4.5 相似三角形判定定理的证明 导学案－2023—2024学年北师大版数学九年级上册

4.5 相似三角形判定定理的证明 新课导学 知识点1 定理1  两角分别相等  的两个三角形相似. 几何语言：如图，，,. 特别说明：证明三角形相似的判定定理，关键是利用转化的数学思想，结合平行线分线段成比例，通过作辅助线,把一个三角形转移、构建到另一个三角形中,然后利用相似三角形的定义证明相似三角形的判定定理. 【例1】 （根据九年级北师大版教材P99定理证明改编）如图，在和中，，.求证：. 请补全下面的证明过程. 证明：在的边上截取，过点作，交于点，则，，.过点作，交于点，则.      . ，， 四边形是平行四边形.      ,      . 而，，， . ，，，            （      ）. . 对点训练1 如图，点为线段的中点，与交于点，，且交于点，交于点.写出图中所有的相似三角形，并选择一对加以证明． 解：图中的相似三角形有，，． 以下证明． （外角定理），（已知），.又，． 知识点2 定理2 ②  两边成比例且夹角相等  的两个三角形相似. 几何语言：如图，，，. 特别说明：相似三角形的判定定理2是利用判定定理1证明的，都是通过作辅助线,把一个三角形转移、构建到另一个三角形中,然后运用刚刚证明的相似三角形的判定定理1来证明本判定定理. 【例2】 （根据九年级北师大版教材P100定理证明改编）如图，在和中，已知，.求证：.请补全下面的证明过程. 证明：在的边上取点，使. 过点作，交于点. ，      . ，            （两角分别相等的两个三角形相似）.      .，，      .. 又，            （      ）. . 对点训练2 如图,四边形的对角线与相交于点，，.求证：. 证明：，， .又，. 知识点3 定理3 ③  三边成比例  的两个三角形相似. 几何语言：如图，，. 特别说明：判定定理3是利用判定定理2证明的，还是通过作辅助线,把一个三角形转移、构建到另一个三角形中,然后运用刚刚证明的相似三角形的判定定理2来证明本判定定理，在证明过程中注意运用比例变换和等量代换、恒等变形等知识点，体现了数学的转化思想. 【例3】 如图，在和中，.求证：. 证明：在 的边，上分别截取，，连接（图略）. ，. 又，，.. . ，，,. . 对点训练3 （根据九年级北师大版教材P102习题4.9第1题改编）如图，在三角形中，，，，分别是三边的中点，请问吗？说说理由. 解：.理由：由 可得 是等边三角形.又因为，，分别是 三边的中点,所以，所以 是等边三角形，因此. 课堂通关 第一关 过基础 1. 如图，与相交于点，，，，则的长为  10  . 2. 如图，是矩形的对角线，是边延长线上一点，与相交于点，则图中的相似三角形共有  4  对. 3. 如图，要使，需要补充的一个条件是（ D ）. A. B. C. D. 4. 如图，在中，点，分别在，边上，，且，那么下列判断中，错误的是（ D ）. A. B. C. D. 第二关 过能力 5. 如图，在中，点在边上，满足，若，，求的长． 解：，， ,. ，，， ，. 6. 如图，在和中，，点，，在一条直线上，求证：． 证明： 在 和 中，, ， ，. ，，． 第三关 过思维 7. 如图，在中，对角线，交于点，为的中点，连接，，且交于点，. （1） 求证：； 证明： 在 中，为 的中点， M为 的中点，，, . （2） 求的长． 解：由（1）知，，. ，. . 四边形 为平行四边形，. 学科网（北京）股份有限公司 $$