4.条件概率与全概率，贝叶斯公式的应用探析-《中学生数理化》高二数学2024年5月刊

■福建师范大学泉州附属中学 纪建灵 ■福建省泉州市第七中学 彭耿铃 在概率论与数理统计中,有三个相当重 要的公式:条件概率、全概率公式与贝叶斯公 式。然而很多同学对这三个公式感到迷茫, 一是不知道公式背后的意义所在,二是不知 道这些冰冷的公式能有什么现实应用! 下面 就这三个公式进行探析,帮助同学们解决这 些困惑,使大家掌握此类问题的解题策略,以 便在考试中游刃有余。 一、条件概率 (1)概念:一般地,设A,B 为两个随机事 件,且P(A)>0,我们称P(B|A)= P(AB) P(A) 为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条 件概率,简称条件概率。 (2)公式:①利用古典概型,P(B|A)= n(AB) n(A) ;②概率的乘法公式,P(AB)=P(A)· P(B|A);③如果B 和C 是两个互斥事件, 那么P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);④ 设B 和B 互为对立事件,则P(B|A)=1- P(B|A)。 例 1 对标有不同编号的6件正品和 4件次品进行检测,不放回地依次摸出2件。 在第一次摸出次品的条件下,第二次摸到正 品的概率是( )。 A. 3 5 B. 2 5 C. 5 9 D. 2 3 解析:记A=“第一次摸出的是次品”,B =“第二次摸到的是正品”。由题意知,P(A) = 4 10= 2 5 ,P(AB)= 4 10× 6 9= 4 15 。 则P(B|A)= P(AB) P(A)= 4 15 2 5 = 2 3 ,选D。 例 2 已知盒中装有3个红球、2个白 球、5个黑球,它们大小形状完全相同,现需1 个红球,甲每次从中任取1个球且不放回,则 在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到 红球的概率为( )。 A. 3 10 B. 1 3 C. 3 8 D. 2 9 解析:设A={甲第一次拿到白球},B= {甲第二次拿到红球},则P(AB)= A12A13 A210 = 1 15 ,P(A)= C12 C110 = 1 5 。 所以P(B|A)= P(AB) P(A)= 1 3 ,选B。 小结:求条件概率的常用方法如下。 (1)定义法:P(B|A)= P(AB) P(A) ;(2)样 本点法:P(B|A)= n(AB) n(A) ;(3) 缩样法:去 掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用 古典概型求解;(4)P(B∪C|A)=P(B|A)+ P(C|A),B 与C 必须互斥,并且都是在同一 个条件A 下。 例 3 在某次考试中,要从20道题中 随机地抽出6道题。规定:考生至少能答对 其中的4道题才可通过;考生至少能答对其 中5道题才可获得优秀。已知某考生能答对 20道题中的10道题,并且知道他在这次考 试中已经通过,求他获得优秀的概率。 解析:设A=“该考生6道题全答对”,B =“该考生答对了其中5道题,另一道答错”, C=“该考生答对了其中4道题,而另2道题 答错”,D=“该考生在这次考试中通过”,E= “该考生在考试中获得优秀”,则 A,B,C 两 两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B。 由古典概型计算概率的公式及概率的加 法公式可知: P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+ 41 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年5月 P(C)= C610 C620 + C510C110 C620 + C410C210 C620 = 12 180 C620 , P(AD)=P(A),P(BD)=P(B)。 P(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+ P(B|D)= P(AD) P(D)+ P(BD) P(D)= P(A) P(D)+ P(B) P(D)= C610 C620 12 180 C620 + C510C110 C620 12 180 C620 = 13 58 。 小结:利用条件概率性质的解题策略如下。 (1)分析条件,选择公式:先看事件B,C 是否互斥,若互斥,则选择公式P(B∪C|A) =P(B|A)+P(C|A); (2)分解计算,代入求值:为了求比较复 杂事件的概率,一般先把它分解成两个或若 干个互不相容的较简单的事件之和,求出这 些简单事件的概率,再利用概率的加法公式 求得复杂事件的概率。 二、全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An 是一组两两互 斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai) >0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω, 有P(B)=∑ n i=1 P(Ai)P(B|Ai)。 事件A 的发生有各种可能的原因Bi(i =1,…,n),若A 是由原因Bi 引起的,则 A 发生的概率为P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)。 每一个原因都可能导致A 发生,故A 发生的 概率是全部原因引起A 发生的概率总和,即 为全概率公式。 由此可以形象地把全概率公式看成是 “由原因推结果”的公式,每个原因对结果的 发生有一定的作用,结果发生的可能性与各 种原因的作用大小有关,全概率公式表达了 它们之间的关系。 例 4 某保险公司将公司的被保险人 分为三类:“谨慎的”“一般的”“冒失的”。统 计资料表明,这三类人在一年内发生事故的 概率依次为0.05,0.15,0.30。若该保险公 司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%, “一般的”被保险人占50%,“冒失的”被保险 人占30%,则该保险公司的一个被保险人在 一年内发生事故的概率是( )。 A.0.155 B.0.175 C.0.016 D.0.096 解析:设事件B1 表示“被保险人是‘谨慎 的’”,事件B2 表示“被保险人是‘一般的’”, 事件 B3 表示“被保 险 人 是‘冒 失 的’”,则 P(B1)=20%,P(B2)=50%,P(B3)= 30%。设事件A 表示“被保险人在一年内发 生事故”,则P(A|B1)=0.05,P(A|B2)= 0.15,P(A|B3)=0.30。 由全概率公式,得P(A)=∑ 3 i=1 (Bi)P(A|Bi) =0.05×20%+0.15×50%+0.30×30%= 0.175,选B。 例 5 某考生回答一道四选一的考题, 假设他知道正确答案的概率为0.5,知道正 确答案且答对的概率为100%,不知道正确 答案但能猜对的概率为0.25,那么他答对题 目的概率为( )。 A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0.1 解析:用 A 表示事件“考生答对了”,用 B 表示“考生知道正确答案”,用B 表示“考 生不知道正确答案”。 则P(B)=0.5,P(B)=0.5,P(A|B) =100%,P(A|B)=0.25。 因此,P(A)=P(AB)+P(AB)= P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)=1×0.5+ 0.25×0.5=0.625。选A。 例 6 假设某市场供应的智能手机中, 市场占有率和优质率的信息如表1所示。 表1 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机,求买 到的是优质产品的概率。 解析:用A1、A2、A3 分别表示买到的智 能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌,B 表示 买到的是优质品,则 Ω=A1∪A2∪A3,且 A1,A2,A3 两两互斥。 依据题意可得 P(A1)=0.5,P(A2)= 51 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年5月 0.3,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.95, P(B|A2)=0.9,P(B|A3)=0.7。 由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1) +P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)= 0.5×0.95+0.3×0.9+0.2×0.7=0.885。 例 7 设某工厂有两个车间生产同型 号家用电器,第一车间的次品率为0.15,第 二车间的次品率为0.12,两个车间的成品都 混合堆放在一个仓库。假设第一,二车间生 产的成品比例为2∶3,有一位客户从成品仓 库中随机提1台产品,求该产品合格的概率。 解析:设B=“从仓库中随机提出的1台 是合格品”,A1=“提出的1台是第一车间生产 的产品”,A2=“提出的1台是第二车间生产的 产品”,则Ω=A1∪A2,且A1 与A2 互斥。 故B=A1B∪A2B。 由题 意 知 P(A1)= 2 5 ,P(A2)= 3 5 , P(B|A1)=0.85,P(B|A2)=0.88。 由全概率公式得: P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)· P(B|A2)= 2 5×0.85+ 3 5×0.88=0.868 。 小结:利用全概率公式的解题策略如下。 (1)按照确定的标准,将一个复杂事件分 解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n); (2)求P(Ai)和所求事件B 在各个互斥 事件Ai 发生条件下的概率P(Ai)P(B|Ai); (3)代入全概率公式计算求解。 三、贝叶斯公式 设A1,A2,…,An 是一组两两互斥的事 件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i= 1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)> 0,有 P (Ai|B)= P(Ai)P(B|Ai) P(B) = P(Ai)P(B|Ai) ∑ n k=1 P(Ak)P(B|Ak) ,i=1,2,…,n。 贝叶斯公式的意义:在事件B 已经发生 的条件下,贝叶斯公式可用来寻找导致B 发 生的各种“原因”Ai 发生的概率。 例 8 某人到武汉参加会议,他乘火 车、轮船、汽车或飞机去的概率分别为0.2, 0.1,0.3,0.4。如果他乘火车、轮船、汽车前 去参加会议,那么迟到的概率分别为1 3 ,1 12 和 1 4 ,乘飞机不会迟到。结果他迟到了,求他乘 汽车去的概率。 解析:设A=“迟到”,B1=“乘火车”,B2 =“乘轮船”,B3=“乘汽车”,B4=“乘飞机”。 根据题意知,P(B1)=0.2,P(B2)= 0.1,P(B3)=0.3,P(B4)=0.4,P(A|B1)= 1 3 ,P (A|B2)= 1 12 ,P (A|B3)= 1 4 , P(A|B4)=0。 由贝叶斯公式,得: P(B3|A)= P(A|B3)P(B3) ∑ 4 i=1 P(A|Bk)·P(Bk) = 1 4×0.3 1 3×0.2+ 1 12×0.1+ 1 4×0.3+0×0.4 = 0.075 0.15=0.5 ,即他乘汽车去的概率为 0.5。 例 9 用甲胎蛋白法普查肝癌,令C= “被检验者患肝癌”,A=“甲胎蛋白检验呈阳 性”,C=“被检验者未患肝癌”,A=“甲胎蛋 白检验呈阴性”,由资料知,P(A|C)=0.95, P(A|C)=0.90。已知某地居民肝癌发病率 P(C)=0.000 4,在普查中查出一批甲胎蛋 白检验呈阳性的人,求这批人中真的患肝癌 的概率P(C|A)。 解析:由贝叶斯公式得: P(C|A)= P(C)P(A|C) P(C)P(A|C)+P(C)P(A|C) = 0.000 4×0.95 0.000 4×0.95+0.999 6×0.1 ≈0.003 8,所以这批人中真的患肝癌的 概率为0.003 8。 例 10 设某公路上经过的货车与客 车的数量之比为2∶1,货车中途停车修理的 概率为0.02,客车为0.01,今有一辆汽车中 途停车修理,求该汽车是货车的概率。 解析:设B=“中途停车修理”,A1=“经 过的是货车”,A2=“经过的是客车”,则B= 61 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年5月 A1B∪A2B。 由贝叶斯公式得: P(A1|B) = P(A1)P(B|A1) P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) = 2 3×0.02 2 3×0.02+ 1 3×0.01 =0.8。 例 11 某电子设备制造厂所用的元 件是由三家元件制造厂提供的,根据以往的 记录得到的数据,如表2所示。 表2 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 假设这三家元件制造厂的产品在仓库中 是均匀混合放地,且无区别的标志。 (1)在仓库中随机地取1个元件,求它是 次品的概率; (2)在仓库中随机地取1个元件,若已知 取到的是次品,为分析此次品出自何厂,请求 出此次品由三家元件制造厂生产的概率分别 是多少,并估计来自哪家元件制造厂的可能 性最大。 解析:设B=“取到的是1个次品”,Ai= “所取到的产品是由第i家元件制造厂提供 的(i=1,2,3)”。则 A1∪A2∪A3=Ω,且 A1,A2,A3 两两互斥。 由题 意 得 P(A1)=0.15,P(A2)= 0.80,P(A3)=0.05,P(B|A1)=0.02, P(B|A2)=0.01,P(B|A3)=0.03。 (1)由全概率公式得P(B)=P(B|A1)· P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)· P(A3)=0.012 5。 (2)由 贝 叶 斯 公 式 得 P (A1|B)= P(B|A1)P(A1) P(B) =0.24 ,P (A2|B)= P(B|A2)P(A2) P(B) =0.64 ,P (A3|B)= P(B|A3)P(A3) P(B) =0.12 。 所以这个次品来自第2家元件制造厂的 可能性最大。 小结:(1)怎样应用全概率公式和贝叶斯 公式:如果所求事件的概率是由多个原因引 起的,此时,应用全概率公式。如果所求概率 为条件概率 P(A|B),而 B 由多个原因引 起,此时应用贝叶斯公式。 (2)条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 之间的关系: 全概率公式问题的精髓是将复杂问题简 单化,全概率公式问题的关键是找到划分(完 备事件组) ,贝叶斯公式其实就是全概率公 式的一种变形,它与全概率公式是互逆应用 的。当结果发生了,求某个原因的概率就用 贝叶斯公式。在全概率公式中,全概率公式 就是一个“原因推结果”的过程;但贝叶斯公 式却恰恰相反,贝叶斯公式就是一个“结果推 原因”的过程。 对于概率与统计的内容,条件概率与全 概率、贝叶斯公式是一章全新的内容,强调考 查同学们的阅读理解能力、抽象概括能力和 运算能力,试题更加关注新课标要求和新教 材特点,着重考查概率基本概念以及概率思 想的理解与应用,同时也考查了数据处理能 力及应用意识。因此,同学们要善于从普通 语言中捕捉概念信息,读题提取关键信息,分 析题意形成解题思路,才能充分发挥解题的 效益。 注:本文为福建省泉州市鲤城区教育科 学“十四五”规划课题“以问题解决为导向的 中学数学教学模式研究”的研究成果之一,课 题编号:LCJG1452-012。 (责任编辑 徐利杰) 71 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年5月