若用“HL”证明△ABC≌△DEC，则需添加的条件是（　　） A．CE＝BC B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠E 2．（2024春•成都期中）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　） A．AB＝DC B．∠CBE＝∠BCE C．AC＝DB D．∠A＝∠D 3．（2024春•武侯区校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，∠BAC＝∠EDF，AE＝BD，若只添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AC＝DF B．BC＝EF C．∠C＝∠F D．∠ABC＝∠DEF 4．（2023秋•任丘市期末）如图，AB＝AC，添加下列条件，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（　　） A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．∠AEB＝∠ADC D．AE＝AD 5．（2024春•温江区校级期中）如图，△ABC与△DEF的边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，且BE＝CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，全等的依据是“ASA”，则需要添加的条件是（　　） A．∠A＝∠F B．AC＝DF C．AC∥DF D．AB＝DE 6．（2024春•金水区期中）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．CD＝AE D．AB＝DC 二．填空题（共3小题） 7．（2023秋•嵊州市期末）如图，AB＝DE，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DEF，可添加的条件为 　 　． 8．（2024春•丰顺县期中）如图，已知∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD需要添加的一个条件是 　 　． 9．（2023秋•莲都区期末）如图，在△ABC与△ADE中，AB＝AD，∠C＝∠E，请添加一个条件：　 　，使△ABC≌△ADE． 三．解答题（共4小题） 10．（2023秋•台州期末）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AF＝CD，∠A＝∠D，BC∥EF．求证：BC＝EF． 11．（2024•西双版纳一模）如图，在△ABC中，D是BC的中点，连接AD并延长至点E，使得AD＝DE． 求证：△ADB≌△EDC． 12．（2024春•三元区期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，BE＝CD，求证：AB＝AC． 13．（2024•西安校级模拟）如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 探索三角形全等的条件 【考点1 判定全等角形（SSS）】 【考点2判定全等角形（SAS）】 【考点3判定全等角形（ASA）】 【考点4 判定全等角形（AAS）】 【考点5 判定全等角形（HL）】 知识点1 判定全等三角形（边边边） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 【考点1 判定全等角形（SSS）】 【典例1】（2023秋•香洲区期末）如图，AC＝BD，CE＝DE，AD与BC相交于点E，∠EAB＝∠EBA．求证：△ACB≌△BDA． 【解答】证明：∵∠EAB＝∠EBA， ∴EA＝EB， ∵DE＝CE， ∴EA+DE＝EB+CE， ∴AD＝BC， 在△ACB和△BDA中， ， ∴△ACB≌△BDA（SSS）． 【变式1-1】（2023秋•赣县区期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AE＝BF，EC＝FD，AB＝CD． 求证：△EAC≌△FBD． 【解答】证明：∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， 即AC＝BD， 在△EAC和△FBD中， ， ∴△EAC≌△FBD（SSS）． 【变式1-2】（2023八上·杭州期末）已知：如图，点在同一条直线上，.求证：. 【答案】证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴. 【解析】根据已知条件可知AD=BE，结合线段的和差关系可得AB=DE，利用SSS证明△ABC≌△EDF，据此可得结论. 【变式1-3】（2023八上·京山期中）如图，B，E，C，F在一条直线上，，，，求证：. 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴. 【解析】根据BE=CF易得BC=EF，从而利用SSS判断出△ABC≌△DEF，进而根据全等三角形对应角相等即可得出答案. 知识点2 判定全等三角形（边角边） 1、用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 【考点2判定全等角形（SAS）】 【典例2】（2023秋•郴州期末）如图，已知EC＝BF，AC＝DF，∠C＝∠F，求证：△CBA≌△FED． 【解答】证明：∵EC＝BF， ∴EC+BE＝BF+BE，即CB＝FE， 在△CBA和△FED中， ， ∴△CBA≌△FED（ SAS）． 【变式2-1】（2023秋•鲤城区校级期末）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AF＝DE，AF∥DE，AC＝DB．求证：△ABF≌△DCE． 【解答】证明：∵AF∥DE， ∴∠A＝∠D， ∵AC＝DB， ∴AC﹣DB＝DB﹣BC即AB＝DC， 在△ABF和△DCE中， ∵， ∴△ABF≌△DCE（SAS）． 【变式2-2】（2023秋•黄埔区期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，BF＝CE，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF． 【解答】解：∵BF＝CE， ∴BF+FC＝CE+FC， 即：BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【变式2-3】（2023八上·安顺期末）如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，． （1）求证：≌． （2）连结、，求证：． 【答案】（1）证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD ∴△ABC和△DEF是直角三角形 又∵CD＝BF ∴CD+CF＝BF+CF， ∴DF＝BC， 又∵AB=DE， ∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）． （2）证明：∵△ABC≌△EDF， ∴AC＝EF， ∵AC⊥BD，EF⊥BD ∴∠ACD＝∠EFB， 又∵CD=BF， ∴△ACD≌△EFB（SAS） ∴AD＝BE． 【解析】【分析】（1）由题意易得△ABC和△DEF是直角三角形，由CD+CF＝BF+CF，可得DF＝BC，再根据HL证明三角形全等即可； （2）由△ABC≌△EDF，可得AC＝EF，再由AC⊥BD，EF⊥BD可得∠ACD＝∠EFB，进而用“SAS”定理证明△ACD≌△EFB，即可得出结论． 知识点3 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 【考点3判定全等角形（ASA）】 【典例3】（2023秋•泉州期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2．求证：△AEC≌△BED． 【解答】证明：∵AE和BD相交于点O， ∴∠AOD＝∠BOE． 在△AOD和△BOE中， ∠A＝∠B， ∴∠BEO＝∠2． 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO， ∴∠AEC＝∠BED． 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． 【变式3-1】（2023秋•叙州区期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，AC＝DF．请你添加一个适当的条件：　∠A＝∠D（答案不唯一）　，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF． 【解答】解：添加∠A＝∠D， ∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠F， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， 故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）． 【变式3-2】（2023八上·甘井子期末）如图：点B，E，C，F在一条直线上，，，求证：，． 【答案】证明：， ， ， ，， 在与中， ≌， ，． 【解析】【分析】先利用“ASA”证明 ≌，再利用全等三角形的性质可得， 【变式3-3】（2024•西安二模）已知，点C、F、B、E在同一直线上，AC∥DF，AB∥DE，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明过程见解答． 【解答】证明：∵AC∥DF，AB∥DE， ∴∠C＝∠DFE，∠E＝∠ABC， ∵CF＝BE， ∴CF+BF＝BE+BF， 即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 知识点4 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 【考点4 判定全等角形（AAS）】 【典例4】（2023秋•新昌县期末）已知：如图，AC与DB相交于点O，∠1＝∠2，∠A＝∠D． 求证：△AOB≌△DOC． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴BO＝CO， 在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB△DOC（AAS） 【变式4-1】（2023八上·宁波期末）如图，点B、E、C、F是同一直线上顺次四点，，，，求证：. 【答案】证明：∵， ∴. 在和中， ， ∴（）. ∴， ∴，即. 【解析】由平行线的性质可得∠B=∠DEF，根据已知条件可知∠ACB=∠F，AB=DE，利用AAS证明△ABC≌△DCE，得到BC=EF，然后根据线段的和差关系进行证明. 【变式4-2】（2023八上·临湘期末）已知，如图，，，，求证：. 【答案】证明：∵， ∴， 在和中，， ∴. 【解析】根据平行线的性质可得∠CAB=∠E，由已知条件可知∠ACB=∠D，AB=AE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明. 【变式4-3】（2023八上·西城期末）如图，A，D两点在所在直线同侧，，垂足分别为A，D．的交点为E，．求证：． 【答案】证明：∵，垂足分别为A，D， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． 【解析】先利用“AAS”证明，再利用全等三角形的性质可得。 AOB≌△DOC（AAS）． 知识点5 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【典例5】（2023秋•宿豫区期末）如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，AE＝BF．求证：△AED≌△BFC． 【解答】证明：∵ED⊥AB，FC⊥AB， ∴∠ADE＝∠BCF＝90°， ∵AC＝BD， ∴AC+CD＝BD+CD， 即AD＝BC， 在Rt△ADE与Rt△BCF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）． 【变得5-1】（2023春•桂林期末）如图，AD，BC相交于点O，BC＝AD，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA． 【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中， ， ∴Rt△ABC≌△Rt△BAD（HL）． 【变式5-2】（2023秋•洪泽区校级月考）已知：AB⊥AC，CD⊥AC，AD＝CB，问△ABC与△CDA全等吗？为什么？ 【解答】解：△ABC与△CDA全等， 理由：∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴∠BAC＝∠DCA＝90°， ∵AD＝CB，AC＝AC， ∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）． 【变式5-3】（2023秋•定陶区期末）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF． 【答案】见解析． 【解答】解：连接BD， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CBD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL）， ∴AD＝CD， ∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F， ∴∠E＝∠F＝90°， 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）． 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•中山区期末）如图，DC⊥AE，垂足为C，且AC＝CD，若用“HL”证明△ABC≌△DEC，则需添加的条件是（　　） A．CE＝BC B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠E 【答案】B 【解答】解：AB＝DE， 理由是：∵DC⊥CE， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， 在Rt△ABC和Rt△DEC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL）， 故选：B． 2．（2024春•成都期中）如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　） A．AB＝DC B．∠CBE＝∠BCE C．AC＝DB D．∠A＝∠D 【答案】C 【解答】解：A、∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； B、∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； C、∠ABC＝∠DCB，AC＝BD，BC＝BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确； D、AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； 故选：C． 3．（2024春•武侯区校级期中）如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，∠BAC＝∠EDF，AE＝BD，若只添加一个条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AC＝DF B．BC＝EF C．∠C＝∠F D．∠ABC＝∠DEF 【答案】B 【解答】解：∵AE＝BD， ∴AE+EB＝BD+EB， ∴AB＝DE， 又∵∠BAC＝∠EDF， ∴添加AC＝DF，则△ABC≌△DEF（SAS），故选项A不符合题意； 添加BC＝EF，无法证明△ABC≌△DEF，故选项B符合题意； 添加∠C＝∠F，则△ABC≌△DEF（AAS），故选项C不符合题意； 添加∠ABC＝∠DEF，则△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意； 故选：B． 4．（2023秋•任丘市期末）如图，AB＝AC，添加下列条件，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（　　） A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．∠AEB＝∠ADC D．AE＝AD 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD， ∴当添加∠B＝∠C时，△ABE≌△ACD（ASA）； 当添加BE＝CD时，不能判断△ABE≌△ACD； 当添加∠AEB＝∠ADC时，△ABE≌△ACD（AAS）； 当添加AE＝AD时，△ABE≌△ACD（SAS）． 故选：B． 5．（2024春•温江区校级期中）如图，△ABC与△DEF的边BC，EF在同一条直线上，AB∥DE，且BE＝CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，全等的依据是“ASA”，则需要添加的条件是（　　） A．∠A＝∠F B．AC＝DF C．AC∥DF D．AB＝DE 【答案】C 【解答】解：A、若∠A＝∠F，不是对应角相等，显然不能证明△ABC≌△DEF，不符合题意； B、、∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， ∵AC＝DF， ∴不符合全等三角形的判定定理，不符合题意； C、∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， ∵AC∥DF， ∴∠F＝∠ACB， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA），符合题意； D、∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS），不符合题意， 故选：C． 6．（2024春•金水区期中）如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．CD＝AE D．AB＝DC 【答案】D 【解答】解：条件是AB＝DC， 理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD＝∠AEB＝90°， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）， 故选：D． 二．填空题（共3小题） 7．（2023秋•嵊州市期末）如图，AB＝DE，∠A＝∠D，要使△ABC≌△DEF，可添加的条件为 　∠B＝∠E（答案不唯一）　． 【答案】∠B＝∠E（答案不唯一）． 【解答】解：由题意知，添加的条件为∠B＝∠E， ∵∠B＝∠E，AB＝DE，∠A＝∠D， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， 故答案为：∠B＝∠E（答案不唯一）． 8．（2024春•丰顺县期中）如图，已知∠1＝∠2，要使△ABD≌△ACD需要添加的一个条件是 　AC＝AB　． 【答案】AC＝AB．（答案不唯一） 【解答】解：AC＝AB，理由如下， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， 故答案为：AC＝AB． 9．（2023秋•莲都区期末）如图，在△ABC与△ADE中，AB＝AD，∠C＝∠E，请添加一个条件：　∠BAC＝∠DAE（答案不唯一）　，使△ABC≌△ADE． 【答案】∠BAC＝∠DAE（答案不唯一）． 【解答】解：∵AB＝AD，∠C＝∠E， ∴添加条件∠BAC＝∠DAE，利用AAS证明△ABC≌△ADE即可； 添加条件∠BAD＝∠CAE，得出∠BAC＝∠DAE，利用AAS证明△ABC≌△ADE即可； 添加条件∠B＝∠ADE，利用AAS证明△ABC≌△ADE即可； 故答案为：∠BAC＝∠DAE（答案不唯一）． 三．解答题（共4小题） 10．（2023秋•台州期末）如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AF＝CD，∠A＝∠D，BC∥EF．求证：BC＝EF． 【答案】证明见解答过程． 【解答】解：∵AF＝CD， ∴AF+CF＝CD+CF，即AC＝DF， 又∵BC∥EF， ∴∠ACB＝∠DFE， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴BC＝EF． 11．（2024•西双版纳一模）如图，在△ABC中，D是BC的中点，连接AD并延长至点E，使得AD＝DE． 求证：△ADB≌△EDC． 【答案】证明见解答过程． 【解答】证明：∵D为BC的中点， ∴BD＝CD． 在△ADB与△EDC中， ， ∴△ADB≌△EDC（SAS）． 12．（2024春•三元区期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，BE＝CD，求证：AB＝AC． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC＝∠BDC＝90°， 在Rt△BCE与Rt△CBD中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△CBD（HL）， ∴∠EBC＝∠DCB， ∴AB＝AC． 13．（2024•西安校级模拟）如图，已知∠A＝∠D＝90°，点E、点F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝DC，BE＝CF．求证：OE＝OF． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE， 在Rt△ABF和Rt△DCE中， ， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL） ∴∠AFB＝∠DEC， ∴OE＝OF． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$