内容正文:
波
动
方
程
的
理
解
与
应
用
■华中科技大学附属中学 许 文
简谐波的传播特征是前面的质点依次带
动后面的质点分别以各自不同的平衡位置做
简谐运动,后面的质点比相邻的前一质点的
振动总落后一定的相位。因此,根据相位关
系,可以表达出沿波传播方向上各质点的振
动方程,也叫波动方程。利用波动方程可以
方便地研究波中各质点的振动情况。
一、波动方程
设波源O 在t=0时刻开始振动,其振动
方程为y=Asin
ωt。设波速为v,则离波源
x 处的质点在t=
x
v
时刻开始振动。根据波
中各质点的初始振动方向与波源的初始振动
方向相同可知,离波源x 处质点的振动方程
为y=Asinωt-
x
v 。在波中各质点的振
动方程中有两个自变量t与x,利用此方程可
以判断某确定时刻(t确定,x 为变量)或某确
定位置(x 确定,t为变量)质点的振动情况。
二、应用分析
1.判断确定时刻质点的位移。
若时间t确定,则波动方程表示t时刻
波中各质点(x 为变量)相对平衡位置的位
移。根据某时刻的波动方程可判断波中各质
点在某时刻的位移情况。
例 1 一列沿x 轴正方向传播的波在
t=0时刻的波形图如图1所示,此时波中 M
点的纵坐标yM= 2
cm,N 点的横坐标xN=
7
12
m,再经过最短时间Δt=0.1
s,M 点到达
波峰。下列说法中正确的是( )。
图1
43
解题篇 经典题突破方法
高考理化 2024年5月
A.M 点的横坐标为
3
8
m
B.波的传播速度大小为1.5
m/s
C.t=0时刻N 点的纵坐标为-1
cm
D.N 点比M 点的振动落后
7π
12
解析:根据波形图可知,波长λ=1
m,振
幅A=2
cm,则t=0时刻该波的波动方程为
y=Asin
2π
λx=2sin
(2πx)cm(x≥0)。将 M
点的纵坐标yM = 2
cm 代入波动方程得
2=2sin(2πxM),结合图像得 M 点的横坐标
xM=
3
8
m,选项A正确。将xN=
7
12
m代入
波动 方 程 得 yN =2sin 2π×
7
12 cm,解 得
yN=-1
cm,选项 C正确。经过最短时间
Δt=0.1
s,M 点到达波峰,即此时 M 点左侧
相邻的波峰传播到 M 点,传播距离 Δx=
3
8-
1
4 m=18 m,则波的传播速度v=ΔxΔt=
1.25
m/s,选项B错误。设M 点的振动方程为
yM=Asin(ωt+φM),在t=0时刻将yM=2
cm
代入M 点的振动方程得φM=
3π
4
;设N 点的振
动方程为yN=Asin(ωt+φN),在t=0时刻将
yN=-1
cm代入N 点的振动方程得φN=
7π
6
。
因此φN-φM=
5π
12
,选项D错误。
答案:AC
点评:波动方程y=Asinωt-
x
v 可
变形为y=Asinωt-
ωx
v ,又有ω=2πT ,v=
λ
T
,则ωx
v =
2π
λx
,它表示离波源x 处的质点的
振动落后于波源振动的相位。因此本题中
M、N 两点的振动相位差Δφ=
2π
λΔxNM
。
2.判断确定位置质点的振动情况。
若位置x 确定,则波动方程表示平衡位
置在x 处质点(t为变量)的振动方程。根据
确定位置的波动方程可判断波中该位置质点
的振动情况。
例 2 (2023年高考湖北卷)一列简谐
横波沿x 轴正方向传播,波长λ=100
cm,振
幅A=8
cm。介质中有a 和b两个质点,其
平衡位置分别位于 xa=-
40
3
cm 和 xb=
120
cm处。某时刻质点b的位移yb=4
cm,
且向y 轴正方向运动。从该时刻开始计时,
质点a的振动图像为图2中的( )。
图2
解析:设波源位于x0 处,波速为v,则该波
的波动方程为y=Asinωt-
x
v 。因为t=0
时刻 质 点b 的 位 移 yb =4
cm,所 以 4=
8sin -
ωxb-x0
v ,解 得ω
(xb-x0)
v =-
π
6
-
5π
6
舍去,因为质点b向y轴正方向运动 ;
对质点a 有ya=Asinωt-
xa-x0
v ,令
ω(xa-x0)
v =φa
,ω
(xb-x0)
v =φb
,则 φb-
φa=
ω(xb-xa)
v
,即-φa-
π
6=
ω
v
·4
3λ=
8
3π
,解得φa=- 2π+
5
6π 。因为此时质点
a向下运动,所以质点a 的振动方程为ya=
Asinωt+ 2π+
5
6π ,对应的振动图像为
图2中的A。
答案:A
点评:求解本题的关键是判断质点a 的
振动相位。根据题意可知,a、b 两质点平衡
位置之间的距离Δx= 120+
40
3 cm=43λ,因
此a、b两质点的振动相位差Δφ=
2π
λΔx=
8
3π
。
根据波动方程求出质点b 的振动相位φb,可
求得质点a的振动相位φa,从而可知t=0时
刻质点a 的位移ya=4
cm,且向下振动,即
可判断其振动图像。
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解题篇 经典题突破方法
高考理化 2024年5月
3.判断干涉现象中质点振动加强和减弱
的情况。
根据波动方程可判断质点的振动情况,
因此在波的干涉现象中,可利用波动方程判
断两列波叠加区域中哪些点的振动加强,哪
些点的振动减弱。
例 3 两简谐波的波源a、b相距xab=
30
m,它们的振幅相等,频率均为f=100
Hz,
相位差为π,波速大小均为v=400
m/s,则a、b
连线上振动减弱点的个数为( )。
A.13 B.14 C.15 D.16
解析:设两波源的振幅均为A,其角速度
ω=2πf=200π
rad/s,则两波源的振动方程
分 别 为 ya = Asin(200πt+ π),yb =
Asin(200πt),当a、b连线上c点与a 点的
距离为x 时,c点与b点的距离为30
m-
x,则a、b两波源在c点引起的分振动方程
分别 为yac=Asin200πt-
x
v +π ,ybc=
Asin200πt-
30
m-x
v ,两分振动的相位差
Δφ=200πt-
x
v +π-200πt-30
m-x
v =
(16-x)π。当Δφ=(2k+1)π时,两波干涉,
c点的振动减弱,即x=15-2k。因为0<
x<30,所以-7.5<k<7.5,即k=0,±1,
±2,…,±7共15个值,因此a、b 连线上振
动减弱点的个数为15。
答案:C
点评:波动方程实质上是描述波中各质
点振动方程的集合。根据波动方程与矢量的
叠加性,可判断干涉现象中两波重叠区域质
点的合振动情况。根据两分振动在两波重叠
区域某点的相位差关系,可判断该点的合振
动是加强还是减弱。
1.如图3所示为一列沿x 轴传播的简谐
横波在t=0时刻的部分波形图,图中P、Q、
M 为平衡位置分别为x1=6
m、x2=10
m、
x3=24
m的三个质点。已知质点P 的振动
方程为y=0.2cos
2πt
m,质点Q 从t=0时
刻开始,经过5
6
s第一次到达波峰。下列说
法中正确的是( )。
图3
A.该波的波速为24
m/s
B.该波沿x 轴正方向传播
C.质点P、Q 的相位差为
π
3
D.t=6
1
12
s时质点M 的位移为0.12
m
2.在某种介质中两个波源分别位于 A、
B 两点,两波源的振动图像如图4所示,C 是
A、B 连线上的点,A、C 两点间的距离x1=
3.2
m,B、C 两点间的距离x2=2
m。两波源
均从t=0
时刻开始振动,产生的简谐波在介
质中沿A、B 所在直线传播。已知波源B 产
生的波的波长λB=4.8
m,则C 点的位移为
+7
cm的时刻可能为( )。
图4
A.2.8
s B.2.5
s
C.1.6
s
D.1.3
s
图5
3.如图5所
示为均匀介质中
一列沿x 轴正方
向传播的简谐横
波的 图 像,t=0
时 刻,该 波 恰 好
传到x=5
m处,
P 点是平衡位置在x=10
m 处的质点。已
知该波的波速v=2
m/s,求质点P 的位移随
时间变化的关系式。
参考答案:1.AC 2.BD
3.y=0.06sin[π(t-2.5)]m。
(责任编辑 张 巧)
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解题篇 经典题突破方法
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