2.数据分析视角下高考概率与统计试题特征——以2023年高考概率与统计试题为例-《中学生数理化》高二数学2024年5月刊

■湖北省汉川市实验高级中学 谢飞平 黎 冲 《普通高中数学课程标准(2017年版)》 将“数据分析”列为高中数学六大核心素养之 一。数据分析是指针对研究对象获得相关数 据,运用统计方法对数据中的有用信息进行 分析和推断,形成知识的过程,主要表现为: 收集数据,整理数据,提取信息,构建模型,对 信息进行分析、推断,获得结论。 概率与统计部分,作为高中数学课程内 容的重要组成部分,是培养学生核心素养的 关键环节。其中,数据分析是概率与统计的 核心,概率与统计是学生数据分析素养发展 的知识载体。 为有效提高数据分析素养,准确探求高 考命题规律,下面结合2023年高考概率与统 计试题,和同学们一起实际感受数据分析视 角下高考概率与统计试题的命题特征。 一、数据分析素养之收集数据 例 1 (2023年新高考全国Ⅱ卷第3 题)某学校为了解学生参加体育运动的情况, 用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调 查,拟从初中部和高中部共抽取60名学生, 已知该校初中部和高中部分别有400名和 200名学生,则不同的抽样结果共有( )。 A.C45400·C15200 种 B.C20400·C40200 种 C.C30400·C30200 种 D.C40400·C20200 种 解析:因为初中部和高中部分别有400 名和200名学生,所以人数比例为400∶200 =2∶1,需要从初中部抽取40人,高中部抽 取20人。 故不同的抽样结果共有C40400·C20200 种,选D。 例 2 (2023年天津卷理科第13题) 甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的、完全 相同的黑球和白球,总数之比为5∶4∶6。 这三个 盒 子 中 黑 球 占 总 数 的 比 例 分 别 为 40%,25%,50%。现从三个盒子中各取一个 球,取到的三个球都是黑球的概率为 ;将 三个盒子混合后任取一个球,取到白球的概 率为 。 解析:设甲、乙、丙三个盒子中球的个数 分别为5n,4n,6n,则总数为15n。 则甲盒中黑球个数为40%×5n=2n,白 球个数为3n。 乙盒中黑球个数为25%×4n=n,白球 个数为3n。 丙盒中黑球个数为50%×6n=3n,白球 个数为3n。 记“从三个盒子中各取一个球,取到的球 都是 黑 球”为 事 件 A,则 P(A)=0.4× 0.25×0.5=0.05。 记“将三个盒子混合后任取一个球,取到 白球”为事件B,黑球总共有2n+n+3n=6n 个,白球共有9n个,则P(B)= 9n 15n= 3 5 。 点评: 数据分析素养之收集数据主要包 括:能够掌握运用调研、试验和查阅资料等收 集数据的基本方法;根据解题的需要,选择随 机抽样、分层抽样等不同的抽样方法收集数 据;合理运用饼状图、条形图等统计图表对数 据进行直观描述;能够通过统计图表识别数 据的数字特征。 二、数据分析素养之整理数据 图1 例 3 (2023 年上海卷第14题) 根据身高和体重散 点图(图1),下列说 法 正 确 的 是 ( )。 A.身高越高, 体重越重 B.身高越高,体重越轻 8 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年5月 C.身高与体重成正相关 D.身高与体重成负相关 解析:根据散点图可知,散点的分布是从 左下到右上,则身高和体重成正相关。故选 C。 例 4 (2023年天津卷理科第7题)调 查某种群花萼长度和花瓣长度,所得数据如 图2所示,其中相关系数r=0.824 5,下列说 法正确的是( )。 图2 A.花瓣长度和花萼长度没有相关性 B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D.若从样本中抽取一部分,则这部分的 相关系数一定是0.824 5 解析:根据散点的集中程度可知,花瓣长 度和花萼长度有相关性,故A选项错误。 散点的分布是从左下到右上,从而花瓣 长度和花萼长度呈现正相关性,故B选项错 误,C选项正确。 由于r=0.824 5是全部数据的相关系 数,取出来一部分数据,相关性可能变强,也 可能变弱,即取出的数据的相关系数不一定 是0.824 5,故D选项错误。 故选C。 例 5 (2023年上海卷第9题)国内生 产总值(GDP)是衡量地区经济状况的最佳指 标,统计数据显示,某市在2020年经济高质 量增长,GDP逐月增加。已知第一季度的 GDP为231(单位:亿元),第四季度的 GDP 为242(单位:亿元),且四个季度的 GDP中 位数与平均数相同,则该市2020年的 GDP 总额为 。 解析:设第二季度GDP为x 亿元,第三 季度GDP为y 亿元,则231<x<y<242。 因为中位数与平均数相同,所以x+y 2 = 231+x+y+242 4 ,即x+y=473。 因此,该市2020年的GDP总额为231+ x+y+242=946(亿元)。 例 6 (2023年全国乙卷理科第17 题) 某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品 伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每 次配对试验均选用材质相同的两个橡胶产 品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个 用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸 缩率。甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的 伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10)。 试验结果如表1所示。 表1 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545533551522575544541568596548 伸缩率yi 536527543530560533522550576536 记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1, z2,…,z10 的样本平均数为z,样本方差为 s2。 (1)求z,s2; (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸 缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是 否有显著提高(若z≥2 s2 10 ,则认为甲工艺 处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后 的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认 为有显著提高)。 解析:(1)由题意可得: 􀭺x= 545+533+551+522+575+544+541+568+596+548 10 =552.3。 􀭵y= 536+527+543+530+560+533+522+550+576+536 10 =541.3。 􀭵z=􀭺x-􀭵y=552.3-541.3=11。 zi=xi-yi 的值分别为: 9,6,8,-8, 15,11,19,18,20,12。 9 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年5月 s2 = (9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2 10 + (15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2 10 =61。 (2)由(1)知,􀭵z=11,2 s2 10=2 6.1= 24.4,故􀭵z≥2 s2 10 。 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸 缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有 显著提高。 点评:数据分析素养之整理数据主要包 括:能够运用恰当的数学方法处理数据;能够 综合运用数字、文字、 图形、表格等多种形式 描述数据,并认清数据之间的关系;能够利用 相关公式计算样本数据的众数、中位数、平均 数、标准差和方差等数字特征。 三、数据分析素养之构建模型 图3 例 7 (2023年 新高 考 全 国Ⅱ卷 第 19题)某研究小组经 过研究发现某种疾病 的患病者与未患病者 的某项医学指标有明 显差异,经过大量调 查,得到如图3、图4 所示的患病者和未患病者该指标的频率分布 直方图。 图4 利用该指标制定 一个检测标准,需要 确定临界值c,将该指 标大于c的人判定为 阳性,小 于 或 等 于c 的人判定为阴性。此 检测标准的漏诊率是 将患病者判定为阴性 的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判 定为阳性的概率,记为q(c)。假设数据在组 内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事 件发生的概率。 (1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值 c和误诊率q(c); (2)设函数f(c)=p(c)+q(c),当c∈ [95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在 区间[95,105]内的最小值。 解析:(1)依题可知,图3中第一个小矩 形的面积为5×0.002>0.5%,所以95<c< 100,故(c-95)×0.002=0.5%,解得c= 97.5。 q(c)=0.01×(97.5-95)+5×0.002= 0.035=3.5%。 (2)当c∈[95,100]时,f(c)=p(c)+ q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+ 5×0.002 =-0.008c+0.82≥0.02; 当c∈(100,105]时,f(c)=p(c)+q(c) =5×0.002+(c-100)×0.012+(105- c)×0.002=0.01c-0.98>0.02。 故f(c)= -0.008c+0.82,95≤c≤100, 0.01c-0.98,100<c≤105, 且f(c)在区 间[95,105]内的最小值为0.02。 点评:数据分析素养之构建模型主要包 括:能够根据问题的需要,用合适的度量来表 达数据的差异性;合理构建常见的两点分布、 超几何分布、二项分布、正态分布等概率模 型。 四、数据分析素养之分析推断 例 8 (2023年北京卷理科第18题) 为研究某种农产品价格变化的规律,收集得 到该农产品连续40天的价格变化数据,如表 2所示。在描述价格变化时,用“+”表示“上 涨”,即当天价格比前一天价格高;用“-”表 示“下跌”,即当天价格比前一天价格低;用 “0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相 同。 表2 时段 价格变化 第1天到 第20天 -++0---++0+0--+-+00+ 第20天到 第40天 0++0---++0+0+---+0-+ 用频率估计概率。 (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率。 (下转第13页) 01 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年5月 􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕 (上接第10页) (2)假设该农产品每天的价格变化是相 互独立的。在未来的日子里任取4天,试估 计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天 “下跌”、1天“不变”的概率。 (3)假设该农产品每天的价格变化只受 前一天价格变化的影响。判断第41天该农 产品价格“上涨”、 “下跌”和 “不变”的概率估 计值哪个最大。(结论不要求证明) 解析:(1)根据表格数据可知,40天里,有 16个+,即16天是上涨的,根据古典概型的 计算公式,农产品价格上涨的概率为16 40= 0.4。 (2)在这40天里,16天上涨,14天下跌, 10天不变,即上涨,下跌,不变的概率分别是 0.4,0.35,0.25。 于是未来的日子里任取4天,2天上涨,1 天下跌,1天不变的概率是C24×0.42×C12× 0.35×0.25=0.168。 (3)由于第40天处于上涨状态,从前39 次的15次上涨进行分析,上涨后下一次仍上 涨的有4次,概率为 4 15 ;不变的有9次,概率 为 3 5 ;下跌的有2次,概率为 2 15 。 因此估计第41天不变的概率估计值最大。 数据分析素养的提升是学生发展的重要 基石,更是高考的主要考查内容。对于概率 与统计部分内容的复习,同学们要透过现象 看本质,明晰概率意义和统计思想,明确数据 分析的方法,明了高考试题的命题特征,学会 针对不同问题,运用适当的统计或概率模型 解决问题。 (责任编辑 徐利杰) 31 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年5月