1.成对数据的综合考查——高考的新热点-《中学生数理化》高二数学2024年5月刊

成对数据的综合考查——高考的新热点 ■河北省张家口市第二中学 王 潇 从近五年全国卷的考查情况来看,成对 数据的统计相关性、一元线性回归模型和 2×2列联表等知识的综合考查是高考的热 点,主要以解答题形式出现,经常与概率综合 出题,一般难度为中等,也会以选择题、填空 题形式出现。同学们要在复杂的题目描述中 找出数量关系,建立数学模型,并且运用数学 模型才能解决实际问题。 考点一 线性回归模型 求线性回归方程的一般步骤: 例 1 某个餐厅经营了来自盱眙的小 龙虾,这些小龙虾标有等级代码。为得到小 龙虾等级代码数值x 与销售单价y 之间的关 系,经统计得到表1所示的数据。 表1 等级代码数值x 38 48 58 68 78 88 销售单价y(元/kg)16.818.820.822.8 24 25.8 (1)已知销售单价y 与等级代码数值x 之间存在线性相关关系,求y 关于x 的线性 回归方程(系数精确到0.1)。 (2)若该餐厅销售的盱眙小龙虾的等级 代码数值为98,请估计该等级的盱眙小龙虾 销售单价为多少元。 参考公式:对一组数据(x1,y1),(x2,y2),…, (xn,yn),其回归直线ŷ=̂bx+̂a的斜率和截距最 小二乘估计分别为̂b= ∑ n i = 1 xi yi -n􀭵x􀭵y ∑ n i = 1 x2i -n􀭵x2 ,̂a=􀭵y-̂b􀭵x。 参考数据:∑ 6 i = 1 xiyi=8 440,∑ 6 i = 1 x2i = 25 564。 解析:(1)由题意得,x= 1 6 (38+48+ 58+68+78+88)=63。 y= 1 6 (16.8+18.8+20.8+22.8+24+ 25.8)=21.5。 故b̂= 8 440-6×63×21.5 25 564-6×63×63 ≈0.2 ,̂a= y-̂bx=21.5-0.2×63=8.9。 所以线性回归方程为ŷ=0.2x+8.9。 (2)由(1)知当x=98时,y=0.2×98+ 8.9=28.5。 故估计该等级的盱眙小龙虾销售单价为 28.5元。 总结:回归直线过样本点中心(x,y)是 一条重要性质,利用线性回归方程可以估计 总体,帮助同学们分析两个变量的变化趋势。 求线性回归方程的步骤:①依据样本数 据确定两个变量具有线性相关关系;②计算 x,y,∑ n i =1 x2i,∑ n i =1 xiyi 的值;③计算回归系数â, b̂;④写出线性回归方程ŷ=̂bx+̂a。 例 2 中国女排曾经多次成为世界冠 军,铸就了响彻中华的女排精神。看过中国女 排的纪录片后,某大学掀起“学习女排精神,塑 造健康体魄”的年度主题活动,一段时间后,学 生的身体素质明显提高。将该大学近5个月 体重超标的人数进行统计,得到表2。 表2 月份x 1 2 3 4 5 体重超标的人数y 640 540 420 300 200 (1)若该大学体重超标的人数y 与月份 x(月份x 依次为1,2,3,4,5)具有线性相关 关系,请预测从第几个月开始该大学体重超 标的人数降至100人以下。 (2)该大学鼓励学生自发组织各项体育 比赛活动,甲、乙两班同学利用课余时间进行 排球比赛,规定:每一局比赛中获胜方记1 分,失败方记0分,没有平局,首先得3分者 3 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年5月 获胜,比赛结束。假设每局比赛甲班获胜的 概率都是 3 5 。若甲班以1∶0的比分领先,记 X 为到结束比赛时还需要比赛的局数,求 X 的分布列及期望。 附1:回归方程ŷ=̂bx+̂a 中斜率和截距 的最小二乘估计公式分别为: b̂= ∑ n i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) ∑ n i=1 (xi-􀭺x)2 ,̂a=􀭵y-̂b􀭺x。 附2:参考数据∑ 5 i=1 xiyi=5 180,∑ 5 i=1 x2i= 12+22+32+42+52=55。 解析:(1)设线性回归方程为ŷ=̂bx+̂a。 由已知可得􀭺x= 1+2+3+4+5 5 =3 ,􀭵y= 640+540+420+300+200 5 =420 。 所 以 b̂ = ∑ 5 i = 1 xi yi -5􀭺x􀭵y ∑ 5 i = 1 x2i -5􀭺x2 = 5 180-5×3×420 55-5×32 = -112,̂a=􀭵y-̂b􀭺x= 420+112×3=756。 线性回归方程为ŷ=-112x+756。令 -112x+756<100,可得x> 656 112≈5.86 。又 x∈N,故x≥6。 故预测从第6个月开始该大学体重超标 人数降至100人以下。 (2)依题意知X 的可能取值为2,3,4。 P(X=2)= 3 5× 3 5= 9 25 ; P(X=3)=C12× 3 5× 2 5× 3 5+ 2 5× 2 5× 2 5= 44 125 ; P(X=4)=C13 3 5 2 × 25 2 +C13 3 5 × 2 5 3 = 180 625= 36 125 。 所以X 的分布列如表3所示。 表3 X 2 3 4 P 925 44 125 36 125 所以E(X)=2× 9 25+3× 44 125+4× 36 125 = 366 125 。 总结:成对数据分析常与离散型随机变 量综合考查,是高考的一大趋势,而数据分析 考查知识点较少,难度都在计算上,同学们对 于计算要予以高度重视。 例 3 一个企业生产某种产品,通过加 大技术创新投入降低了每件产品成本,为了 调查年技术创新投入x(单位:千万元)对每 件产品成本y(单位:元)的影响,对近10年 的年技术创新投入xi 和每件产品成本yi(i =1,2,3,…,10)的数据进行分析,得到散点 图(图1),并计算得:x=6.8,y=70,∑ 10 i=1 1 xi = 3,∑ 10 i=1 1 x2i =1.6,∑ 10 i=1 yi xi =350。 图1 (1)根据散点图可知,可用函数模型y= b x+a 拟合y 与x 的关系,试建立y 关于x 的回归方程。 (2)已知该产品的年销售额 m(单位:千 万元)与每件产品成本y的关系为m=- y2 500+ 2y 25+ 200 y-10 +100。该企业的年投入成本除 年技术创新投入外,还要投入其他成本10千 万元,根据(1)的结果回答:当年技术创新投 入x 为多少时,年利润的预报值最大? 注:年利润=年销售额-年投入成本。 参考公式:对于一组数据(u1,v1),(u2, v2),…,(un,vn),其回归直线v̂=̂a+̂βu的斜 率和截距的最小二乘估计公式分别为: β̂= ∑ n i=1 uivi-n􀭵u􀭵v ∑ n i=1 u2i-nu2 ,̂α=v-̂βu。 4 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年5月 解析:(1)令u= 1 x ,则y 关于u 的线性 回归方程为ŷ=̂a+̂βu, 由 题 意 可 得 β̂ = ∑ n i=1 uiyi-10􀭵u􀭵y ∑ n i=1 u2i-10u2 = 350-210 1.6-0.9=200 。 â=̂y-̂βu=70-200×0.3=10,则y= 10+200u。 故y 关于x 的回归方程为y=10+ 200 x 。 (2)由y=10+ 200 x ,可得x= 200 y-10 。 年利润 M=m-x-10 =-y 2 500+ 2y 25+ 200 y-10 +100- 200 y-10 -10 =- 1 500y-20 2+90.8。 当y=20时,年利润 M 取得最大值,此 时x= 200 y-10 = 200 20-10=20 。 所以,当年技术创新投入为20千万元 时,年利润的预报值取最大值。 总结:令u= 1 x ,可得出y 关于u 的线性 回归方程;结合二次函数的基本性质可求得 M 的最大值及其对应的x 值。 解答非线性拟合问题,要先根据散点图 选择合适的函数类型,设出回归方程,通过换 元将陌生的非线性回归方程转化为熟悉的线 性回归方程。 考点二 独立性检验模型 (1)定义:利用独立性假设、χ2 取值的大小 来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有 关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。 (2)公式:χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , 其中n=a+b+c+d 为样本容量。 (3)独立性检验的具体步骤如下。 ①提出零假设 H0:X 和Y 相互独立。 ②根据抽样数据整理2×2列联表,计算 χ2 的值,并与临界值xα 比较。 ③根据检验得出推断结论。 若χ2≥xα,根据小概率值α独立性检验 推断,H0 不成立,即认为有关联,此推断犯错 误概率不大于α。 例 4 在现实生活中,每个人都有一定的 心理压力,压力随着现代生活节奏的加快、社会 竞争日趋激烈等逐渐增大。某市研究组为了解 该市市民压力的情况,随机邀请本市200名市 民进行心理压力测试评估,得到一个压力分值, 根据样本数据得到频率分布直方图(图2)。 图2 (1)求a的值,并估计该市市民压力分值 位于区间[70,100]的概率。 (2)估计该市市民压力分值的平均值。 (同一组数据用该区间的中点值作代表) (3)若市民的压力分值不低于70,则称 为“高压市民”。研究组对“高压市民”按年龄 段进行研究,发现年龄在30岁到50岁的“高 压市民”有35人,年龄在30岁到50岁的“非 高压市民”有25人,剩余“高压市民”的年龄 分散在其他年龄段。为研究方便,记年龄在 30岁到50岁为年龄段A,其余为年龄段B。 根据所给数据,完成下面的2×2列联表(表 4),并判断是否有99.9%的把握认为该市 “高压市民”与其年龄在30岁到50岁有关。 表4 压力 高压市民 非高压市民 年龄段A 年龄段B 附:χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , 其中a+b+c+d=n。 表5 α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 5 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年5月 解析:(1)依题意知,0.04+0.02+0.05 +0.10+10a+0.16+0.15+0.18+10a+ 0.04=1,解得a=0.013。记“该市市民的压 力分值在区间[70,100]”为事件C,则P(C) =(0.018+0.013+0.004)×10=0.35。 (2)由频率分布直方图及(1)知,压力分 值在各分组区间内的频率依次为: 0.04,0.02,0.05,0.10,0.13,0.16,0.15, 0.18,0.13,0.04。 所以x=5×0.04+15×0.02+25× 0.05+35×0.1+45×0.13+55×0.16+ 65×0.15+75×0.18+85×0.13+95×0.04 =58。 (3)由(1)知,高压市民有200×0.35= 70(人),年龄段A 的人数有35人,年龄段B 的人数为35人。 得到2×2列联表(表6)。 表6 压力 高压市民 非高压市民 合计 年龄段A 35 25 60 年龄段B 35 105 140 合计 70 130 200 零假设 H0:该市高压市民与其年龄在 30岁到50岁无关。 χ2= 200(35×105-35×25)2 60×140×70×130 = 800 39 > 20>10.828。 所以有99.9%的把握认为该市“高压市 民”与其年龄在30岁到50岁有关。 例 5 为加快推动旅游业复苏,进一步 增强居民旅游消费意愿,山东省人民政府规 定自2023年1月21日起至3月31日在全 省实施景区门票减免,全省国有A级旅游景 区免首道门票,鼓励非国有A级旅游景区首 道门票至少半价优惠。本次门票优惠几乎涵 盖了全省所有知名的重点景区,据统计,活动 开展以来游客至少去过两个及以上景区的人 数占比约为90%。某市旅游局从游客中随 机抽取100人(其中年龄在50周岁及以下的 有60人),了解他们对全省实施景区门票减 免活动的满意度,并按年龄(50周岁及以下 和50周岁以上)分类统计得到如下不完整的 2×2列联表(表7)。 表7 不满意 满意 总计 50周岁及以下 55 50周岁以上 15 总计 100 (1)根据统计数据完成以上2×2列联 表,并根据小概率值α=0.001的独立性检 验,能否认为对全省实施景区门票减免活动 是否满意与年龄有关联? (2)现从本市游客中随机抽取3人了解 他们的出游情况,设其中至少去过两个及以 上景区的人数为 X,若以本次活动中至少去 过两个及以上景区的人数的频率为概率。 ①求X 的分布列和数学期望; ②求P(|X-1|≤1)。 参 考 公 式 及 数 据: χ2 = n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n=a+ b+c+d。 表8 α 0.100 0.050 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 解析:(1)由题意知,抽取的100人年龄 在50周岁及以下的有60人,则年龄在50周 岁以上的有40人。补全的2×2列联表如表 9所示。 表9 不满意 满意 总计 50周岁及以下 5 55 60 50周岁以上 15 25 40 总计 20 80 100 故χ2= 100×(5×25-15×55)2 20×80×60×40 =12.76> 10.828。 根据小概率值α=0.001的独立性检验, 推断 H0 不成立,即认为对全省实施景区门 6 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年5月 票减免活动是否满意与年龄有关联,此推断 犯错误的概率不大于0.001。 (2)①由题意可得,游客至少去过两个及 以上景区的概率为0.9,则X~B(3,0.9)。 X 的所有可能取值为0,1,2,3。 P(X=0)=C03×0.13=0.001,P(X= 1)=C13×0.9×0.12=0.027,P(X=2)= C23×0.92×0.1=0.243,P(X=3)=C33× 0.93=0.729。 所以X 的分布列如表10所示。 表10 X 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 因为 X~B(3,0.9),所以数学期望 E(X)=3×0.9=2.7。 ②P(|X-1|≤1)=P(X=0)+P(X= 1)+P(X=2)=1-P(X=3)=0.271。 例 6 为了备战世界杯,某国家队对 甲、乙两名球员为球队做的贡献进行考察。 数据统计如表11所示。 表11 球队胜 球队负 总计 甲参加 30 b 60 甲未参加 c 10 f 总计 60 e n 乙球员能够胜任前锋、中场、后卫三个位 置,且出场率分别为:0.1,0.5,0.4;在乙出任 前锋、中场、后卫的条件下,球队输球的概率 依次为:0.2,0.2,0.7。 (1)根据小概率值α=0.025的独立性检 验,能否认为该球队胜利与甲球员参赛有关联? (2)根据数据统计,问: ①当乙参加比赛时,该球队某场比赛输 球的概率; ②当乙参加比赛时,在球队输了某场比 赛的条件下,乙球员担当中场的概率; ③如果你是教练员,应用概率统计有关 知识,该如何使用乙球员? 附表12: 表12 α 0.15 0.10 0.05 0.0250.0100.005 0.001 xα 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 解析:(1)依题意知,b=30,c=30,e= 40,f=40,n=100。 零假设为 H0:球队胜利与甲球员参赛无 关,代入数据可得χ2= 100×(30×10-30×30)2 60×40×60×40 =6.25>5.024。 根据小概率值α=0.025的独立性检验, 我们推断 H0 不成立,即认为该球队胜利与 甲球员参赛有关联,此推断犯错误的概率不 超过0.025。 (2)①记A1 表示“乙球员担当前锋”;A2 表示“乙球员担当中场”;A3 表示“乙球员担 当后卫”;B 表示“球队输掉某场比赛”。则 P(A1)=0.1,P(A2)=0.5,P(A3)=0.4, P(B|A1)=P(B|A2)=0.2,P(B|A3)=0.7。 故 P(B)=P(A1B)+P(A2B)+ P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)· P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.1×0.2+ 0.5×0.2+0.4×0.7=0.4,该球队某场比赛 输球的概率是0.4。 ②由①知,在球队输的条件下,乙球员担当 中场的概率P(A2|B)= P(A2B) P(B)= 0.5×0.2 0.4 =0.25。 ③由①知,在球队输的条件下,乙球员担当 前锋的概率P(A1|B)= P(A1B) P(B)= 0.1×0.2 0.4 =0.05。 在球队输的条件下,乙球员担当后卫的概 率P(A3|B)= P(A3B) P(B)= 0.4×0.7 0.4 =0.7 。 由②知,P(A1|B)∶P(A2|B)∶P(A3|B) =0.05∶0.25∶0.7=1∶5∶14。 所以,应该多让乙球员担任前锋来扩大 赢球场次。 总结:本题考查的是成对数据的分析与全 概率公式的综合应用,可见成对数据的分析本 身难度不大。解答本题的难点主要是在短时 间内精准地算出离散型随机变量的概率。 (责任编辑 徐利杰) 7 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年5月