10.等效转化思想在“液面照亮区域面积问题”中的应用-《中学生数理化》高考理化2024年5月刊

等效转化思想在 “液面照亮区域面积问题”中的应用 ■河北正定中学 杨高轩 高中物理科学思维是从物理学视角对客 观事物本质属性、内在规律及相互关系的认 识方式;是基于经验事实建构理想模型的抽 象概括过程;是分析综合、推理论证等科学思 维方法的内化。等效转化是一种建构模型的 重要思维方法,要求从两个事物之间的等同 效果出发,把复杂的物理问题等效转化为简 单的物理问题,从而找到解决问题的途径。 将光源置于液体中,光在液面处会发生 折射或全反射,从液面上方观察,有部分液面 区域有光线射出而被照亮,如何计算这部分 区域的面积呢? 下面我们就一起来探讨吧! 一、点光源 点光源发出的光是辐射状的,若空间足 够大,则是以点光源为球心的球体,对于液面 而言,被光照亮的部分是以点光源的正上方 对应的点为圆心的圆形。 1.单色点光源。 图1 例 1 如图1所示, 半径为R 的圆柱形玻璃容 器中装有折射率为 2的透 明液体,底面圆心 O 处有 一点光源,容器的高度h 是截面半径R 的一 半。从圆柱形玻璃容器上表面观察,液面被 光照亮的面积是多少? (用R 表示) 分析:设点光源的正上方对应的点为 O',从点光源射到液面A 点和B 点的两条光 线如图2甲所示,根据几何关系得∠2>∠1, 即从O'点向外光线的入射角逐渐增大,当入 射角等于发生全反射的临界角C 时,点光源 发出的光在液面处恰好发生全反射。如图2 乙所示,设液面上恰好发生全反射的位置为 D、D'点,则液面被光照亮的部分是以O'为 圆心、以O'D(O'D')为半径的圆形。 解:根据折射定律得sin C= 1 n ,解得 C=45°。根据几何关系得tan C= O'D h ,解得 图2 O'D=h= R 2 。因此液面被光照亮的面积 S= πR2 4 。 2.复色点光源。 例 2 如图3甲所示,S 是水下深度为 d 处的一个点光源,它发出两种单色光a 和 b,在水面上形成了一个被照亮的圆形区域, 其中间区域为复色光形成的,周边的环状区 域为单色光形成的,如图3乙所示(俯视图)。 已知水对单色光a 和b 的折射率分别为n1 和n2(n1<n2),求环状区域的面积。 图3 分析:设点光源S 的正上方对应的点为 O,根据折射定律sin C= 1 n 可知,单色光a发 生全反射的临界角Ca 大于单色光b发生全 图4 反射的临界角Cb。如 图4所示,设单色光a 在A、A'点恰好发生全 发射,单色光b在B、B' 点恰好发生全反射,则 单色光a在水面照亮的 区域是以O 为圆心、以OA(OA')为半径的 圆形,单色光b在水面照亮的区域是以O 为 圆心、以OB(OB')为半径的圆形,环状区域 内只有单色光a。 23 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年5月 解:根 据 折 射 定 律 得 sin Ca = 1 n1 , sin Cb= 1 n2 ,根据几何关系得tan Ca= OA d , tan Cb= OB d ,则环状区域的面积S=π(OA2 -OB2),解得S=πd2 1 n21-1 - 1 n22-1 。 二、线光源 点光源在液面上照亮的区域是圆形,线光 源可以看成是很多点光源的组合,因此线光源 在液面上照亮的区域是很多圆形的叠加。 1.直线形光源。 图5 例 3 如图5所示, 在水面下方h=1 m处有 一个与水面平行的细发光 管AB,AB 长L=0.7 m。 由A 点发出的某条光线 射到水面的入射角i=37°时,其折射光与水 面间的夹角也为i=37°,已知sin 37°=0.6, cos 37°=0.8。求: (1)水对光的折射率n。 (2)水面上有光线射出的区域面积S。 分析:线光源上的每个点相当于一个点 光源,每个点光源在水面上照亮的区域均是 以点光源正上方对应的点为圆心的圆形,因 为细发光管与水面平行,所以每个点光源到 水面的距离相等,在水面上照亮区域的圆形 半径也相等,设每个点光源在水面上照亮的 圆形半径为R。设 A 点正上方对应的点为 A',B 点正上方对应的点为B',以 A'为圆 心、以R 为半径画圆,将圆形从A'点沿直线 A'B'移动到B'点,所有圆内区域(如图6中 图6 阴影部分所示)均是光能照 到的区域,即水面上有光线 射出的区域由两个半径为 R 的半圆和一个边长分别 为2R、L 的长方形组成。 解:(1)由 A 点发出的光线的光路图如 图7所示,根据折射定律得n= sin r sin i ,根据几 何关系得r=53°,解得n= 4 3 。 图7 (2)根据折射定律得 sin C= 1 n ,根据几何关 系得tan C= R h ,解 得 R= 37 7 m,则水面上有 光线射出的区域面积S=πR2+2RL,解得 S= 37 5 + 9π 7 m2。 2.圆形线光源。 例 4 边缘发黄光的圆形线光源的半 径为R,将此线光源放置到某种液体内部,线 光源所在的圆面与液面平行。调节线光源到 液面的距离,观察者正对液面观察,发现液面 上有黄光射出的圆环面积与圆环中间无黄光 射出的圆面积之比为8∶1。已知这种液体 对黄光的折射率为 23 3 ,求此时线光源在液 体中的深度h。 分析:线光源上的每个点相当于一个点 光源,每个点光源在液面上照亮的区域均是 以点光源正上方对应的点为圆心的圆形,因 为线光源所在的圆面与液面平行,所以每个 点光源到液面的距离相等,在液面上照亮区 域的圆形半径也相等,设每个点光源在液面 图8 上照亮的圆形半径为r。设 圆形线光源上某点 A 正上 方对应的点为A',以 A'为 圆心、以r 为半径画圆,将 圆形从 A'点沿圆周移动一 圈,所有圆内区域(如图8 中阴影部分所示)均是黄光 能照到的区域,即液面上有黄光射出的区域 是以O 为圆心、以(R+r)和(R-r)为半径 的圆之间的圆环部分。 解:根据折射定律得sin C= 1 n ,解得 C=60°。根据几何关系得tan C= r h ,根据题 意得 π(R+r)2-π(R-r)2 π(R-r)2 =8,解得r= R 2 , h= 3R 6 。 33 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年5月 图9 图10 􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃􀥃 三、长方形面光源 直线形光源在液面上照亮的区域由两个 半圆和一个长方形组成,面光源可以看成是很 多直线形光源的组合,因此面光源在液面上照 亮的区域是很多直线形光源照亮区域的叠加。 例 5 如图9所示,在水面下方h= 7 6 m处有一个与水面平行的长方形平面单 色光源ABCD,长方形面光 源的 边 长 LAB =0.5 m, LAD=1 m。水对单色光的 折射率n= 4 3 ,求水面上有 光线射出的区域面积S。 分析:设A、B、C、D 正上方对应的点分 别为A'、B'、C'、D',点光源在水面上照亮区 域的圆形半径为R,直线形光源 AB 在水面 上照亮的区域由两个半径为R 的半圆和一个 边长分别为2R、LAB 的长方形组成。将直线 形光 源 AB 在 水 面 上 照 亮 的 区 域 沿 直 线 A'D'(B'C')移动,移动的距离为LAD,光能照 到的区域如图10中阴影部分所 示,它由一个边长为(2R+LAB)和 LAD 的长方形、两个边长为LAB 和 R 的长方形、四个半径为R 的 1 4 圆形构成。 解:根据折射定律得sin C= 1 n ,根据几何 关系得tan C= R h ,解得R=0.5 m。因此水面 上有光线射出的区域面积S=πR2+(2R+ LAB)LCD+2LABR,解得S= π 4+2 m2。 总之,等效转化思想在高中物理中的应 用比比皆是,比如运动的合成与分解、等效重 力加速度等。同学们在复习备考过程中遇到 难以解决的问题时,若能够采用发散思维、逆 向思维等进行等效转化,则往往可以获得事 半功倍的效果。 (责任编辑 张 巧) 43 解题篇 经典题突破方法 高考理化 2024年5月