2.3 用公式法求解一元二次方程 导学案 -2023--2024学年北师大版九年级数学上册

2.3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 用公式法求解一元二次方程（1） 新课导学 知识点1 公式法 1. 对于一元二次方程，当时，它的根      ,这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为②  公式法  . 2.用公式法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化成一般形式，进而确定，，的值（注意符号）； （2）求出的值（若，方程无实数根）； （3）在的前提下，把，，的值代入公式进行计算，求出方程的根. 注意：用公式法的前提：（1）；（2）. 求根公式对于任何一个一元二次方程都适用. 【例1】 用公式法解方程时，，，的值分别为（ D ）. A. 5，6，8 B. 5，， C. 5，，8 D. 5，6， 对点训练1 用公式法解方程时，首先要确定，，的值，下列叙述正确的是（ C ）. A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【例2】 [2023·河源期末]用求根公式解方程，求得  5  . 对点训练2 用公式法解方程，其中  0  . 【例3】 [2023·深圳期中]用公式法解方程:. 解：， 整理得，，，， ， ， 解得，． 对点训练3 用公式法解方程：. 解：，，，， ， ， 解得，． 知识点2 判断一元二次方程根的情况 一元二次方程的根的情况可以由来判定.我们把叫做一元二次方程的③  根的判别式  ,通常用希腊字母“④      ”来表示. （1）当      0时,方程有两个⑥  不相等  的实数根. （2）当  =  0时,方程有两个⑧  相等  的实数根. （3）当      0时,方程⑩  没有  实数根. 【例4】 [2023·深圳期中]一元二次方程的根的情况是（ C ）. A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 对点训练4 [2023·深圳二模]一元二次方程的实数根的情况是（ A ）. A. 有两个不同实数根 B. 有两个相同实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 【例5】 [2023·深圳九年级期中]关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是      . 对点训练5 [2023·深圳期中]已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是  且  . 课堂通关 第一关 过基础 1. [2022·深圳期中]一元二次方程的根的情况是（ C ）. A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 2. 关于的方程，下列结论正确的是（ C ）. A. 当时，方程无实数根 B. 当时，方程只有一个实数根 C. 当时，方程有两个不相等的实数根 D. 当时，方程有两个相等的实数根 3. 一元二次方程有两个  相等  的实数根（填“相等”或“不相等”）. 4. 一元二次方程的根的判别式 的值为  17  ． 第二关 过能力 5. 解方程：.（用公式法求解） 解：，，， ， ， 解得，. 6. 解方程：.（用公式法求解） 解：，，，， ， 解得，. 第三关 过思维 7. 已知关于的方程． （1） 方程有一根为2，求的值； 解：把 代入方程,得 ，解得. （2） 求证：不论为何值，方程总有实数根． 证明：在关于 的一元二次方程 中， ， 无论 取何值，该方程总有实数根. 8. 关于的方程有两个不相等的实数根． （1） 求的取值范围； 解： 关于 的方程 有两个不相等的实数根， ，解得. （2） 若方程有一个根为0，求此时的值． [答案]当 时，，，的值为． 第2课时 用公式法求解一元二次方程（2） 新课导学 知识点 检验一元二次方程的根 一元二次方程有两个根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题，因此，解完一元二次方程后，要按题意检验这些根是不是实际问题的解. 【例1】 [2022·深圳期中]如图，学校种植园长32米，宽20米．为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为600平方米．若设小道的宽为米，则下面所列方程正确的是（ C ）. A. B. C. D. 对点训练1 [2023·深圳校考]公园里有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地的面积为，求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为，则可列方程为（ A ）. A. B. C. D. 【例2】 [2023·深圳二模]如图，利用一面墙（墙的长度为），在另三边用长的篱笆围成一个面积为的长方形场地，则长方形场地的一边的长为  20  ． [解析]设 的长为，则，，解得 或，当 时，，故不符合，的长为20. 对点训练2 如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为  1  米. [解析]设修建的路宽应为 米，可列出方程，整理得，解得，（不合题意，舍去）， 修建的道路宽为1米. 【例3】 （根据九年级北师大版教材P45第2题改编）如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长），另三边用木栏围成，木栏长．所围矩形鸡场的长、宽分别为多少时，鸡场的面积能达到？ 解：设矩形鸡场的宽为，则长为， 由题意，得， 整理，得， 解得 或， 当 时，，符合题意； 当 时，，不符合题意，舍去. 故所围矩形鸡场的长、宽分别为，时，鸡场的面积能达到. 对点训练3 如图，某农场要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一面靠墙（墙长为36米），鸡场又被分成三个大小相同的矩形鸡舍，这些鸡舍用100米长的木栏围成．设的长度为米. （1） 养鸡场的另一边的长表示为      米； （2） 当三个鸡舍的总面积为400平方米时，养鸡场的边长，各为多少米？ 解：根据题意得， 整理得，解得，， 当 时，，不符合题意，舍去， 当 时，，符合题意. 养鸡场的边长 为20米，为20米． 课堂通关 第一关 过基础 1. 用一条长的绳子怎样围成一个面积为的矩形？设矩形的一边长为米，根据题意，可列方程为（ B ）. A. B. C. D. 2. 在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑宽度相同的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为米，则根据题意可列方程为      . 3. 如图，学校课外生物小组的试验园地是长20米，宽10米的长方形．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵等宽的小道（如图），要使种植面积为162平方米，则小道的宽为  1  米． [解析]设小道的宽为 米，根据题意得，解得，（舍去）， 小道的宽为1米． 4. [2023·深圳期末]如图，某居民小区要在一块一边靠墙的空地上建一个长方形花园，花园的中间用平行于的栅栏隔开，一边靠墙，其余部分用总长为30米的栅栏围成且面积刚好等于72平方米，围成花园的宽为多少米？设米，由题意可列方程为      . 第二关 过能力 5. 在长为，宽为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，则道路的宽为  2  米． [解析]设道路的宽为 米，根据题意得， 即,， 或（舍去）. 道路的宽为2米. 6. 若一个三角形的两边长分别是4和7，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为  18  . [解析]， 或. 当 时，，,3,7不能组成三角形. 当 时，， ,7,7能够组成三角形， 这个三角形的周长为. 第三关 过思维 7. 如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆．设的长为． （1） 则的长为      ，的长为      ；（用含 的代数式表示） （2） 若花圃的面积为，求花圃一边的长； 解：，， 由题意知， 解得（舍去），， 花圃一边 的长为． （3） 花圃的面积能否达到？说明理由． [答案] 花圃的面积不能达到.理由： ， ，， 一元二次方程 没有实数根， 花圃的面积不能达到. 学科网（北京）股份有限公司 $$