5.成对数据的统计分析单元模拟卷-《中学生数理化》高二数学2024年5月刊

成对数据的统计分析单元模拟卷 ■河南省南乐一中 吉晓波 一、单选题(本题共8小题,每小题5分, 共40分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。) 1.在 一 组 样 本 数 据 (x1,y1),(x2, y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn 不全相 等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i= 1,2,…,n)都在直线y=- 2 5x+1 上,则这 组样本数据的样本相关系数为( )。 A.-1 B.- 2 5 C. 2 5 D.1 图1 2.已知变量x,y 有相关 关系,由观测数据得到的样本 数据散点图如图1所示,则该 组观测数据中y 关于x 的回 归方程可能是( )。 A.y=2ln x+5 B.y=ex-0.5 C.y=-3x2+4x+0.5 D.y=x3-x+0.5 3.表1表示2017年~2022年我国的新 生儿数量(单位:万人)。 表1 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码x 1 2 3 4 5 6 新生儿数量y1 7231 5231 4651 2001 062 956 经研究发现新生儿数量与年份代码之间 满足线性相关关系,且ŷ=-156.66x+̂a,据 此预测2024年新生儿数量约为( )(精确 到0.1)。(参考数据:∑ 6 i=1 yi=7 929) A.617万 B.791.1万 C.800.2万 D.616万 4.假设有两个变量X 和Y,它们的取值分别 为{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列联表如表2所示。 表2 Y X y1 y2 x1 a b x2 c d 根据以下选项中的数据计算χ2 的值,其 中χ2 最大的一组为( )。 A.a=60,b=50,c=40,d=30 B.a=60,b=40,c=50,d=30 C.a=40,b=30,c=50,d=60 D.a=30,b=40,c=50,d=60 5.已知某研究机构对某个问题进行研究 得到一组统计数据,如表3所示。 表3 xi 1 2 3 4 yi ln 2.9ln 5.1ln 6.9ln 9.1 由这些数据求得回归曲线方程为 ŷ= ln(bx+0.9)。 当x=5时,y 的预测值可能为( )。 A.ln 10 B.ln 10.9 C.ln 11.1 D.ln 11.4 6.已知变量x 和y 满足关系y=-x+ 1,变量y 与z正相关,则( )。 A.x 与y 负相关,x 与z负相关 B.x 与y 正相关,x 与z正相关 C.x 与y 正相关,x 与z负相关 D.x 与y 负相关,x 与z正相关 7.用模型y=aekx 拟合一组数据组(xi, yi)(i=1,2,3,…,7),其中x1+x2+…+x7 =14,设z=ln y,变换后的线性回归方程为 ẑ=x+1,则y1y2…y7=( )。 A.e35 B.e21 C.35 D.21 8.下列有关回归分析的说法正确的是( )。 A.样本相关系数r越大,则两个变量的 相关性就越强 B.回归直线就是散点图中经过样本数据 点最多的那条直线 C.回归直线方程不一定过样本中心点 (x,y) D.回归分析中,样本相关系数r<0,说 明两个变量是负相关关系 二、多选题(本题共3小题,每小题6分, 共18分。在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求,全部选对的得6分,部分选对得 部分分,有选错的得0分。) 81 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年5月 9.下列四个表述中,正确的是( )。 A.设有一个回归直线方程为ŷ=3-5x,若 变量x增加1个单位,则y平均增加5个单位 B.在残差图中,残差点分布的水平带状 区域越窄,说明模型的拟合精度越高 C.在一个2×2列联表中,根据表中数据 计算得到 K2 的观测值k,若k 的值越大,则 认为两个变量间有关的把握就越大 D.具有相关关系的两个变量x,y 的相 关系数为r,那么|r|越接近于0,则x,y 之间 的线性相关程度越高 10.已知变量x,y 之间的经验回归方程为 ŷ=- 5 6x+̂a ,且变量x,y的数据如表4所示。 表4 x 5 6 8 12 14 y 10 8 6 5 1 则下列说法正确的是( )。 A.变量x,y 之间负相关 B.̂a=13 C.当x=3时,可估计y 的值为11 D.当x=8时,残差为-1 11.计算机显示的数字图像是由一个个小 像素点组合而成的。处理图像时,常会通过批 量调整各像素点的亮度,间接调整图像的对比 度、饱和度等物理量,让图像更加美观。特别 地,当图像像素点规模为1行n+1列时,设第i 列像素点的亮度为xi,则该图像对比度计算公 式为C{xi}= 1 n∑ n i=1 (xi-xi+1)2。已知某像素点规 模为1行n+1列的图像第i列像素点的亮度 xi∈[0,9](i=1,2,…,n+1),现对该图像进行 调整,有两种调整方案:①yi=axi+b(a>0,b> 0,i=1,2,…,n+1);②zi=clg(xi+1)(c>0, i=1,2,…,n+1),则( )。 A.使用方案①调整,当b=9时,yi>xi (i=1,2,…,n+1) B.使用方案②调整,当c=9时,zi<xi (i=1,2,…,n+1) C.使用方案①调整,当C{xi}<C{yi}时, a>1 D.使 用 方 案②调 整,当 xi= 9(i-1) n (i=1,2,…,n+1),c≤ln10时,C{xi}<C{zi} 三、填空题(本题共3小题,每小题5分, 共15分。) 12.垃圾分类是保护环境,改善人居环 境,促进城市精细化管理,保障可持续发展的 重要举措。某小区为了倡导居民对生活垃圾 进行分类,对垃圾分类后处理垃圾x(kg)所 需的费用y(角)的情况作了调研,并统计得 到表5中几组对应数据,同时用最小二乘法 得到y关于x的线性回归方程为ŷ=0.62x+ 0.68,则下列正确说法的序号是 。 表5 x 2 3 4 5 y 2 2.3 3.4 m ①变量x,y 之间呈正相关关系; ②可以预测当x=10时,y的值为6.88; ③表中m 的值为3.9; ④样本中心点为(3.5,2.85)。 13.有两个分类变量x 和y,其中一组观 测值为表6所示的2×2列联表。 表6 y1 y2 总计 x1 a 15-a 15 x2 20-a30+a 50 总计 20 45 65 其中a,15-a 均为大于5的整数,则当 a= 时,在犯错误的概率不超过0.01的 前提下为“x 和y 之间有关系”。 附:χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 。 表7 α 0.10 0.05 0.0250.0100.005 xα 2.7063.8415.0246.6357.879 14.害虫防控对于提高农作物产量具有 重要意义。已知某种害虫产卵数y(单位: 个)与温度x(单位:℃)有关,测得一组数据 (xi,yi)(i=1,2,…,20),可用模型y=c1e c2x 进行拟合,利用z=ln y 变换得到的线性回 归方 程 为 ẑ=0.3x+â。若 ∑ 20 i=1 xi =600, ∑ 20 i=1 ln yi=120,则c1 的值为 。 91 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年5月 四、解答题(本小题共5题,共计77分。 解答时写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 15.(本小题13分)某连锁购物中心在 2023年12月31日隆重开业,该购物中心随 机调查统计了连续8天的客流量y(单位:百 人),如表8所示。 表8 日期 12月31日1月1日1月2日1月3日1月4日1月5日1月6日1月7日 日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 客流量y 16.6 18.8 22 24.9 28.6 33.1 38.9 46.3 (1)由表中数据知,可用线性回归模型拟 合y 与x 之间的关系,请用相关系数加以说 明。(结果精确到0.01) (2)求y 关于x 的线性回归方程ŷ= b̂x+̂a(系数精确到0.01,并用精确后的b̂的 值计算â 的值),并预测1月9日的客流量。 (预测结果精确到0.1) 参 考 公 式: 相 关 系 数 r = ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2∑ n i=1 (yi-y)2 ,线 性 回 归 方 程 ŷ= b̂x+̂a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分 别为b̂= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2 ,̂a=y-̂bx。 参考数据:y=28.65,∑ 8 i=1 (xi-x)2=42, ∑ 8 i=1 (yi-y)2=736.9,∑ 8 i=1 (xi-x)(yi-y)= 172.7,4.2≈2.05,7 369≈85.84。 16.(本小题15分)某地政府为解除空巢 老人日常护理和社会照料的困境,大力培育 发展养老护理服务市场。从2017年开始新 建社区养老机构,表9为该地区近7年新建 社区养老机构的数量对照表。 表9 年份 2017201820192020202120222023 年份代码(x) 1 2 3 4 5 6 7 新建社区养老机构(y)y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 (1)若该地区参与社区养老的老人的年龄 X 近似服从正态分布N(70,16),其中年龄X∈ (78,82]的有54人,试估计该地参与社区养老的 老人有多少。(结果按四舍五入取整数) (2)已知变量x与y之间的样本相关系数 r= 7 4 ,请求出y 关于x 的线性回归方程ŷ= b̂x+̂a,并据此估计2024年该地区新建社区养 老机构的数量。(结果按四舍五入取整数) 参考公式与数据:①̂b= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2 , r= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2· ∑ n i=1 (yi-y)2 ; ②若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ- σ≤X≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ≤X≤μ+ 2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 4; ③∑ 7 i=1 (yi-y)2=225,∑ 7 i=1 y2i=1 597。 17.(本小题15分)当前,人工智能技术 以前所未有的速度迅猛发展,并逐步影响我 们的方方面面,人工智能被认为是推动未来 社会发展和解决人类面临的全球性问题的重 要手段。某公司在这个领域逐年加大投入, 以下是近年来该公司对产品研发年投入额x (单位:百万元)与其年销售量y(单位:千件) 的数据统计表(表10)。 表10 x 1 2 3 4 5 6 y 0.5 1 1.5 3 6 12 z=ln y -0.7 0 0.4 1.1 1.8 2.5 (1)公司拟分别用①y=bx+a 和②y= enx+m 两种方案作为年销售量y 关于年投入 额x 的回归分析模型,请根据已知数据,确定 方案①和②的经验回归方程。(a,b,m,n 计 算过程保留到小数点后两位,最后结果保留 到小数点后一位。) (2)根据表11中数据,用决定系数 R2 (只需比较出大小)比较两种模型的拟合效果 哪种更好,并选择拟合精度更高的模型,预测 年投入额为7百万元时,产品的销售量是多少。 表11 经验回归方程 y=bx+a y=enx+m 残差平方和∑ 6 i=1 (yi-̂yi) 2 18.29 0.65 02 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年5月 参 考 公 式 及 数 据: b̂ = ∑ n i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) ∑ n i=1 (xi-􀭺x)2 ,̂a=􀭵y-b̂􀭺x,R2=1- ∑ n i=1 (yi-̂yi)2 ∑ n i=1 (yi-􀭵y)2 ,∑ 6 i=1 xiyi=121,∑ 6 i=1 x2i=91,∑ 6 i=1 xizi =28.9,􀭵z= 1 6 (-0.7+0+0.4+1.1+1.8+ 2.5)=0.85,e2.8≈16.5, e3≈20.1。 18.(本小题17分)某企业为确定下一年 度投入某种产品的生产所需的资金,需了解 每投入2千万资金后,工人人数x(单位:百 人)对年产能y(单位:千万元)的影响,对投 入的人力和年产能的数据作了初步处理,得 到散点图(图2)和统计量表(表12)。 表12 x y ln y 1 x ∑ n i=1 (xi-x) 2 ∑ n i=1 1 xi - 1 x 2 5.8253.612-0.1541.077 328 27.87 ∑ n i=1 (xi-x)· (yi-y) ∑ n i=1 1 xi - 1 x · (ln yi-ln y) ∑ n i=1 (xi-x)· (ln yi-ln y) 150.80 -55.74 126.56 (1)根据散点图判断y=a+bln x 与y =e b x+a 哪一个适宜作为年产能y 关于投入的 人力x 的回归方程类型,并说明理由。 图2 (2)根据(1) 的判断结果及相 关的计算数据, 建 立 y 关 于 x 的回归方程。 (3)现 该 企 业共有2 000名生产工人,资金非常充足,为 了使得年产能达到最大值,则下一年度共需 投入多少资金(单位:千万元)? 附注:对于一组数据(s1,t1),(s2,t2), …,(sn,tn),其回归直线t=bs+a 的斜率和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别 为 b̂ = ∑ n i=1 (si-s)(ti-t) ∑ n i=1 (si-s)2 ,̂a=t-̂bs。f(x)=e b x+a 的导函数为f'(x)= -b·e b x+a x2 。 19.(本小题17分)某校20名学生的数 学成绩xi(i=1,2,…,20)和知识竞赛成绩 yi(i=1,2,…,20)如表13所示。 表13 学生编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩xi 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛成绩yi29016022020065 70 90 100 60 270 学生编号i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩xi 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛成绩yi 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 计算可得数学成绩的平均值x=75,知 识竞赛成绩的平均值y=90,并且∑ 20 i=1 (xi-x)2= 6 464,∑ 20 i=1 (yi-y)2=149 450,∑ 20 i=1 (xi-x)·(yi- y)=21 650。 (1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛 成绩的样本相关系数(精确到0.01)。 (2)设N∈N*,变量x 和变量y 的一组 样本数据为{(xi,yi)|i=1,2,…,N},其中 xi(i=1,2,…,N)两两不相同,yi(i=1,2, …,N)两两不相同。记xi 在{xn|n=1,2, …,N}中的排名是第Ri 位,yi 在{yn|n=1, 2,…,N}中的排名是第Si 位,i=1,2,…, N。定义变量x 和变量y 的“斯皮尔曼相关 系数”(记为ρ)为变量x 的排名和变量y 的 排名的样本相关系数。 (i)记di=Ri-Si,i=1,2,…,N,证明: ρ=1- 6 N(N2-1) ∑ N i=1 d2i; (i)用(i)的公式求得这组学生的数学成 绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约 为0.91,简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线 性相关性时的优势。 参考公式与参考数据: r= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2∑ n i=1 (yi-y)2 ; ∑ n k=1 k2= n(n+1)(2n+1) 6 ; 646 4×149 450≈310 00。 (责任编辑 徐利杰) 12 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年5月 一、单选题 1.A 提示:因为所有样本点(xi,yi)(i =1,2,…,n)都在直线y=- 2 5x+1 上,所 以它们负相关,相关系数为-1。选A。 2.D 提示:由散点图可知,所求回归方 程先减后增,选项A,B均为定义域上的增函 数,不符合题意。 选项C中的函数图像为开口向下的抛物 线,不符合题意。 选项D中的函数图像增减性与散点图符 合题意,故D正确。 3.A 提 示:由 题 意 得 x=3.5,y= 7 929 6 =1 321.5。 所以â=y+156.66×3.5=1 321.5+ 548.31=1 869.81,̂y=-156.66x+1 869.81。 当x=8时,̂y=-156.66×8+1 869.81 =616.53≈617。故选A。 4.C 提 示:对 于 选 项 A,χ21 = 180×(60×30-50×40)2 110×70×100×80 = 9 77 。 选项 B,χ22= 180×(60×30-40×50)2 100×80×110×70 = 9 77 。 选项 C,χ23= 180×(40×60-30×50)2 70×110×90×90 = 180 77 。 选项 D,χ24= 180×(30×60-40×50)2 70×110×80×100 = 9 77 。 显然χ23 最大,选C。 5.C 提示:不妨设t=bx+0.9,则̂y=ln t。 所 以 x = 1+2+3+4 4 =2.5 ,t = 2.9+5.1+6.9+9.1 4 =6 。 因为(x,t)在t=bx+0.9上,所以6= b×2.5+0.9,解得b=2.04。 故ŷ=ln(2.04x+0.9)。当x=5时, ŷ=ln(2.04×5+0.9)=ln 11.1。选C。 6.A 提示:已知变量x 和y满足关系y =-x+1,变量y与z正相关,由正相关、负相 关的定义可知x与y负相关,x与z负相关。 7.B 提 示:由 题 意 得 x = x1+x2+…+x7 7 =2 ,故z=x+1=3。 即ln y1+ln y2+…+ln y7=3×7=21, 故ln(y1y2…y7)=21,y1y2…y7=e21。选B。 8.D 提示:两个变量的相关性越强,相 关系数r越接近1或-1,选项A不正确。回 归直线是基于样本数据使残差平方和最小的 拟合直线,选项B不正确。由回归直线方程 一定过样本中心点(x,y),选项C不正确。 当相关系数r>0时,两个变量正相关;当 r<0时,两个变量负相关,故选项D正确。 二、多选题 9.BC 提示:A选项,因为ŷ=3-5x, 所以变量x 增加1个单位,y 平均减少5个 单位,故A错误。 B选项,在残差图中,残差点分布的水平 带状区域越窄,说明波动越小,即模型的拟合 精度越高,故B正确。 C选项,观测值k越大,则认为两个变量 间有关的把握就越大,故C正确。 D选项,|r|越接近于1,则x,y 之间的 线性相关程度越高,故D错误。 10.AC 提示:对于A选项,由- 5 6<0 , 可得变量x,y 之间负相关,故A正确。 对于B选项,x= 1 5× (5+6+8+12+ 14)=9,y= 1 5× (10+8+6+5+1)=6。 将x=9,y=6代入经验回归方程,得 54 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年5月 6=- 5 6×9+̂a ,则â= 27 2 ,故B错误。 对于C选项,易得y=- 5 6x+ 27 2 ,当 x=3时,y=- 5 6×3+ 27 2=11 ,故C正确。 对于D选项,当x=8时,y=- 5 6×8+ 27 2= 41 6 ,残差为6- 41 6=- 5 6 ,故D错误。 11.AC 提示:使用方案①调整:当b=9 时,yi=axi+9且a>0。 又xi∈[0,9],则yi>xi,A正确。 C{xi}= 1 n∑ n i=1 (xi-xi+1)2,C{yi}= a2 n∑ n i=1 (xi- xi+1)2,当C{xi}<C{yi}时, a2 n> 1 n 。 又a>0,且n∈R*,可得a>1,C正确。 使用方案②调整:当c=9时,zi=9lg(xi+ 1),显然当xi=9时,zi=9,B错误。 zi=c· ln(xi+1) ln 10 ,而0<c≤ln 10,则t = c ln 10∈ (0,1],故zi=tln(xi+1)。 又xi= 9(i-1) n (i=1,2,…,n+1),故 zi=tln 9i-9+n n ,zi+1=tln9i+nn 。 因 此, zi - zi+1 = tln9i-9+nn -ln9i+nn =tln1- 99i+n 。 易得1- 9 9i+n∈ n n+9 ,10n 10n+9 。 当n=1时,1- 9 9i+n∈ 1 10 ,10 19 ,即 (zi-zi+1)2∈[t2ln2 19 10 ,t2ln2 10],则C{zi}∈ (t2ln2 19 10 ,t2ln2 10)。 此 时 C{xi}= 9 n 2 =81,显 然 存 在 C{xi}>C{zi},D错误。 三、填空题 12.①②④ 提示:对于①,由y 关于x 的线性回归方程为ŷ=0.62x+0.68,可得 0.62>0,即变量x,y 之间呈正相关关系,所 以①正确。 对于②,已知y 关于x 的线性回归方程 为ŷ=0.62x+0.68。当 x=10时,̂y= 0.62×10+0.68=6.88,所以②正确。 对于③,由 表 格 中 的 数 据,可 得 x= 1 4 (2+3+4+5)= 7 2 ,y= 1 4 (2+2.3+3.4+ m)= 7.7+m 4 。 则 7.7+m 4 =0.62× 7 2+0.68 ,解得m= 3.7,③错误。 对于④,x=3.5,y= 7.7+3.7 4 =2.85 , 即样本中心点为(3.5,2.85),④正确。 13.9 提示:由题意知χ2≥6.635。 则 65[a(30+a)-(20-a)(15-a)]2 20×45×15×50 = 13(13a-60)2 5 400 ≥6.635 ,解得a≥8.65或a≤ 0.58。 因为a>5,且15-a>5,a∈Z,所以 8.65≤a<10。又a∈Z,故a=9。 14.e-3 提示:对y=c1e c2x 两边同时取 对数,可得ln y=ln(c1e c2x)=ln c1+ln e c2x= c2x+ln c1,即ẑ=c2x+ln c1=0.3x+̂a。 可得c2=0.3,ln c1=̂a。 由∑ 20 i=1 xi=600,∑ 20 i=1 ln yi=120,可得x= 30,ln y=z=6。 代入ẑ=0.3x+̂a,可得â=-3,即ln c1 =̂a=-3,故c1=e-3。 四、解答题 15.(1)由题意知,x= 1 8× 8×(1+8) 2 = 9 2 。 所 以 相 关 系 数 r = ∑ 8 i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ 8 i=1 (xi-x)2∑ 8 i=1 (yi-y)2 = 172.7 42×736.9 = 172.7 4.2×736 9 ≈ 172.7 2.05×85.84≈0.98 。 因为y 与x 的相关系数r≈0.98,接近 64 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年5月 于1,所以y 与x 的线性相关程度很高,可用 线性回归模型拟合y 与x 之间的关系。 (2)因为b̂= ∑ 8 i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ 8 i=1 (xi-x)2 = 172.7 42 ≈4.11,̂a=y-̂bx≈28.65-4.11× 9 2 ≈ 10.16,所以y 关于x 的线性回归方程为ŷ= 4.11x+10.16。 1月9日对应的日期代码x=10。 当x=10时,̂y=4.11×10+10.16= 51.26≈51.3,所以预测1月9日的客流量约 为51.3百人。 16.(1)由题 意 可 知,μ=70,σ=4,则 78=μ+2σ,82=μ+3σ。 P(78<X≤82) =P(μ+2σ<X≤μ+3σ) = 1 2 [P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)-P(μ- 2σ≤X≤μ+2σ)] ≈ 0.997 4-0.954 4 2 =0.021 5。 因此,估计该地参与社区养老的老人人 数为 54 0.021 5≈2 512。 (2)由 题 中 表 格 的 数 据 可 得 x = 1+2+3+4+5+6+7 7 =4 。 ∑ 7 i=1 (xi-x)2 = (1-4)2 + (2-4)2 + (3-4)2+ (4-4)2 + (5-4)2 + (6-4)2 + (7-4)2=28。 由已知条件可得: r= ∑ 7 i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ 7 i=1 (xi-x)2· ∑ 7 i=1 (yi-y)2 = ∑ 7 i=1 (xi-x)(yi-y) 28× 225 = 7 4 。 故∑ 7 i=1 (xi-x)(yi-y)= 105 2 。 b̂= ∑ 7 i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ 7 i=1 (xi-x)2 = 105 2 28= 15 8 。 又∑ 7 i=1 (yi-y)2=∑ 7 i=1 y2i-7y2=1 597- 7y2=225,显然y≥0,解得y=14。 则â=y-bx=14- 15 8×4= 13 2 。 所以,y 关于x 的回归直线方程为ŷ= 15 8x+ 13 2 。 当x=8时,̂y= 15 8×8+ 13 2=21.5≈22 。 估计到2024年,该地区新建社区养老机 构的数量约为22个。 17.(1)x= 1+2+3+4+5+6 6 =3.5 , y= 0.5+1+1.5+3+6+12 6 =4 。 所 以 b̂= 121-6×3.5×4 91-6×3.52 = 37 17.5 ≈ 2.11,̂a=4- 37 17.5×3.5=-3.40 。 因此,y=2.1x-3.4。 已知y=enx+m,两边取以e为底的对数 得ln y=nx+m,即z=nx+m。 n̂ = 28.9-6×3.5×0.85 91-6×3.52 = 11.05 17.5 ≈ 0.63,̂m=0.85- 11.05 17.5×3.5=-1.36 。 所以z=0.63x-1.36,y=e0.6x-1.4。 (2)∑ n i=1 (yi-􀭵y)2=(0.5-4)2+(1-4)2+ (1.5-4)2+(3-4)2+(6-4)2+(12-4)2= 96.5。 对于y=2.1x-3.4,R21=1- 18.29 96.5 ; 对于y=e0.6x-1.4,R22=1- 0.65 96.5 。 所以②的拟合效果好。 当x=7时,预测值y=e0.6×7-1.4=e2.8≈ 16.5(千件)。 18.(1)由图可知y=e b x+a 适宜作为年产 能y 关于投入的人力x 的回归方程类型。 若选择y=a+bln x,则b>0,此时当x接 近于0时,y必小于0。故选择y=e b x+a 作为年 产能y关于投入的人力x的回归方程类型。 (2)由y=e b x+a,得ln y=b· 1 x+a ,故 74 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年5月 ln y 与 1 x 符 合 线 性 回 归,即 b = ∑ n i=1 1 xi - 1 x (ln yi-ln y) ∑ n i=1 1 xi - 1 x 2 = -55.74 27.87 =-2 。 a=ln y-b· 1 x= (-0.154)-(-2)× 1.077=2。 故ln y=2- 2 x ,y=e -2x+2,y 关于x 的 回归方程y=e -2x+2。 (3)当人均产能达到最大时,年产能也达 到最大。 由(2)可知人均产能函数f(x)= e -2x+2 x 。 故 f'(x)= x· 2 x2 ·e -2x+2-e -2x+2 x2 = (2-x)·e -2x+2 x3 。 当0<x<2时,f'(x)>0; 当x>2时,f'(x)<0。 因此,当x∈(0,2)时,f(x)单调递增; 当x∈(2,+∞)时,f(x)单调递减。 当x=2时,人均产能函数f(x)= e -2x+2 x 达到最大值。 因此,每2千万资金安排2百人进行生 产,人均产能达到最大。 该企业共有2 000名生产工人,且资金 充足,故下一年度应该投入20千万资金进行 生产,使得企业的产能达到最大。 19.(1)由题意知,这组学生数学成绩和 知识竞赛成绩的样本相关系数: r = ∑ 20 i (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) ∑ 20 i (xi-􀭺x)2∑ 20 i (yi-􀭵y)2 = 21 650 6 464×149 450 ≈ 21 650 31 000≈0.70 。 (2)(i)证明:因为{Ri}和{Si}都是1, 2,…,N 的一个排列,所以: ∑ N i=1 Ri=∑ N i=1 Si= N(N+1) 2 ,∑ N i=1 R2i=∑ N i=1 S2i = N(N+1)(2N+1) 6 。 从而{Ri}和{Si}的平均数都是􀭺R=􀭺S= N+1 2 。 因此,∑ N i=1 (Ri-􀭺R)2=∑ N i=1 R2i-2􀭺R∑ N i=1 Ri+ ∑ N i=1 􀭺R2=∑ N i=1 R2i-N􀭺R2= N(N+1)(2N+1) 6 - N(N+1)2 4 = N(N+1)(N-1) 12 。 同理可得,∑ N i=1 (Si-􀭺S)2 = N(N+1)(N-1) 12 。 ∑ N i=1 d2i=∑ N i=1 (Ri-Si)2 =∑ N i=1 (Ri-􀭺R)-(Si-􀭺S) 2 =∑ N i=1 (Ri-􀭺R)2+∑ N i=1 (Si-􀭵S)2-2∑ N i=1 (Ri- 􀭺R)(Si-􀭺S) =2· N(N+1)(N-1) 12 -2∑ N i=1 (Ri-􀭺R)· (Si-􀭺S)。 所以ρ= ∑ N i=1 (Ri-􀭺R)(Si-􀭺S) ∑ N i=1 (Ri-􀭺R)2 ∑ N i=1 (Si-􀭺S)2 = N(N+1)(N-1) 12 - 1 2∑ N i=1 d2i N(N+1)(N-1) 12 =1- 6 N(N2-1) ∑ N i=1 d2i。 (i)这组学生的数学成绩和知识竞赛成 绩的斯皮尔曼相关系数是0.91。 理由①:斯皮尔曼相关系数对于异常值 不太敏感,如果数据中有明显的异常值,那么 用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能 刻画某种线性关系; 理由②:斯皮尔曼相关系数刻画的是样 本数据排名的样本相关系数,与具体的数值 无关,只与排名有关。如果一组数据有异常 值,但排名依然符合一定的线性关系,则可以 采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系。 (责任编辑 徐利杰) 84 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年5月