七年级数学下学期期末培优卷（苏科版）-【尖子生培优】2023-2024学年七年级数学下学期重难点压轴题突破专练（苏科版）

七年级数学下学期期末培优卷（苏科版）（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列命题中，真命题是（    ） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．连接两点之间的线段叫两点间的距离 C．两直线平行，同旁内角相等 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 2．甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（   ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．对于任意实数，，，，定义有序实数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，都有，那么为(　　) A． B． C． D． 5．某种仪器由2个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件60个或者加工B部件50个，现有工人72名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？设安排x个人生产A部件，y个人生产B部件，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 6．已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（    ） A．28 B．43 C．76 D．78 7．多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖拼铺房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一种不能密铺的是（    ） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 8．已知，则的值为（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 二、填空题（每小题3分，共30分） 9．命题“若，则”的逆命题是 ． 10．已知关于a，b，c的方程组，则＝ ． 11．如图，有三条两两相交的公路，从A地测得公路的走向是北偏东，从B地测得公路的走向是北偏西，若的长分别为c千米、a千米、b千米，点P是直线上任意一点，则线段的最小值为 千米（用含a、b、c的式子表示）． 12．如图是汽车灯的剖面图，从O点发出的光纤照射到凹面镜上，反射出的光线、是互相平行的水平线，，，则的度数为 （用含α的式子表示）． 13．如图，王老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到WIFI图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是 ． 14．若，则，的大小关系是 ． 15．若规定符号的意义是：，当时，的值为 ． 16．幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现”．请将，，，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0．则的值为 ． 4 0 17．若，则的最大值为 18．已知关于x的不等式组的解集中所有整数解之和最小，则a的取值范围为 ． 三、解答题（共46分） 19．解方程组： (1)； (2)． 20．计算： (1)； (2)． 21．请把下列证明过程补充完整： 已知：如图，． 求证：． 证明：因为（已知）， 所以__________（__________）， 因为（已知）， 所以__________（__________）． 因为（已知）， 所以（__________）， 即__________ 所以__________（等量代换）， 所以（__________）． 22．如图，在某一禁毒基地的建设中，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽分别为和米的通道． (1)剩余草坪的面积是多少平方米？ (2)若，则剩余草坪的面积是多少平方米？ 23．小丽购买学习用品的收据如表所示，因收据污损导致部分数据无法识别．根据下表，解决问题： 商品名 单价（元） 数量 金额（元） 签字笔 3 2 6 自动铅笔 1.5 记号笔 4 软皮笔记本 2 9 圆规 3.5 1 合计 8 28 (1)小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？ (2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，软皮笔记本和自动铅笔都至少购买一件，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？ 24．如图，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (1)如图1，求证； (2)如图2，与的角平分线交于点P，的延长线与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，交于点Q，，求的度数． 25．某商店购进A，B两种商品共140件进行销售．已知采购A商品30件与B商品40件共390元，采购A商品20件与B商品30件共280元． (1)求A，B商品每件进价分别是多少元？ (2)若该商店出售A，B两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的7折售完所有剩余商品．其中以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件，该商店此次降价前后销售A，B两种商品共获利不少于360元不多于480元，求有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，每卖出一件A商品给希望工程捐a元，每卖出一件B商品捐1元，140件商品全部售出，最大捐款为200元，请直接写出a的值． 26．一个四位正整数，其百位数字与个位数字的和是5，十位数字比千位数字大1，则称这个四位正整数为“五一数”．例如：3441是“五一数”，∵，，∴3441是“五一数”；6172不是“五一数”，∵，∴6172不是“五一数”． (1)试判断8194是否是“五一数”，并说明理由； (2)直接写出最小的“五一数”； (3)若“五一数”能被14整除，求出所有符合条件的“五一数”N． 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级数学下学期期末培优卷（苏科版）（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列命题中，真命题是（    ） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．连接两点之间的线段叫两点间的距离 C．两直线平行，同旁内角相等 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题的真假，平行线性质，垂线段最短，平行线公理等知识，掌握相关数学结论是解题关键． 【详解】解：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A错误； 连接两点之间的线段的长度叫两点间的距离，故B错误； 两直线平行，同旁内角互补，故C错误； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故D正确； 故选：D． 2．甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移，根据平移前后的图形大小、形状、方向相同即可判断求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，不符合题意； 、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，不符合题意； 、是轴对称图形，不能用其中一部分平移得到，不符合题意； 、能用其中一部分平移得到，符合题意； 故选：． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握求公共解集的方法．解出每个不等式的解集，再求公共解集即可． 【详解】 解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为， 表示在数轴上为： 故选：B． 4．对于任意实数，，，，定义有序实数对与之间的运算“”为：．如果对于任意实数，都有，那么为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了新定义知识．注意根据定义求得方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵对于任意实数都成立， ∴， ∴为． 故选：B． 5．某种仪器由2个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件60个或者加工B部件50个，现有工人72名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？设安排x个人生产A部件，y个人生产B部件，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，审清题意、找出等量关系是解题的关键． 本题的等量关系有“生产A部件的人数十生产B部件的人数=72”和“每天生产的A部件个数×2=生产的B部件个数”列出方程组即可． 【详解】解：设安排x个人生产A部件，y个人生产B部件， 由题意可得：． 故选：D． 6．已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（    ） A．28 B．43 C．76 D．78 【答案】C 【分析】将利用分组分解法化为，再根据a，b为正整数，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， ∵a，b为正整数，要使最大，则b的值应比a大， ∴当时，； 当时，， ∴的最大值为76， 故选：C． 【点睛】此题考查了分组分解法的应用，解题的关键在于把等号左边的式子化为乘积的形式． 7．多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖拼铺房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一种不能密铺的是（    ） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】几何图形能否镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起等于，据此分析判断即可． 【详解】解：A. 正三角形的每个内角为，能整除，故不符合题意； B. 正四边形的每个内角为，能整除，故不符合题意； C. 正五边形的每个内角为，不能整除，故符合题意； D. 正六边形的每个内角为，能整除，故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平面镶嵌（密铺）的知识，理解几何图形能镶嵌成平面的条件是解题关键． 8．已知，则的值为（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】D 【分析】本题考察整式的化简求值，令求得的值，再分别令和得到对应的等式，然后两式做合后计算并整理即可． 【详解】当时，； 当时，①， 当时，②， 得：， 则， ， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共30分） 9．命题“若，则”的逆命题是 ． 【答案】若a<b，则-3a>-3b 【分析】根据逆命题睥定义求解即可． 【详解】解：若，则的逆命题是若a<b，则-3a>-3b， 故答案为：若a<b，则-3a>-3b． 【点睛】本题考查逆命题，熟练掌握逆命题的定义“一个命题的题设是另一个命题结论，结论是另一个命题的题设，这样的两个命题互为逆命题”是解题的关键． 10．已知关于a，b，c的方程组，则＝ ． 【答案】9 【解析】略 11．如图，有三条两两相交的公路，从A地测得公路的走向是北偏东，从B地测得公路的走向是北偏西，若的长分别为c千米、a千米、b千米，点P是直线上任意一点，则线段的最小值为 千米（用含a、b、c的式子表示）． 【答案】 【分析】 本题考查方向角问题，三角形内角和定理．过点作于，再在利用等积法即可得到本题答案． 【详解】解：过点作于， ∵，，， ∴， ∴在中，， ∴， 即线段的最小值为， 故答案为：． 12．如图是汽车灯的剖面图，从O点发出的光纤照射到凹面镜上，反射出的光线、是互相平行的水平线，，，则的度数为 （用含α的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行公理的推论和平行线的性质等知识．作，证明，即可得到，，即可求出． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 13．如图，王老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到WIFI图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，以及规律型：数字的变化类，由前面两个等式发现规律是解题的关键． 根据前面两个等式，得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．依此即可求解． 【详解】解：根据前面两个等式， 王⊕=， 浩⊕， 得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成． ∴阳⊕． 故答案为：． 14．若，则，的大小关系是 ． 【答案】 【详解】因为， ， ， 所以． 15．若规定符号的意义是：，当时，的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值．熟练掌握多项式乘以多项式，代数式求值是解题的关键． 由题意可得，，由，可得，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：9． 16．幻方最早起源于中国，在《自然科学大事年表》中，对幻方做了特别的述说：“公元前一世纪，《大戴礼》记载，中国古代有象征吉祥的河图、洛书、纵横图，即为九宫算，被认为是现代组合数学最古老的发现”．请将，，，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求同一横行、同一竖行以及同一条斜对角线上的3个数相加都得0．则的值为 ． 4 0 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，代数式求值．根据题意正确的表示各数的等量关系是解题的关键． 如图，由题意知，，，，，，解得，，，，，，然后代入求值即可． 【详解】解：如图， 4 0 由题意知，，，，，， 解得，，，，，， ∴， 故答案为：． 17．若，则的最大值为 【答案】6 【分析】先求出x、y的取值范围，从而得解． 【详解】解：∵表示数轴上表示x的点到表示2与-3的点的距离之和， ∴，当且仅当取等号， 同理可得：，当且仅当取等号， ∴，当且仅当，取等号． 即当，时， ∴，， ∴，即， ∴的最大值为6， 故答案是：6． 【点睛】本题考查的几何意义，不等式的性质等知识，掌握的几何意义是解题的关键．的几何意义：数轴上，表示数x与a的点之间的距离． 18．已知关于x的不等式组的解集中所有整数解之和最小，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．先求出求出不等式组的解集，再根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集中所有整数解之和最小， ∴不等式组的整数解为或， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题（共46分） 19．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）应用代入消元法，求出方程组的解即可； （2）应用加减消元法，求出方程组的解即可． 【详解】（1）解： ， ②代入①，可得：， 解得， 把代入②，解得， 原方程组的解是． （2）解：， ①②，可得， 解得， 把代入②，可得：， 解得， 原方程组的解是． 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可； （2）分别利用有理数的乘方，零次幂和负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了整式的运算和实数的运算，熟练掌握相关的运算法则是解本题的关键． 21．请把下列证明过程补充完整： 已知：如图，． 求证：． 证明：因为（已知）， 所以__________（__________）， 因为（已知）， 所以__________（__________）． 因为（已知）， 所以（__________）， 即__________ 所以__________（等量代换）， 所以（__________）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；，等量代换；等式的性质；；；同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据平行线的判定和性质即可解决问题． 【详解】证明：因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为（已知）， 所以（等量代换）． 因为（已知）， 所以（等式的性质）， 即， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 22．如图，在某一禁毒基地的建设中，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽分别为和米的通道． (1)剩余草坪的面积是多少平方米？ (2)若，则剩余草坪的面积是多少平方米？ 【答案】(1)剩余草坪的面积是平方米； (2)若，则剩余草坪的面积是60平方米． 【分析】本题考查多项式乘以多项式；理解题意，能够根据图形列出代数式，并能利用多项式乘以多项式法则进行准确的计算是解题的关键． （1）由图可知：剩余草坪的面积是：，展开运算即可； （2）将代入（1）中的代数式即可． 【详解】（1）解：（平方米）； 答：剩余草坪的面积是平方米． （2）解：当时，（平方米）， 答：若，则剩余草坪的面积是平方米． 23．小丽购买学习用品的收据如表所示，因收据污损导致部分数据无法识别．根据下表，解决问题： 商品名 单价（元） 数量 金额（元） 签字笔 3 2 6 自动铅笔 1.5 记号笔 4 软皮笔记本 2 9 圆规 3.5 1 合计 8 28 (1)小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？ (2)若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，软皮笔记本和自动铅笔都至少购买一件，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案？ 【答案】(1)小丽购买了自动铅笔、记号笔分别为1只和2只 (2)有3种不同的购买方案：①自动笔7只，软皮笔记本1本；②自动笔4只，软皮笔记本2本；③自动笔1只，软皮笔记本3本 【分析】此题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，根据题意结合表格中数据得出正确等量关系是解题关键． （1）设自动铅笔买了x支，记号笔y支，利用总的购买数量为8，进而得出等式，再利用总金额为28元得出等式组成方程组求出答案； （2）根据题意设小丽再次购买了自动铅笔a只和软皮笔记本b本，根据共花费15元得出等式 ，进而得出二元一次方程的解． 【详解】（1）（1）设小丽自动铅笔买了x支，记号笔y支， 因为由表格知：购买圆规花费金额为：（元），购买软皮笔记本花费的金额为：9元， 所以买自动笔和记号笔共花费的金额为：（元），可以列方程如下：          解得： 答：小丽购买了自动铅笔、记号笔分别为1只和2只； （2）解：设小丽再次购买了自动铅笔a只和软皮笔记本b本． 软皮本每本单价：（元）， ∴     化简：      则；； 答：有3种不同的购买方案：①自动笔7只，软皮笔记本1本；②自动笔4只，软皮笔记本2本；③自动笔1只，软皮笔记本3本． 24．如图，直线与直线、分别交于点E、F，与互补． (1)如图1，求证； (2)如图2，与的角平分线交于点P，的延长线与交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点，使，作平分，交于点Q，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，找出角度之间的关系是解题关键． （1）根据同位角相等，即可证明结论； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质，得出，进而得到，再利用平行即可证明结论； （3）设，则，，根据平行线的性质，得到，进而得出，再结合角平分线的定义，得到，由（2）得：，解得，即可得出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）证明：平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， 设，则，， ， ， ， 又平分， ， 由（2）得：， ， 解得：， ． 25．某商店购进A，B两种商品共140件进行销售．已知采购A商品30件与B商品40件共390元，采购A商品20件与B商品30件共280元． (1)求A，B商品每件进价分别是多少元？ (2)若该商店出售A，B两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的7折售完所有剩余商品．其中以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件，该商店此次降价前后销售A，B两种商品共获利不少于360元不多于480元，求有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，每卖出一件A商品给希望工程捐a元，每卖出一件B商品捐1元，140件商品全部售出，最大捐款为200元，请直接写出a的值． 【答案】(1)A，B商品每件进价分别是5元，6元 (2)有31种进货方案 (3) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）设A，B商品每件进价分别是x元，y元，根据采购A商品30件与B商品40件共390元，采购A商品20件与B商品30件共280元列出方程组求解即可； （2）设购进A商品m件，则购买B商品件，以10元售出的商品件数为件，用卖出的钱数减去购买的钱数得到利润，再由获利不少于360元不多于480元列出不等式组求解即可； （3）设购进A商品t件，则购进B商品件，捐款总额为W，则，当时，则，不符合题意，当，随着t的增大，的值也在增大，即W的值也在增大，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设A，B商品每件进价分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B商品每件进价分别是5元，6元； （2）解：设购进A商品m件，则购买B商品件，以10元售出的商品件数为件， 由题意得，， 整理得：， 解得， ∵m为正整数， ∴的值可以有种， ∴有31种进货方案； （3）解：设购进A商品t件，则购进B商品件，捐款总额为W， ∴， ∵最大捐款为200元， ∴当时，，则，不符合题意， ∴， ∵随着t的增大，的值也在增大，即W的值也在增大， ∴当t最大时，W最大， ∴， 解得． 26．一个四位正整数，其百位数字与个位数字的和是5，十位数字比千位数字大1，则称这个四位正整数为“五一数”．例如：3441是“五一数”，∵，，∴3441是“五一数”；6172不是“五一数”，∵，∴6172不是“五一数”． (1)试判断8194是否是“五一数”，并说明理由； (2)直接写出最小的“五一数”； (3)若“五一数”能被14整除，求出所有符合条件的“五一数”N． 【答案】(1)是，理由见详解 (2) (3)，， 【分析】（1）根据“五一数”的定义判定即可； （2）设 是“五一数”，即有，，根据 是最小的“五一数”， q、w、e、r是整数，可得，，，，问题得解； （3）先得出，再提出14，可得可得能被14整除，结合题意可知：，，可得，，且a、b是整数，可得，结合能被14整除，可得，即，再根据，可得，即有，则有，或者，或者，问题随之得解． 【详解】（1）是“五一数”，理由如下： ∵，， ∴是“五一数”； （2）设 是“五一数”，即有，， ∵，，，，且q、w、e、r是整数， 又∵ 是最小的“五一数”， ∴，，，， 即：最小的“五一数”是； （3）∵“五一数”， ∴， ∴， ∴ ∵“五一数”能被14整除， ∴能被14整除， 结合题意可知：，， ∴，，且a、b是整数， ∴， ∵能被14整除， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 解得：， ∵a、b是整数， ∴，或者，或者， 当时，， 此时； 当时，， 此时； 当时，， 此时； 所有符合条件的“五一数”N有，，． 【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，有理数的混合运算，化简绝对值，列代数式，整除，理解新定义是解题的关键． 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 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