浙江期末真题精选（压轴题四大题型，30题）-【尖子生培优】2023-2024学年七年级数学下学期重难点压轴题突破专练（浙教版）

浙江期末真题精选（压轴题四大题型，30题）（原卷版） 目录 一、压轴题型一：平行线相关问题，10题，难度四星 1 二、压轴题型二：二元一次方程组，5题，难度四星 4 三、压轴题型三：整式的乘除与因式分解，10题，难度四星 7 四、压轴题型四：分式，5题，难度四星 10 一、压轴题型一：平行线相关问题，10题，难度四星 1．（21-22七年级下·浙江温州·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（    ） A．129° B．72° C．51° D．18° 2．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线分别交直线于点G，H，射线分别在和的内部，且．    (1)若和互补． ①求的度数； ②当，且时，求的度数； (2)设，．若，求m，n满足的等量关系． 3．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合． (1)如图1，点P在线段上，，，求的度数． (2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由． 4．（21-22七年级下·浙江湖州·期末）长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，连结，且．灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是1度/秒，灯转动的速度是3度/秒． (1)若两灯同时转动，在灯射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点． ①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求的度数． ②如图2，过作交于点，则在转动过程中，求与的比值，并说明理由． (2)若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线第一次转到之前，灯转动几秒，两灯的光线互相平行？ 5．（21-22七年级下·浙江衢州·期末）已知△ABC与△ADE共顶点A，，顶点B和C在直线上（点B在点C的左侧），顶点D和E在直线上（点D在点E的左侧），且直线． (1)如图1，顶点A在与之间，判断∠BAD与是否相等，并说明理由． (2)如图2，顶点A在与之间，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，若，求∠BFE的度数． (3)若顶点A在直线的下方，且顶点B、A、D不在一条直线上，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，记，，请探究与的数量关系，并直接写出结论． 6．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）如图①，，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，. (1)请说明； (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①.如图②，当时，则的度数_____________； ②.在整个运动中，当时，_____________． 7．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知直线，点在直线上，点在直线上，点在点的右侧，平分平分，直线交于点． （1）若时，则___________； （2）试求出的度数（用含的代数式表示）； （3）将线段向右平行移动，其他条件不变，请画出相应图形，并直接写出的度数．（用含的代数式表示） 8．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与三角板的一条直角边（边，）平行．    9．（20-21七年级下·浙江·期末）如图，已知//，点是射线上一动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点． （1）当时，的度数是_______； （2）当，求的度数（用的代数式表示）； （3）当点运动时，与的度数之比是否随点的运动而发生变化?若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律． （4）当点运动到使时，请直接写出的度数． 10．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知直线，点，分别在直线，上，点为，之间一点，且点在的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点……以此类推，若，则的值是 ． 二、压轴题型二：二元一次方程组，5题，难度四星 11．（22-23七年级下·浙江金华·期末）阅读以下微信群聊，完成任务．       任务一：该“旅行团”有几种打车方案？哪种方案比较划算？ 任务二：小胡家的两间“亲子家庭房”共花费多少钱？ 任务三：该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各多少张？       12．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）为响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民小军家准备将一块良田分成A、B、C三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，小军主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的小军将A区20%的面积划分给了B区，而原B区50%的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了40%．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的25%分成两部分划分给现在的A区和B区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为2：1：3 (1)求爸爸计划的A、B、C三个区域的面积之比； (2)求爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比． 13．（22-23七年级下·浙江金华·期末）佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美轮，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖．如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为，且，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设以及由A、B两点发出的光射线始终在同一平面内），灯A的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转，当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动．    (1)若购买2盏灯A和4盏灯B共需10万元，购买3盏灯A和2盏灯B共需8.6万元，请问：购买灯A和灯B的单价分别是多少万元？ (2)打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间． (3)如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线旋转至射线BS的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长至点E，作与的角平分线并交于点F，求与的数量关系． 14．（21-22七年级下·浙江金华·期末）某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ▄ 第三次 5 4 160 (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方案． 15．（21-22七年级下·浙江丽水·期末）如图，在长方形中，厘米，厘米，为的中点，动点从点开始，按的路径运动，速度为2厘米/秒，设点的运动时间为秒. (1)当点在边上运动时，请用含，的代数式表示的长； (2)若，，则为何值时，直线把长方形的周长分成2:3两部分； (3)连结，，，若时，三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一，试探求，需要满足的条件. 三、压轴题型三：整式的乘除与因式分解，10题，难度四星 16．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）已知，，则（　　） A． B．3 C． D．1 17．（20-21七年级下·浙江·期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．5．5 18．（22-23七年级下·浙江丽水·期末）甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．，记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为． （1）若，则的值是 ； （2）若，，则的值是 ． 19．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）若x，y是大于3的质数，但能使得x2+5xy+4y2为完全平方数，这样的质数对（x，y）是 ． 20．（20-21七年级下·浙江宁波·期末）对，定义一种新运算，规定：，（其中，均为非零常数）．例如：，．当，，则 ；当时，，，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 21．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，且互不相等，则 ． 22．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． (1)若，，求a，b的“和积数”c； (2)若，，求a，b的“和积数”c； (3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 23．（21-22七年级下·浙江舟山·期末）我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： (1)算法赏析：若x满足，求的值． 解：设则 ∴ 请继续完成计算． (2)算法体验：若满足，求的值； (3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，延长ED交FC于P．若正方形ACFG与正方形ABDE面积的和为117，求长方形AEPC的面积 24．（20-21七年级下·浙江嘉兴·期末）（图1），把边长为b的正方形放在长方形ABCD中，其中正方形的两条边分别在AD，CD上，已知AB＝a（a＜2b），BC＝4a． （1）请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积； （2）将另一长方形BEFG放入（图1）中得到（图2），已知BE＝a，BG＝b； ①长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍，求的值； ②若长方形PQMF的面积为2，求阴影部分的面积（用含b的代数式表示）． 25．（22-23七年级下·北京昌平·期末）阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”． 设表示一个三位数， 则 因为能被3整除，如果也能被3整除，那么就能被3整除． (1)①一个四位数，如果能被9整除，证明能被9整除； ②若一个五位数能被9整除，则______； (2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是______（数字“1”除外）； (3)由数字1至9组成的一个九位数，这个数的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是______． 四、压轴题型四：分式，5题，难度四星 26．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）若，，，则 ． 27．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则(　　) A．与的最大值相等，与的最小值也相等 B．与的最大值相等，与的最小值不相等 C．与的最大值不相等，与的最小值相等 D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等 28．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”． （1）最小的“如意数”是 ； （2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ． 29．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程，其中，均为整数且． (1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？ (2)若是方程的解，求的值． 30．（22-23七年级下·浙江·期末）根据以下素材，探索完成任务 设计购买欲兑换方案 素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．” 素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数． 素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同    问题解决 任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价 任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江期末真题精选（压轴题四大题型，30题）（解析版） 目录 一、压轴题型一：平行线相关问题，10题，难度四星 1 二、压轴题型二：二元一次方程组，5题，难度四星 24 三、压轴题型三：整式的乘除与因式分解，10题，难度四星 33 四、压轴题型四：分式，5题，难度四星 44 一、压轴题型一：平行线相关问题，10题，难度四星 1．（21-22七年级下·浙江温州·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（    ） A．129° B．72° C．51° D．18° 【答案】C 【分析】分当时，如图1所示，当时，如图2所示，两种情况，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：当时，如图1所示，过点G作， ∵， ∴， ∴∠PGQ =∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM， ∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM， 由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM， ∴∠PGH=180°-∠AGH-∠PGB=120°-2∠ABM， ∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM， ∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM， ∴ 当时，如图2所示，过点G作， 同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ， ∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM， ∴∠PGH=180°-∠AGP-∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM， ∴∠HGP=∠PGQ-∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°， ∴∠PHG=150°-2∠ABM， ∴， 综上所述，或， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 2．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线分别交直线于点G，H，射线分别在和的内部，且．    (1)若和互补． ①求的度数； ②当，且时，求的度数； (2)设，．若，求m，n满足的等量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据和互补，，即可求解；②先求出，由平行线的性质可得，再结合①中结论可得的度数； （2）设，可得，，再结合即可求解． 【详解】（1）解：①和互补， ． ， ， ； ②由①得， ， ， 又， ， ． ， ， ； （2）解：， ． 设， ，， ， ， 又， ， ， ， 即m，n满足的等量关系为． 【点睛】本题考查平行线的性质，角的和差关系，互补角的关系等，解题的关键是掌握平行线的性质． 3．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合． (1)如图1，点P在线段上，，，求的度数． (2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由． 【答案】(1)65° (2)当在的上方时，∠2＝∠1+∠APB，当在线段上时，；当在的下方时， 【分析】（1）过点作，根据可知，故可得出，再由即可得出结论； （2）分三种情况讨论：当在的上方时，当在线段上时，由（1）可得：；当在的下方时，过作，依据，可得，再利用平行线的性质可得结论． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∵， ∴， ，． 又， ∵，， ∴； （2）解：． 理由如下：当在的上方时，如图，过作， ∵， ∴， ，， ， ． 当在线段上时，由（1）可得：； 当在的下方时，如图，过作， ∵， ∴， ，， ， ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 4．（21-22七年级下·浙江湖州·期末）长江汛期即将来临，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯（如图1），假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，连结，且．灯射线自顺时针旋转至便立即回转，灯射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是1度/秒，灯转动的速度是3度/秒． (1)若两灯同时转动，在灯射线第一次转到之前，两灯射出的光线交于点． ①如图1，当两灯光线同时转动50秒时，求的度数． ②如图2，过作交于点，则在转动过程中，求与的比值，并说明理由． (2)若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线第一次转到之前，灯转动几秒，两灯的光线互相平行？ 【答案】(1)①；②比值为，详见解析 (2)灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行 【分析】（1）①当转动50秒时，有，即有，根据，即可得解；②过点作，得到，，即有，，根据，可得，再根据，可得，即问题得解； （2）设A灯转动秒，两灯的光束互相平行，A灯先转动30秒，则AQ转到AP还需要180-30=150（秒）即，①当B射线第一次垂直MN时，用时90÷3=30（秒），此时A射线共计运动30+30=60秒，即，即在灯射线到达之前，先证明，即有：，即可求解；②在灯射线到达之后，回到前，根据①中，同理有：，即有：，即可求解；③在灯射线回到后，第二次到前，由题意得：，即可求解，即问题得解． 【详解】（1）两灯速度为：灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒． ①当转动50秒时，， ∴， ∴， 故答案为：15°； ②比值为：，理由如下， 如图2，过点作， ∵， ∴， 设两灯转动时间为秒，则，， ∴，， ∴， 即， 又∵， 即， 而， ∴ ． ∴． 即比值为：； （2）两灯速度为：灯A转动的速度是1度/秒，灯B转动的速度是3度/秒． 设A灯转动秒，两灯的光束互相平行， A灯先转动30秒，则AQ转到AP还需要180-30=150（秒） 即， ①当B射线第一次垂直MN时，用时90÷3=30（秒）， 此时A射线共计运动30+30=60秒，即， 即在灯射线到达之前，如图3所示， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即有：， 解得：（秒）； ②如图4，在灯射线到达之后，回到前， 根据①中，同理有： ∵ 即有：， 解得：． ③如图5，在灯射线回到后，第二次到前， 由题意得： ，解得：（舍去）． 综上所述，灯转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系，厘清角度之间的关系并注意分类讨论是解答本题的关键． 5．（21-22七年级下·浙江衢州·期末）已知△ABC与△ADE共顶点A，，顶点B和C在直线上（点B在点C的左侧），顶点D和E在直线上（点D在点E的左侧），且直线． (1)如图1，顶点A在与之间，判断∠BAD与是否相等，并说明理由． (2)如图2，顶点A在与之间，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，若，求∠BFE的度数． (3)若顶点A在直线的下方，且顶点B、A、D不在一条直线上，∠ABC的外角平分线与∠AED的角平分线交于点F，记，，请探究与的数量关系，并直接写出结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2)100° (3)或 【分析】（1）过点A作，根据平行线的性质直接求解即可得到结论； （2）根据（1）中的方法可知，，根据角平分线的性质及邻补角的定义等量代换即可得到结论； （3）令，根据角平分线定义得，，过作，过作，得到，从而根据点与的关系分五种情况求解，由角度和差关系得到，或，联立方程组得到或者． 【详解】（1）解：． 过点A作，如图所示： ， ∴， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：如图所示： 由（1）可知， 同（1）理可得， ∵BF平分∠ABH，EF平分∠AED， ∴， ∵， ∴，， ； （3）解：根据点与的关系分五种情况求解： 1..点在的边左侧，如图所示： 令，则根据角平分线定义得，， 过作，过作，则， ，， ①， 在中，， ， ， ②， 由①得， 由②得， 将①代入②得； 2.点在的边上，如图所示： 令，则根据角平分线定义得，， 过作，过作，则， ，， ①， 在中，， ， ， ②， 由①得， 由②得， 将①代入②得； 3.点在内，如图所示： 令，则根据角平分线定义得，， 过作，过作，则， ，， ①， 在中，， ， ， ②， 由①得， 由②得， 将①代入②得； 4.点在的边上，，如图所示： 令，则根据角平分线定义得，， 过作，过作，则， ，， ①， 在中，， ， ， ②， 由①得， 由②得， 将①代入②得， ，，满足； 5.点在的边右侧，如图所示： 令，则根据角平分线定义得，， 过作，过作，则， ，， ①， 在中，， ， ， ②， 由①得， 由②得， 将①代入②得； 综合上述1、2、3、4、5可得或． 【点睛】本题考查平行线的性质，涉及到角平分线的性质、邻补角定义、直角三角形锐角互余等性质，根据题意作出辅助线，分类讨论并根据图形恰当表示出各角之间的关系是解决问题的关键． 6．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）如图①，，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，. (1)请说明； (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①.如图②，当时，则的度数_____________； ②.在整个运动中，当时，_____________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或120° 【分析】（1）根据平行线的性质得到，利用等量代换得到，即可证出； （2）①过点D作，则，根据平行线的性质即可得到答案； ②两种情况，运用类比的方法，当点P在线段AD上时，过点D作交AB于点F，根据平行线的性质即可得到答案；当点P在线段DA的延长线上时，过点D作交AB于点，根据平行线的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①解：过点D作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴∠EDQ=90°， ∴， 而， ∴． 故答案为：． ②当点P在线段AD上时，过点D作交AB于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点P在线段DA的延长线上时，过点D作交AB于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握相关知识并正确作出辅助线． 7．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知直线，点在直线上，点在直线上，点在点的右侧，平分平分，直线交于点． （1）若时，则___________； （2）试求出的度数（用含的代数式表示）； （3）将线段向右平行移动，其他条件不变，请画出相应图形，并直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）60°；（2）n°+40°；（3）n°+40°或n°-40°或220°-n° 【分析】（1）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数； （2）同（1）中方法求解即可； （3）分当点B在点A左侧和当点B在点A右侧，再分三种情况，讨论，分别过点E作EF∥AB，由角平分线的定义，平行线的性质，以及角的和差计算即可． 【详解】解：（1）当n=20时，∠ABC=40°， 过E作EF∥AB，则EF∥CD， ∴∠BEF=∠ABE，∠DEF=∠CDE， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠BEF=∠ABE=20°，∠DEF=∠CDE=40°， ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=60°； （2）同（1）可知： ∠BEF=∠ABE=n°，∠DEF=∠CDE=40°， ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=n°+40°； （3）当点B在点A左侧时，由（2）可知：∠BED=n°+40°； 当点B在点A右侧时， 如图所示，过点E作EF∥AB， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=2n°，∠ADC=80°， ∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDG=∠ADC=40°， ∵AB∥CD∥EF， ∴∠BEF=∠ABE=n°，∠CDG=∠DEF=40°， ∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°； 如图所示，过点E作EF∥AB， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=2n°，∠ADC=80°， ∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDG=∠ADC=40°， ∵AB∥CD∥EF， ∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=40°， ∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-n°+40°=220°-n°； 如图所示，过点E作EF∥AB， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=70°， ∴∠ABG=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°， ∵AB∥CD∥EF， ∴∠BEF=∠ABG=n°，∠CDE=∠DEF=40°， ∴∠BED=∠BEF-∠DEF=n°-40°； 综上所述，∠BED的度数为n°+40°或n°-40°或220°-n°． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线的定义，正确应用平行线的性质得出各角之间关系是解题关键． 8．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与三角板的一条直角边（边，）平行．    【答案】或或或 【分析】延长交于点，可求，进行分类讨论，画图可得在各个不同位置或时，所旋转的度数，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，    ，， ， ， ， ①如图，    当时，， 此时旋转的度数为， ()； ②如图    当时，， ， 此时旋转的度数为， ()； ③如图    当时，， ， 此时旋转的度数为， ()； ④如图    当时，， ， 此时旋转的度数为， ()； 综上所述：或或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 9．（20-21七年级下·浙江·期末）如图，已知//，点是射线上一动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点． （1）当时，的度数是_______； （2）当，求的度数（用的代数式表示）； （3）当点运动时，与的度数之比是否随点的运动而发生变化?若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律． （4）当点运动到使时，请直接写出的度数． 【答案】（1）120°；（2）90°-x°；（3）不变，；（4）45° 【分析】（1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补可得； （2）由平行线的性质可得∠ABN=180°-x°，根据角平分线的定义知∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=180°-x°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=90°-x°； （3）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根据BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，从而可得∠APB：∠ADB=2：1； （4）由AM∥BN得∠ACB=∠CBN，当∠ACB=∠ABD时有∠CBN=∠ABD，得∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，即∠ABC=∠DBN，根据角平分线的定义可得∠ABP=∠PBN=∠ABN=2∠DBN，由平行线的性质可得∠A+∠ABN=90°，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵AM∥BN，∠A=60°， ∴∠A+∠ABN=180°， ∴∠ABN=120°； （2）∵AM∥BN， ∴∠ABN+∠A=180°， ∴∠ABN=180°-x°， ∴∠ABP+∠PBN=180°-x°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP， ∴2∠CBP+2∠DBP=180°-x°， ∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=（180°-x°）=90°-x°； （3）不变，∠ADB：∠APB=． ∵AM∥BN， ∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN， ∵BD平分∠PBN， ∴∠PBN=2∠DBN， ∴∠APB：∠ADB=2：1， ∴∠ADB：∠APB=； （4）∵AM∥BN， ∴∠ACB=∠CBN， 当∠ACB=∠ABD时，则有∠CBN=∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN， ∴∠ABC=∠DBN， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP=2∠ABC，∠PBN=2∠DBN， ∴∠ABP=∠PBN=2∠DBN=∠ABN， ∵AM∥BN， ∴∠A+∠ABN=180°， ∴∠A+∠ABN=90°， ∴∠A+2∠DBN=90°， ∴∠A+∠DBN=（∠A+2∠DBN）=45°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 10．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知直线，点，分别在直线，上，点为，之间一点，且点在的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点……以此类推，若，则的值是 ． 【答案】4 【分析】作EF//AB则AB//CD//EF，根据平行线的性质得出∠MEN=∠BME+∠DME=128°，同理∠ME1N=(∠BME+∠DME) =64°，∠ME2N=(∠BME1+∠DME1) =32°，可归纳规律∠MEnN=(∠BMEn-1+∠DMEn-1) =，依此建立方程=8°求解即可解答． 【详解】解：如图：作EF//AB ∵AB//CD ∴AB//CD//EF ∴∠FEM=∠BME, ∠FEN=∠DNE, ∴∠MEN=∠BME+∠DME=∠FEM +∠FEN =∠MEN= 128° 同理：ME1N=(∠BME+∠DME) =64°， ∠ME2N=(∠BME1+∠DME1) =32° … ∠MEnN=(∠BMEn-1+∠DMEn-1) = 由题意得：=8°，解得n=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了平行线的性质、探索图形规律、角平分线的定义等知识点，正确的识别图形、归纳图形规律是解答本题的关键． 二、压轴题型二：二元一次方程组，5题，难度四星 11．（22-23七年级下·浙江金华·期末）阅读以下微信群聊，完成任务．       任务一：该“旅行团”有几种打车方案？哪种方案比较划算？ 任务二：小胡家的两间“亲子家庭房”共花费多少钱？ 任务三：该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各多少张？       【答案】任务一：一共有2种打车方案，5座出租车5辆，7座出租车1辆时；5座出租车2辆，7座出租车3辆；当5座出租车5辆，7座出租车1辆时比较划算；任务二：1000元；任务三：该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各19张，7张 【分析】任务一：设5座出租车x辆，7座出租车y辆，根据题意可得，根据x、y都是非负整数可求出对应的方案，计算出每个方案的花费即可得到答案； 任务二：设精选双人房a间，亲子家庭房b间，精选双人房的价格为c元，根据房间刚好住满且精选双人房花费1600元，亲子家庭房花费3000并且亲子家庭房的房价是精选双人房的倍列出方程组求解即可； 任务三：设该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各m张，n张，先推出朋友家6人购买的票价只能是1880元，再根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：任务一：设5座出租车x辆，7座出租车y辆， 由题意得，， ∴， ∴， ∵x、y都是非负整数， ∴是非负整数， ∴当时，； 当时，； ∴一共有2种打车方案， 当5座出租车5辆，7座出租车1辆时，需要元， 当5座出租车2辆，7座出租车3辆时，需要元， ∵， ∴当5座出租车5辆，7座出租车1辆时比较划算； 任务二：设精选双人房a间，亲子家庭房b间，精选双人房的价格为c元， 由题意得，， 由①得： 得：，则， 把⑤代入④得，解得， 把代入⑤得， 把代入②得：，解得， ∴， ∴小胡家的两间“亲子家庭房”共花费元； 任务三：设该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各m张，n张， ∵，， ∴该旅行团的票价一定在元到元之间， ∵， ∴朋友家6人购买的票价只能是1880元， ∴， 解得， ∴该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各19张，7张． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键． 12．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）为响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民小军家准备将一块良田分成A、B、C三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，小军主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的小军将A区20%的面积划分给了B区，而原B区50%的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了40%．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的25%分成两部分划分给现在的A区和B区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为2：1：3 (1)求爸爸计划的A、B、C三个区域的面积之比； (2)求爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设爸爸计划A、B、C三个区域的面积分别为x、y、z．可列方程：，可得， 则此时，A区：， B区：， C区：z，由爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为2：1：3，可列方程：，可得，从而可得答案； （2）设将C区面积的分成两部分划分给现在的A区为m，则B区为．由三个区域的面积比变为2：1：3，可得方程： ，从而可得答案． 【详解】（1）解：设爸爸计划A、B、C三个区域的面积分别为x、y、z． 则小军将A区20%的面积划分给了B区，而原B区50%的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占A、B两区面积和的比例达到了40%， 可列方程：，解得：， 则此时，A区：， B区：， C区：z， 由爸爸只好将C区面积的分成两部分划分给现在的A区和B区． 爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为2：1：3， 所以A、B两区面积之和等于C区面积， 可列方程：， 解得：， ∴爸爸计划的A、B、C三个区域的面积之比为． （2）设将C区面积的分成两部分划分给现在的A区为m，则B区为． 由三个区域的面积比变为2：1：3， 可列方程： 解得：， ∴爸爸从C区划分给B区的面积为：， 则爸爸从C区划分给B区的面积与良田总面积的比为：， 【点睛】本题考查二元一次方程的综合应用题，根据A、B、C三个区域分别设未知数，根据题干找到等量关系列出方程找出比值即可． 13．（22-23七年级下·浙江金华·期末）佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美轮，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖．如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为，且，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设以及由A、B两点发出的光射线始终在同一平面内），灯A的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转，当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动．    (1)若购买2盏灯A和4盏灯B共需10万元，购买3盏灯A和2盏灯B共需8.6万元，请问：购买灯A和灯B的单价分别是多少万元？ (2)打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间． (3)如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线旋转至射线BS的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长至点E，作与的角平分线并交于点F，求与的数量关系． 【答案】(1)买灯A单价是万元，买灯B的单价是万元； (2)秒，秒，秒； (3) 【分析】（1）列二元一次方程组求解即可； （2）分三种情况画出图形，根据角的关系列出方程求解即可； （3）过点作，根据平行线的性质和角平分线的定义推导即可. 【详解】（1）解：设买灯A和灯B的单价分别是万元和万元，根据题意，得： 解得： 答：买灯A单价是万元，买灯B的单价是万元． （2）解：设旋转时间为秒， 灯A的光射线第一次从射线顺时针旋转至射线所需的时间为：(秒)， 灯B的光射线从射线顺时针旋转到射线所需的时间为：(秒)， ①当时，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直，如图所示：    作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 于是有：， 解得：； ②当时，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直，如图所示：    此时，，， 于是有：， 解得：； ③当时，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直，如图所示：    此时，， ， 于是有：， 解得：； 综上可得，当灯A的光射线第一次从射线AQ旋转至射线AP的过程中，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间为：秒，秒，秒 （3）解：与的数量关系是： 过点作，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵作与的角平分线并交于点F， ∴， ∴ 即. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，平行线的判定和性质，角平分线的定义，构造图形并正确分类是解题的关键. 14．（21-22七年级下·浙江金华·期末）某运输公司现有190吨防疫物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 防疫物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ▄ 第三次 5 4 160 (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方案． 【答案】(1)540 (2)A货车每辆每次可以运货20吨， B货车每辆每次可以运货15吨 (3)①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆 【分析】（1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨，则根据题意列出方程组，求解即可； （2）根据（1）知，运送防疫物资A种货车每辆每次20吨，B种货车每辆每次15吨； （3）设A、B两种货车各需要m辆、n辆，根据题意得到20m+15n=190，当m=2时，n=10；当m=5时，n=6；当m=8时，n=2．共三种运输方案． 【详解】（1）设A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资x吨、y吨， 则根据题意，得， 解得， （吨）； 故答案为：540； （2）由（1）知，A、B两种货车每辆每次分别可以运送防疫物资20吨、15吨； （3）设A、B两种货车各需要m辆、n辆， 则20m+15n=190, ∴， ①当m=2时，n=10； ②当m=5时，n=6； ③当m=8时，n=2． ∴①A货车2辆，B货车10辆；②A货车5辆，B货车6辆；③A货车8辆，B货车2辆，共三种可行的运输方案． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解决问题的关键是熟练掌握每种车运输总吨数与每车每次运输吨数和车数的关系，列方程组，列方程解答． 15．（21-22七年级下·浙江丽水·期末）如图，在长方形中，厘米，厘米，为的中点，动点从点开始，按的路径运动，速度为2厘米/秒，设点的运动时间为秒. (1)当点在边上运动时，请用含，的代数式表示的长； (2)若，，则为何值时，直线把长方形的周长分成2:3两部分； (3)连结，，，若时，三角形的面积恰好为长方形面积的五分之一，试探求，需要满足的条件. 【答案】(1) (2)2秒或4秒 (3)或 【分析】（1）根据即可求出； （2）分两种情况讨论：当点在边上运动时和当点在边上运动时，根据“直线把长方形的周长分成2:3两部分”列出方程，解方程即可求解； （3）分点在边上、点在边上、点在边上、点在边上四种情况分类讨论，列出关系式即可求解． 【详解】（1）解：当点在边上运动时，，， ； （2）解：当点在边上运动时，， 即， ； 当点在边上运动时，， 即， ； 秒或4秒时，直线把长方形的周长分成两部分． （3）解：当点在边上时， ， 整理得， ，故不成立； 当点在边上时， 由， 得； 当点在边上时， 由， 得； 综上，，之间的关系式为或． 【点睛】本题为动点问题，考查了代数式的表示，一元一次方程的应用，三角形的面积等知识，理解题意，注意分类讨论是解题关键． 三、压轴题型三：整式的乘除与因式分解，10题，难度四星 16．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）已知，，则（　　） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用因式分解的方法将各数变形后化简运算是解题的关键．利用因式分解的方法将各数变形后化简运算即可． 【详解】解：∵， ， ∴． 故选：A． 17．（20-21七年级下·浙江·期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．5．5 【答案】B 【分析】设A、B正方形的面积分别为a、b，则边长分别为、 ,再根据题意列式求得、，然后根据a+b=计算即可． 【详解】解：设A、B正方形的面积分别为a、b，则边长分别为、 由图甲可得： 由图乙可得：，即：   a+b=． 故选B． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式在图形面积中的应用，根据图形列出等量关系是解答本题的关键． 18．（22-23七年级下·浙江丽水·期末）甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．，记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为． （1）若，则的值是 ； （2）若，，则的值是 ． 【答案】 20 【分析】（1）根据已知条件得到乙正方形的边长为，于是得到结论； （2）根据阴影部分的面积可得，，两式相除得到a、b的关系，再代入求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴乙正方形的边长为， ∴， 故答案为：20； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 即， ∴或， ∴或（舍去） ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查了多项式与几何图形的面积以及因式分解，正确理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． 19．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）若x，y是大于3的质数，但能使得x2+5xy+4y2为完全平方数，这样的质数对（x，y）是 ． 【答案】（5，11）或（7，5） 【分析】可设x2+5xy+4y2＝k2，k是正整数，得到（k+x+2y）（k﹣x﹣2y）＝xy，进一步得到 ，依此得到（x﹣4）（y﹣2）＝9，进一步得到 ，，，依此即可求解． 【详解】解：∵x2+5xy+4y2为完全平方数， ∴设x2+5xy+4y2＝k2，k是正整数， ∴（x+2y）2+xy＝k2， ∴（k+x+2y）（k﹣x﹣2y）＝xy， ∵x，y是大于3的质数， ∴k+x+2y＞k﹣x﹣2y，且k+x+2y＞x， ∴， ①﹣②得2x+4y＝xy﹣1， 即xy﹣2x﹣4y﹣1＝0， ∴x（y﹣2）﹣4（y﹣2）﹣8﹣1＝0， 即（x﹣4）（y﹣2）＝9， ∵x，y是大于3的质数， ∴ ，，， 解得 ，，（舍去）． 故这样的质数对（x，y）是（5，11）或（7，5）． 故答案为：（5，11）或（7，5）． 【点睛】本题主要考查质数与合数，完全平方数，把已知代数式写成完全平方数的形式是关键． 20．（20-21七年级下·浙江宁波·期末）对，定义一种新运算，规定：，（其中，均为非零常数）．例如：，．当，，则 ；当时，，，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】（1）根据新运算的定义，得，，故，．那么，，． （2）由，，，得，故．由当时，，，对任意有理数，都成立，故当时，对任意有理数，都成立．那么，． 【详解】解：（1），， ，． ，． ，． ，． （2），，，， ，． ，． 若当时，，，对任意有理数，都成立， 当时，对任意有理数，都成立． 当时，对任意有理数，都成立． ． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查整式的运算以及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法以及整式的运算． 21．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）已知，且互不相等，则 ． 【答案】 【分析】通过已知条件，找到的关系：，，，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了代数式求值以及因式分解等知识，利用已知条件找到是解题关键． 22．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． (1)若，，求a，b的“和积数”c； (2)若，，求a，b的“和积数”c； (3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 【答案】(1)； (2)或； (3)，有最小值为． 【分析】 （1）把，代入c中求值即可； （2）利用完全平方公式求出，得到的值，进而得到c的值； （3）把a，c的值代入，化简得，分和两种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴a，b的“和积数”； （2）解：∵，且，， ∴, ∴． ∴或； 即或； （3）解：由题意，， ∵， ， ∴． ①若，式子变为． ∴b为任何数，不存在最小值； ②若，又， ∴， ∴， ∴ ． ∴当时，有最小值为． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并灵活运用． 23．（21-22七年级下·浙江舟山·期末）我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： (1)算法赏析：若x满足，求的值． 解：设则 ∴ 请继续完成计算． (2)算法体验：若满足，求的值； (3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，延长ED交FC于P．若正方形ACFG与正方形ABDE面积的和为117，求长方形AEPC的面积 【答案】(1)过程见解析，12 (2)1260 (3)54 【分析】（1）根据完全平方公式可得a2+b2=（a+b）2-2ab求解即可； （2）按（1）方法进行即可求解； （3）正方形ACFG的边长为13-m，面积为（13-m）2，正方形ABDE的边长为10-m，面积为（10-m）2，可得（13-m）2+（10-m）2=117，设13-m=p，10-m=q，则p2+q2=（13-m）2+（10-m）2=117，p-g=13-m-10+m=3，利用求解即可． 【详解】（1）解：设则 ∴ =（a+b）2-2ab =（-4）2-2×2 =16-4 =12． （2）解：设， 则，a+b=10， ； （3）解：正方形ACFG的边长为13-m，面积为（13-m）2，正方形ABDE的边长为10-m，面积为（10-m）2，则有（13-m）2+（10-m）2=117， 设13-m=p，10-m=q，则p2+q2=（13-m）2+（10-m）2=117，p-q=13-m-10+m=3， 所以长方形AEPC的面积为： ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键． 24．（20-21七年级下·浙江嘉兴·期末）（图1），把边长为b的正方形放在长方形ABCD中，其中正方形的两条边分别在AD，CD上，已知AB＝a（a＜2b），BC＝4a． （1）请用含a、b的代数式表示阴影部分的面积； （2）将另一长方形BEFG放入（图1）中得到（图2），已知BE＝a，BG＝b； ①长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍，求的值； ②若长方形PQMF的面积为2，求阴影部分的面积（用含b的代数式表示）． 【答案】（1）4a2-b2；（2）①；② 【分析】（1）用大长方形面积减去小正方形面积，即可； （2）①用代数式表示出AG=a-b，AH=4a-b，CE =a，结合“长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍”列出等式，即可求解；②由“长方形PQMF的面积为2”，可得a=2b-2，结合影部分面积=长方形AGPH面积+长方形ECNM面积，即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意得：阴影部分的面积=a∙4a-b2； （2）①∵AB=a，BG=b， ∴AG=a-b， ∵AD=BC=4a，DH=b， ∴AH=4a-b， ∵BE＝a，BC=4a， ∴CE=4a-a=a， ∵长方形AGPH的面积是长方形ECNM面积的6.5倍， ∴（a-b）（4a-b）=6.5×a×（a-b）， ∴3a=4b， ∴=； ②如图2，PQ=EF-EM=b-（a-b）=2b-a，QM=QN-MN=b-a， ∵长方形PQMF的面积为2， ∴（2b-a）（b-a）=2，即：， ∴a-2b=±2， ∵a＜2b， ∴a-2b=-2，即：a=2b-2， ∵图2中阴影部分面积=长方形AGPH面积+长方形ECNM面积=（a-b）（4a-b）+a（a-b） =． 【点睛】本题主要考查几何图形与代数式，方程综合，掌握整式的混合运算，用整式表示阴影部分面积，是解题的关键． 25．（22-23七年级下·北京昌平·期末）阅读：证明命题“一个三位数各位数字之和可以被3整除，则这个数就可以被3整除”． 设表示一个三位数， 则 因为能被3整除，如果也能被3整除，那么就能被3整除． (1)①一个四位数，如果能被9整除，证明能被9整除； ②若一个五位数能被9整除，则______； (2)若一个三位数的各位数字是任意三个连续的正整数，则的最小正因数一定是______（数字“1”除外）； (3)由数字1至9组成的一个九位数，这个数的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除，写出这个九位数是______． 【答案】(1)①见解析；②1 (2)3 (3)381654729 【分析】（1）①首先把四位数改写成，由能被9整除，能被9整除，即可得出结论；②首先把五位数改写成，然后根据这个五位数能被9整除得能被9整除，即可求得答案； （2）假设，则三位数，据此可得出答案； （3）由能被1整除，可得为质数，由四位数能被4整除，可得两位数能被4整除，则，由九位数中已有7，9，可得，由五位数能被5整除，可得末尾数字，从而得到，由八位数能被8整除，可得三位数能被8整除，从而得到，从而得到对应，由为质数可得，由能被2整除可得，从而得到，即可得到答案． 【详解】（1）①证明：∵是一个四位数， 能被9整除，能被9整除， 四位数能被9整除； ②解：是一个五位数， ， 五位数能被9整除， 能被9整除， ， 故答案为：1； （2）解：三位数的各位数字是任意三个连续的正整数， 不妨假设， ， 三位数的最小正因数一定是3， 故答案为：3； （3）解：均为0至9之间的整数 由能被1整除，可得为质数， 由四位数能被4整除，可得两位数能被4整除，则， 由九位数中已有7，9，可得， 由五位数能被5整除，可得末尾数字，从而得到， 由八位数能被8整除，可得三位数能被8整除，从而得到， 这时的九位数为：， 对应， 为质数， ， 两位数能被2整除，且， ， ， 这个九位数时：381654729， 故答案为：381654729． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，数的整除特征，熟练掌握因式分解的方法，理解整除数的特征是解答此题的关键． 四、压轴题型四：分式，5题，难度四星 26．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）若，，，则 ． 【答案】 【分析】首先求出，将原代数式的分母变形为，将该式进一步化简变形，借助已知条件即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 同理可得：，， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简，对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求． 27．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则(　　) A．与的最大值相等，与的最小值也相等 B．与的最大值相等，与的最小值不相等 C．与的最大值不相等，与的最小值相等 D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等 【答案】A 【分析】先利用多项式乘多项式的法则进行运算，从而可表示出，，再分析即可． 【详解】解： ， ， 多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为， ，， ，且，均为正整数， ， 整理得：． 又，， ，． ，． ． ，均为正整数， 的取值为，，，，． 的最大值为，的最小值为． ，， ，均为正整数， 的取值为，，，，． 的最大值，的最小值为 与的最大值相等，与的最小值也相等 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式的乘法，完全平方公式，分式的性质，解题时要能熟悉整式的相关变形，注意学会将未知转化为已知去解决． 28．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”． （1）最小的“如意数”是 ； （2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据“如意数”的定义进行判断即可得； （2）设两位数和的十位数字均为，的个位数字为，则的个位数字为，且m为1至9的自然数，从而可得，，再求出，根据，自然数M的个位数字不为0，以及 ，可得为5或者4 ，然后根据能被7整除分别求出、的值，由此即可得． 【详解】（1）∵自然数M的个位数字不为0， ∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：， 故答案为：； （2）由题意，设两位数和的十位数字均为，的个位数字为，则的个位数字为，且m为1至9的自然数， ，， ，， ∵，自然数M的个位数字不为0， ∴为5 、4或者3， ∵， ∴为5或者4 ， ，即的分子时奇数， 当时，，分子是奇数，分母时偶数，则该数不是整数， 不符合题意，舍去； 当时，， 能被7整除，且m为1至9的自然数， 满足条件的整数只有6， ，， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用、整式加减的应用等知识点，正确理解“如意数”的定义是解题关键． 29．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程，其中，均为整数且． (1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？ (2)若是方程的解，求的值． 【答案】(1) (2)或或8 【分析】（1）由分式方程有增根，得到，求出的值即为增根； （2）将代入求得，根据题意可得或或，分别带入求得的值即可． 【详解】（1）解：由分式方程有增根，得到， 解得：， 将分式方程化为整式方程：， 整理得：， 将代入得：， 即若方程有增根，则． （2）解：∵是方程的解， 将代入得：， 整理得：， ∴， ∴，且 ∵，均为整数且， ∴或2或（舍去）或， 当时，即，； 当时，即，； 当时，即 当时，即，； 当时，即，； 综上，的值为或或8． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解题的关键是①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 30．（22-23七年级下·浙江·期末）根据以下素材，探索完成任务 设计购买欲兑换方案 素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．” 素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数． 素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同    问题解决 任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价 任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式 【答案】任务1：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个；任务2：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭㿿30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个；任务三：当总计有5张兑换券时即，用5张兑换券㛟10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时即，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋 【分析】任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个，列分式方程，解方程即可求解； 任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个，根提素材2可列方程：，再结合，都不少于20，且是10的倍数，即可作答； 任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张，设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋，即：，根据任务二中的购买方案，结合兑换后，米鸭蛋与咸青团个数相等，可以列出二元一次方程，再结合，，，，m、t均为正整数，即可作答． 【详解】解：任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个， 根据素材1可列方程；，解得 经检验，是原方程的解， ∴（元/个） 答：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个． 任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个， 根提素材2可列方程：， ∴， ∵，都不少于20，且是10的倍数， ∴，，． 答：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭㿿30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个； 任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张， 设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋， 即：， 结合任务2可知， 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即：， ∵，，，m、t均为正整数， ∴当时，，即用5张兑换券换10个咸青团，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 当时，，，即用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即， ∵，，，，m、t均为正整数， ∴当时，，即用5张兑换券换5个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 当时，，，即用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即，不符合题意舍去； 综上：小明妈妈的兑换方式有四种：当总计有5张兑换券时即，用5张兑换券㛟10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时即，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用等知识，明确题意，正确列式，是解答本题的关键. 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$