2.用好克拉伯龙方程巧解气体状态问题——以近几年高考试卷中的气体变质量问题为例-《中学生数理化》高考理化2024年5月刊

用好克拉伯龙方程 巧解气体状态问题 ———以近几年高考试卷中的气体变质量问题为例 ■重庆市大学城第一中学校 龚圣龙 杨天才(特级教师、正高级教师) 理想气体状态方程p V T =C 描述的是一 定质量的某种理想气体,从某一状态变化到 另一状态时,尽管其压强、体积和温度都可能 改变,但是压强跟体积的乘积与热力学温度 之比保持不变。对于变质量的理想气体状态 变化问题,理想气体状态方程依然成立,但稍 显复杂。若用克拉伯龙方程[pV= m MRT , pM=ρRT,R=8.31 J/(mol·K)]求解气体 变质量问题,则非常简便。 一、结论 表1 克拉伯龙方程 限定条件 规律或原理 一 定 质 量 理 想气体: pV= m MRT T 恒定 玻意耳定律:p1V1=p2V2 p 恒定 盖-吕萨克定律: V1 T1 = V2 T2 V 恒定 查理定律:p1T1 = p2 T2 无 理想气体状态方程:p1V1 T1 = p2V2 T2 同 种 理 想 气 体变质量: pV = m M RT 或pM=ρRT p、V 恒定 热气 球 原 理:①m1T1= m2T2 或②ρ1T1=ρ2T2 p、T 恒定 鱼浮沉原理:③ V1 m1 = V2 m2 (密度不变) V、T 恒定 鱼浮沉原理:④ p1 m1 = p2 m2 或⑤ p1 ρ1 = p2 ρ2 无 充气、用气原理:⑥ p1V1 T1 p2V2 T2 = m1 m2 二、应用 例 1 (2017年高考新课标Ⅱ卷)一热 气球体积为V,内部充有温度为 Ta 的热空 气,气球外冷空气的温度为Tb。已知空气在 1个大气压、温度为T0 时的密度为ρ0,该气 球内、外的气压始终都为1个大气压,重力加 速度大小为g。 (1)求该热气球所受浮力的大小。 (2)求该热气球内空气所受的重力。 (3)设充气前热气球的质量为 m0,求充 气后它还能托起的最大质量。 解析:(1)设温度为Tb 的空气的密度为 ρb,空气的压强、体积不变,根据结论②得空 气的密度与热力学温度成反比,即ρ0T0= ρbTb,则热气球所受浮力的大小f=ρbgV= ρ0gV T0 Tb 。 (2)设温度为Ta 的空气的密度为ρa,根 据结论②得ρ0T0=ρaTa,则热气球内空气所 受的重力Ga=mag=ρaVg=ρ0gV T0 Ta 。 (3)设充气后热气球还能托起的最大质 量为 m,根据平衡条件得 mg=f-Ga- m0g,解得m=ρ0T0V 1 Tb - 1 Ta -m0。 例 2 热气球主要通过自带的机载加 热器来调整气囊中空气的温度,从而达到控 制热气球升降的目的。有一热气球停在地 面,下端开口使球内外的空气可以流通,以保 持气 囊 内 外 压 强 相 等。设 热 气 球 的 容 积 V1=400 m3,除去气囊内空气外,热气球的总 质量 M=160 kg。已知地面附近空气温度 T1=300 K,空气密度ρ=1.2 kg/m3,空气可 视为理想气体。求: (1)当气囊内剩余空气质量m2=360 kg 时,气囊中空气的温度T2 为多少? (2)热气球刚好从地面飘起时气囊内空 5 知识篇 高考真题之赏析 高考理化 2024年5月 气的温度T3 为多少? 解析:(1)空气的压强、体积不变,根据结 论①得空气的质量与热力学温度成反比,即 m1T1=m2T2。热 气 球 未 加 热 时 有 m1= ρV1,解得T2=400 K。 (2)热气球刚好从地面飘起时所受浮力 等于热气球和气囊内空气的总重力,根据平 衡条件得 m1g=m3g+Mg,根据结论①得 m1T1=m3T3,解得T3=450 K。 点评:例1和例2以热气球为背景,考查 同学们的建模能力、科学探究能力和知识迁 移能力。这两道试题的难度都不小,利用克 拉伯龙方程在例1中得出理想气体的密度与 热力学温度成反比关系,在例2中得出理想 气体的质量与热力学温度成反比关系,比把 变质量问题看成恒质量问题,利用理想气体 状态方程求解要简便得多。 例 3 (2022年高考山东卷)某些鱼类 通过调节体内鱼鳔的体积实现浮沉。如图1 所示,鱼鳔结构可简化为通过阀门相连的A、 B 两个密闭气室,A 室壁厚、可认为体积恒 定,B 室壁薄,体积可变;两室内气体视为理 图1 想气体,可通过阀门进 行交换。质量为 M 的 鱼 静 止 在 水 面 下 H 处。B 室内气体体积 为V,质量为 m;设 B 室内气体压强与鱼体外压强相等、鱼体积的 变化与B 室气体体积的变化相等,鱼的质量 不变,鱼鳔内气体温度不变。水的密度为ρ, 重力加速度为g,大气压强为p0,求: (1)鱼通过增加B 室体积获得大小为a 的加速度,需从 A 室充入B 室的气体质量 Δm。 (2)鱼静止在水面下 H1 处时,B 室内气 体的质量m1。 解析:(1)设B 室体积变化量为ΔV,根 据牛顿第二定律得ρg·ΔV=Ma。气体的 压强、温度均不变,根据结论③得气体的体积 与质量成正比,即ΔV Δm= V m ,解得Δm= mMa ρgV 。 (2)鱼静止在水面下 H 处时,B 室内气 体的压强p=p0+ρgH;鱼静止在水面下 H1 处时,B 室内气体的压强p1=p0+ρgH1。两 种情况下鱼均处于平衡状态,则浮力不变。 气体的体积、温度均不变,根据结论④得气体 的压强与质量成正比,即p m= p1 m1 ,解得m1= p0+ρgH1 p0+ρgH m。 点评:本题以鱼浮沉为背景,同样考查同 学们的建模能力、科学探究能力和知识迁移 能力。显然,用控制变量法得出理想气体的 体积与质量成正比、压强与质量成正比,即可 顺利求解。 例 4 (2020年高考全国Ⅰ卷)甲、乙 两个储气罐储存有同种气体(可视为理想气 体)。甲罐的容积为V,罐中气体的压强为 p;乙罐的容积为2V,罐中气体的压强为 p 2 。 现通过连接两罐的细管把甲罐中的部分气体 调配到乙罐中去,两罐中气体温度相同且在 调配过程中保持不变,调配后两罐中气体的 压强相等。求调配后: (1)两罐中气体的压强。 (2)甲罐中气体的质量与甲罐中原有气 体的质量之比。 解析:(1)调配过程满足结论⑥,气体的温 度不变,气体的压强和体积的乘积与质量成正 比,即p1V1 p2V2 = m1 m2 。设两罐中气体的压强均为 p',根据质量守恒定律得 m1+m2=m,即 pV+ p 2 ·2V=p'(V+2V),解得p'= 2 3p 。 (2)根据结论⑥得调配后甲罐中气体的 质量与 甲 罐 中 原 有 气 体 的 质 量 之 比 k= p'V pV = 2 3 。 点评:本题考查充气问题,是典型的变质 量问题。对同种气体的充气、放 气、抽 气 问 题,根据质量守恒定律得出二级结论p1V1 T1 + p2V2 T2 = p3V3 T3 ,以备不时之需。 总结:同学们在复习备考过程中,不能仅 仅停留在教材上,而应该把教材与实际生产 6 知识篇 高考真题之赏析 高考理化 2024年5月 生活问题联系起来,对于变质量问题,比如热 气球、鱼浮沉、充气、放气、抽气等,应该灵活 应用多种方法进行分析与求解,以培养我们 的科学探究能力,提高我们的物理学科核心 素养。 图2 1.如图2所示,一热气 球的下端有一小口,使球内 外的空气可以流通,以保持 球内外压强相等,球内有温 度调节器,以便调节球内空 气的温度,使气球可以上升 或下降。设气球的总体积 V0=500 m3(球壳体积忽略 不计),除球内空气外,气球质量 M=180 kg。 已知地球表面空气温度 T0=280 K,密度 ρ0=1.2 kg/m3,空气可视为理想气体,它的 组成和温度几乎不随高度变化。 (1)为使气球从地面飘起,球内空气的温 度最低必须加热到多少? (2)当球内空气的温度为480 K时,气球 上升的加速度为多大? 2.热气球主要通过自带的机载加热器来 调整球内空气的温度,从而达到控制热气球 升降的目的。有一热气球停在地面,下端开 口使球内外的空气可以流通,以保持球内外 压强相等。设热气球的容积V1=400 m3,除 去球内空气外,热气球的总质量 M=160 kg。 已知地面附近空气温度 T1=300 K,密度 ρ0=1.2 kg/m3,空气可视为理想气体。求: (1)当球内剩余空气质量占原有空气质 量的80%时,球内空气的温度T2 为多少? (2)当热气球在离地较近的空中悬停时, 球内空气的温度T3 等于多少? 图3 3.如图3所示,用一 个气球 B 套在壁厚可忽 略的玻璃瓶A 上模拟鱼 鳔结构,A、B 之间可通过 阀门进 行 气 体 交 换。初 始时阀门关闭,一细线一 端连接装置,另一端固定 在水底,装置静止在距离水面 H 处,此时细 线恰好无拉力,气球B 内封闭气体的质量为 m,体积为V,气球B 内气体的压强与所在处 外界压强相等。已知当细线的拉力等于装置 的总重力时细线恰好会断裂,A、B 内为同种 气体且温度保持不变,水的密度为ρ,重力加 速度为g,大气压强为p0,玻璃瓶A 内封闭 气体的初始压强为p1,体积为V0,装置自身 的高度可以忽略不计。打开阀门,玻璃瓶 A 中部分气体充入气球B,使得气球B 慢慢膨 胀(内部压强始终等于所在处外界压强)。 求: (1)当细线刚好断裂时,向气球B 中充 入的气体质量Δm。 (2)当细线刚好断裂时,玻璃瓶 A 内封 闭气体的压强p2。 图4 4.农村常用来喷洒 农药的压缩喷雾器的结 构如图4所示。容器 A 的容积为7.5 L,装入药 液后,药液上方空气的压 强为1×105 Pa,体积为 1.5 L。关闭阀门,用打 气筒B 每次打进1×105 Pa的空气0.25 L (所有过程气体温度保持不变)。则: (1)要使药液上方气体的压强为4× 105 Pa,打气筒B 应打几次? (2)当容器A 中有4×105 Pa的空气后, 打开阀门可喷洒药液,直到不能喷洒时,容器 A 中剩余药液的体积为多少? (3)要使药液全部喷完,最初打气筒 B 应打几次? 参考答案:1.(1)Tmin=400 K;(2)a= 1.32 m/s2。 2.(1)T2=375 K;(2)T3=450 K。 3.(1)Δm= V+V0 V m ;(2)p2=p1-(p0+ ρgH) V V0 +1 。 4.(1)n=18次;(2)ΔV=1.5 L;(3)N= 24次。 (责任编辑 张 巧) 7 知识篇 高考真题之赏析 高考理化 2024年5月